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人教版数学八年级上学期期末仿真模拟试卷一
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．（2025八上·柯城期末）下列四个图标中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的图形能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、此选项中的图形不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的图形不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断得出答案.
2．（2025八上·开福期末）如图，平分于点C，点D在上，若，则的面积为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．10
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作于点，如图所示，
∵平分于点C，
∴，
∴的面积为.
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的性质，得到OD边上的高，再利用三角形的面积公式进行计算即可．
3．（2025八上·温岭期末）点与点关于（　　）对称
A．x轴 B．y轴 C．原点 D．直线x=5
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点与点关于y轴对称，
故答案为：B.
【分析】观察两点纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可得出两点关于y轴对称．
4．（2025八上·开福期末）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：学，爱，我，趣，味，数，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．我爱学 B．爱数学 C．趣味数学 D．我爱数学
【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，
∵对应的字为：学，爱，我，数，
∴呈现的密码信息可能是我爱数学；
故答案为：D．
【分析】先将式子根据平方差公式和提公因式进行因式分解，再写出对应字即可.
5．（2025八上·潍坊期末）若，则的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】分式的加减法；分式的化简求值
【解析】【解答】解；∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【分析】
先对等式左边通分并化简得，再代入计算即可．
6．（2025八上·诸暨月考）如图，在中，，，的面积为，平分，点，分别为，上动点，连结，，则的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作F关于的对称点为M，作边上的高，
∵平分，
∴M必在上，
∵F关于的对称点为M，
∴，
∴，即 (垂线段最短)，
∵的面积为，，
∴，
∴，即的最小值为5．
故答案为：B.
【分析】作F关于AD的对称点为M，作AB边上的高CP，结合角平分线可得点M一定在AC上，由轴对称的性质得ME=EF，由等量代换、线段和差及垂线段最短可推出EF+EC=CE+EM=CM≥CP，进而根据三角形面积公式结合△ABC的面积为20建立方程求出PC即可得出CE+EF的最小值．
7．（2025八上·路桥期末）四张全等的梯形硬纸板可拼成平行四边形（如图1），也可拼成正方形（如图2），根据两个图形中阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的等式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由第二个图形看出，第一个图形的高为，
面积是，
第二个图形阴影的面积是，
∵两个图形的阴影部分的面积相等，
∴，
故选：A．
【分析】
平方差公式的几何背景，由两图形阴影部分面积相等即可证明．
8．（2025八上·玉环期末）如图，在中，，平分交于点，作，垂足为，连接，若，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，作交的延长线于点，连接，
∴，
∵，
∴，
∵平分，且，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在和中 ，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
平分
∴，
∴，
故选：．
【分析】
由于角平分线上的点到角两边距离相等，则可过点D作BC的垂线段交BC延长线于点H，则DH＝DA＝4，由于垂直于同一条直线的两条直线平行，则可利用ASA证明，则，即，再由直角两三角形两锐角互余结合角平分线的概念可得，则由对顶角相等可得，即有，则．
9．（2021八上·福山期中）随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：15分钟=小时
设乘公交车平均每小时走x千米，则电动汽车的平均速度是每小时走2.5x千米，
得：
故答案为：D．
【分析】设乘公交车平均每小时走x千米，则电动汽车的平均速度是每小时走2.5x千米，根据“乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟”列出方程即可。
10．（2024八上·黄石港期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDE＝S△ABP，其中正确的是（　　）
A．①③ B．①②④ C．①②③ D．②③
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB=90°，
∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴，，
∴，
∴∠APB=180°-∠BAD-∠ABE=135°，①正确；
∴∠BPD=180°-∠APB=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠APH=∠FPD=90°，
∴∠FPB=∠FPD+∠BPD=135°，
∴∠APB=∠FPB，
∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∠APB=∠FPB，
∴△ABP≌△FBP，
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，②正确；
∵∠DAB=∠CAD，
∴∠PAH=∠BFP，
∵∠APH=∠FPD，PA=PF，∠PAH=∠BFP，
∴△APH≌△FPD，
∴AH=FD，
又∵AB=FB，
∴AB=FD+BD=AH+BD；③正确；
连接HD，ED，如图：
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，
∵∠HPD=90°，PH=PD，
∴∠HDP=∠DHP=45°
∴∠HDP=∠BPD，
∴HD∥EP，
∴S△EPH=S△EPD，
∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD
=S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD
=S△ABP+S△APH+S△PBD
=S△ABP+S△FPD+S△PBD
=S△ABP+S△FBP
=2S△ABP，④不正确；
故正确的有①②③；
故答案为：C.
