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2025-2026学年第一学期阶段性质量监测九年级数学参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确的选项.）
1．A； 2．Ｃ； 3．B； 4．Ｃ； 5．D； 6．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．x1=0, x2=-3； 8．y2>y3>y1； 9．10； 10.；
11．； 12. 或或(每对一个给1分)．
三、（本大题共5小题，每题6分，共30分）
13.（1）解：，
∴，………1分
∴或，………2分
∴．………3分
（2）∵点与点关于原点对称，
………1分
解得，………3分
14解：(1)∵二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点(4,3)，(3,0)，
∴ ………1分
解得 ………3分
(2)将抛物线y＝x2－4x＋3配方，
得y＝(x－2)2－1. ………5分
∴顶点坐标为(2，－1)，对称轴为直线x＝2. ………6分
15.解：连接，………1分
∵，
∴， ………2分
∴，………3分
∴，
∵， ………4分
∴，………5分
∴．………6分
16.（1）证明：∵，，………1分
∴， ………2分
∴不论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；………3分
（2）解：设关于x的方程的两个根为，，
∴，………1分
解得，………2分
∴另一个根为．………3分
17.
（1）作图正确………2分 （2） 作图正确………2分
即为所求；………3分 即为所求.………3分
四、（本大题共3小题，每题8分，共24分）
18.解:(1)∵ 方程x2-2(k+1)x+k2=0有两个实数根x1,x2,
∴ Δ≥0，
即4(k+1)2-4×1×k2≥0，………2分
解得 k≥- ………3分
∴ k的取值范围为k≥-.………4分
(2)∵ 方程x2-2(k+1)x+k2=0有两个实数根x1,x2,
∴ x1+x2=2(k+1), x1x2=k2.………5分
∵ x1+x2=3x1x2-6,
∴ 2(k+1)=3k2-6，即3k2-2k-8=0………6分
∴ k1=2,k2=-.………7分
∵ k≥-,
∴ k=2.………8分
19.解∵绕点逆时针方向旋转至，
∴，，………1分
而，，
∴，………2分
∴，
∴；………3分
当点为的中点时，四边形能成为正方形．………4分
理由如下：
当点为的中点时，而，
∴，即，………5分
由得，
而，
∴，………6分
∴四边形为矩形，………7分
又∵，
∴四边形能成为正方形．………8分
20.（1）证明：连接，如图：
为的中点，
，………1分
，分别为半径，的中点，，
，………2分
在和中，
（SAS），………3分
．………4分
（2）解：如图：过点作于点，
，
，………5分
在中，，，
，………6分
由勾股定理得：，………7分
．
答：的面积为．………8分
五、（本大题共2小题，每题9分，共18分）
21.（1）解：设，
将，两点坐标代入该解析式得：
，………1分
解得：，
∴………2分
∵成本为每盒60元的土特产品，销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%
∴，………3分
即
∴与的函数关系式为；………4分
（2）解：设利润为，可得
，………6分
由于图像开口向下，对称轴为，取值范围在对称轴左侧，随得增大而增大，
所以当时，（万元），………8分
答：当售价为84元时，销售最大利润为864万元. ………9分
22.解：（1）如图所示，即为所作,．………2分
（2）如图所示，即为所作；．………4分
（3）如图，连接，交x轴于点P，此时的值最小．………5分

设直线的表达式为，
则，解得，………6分
………7分
当时，
．………8分
由勾股定理可得的最小值为．………9分
六、（本大题共1题，共12分）
23.（1）解：，
，………1分
代入，得：
，
解得：；………2分
∴此函数的解析式为；………3分
（2）解：存在．的面积最大为，
如图1，过点作轴于点，交于点，
设的解析式为，将代入，得：，
∴直线解析式为，………4分
设点的坐标为，
则点的坐标为，
，
∴，………5分
∴当时，此时，的面积最大为；………6分
（3）如图2，抛物线对称轴为，
①以为边，则，且．
设，则，
，解得，
当时，；当时，；
故………8分
或；………10分
②以为对角线，则与互相平分，
设
的中点
．
把代入，得．
，………11分
综上所述，或或．………12分(
学校：
班级：
姓名：
座号：
)2025-2026学年第一学期阶段性质量监测
九年级数学试题卷
一、选择题 (本大题共6个小题，每小题3分,共18分)
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ★ ）
A． B． C． D．
2．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“大雪”“芒种”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ★ ）
A B C D
3.在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线解析式是（ ★ ）
A． B． C． D．
4.如图，在△ABC中，，将△ABC绕点A逆时针旋转到的位置，使得，则的度数是（ ★ ）
A． B． C． D．
（第4题） （第5题） （第6题）
5.如图，四边形是的内接四边形，若，则所对的圆心角为（ ★ ）
A． B． C． D．
6.二次函数的图像如图所示，对称轴是，下列结论：①；②；③；④；⑤若图象上有两点、，则有；其中正确的是（ ★ ）
A．③④⑤ B．①②⑤ C．①②③④ D．①②④⑤
二、填空题 (本大题共6个小题，每小题3分,共18分)
7.一元二次方程的解是 ★ ．
8.设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为 ★ ．（用“>”连接）
9.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，为的直径，弦，垂足为，寸，寸，求直径的长”．依题意，长为 ★ ．
（第9题） （第11题） （第12题）
10.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），计划安排36场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列方程 ★ ．
11.如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则不等式的解集是 ★ ．
12.如图，在中，，BC=2AB，将AB绕点A逆时针旋转角得到AP，连接PC，PD．当为等腰三角形时，旋转角的度数为 ★ ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13.（1）解方程：
（2）已知点与点关于原点对称，求点a、b的值.
14.已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(4,3)，B(3,0)．
(1)求b，c的值；
(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴.
15.如图所示，为的直径，是的弦，的延长线交于点，已知．求的度数．
16.已知关于x的方程
(1)求证：无论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一根为1，求其另一根．
17.如图，在△ABC中，为锐角，其顶点A，B都在上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，△ABC的顶点C在上，作顶点为B的的余角．
(2)在图2中，△ABC的顶点C在内，作顶点在直线AC上的的余角．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18.已知关于的方程有两个实数根
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值 ．
19.如图，中，，，是上一动点（与、不重合），将绕点逆时针方向旋转至，连接．
（1）求证：；
（2）点在移动的过程中，四边形是否能成为特殊四边形？若能，请指出点的位置并证明你的结论；若不能，请说明理由．
20.如图，已知，分别为半径，的中点，为的中点．
(1)求证：；
(2)若，，求面积．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21.绿水青山就是金山银山．某乡镇充分利用本地资源，组织生产一种成本为每盒元的土特产品，为了解市场情况，准备先试销一段时间．试销期间规定，销售单价不低于成本价，且获利不得高于成本的.经试销发现，销售量（万盒）与销售单价（元）之间的函数图象如图所示．
(1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)当销售单价为多少元时，销售利润最大，最大利润为多少万元？
22.已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，，．
(1)将△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到，画出，并写出的坐标；
(2)将△ABC绕点B旋转，得到，画出，并写出的坐标；
(3)在x轴上求作一点P，使的值最小，求出点P的坐标，并求的最小值．
六、（本大题共1小题，共12分）
23.如图，已知抛物线：与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D．
(1)求此函数的关系式；
(2)在下方的抛物线上，是否存在一点N，使面积最大？最大面积是多少？
(3)E在对称轴上，F在抛物线上，若以A，O，E，F为顶点形成平行四边形，求出点E，F的坐标．

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