【分析】根据三角形的内角和是180°可得∠BAC+∠ABC=90°，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线和三角形的内角和是180°可得∠BPD=45°，求得∠FPB=135°，判断①正确，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，判断②正确，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得AH=FD，等量代换可判断③正确，连接HD，ED，根据全等三角形的面积相等，对应边相等可得S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，根据等边对等角和三角形的内角和是180°可推得∠HDP=∠BPD，根据内错角相等，两直线平行可得HD∥EP，根据平行线之间的距离处出相等可得S△EPH=S△EPD，等量代换可判断④不正确，即可得出答案.
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
得分
11．（2025八上·雨花期末）经测算，一粒芝麻的质量约为，将1粒芝麻的质量用科学记数法表示约为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为．
故答案为：．
【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，形式为（为原数左起第一个非零数字前0的个数.
12．（2024八上·武威期末）已知，求的值为　 　．
【答案】66
【知识点】完全平方公式及运用；分式的值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
则，
故答案为：66．
【分析】根据 得到，先求出式子的值，再求解的值即可．
13．（2024八上·惠城期中）如图，已知是等边三角形，且，点G、D、F分别为、的中点，则　 　度．
【答案】15
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】
解：∵，点G、D、F分别为、的中点，∴，，
，，
，，
，，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：15．
【分析】由题示条件可以得出，，再由三角形的外角的性质得出，，从而得出，进一步推导即可．
14．（2024八上·和田地期末）如果分式的值为零，那么x＝　 　．
【答案】3
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为零，
∴，
解得：x=3
故答案为：3.
【分析】利用分式的值为零的条件可得，再求出x的值即可.
15．（2024八上·花都期末）如图，直线m是线段的垂直平分线，点C是直线m上位于上方的一动点，连接和，以为直角边，点C为直角顶点，在直线m的左侧作等腰直角三角形，过点D作，交直线于点E，交直线于点F，连接，与直线m交于点G，连接．则在点C运动的过程中，以下结论：①，②，③直线垂直平分线段，④，⑤中，正确的是　 　（请填入正确的序号）．
【答案】①③⑤
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵直线m是的垂直平分线，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
∵在中，，则，
又∵
∴，故②不正确，不符合题意；
过点D作于点N，如下图：
则，
∴
∴
又∵
∴
∴
由题意可得：
∴
，延长交于点，过C作，如下图：
则，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
又∵
∴，
∴，
设直线m交于点O，则，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴垂直平分线段，故③正确，符合题意；
∵，
∴不全等于，故④错误，不符合题意；
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故⑤正确，符合题意；
综上，①③⑤正确，
故答案为：①③⑤．
【分析】根据垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质可判定①；根据等腰直角三角形，直角三角形边的关系可判定②；如图所示，延长交于点，过C作，则，可证，得到，则有，再证，则，，可判定③；由，可得不全等于，可判定④；根据，得到为等腰直角三角形，则，由是等腰直角三角形，得到，由因为，所以得到，可判定⑤；由此即可求解．
阅卷人 三、解答题：本大题共8小题，共75分.
得分
16．（2025八上·射洪期末）计算或因式分解
（1）计算；
（2）计算；
（3）因式分解；
（4）因式分解．
【答案】（1）解：
．

（2）解：
．

（3）解：
．
（4）解：
．

【知识点】整式的混合运算；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）构造平方差公式计算解题；
（2）根利用平方差公式、多项式的乘法和完全平方公式展开，然后合并同类项化简；
（3）利用提取公因式和完全平方公式因式分解即可；
（4）利用分组分解因式解题．
（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
17．（2024八上·景县期末）按要求解答下列各题．
（1）分解因式：x3﹣4x2y+4xy2．
（2）计算：（2y﹣x）（x﹣y）+（2x3y+4xy3）÷2xy．
（3）解分式方程：
①；
②．
【答案】（1）解：x3﹣4x2y+4xy2
＝x（x2﹣4xy+4y2）
＝x（x﹣2y）2；
（2）解：（2y﹣x）（x﹣y）+（2x3y+4xy3）÷2xy
＝2xy﹣2y2﹣x2+xy+2x3y÷2xy+4xy3÷2xy
＝2xy﹣2y2﹣x2+xy+x2+2y2
＝3xy；
（3）解：①，
x+3＝2x+2（2x﹣6），
﹣5x＝﹣15，
x＝3，
经检验x＝3不是原方程的解，
所以原方程无解；
②，
2+x（x+2）＝x2﹣4，
2x＝﹣6，
x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是原方程的解，
所以原方程的解为：x＝﹣3．
【知识点】整式的混合运算；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；解分式方程
【解析】【分析】（1）先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先根据多项式乘多项式、多项式除以单项式的运算法则展开，再合并同类项即可；
（3）先将分式方程转化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可得出答案．
18．（2025八上·开福期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为．
（1）画出关于轴对称的；
（2）直接写出点关于轴的对称点的坐标为______；
（3）在轴上找到一点，使的和最小（标出点并直接写出点的坐标）
【答案】（1）解：分别作点、、关于轴的对称点、、，
连接点、、，得到即为所求，如图所示，
（2）
（3）解：点，如图所示：
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（2）关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，
可得：点关于轴的对称点坐标为，
故答案为：；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求，如图所示，
点与点关于轴对称，
，
，
根据两点之间线段最短可知：当点、、三点共线时的和最小．
此时点
【分析】（1）先分别作点、、关于轴的对称点、、，再依次连接点、、即可；
（2）根据关于谁对称谁不变，其他变为相反数写出即可；
（3）根据两点之间线段最短可知：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，再写出点的坐标即可.
（1）解：如图所示，分别作点、、关于轴的对称点、、，
连接点、、，得到即为所求；
（2）解：关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，
可得：点关于轴的对称点坐标为，
故答案为：；
（3）解：作点关于轴的对称点，
连接交轴于点，点即为所求，
点与点关于轴对称，
，
，
根据两点之间线段最短可知：当点、、三点共线时的和最小．
此时点
19．（2025八上·期末）先化简 然后从-1，0，11中选择一个合适的数代入求值.
【答案】解：原式
∵要使分式有意义，则a-1≠0，a+1≠0，
∴a≠±1，
∴将a=0代入原式得，原式=-1.
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】 首先将原式化简，注意分式的运算顺序和分母不为零的条件。然后从给定的数值中选择合适的整数代入化简后的式子求值。需排除使分母为零的值，如a=1，以及原式中可能存在的其他限制条件。
20．（2024八上·怀化期末）根据规律答题．
小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为
以此类推：
（1）请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______；
（2）根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________；
（3）拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程．
【答案】（1）
（2）或
（3）解：，
变形得，，
整理得，，
∴或，
解得，
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】（1）解：根据题意，方程 的解是，
故答案为：；
（2）解：猜想关于的方程得到或，
故答案为：或；
【分析】（1）根据题目所给方法解题；
（2）根据题目所给方法解题；
（3）原方程变形为， 然后根据题目所给方法解题即可 ．
（1）解：根据题意，方程 的解是，
故答案为：；
（2）解：猜想关于的方程得到或，
故答案为：或；
（3）解：，
变形得，，整理得，，
∴或，
解得，．
21．（2024八上·江北期末）重庆——山水之城，美食之都．今年国庆期间，吸引了众多游客到重庆游玩，某打卡点的面馆的生意也异常火爆．
（1）十月一日该面馆的“小面”销售额是800元，“豌杂面”销售额是1500元，且两种面的销量相同．已知“小面”的单价比“豌杂面”的单价少7元．求“小面”和“豌杂面”的单价各是多少元？
（2）十月三日，游客量达到顶峰，该面馆当天“小面”比“豌杂面”的多卖出60份，两种面的总销售额为2895元．求该面馆十月三日当天“小面”的销量是多少份？
【答案】（1）解：设“小面”单价元，则“豌杂面”单价元，
由题意得，解得，
经检验：是原分时方程的解，
∴，
答：“小面”单价8元，则“豌杂面”单价15元；
（2）解：设该面馆十月三日当天“小面”的销量是份，
由题意得，解得，
答：该面馆十月三日当天“小面”的销量是165份．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查分式方程与一元一次方程解实际应用题，．
（1）设“小面”单价元，则“豌杂面”单价元，利用“两种面的销量相同”，可列出立分式方程，求出根，再进行验根可求出答案；
（2）设该面馆十月三日当天“小面”的销量是份，利用“两种面的总销售额为2895元”，可列出方程，解方程可求出答案．
22．（2025八上·路桥期末）【概念呈现】
有一组角互补，另一组角相等，且相等两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形．如图1，在与中，若，，，则与是“和合”三角形．
【性质探究】
（1）如图2，线段交于点，，，容易知道与是“和合”三角形．爱思考的小涛发现，在该组“和合”三角形中可构造出全等三角形，他的作法如下：过点作，交于点．
请证明；
【拓展应用】
（2）如图3，是等边三角形的边上的一动点，在的延长线上，，连接交于点，连接．
①若，求的度数；
②当的值为多少时，与是“和合”三角形．
【答案】证明：（1）如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
解：（2）①如图所示：过点D作，交于点G，
∵是等边三角形，
∴，
，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，连接并延长交于点H，
当与是“和合”三角形时，，
∵，
∴，
∴，
由①知，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即当的值为时，与是“和合”三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先由平行线性质得，再由等角的补角相等可得，则，等量代换得，则可依据AAS可证；
（2）①同（1）过点D作交于点G，则可证，则，再结合已知可得，则由三角形的内角和等量代换可得；
②由“和合”三角形的概念知，当与是“和合”三角形时，，则由同角的补角相等可得，则，由于等边中，则垂直平分，则可分别求得，再借助外角的性质可得，即有，则可证，又由①知，则．
23．（2024八上·随县期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点B在y轴正半轴上，，．
（1）如图1，当时，连接交y轴于点D，写出点C的坐标；
（2）如图2，轴于B且，连接交y轴于一点E，在B点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若不变，求出的长度；若变化，请说明理由；
（3）如图3，N在延长线上，过作轴于Q，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）解：如图1，过点C作轴于H．
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：在B点运动过程中，长保持不变，的长为3，理由如下：
如图2，过C作轴于M．
由（1）可知：，
∴，，
∵轴
∴
又∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
（3）解：．理由如下：
如图，延长交的延长线于M，过点N作于H，交于K．
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点C作CH⊥y轴交y轴于H，通过AAS可证明得到，，，求得CH、OH的长度，即可得到C点的坐标；
（2）过点C作轴交y轴于M，通过AAS可证明，得到，则；
（3）延长交的延长线于M，过点N作于H，交于K．先证明，得到，，然后证明，得到，即可推出．
1 / 1人教版数学八年级上学期期末仿真模拟试卷一
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．（2025八上·柯城期末）下列四个图标中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·开福期末）如图，平分于点C，点D在上，若，则的面积为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．10
3．（2025八上·温岭期末）点与点关于（　　）对称
A．x轴 B．y轴 C．原点 D．直线x=5
4．（2025八上·开福期末）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：学，爱，我，趣，味，数，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．我爱学 B．爱数学 C．趣味数学 D．我爱数学
5．（2025八上·潍坊期末）若，则的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．3
6．（2025八上·诸暨月考）如图，在中，，，的面积为，平分，点，分别为，上动点，连结，，则的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．（2025八上·路桥期末）四张全等的梯形硬纸板可拼成平行四边形（如图1），也可拼成正方形（如图2），根据两个图形中阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的等式为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025八上·玉环期末）如图，在中，，平分交于点，作，垂足为，连接，若，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2021八上·福山期中）随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八上·黄石港期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDE＝S△ABP，其中正确的是（　　）
A．①③ B．①②④ C．①②③ D．②③
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
得分
11．（2025八上·雨花期末）经测算，一粒芝麻的质量约为，将1粒芝麻的质量用科学记数法表示约为　 　．
12．（2024八上·武威期末）已知，求的值为　 　．
13．（2024八上·惠城期中）如图，已知是等边三角形，且，点G、D、F分别为、的中点，则　 　度．
14．（2024八上·和田地期末）如果分式的值为零，那么x＝　 　．
15．（2024八上·花都期末）如图，直线m是线段的垂直平分线，点C是直线m上位于上方的一动点，连接和，以为直角边，点C为直角顶点，在直线m的左侧作等腰直角三角形，过点D作，交直线于点E，交直线于点F，连接，与直线m交于点G，连接．则在点C运动的过程中，以下结论：①，②，③直线垂直平分线段，④，⑤中，正确的是　 　（请填入正确的序号）．
阅卷人 三、解答题：本大题共8小题，共75分.
得分
16．（2025八上·射洪期末）计算或因式分解
（1）计算；
（2）计算；
（3）因式分解；
（4）因式分解．
17．（2024八上·景县期末）按要求解答下列各题．
（1）分解因式：x3﹣4x2y+4xy2．
（2）计算：（2y﹣x）（x﹣y）+（2x3y+4xy3）÷2xy．
（3）解分式方程：
①；
②．
18．（2025八上·开福期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为．
（1）画出关于轴对称的；
（2）直接写出点关于轴的对称点的坐标为______；
（3）在轴上找到一点，使的和最小（标出点并直接写出点的坐标）
19．（2025八上·期末）先化简 然后从-1，0，11中选择一个合适的数代入求值.
20．（2024八上·怀化期末）根据规律答题．
小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为
以此类推：
（1）请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______；
（2）根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________；
（3）拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程．
21．（2024八上·江北期末）重庆——山水之城，美食之都．今年国庆期间，吸引了众多游客到重庆游玩，某打卡点的面馆的生意也异常火爆．
（1）十月一日该面馆的“小面”销售额是800元，“豌杂面”销售额是1500元，且两种面的销量相同．已知“小面”的单价比“豌杂面”的单价少7元．求“小面”和“豌杂面”的单价各是多少元？
（2）十月三日，游客量达到顶峰，该面馆当天“小面”比“豌杂面”的多卖出60份，两种面的总销售额为2895元．求该面馆十月三日当天“小面”的销量是多少份？
22．（2025八上·路桥期末）【概念呈现】
有一组角互补，另一组角相等，且相等两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形．如图1，在与中，若，，，则与是“和合”三角形．
【性质探究】
（1）如图2，线段交于点，，，容易知道与是“和合”三角形．爱思考的小涛发现，在该组“和合”三角形中可构造出全等三角形，他的作法如下：过点作，交于点．
请证明；
【拓展应用】
（2）如图3，是等边三角形的边上的一动点，在的延长线上，，连接交于点，连接．
①若，求的度数；
②当的值为多少时，与是“和合”三角形．
23．（2024八上·随县期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点B在y轴正半轴上，，．
（1）如图1，当时，连接交y轴于点D，写出点C的坐标；
（2）如图2，轴于B且，连接交y轴于一点E，在B点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若不变，求出的长度；若变化，请说明理由；
（3）如图3，N在延长线上，过作轴于Q，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的图形能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、此选项中的图形不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的图形不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作于点，如图所示，
∵平分于点C，
∴，
∴的面积为.
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的性质，得到OD边上的高，再利用三角形的面积公式进行计算即可．
3．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点与点关于y轴对称，
故答案为：B.
【分析】观察两点纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可得出两点关于y轴对称．
4．【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，
∵对应的字为：学，爱，我，数，
∴呈现的密码信息可能是我爱数学；
故答案为：D．
【分析】先将式子根据平方差公式和提公因式进行因式分解，再写出对应字即可.
5．【答案】C
【知识点】分式的加减法；分式的化简求值
【解析】【解答】解；∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【分析】
先对等式左边通分并化简得，再代入计算即可．
6．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作F关于的对称点为M，作边上的高，
∵平分，
∴M必在上，
∵F关于的对称点为M，
∴，
∴，即 (垂线段最短)，
∵的面积为，，
∴，
∴，即的最小值为5．
故答案为：B.
【分析】作F关于AD的对称点为M，作AB边上的高CP，结合角平分线可得点M一定在AC上，由轴对称的性质得ME=EF，由等量代换、线段和差及垂线段最短可推出EF+EC=CE+EM=CM≥CP，进而根据三角形面积公式结合△ABC的面积为20建立方程求出PC即可得出CE+EF的最小值．
7．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由第二个图形看出，第一个图形的高为，
面积是，
第二个图形阴影的面积是，
∵两个图形的阴影部分的面积相等，
∴，
故选：A．
【分析】
平方差公式的几何背景，由两图形阴影部分面积相等即可证明．
8．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，作交的延长线于点，连接，
∴，
∵，
∴，
∵平分，且，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在和中 ，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
平分
∴，
∴，
故选：．
【分析】
由于角平分线上的点到角两边距离相等，则可过点D作BC的垂线段交BC延长线于点H，则DH＝DA＝4，由于垂直于同一条直线的两条直线平行，则可利用ASA证明，则，即，再由直角两三角形两锐角互余结合角平分线的概念可得，则由对顶角相等可得，即有，则．
9．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：15分钟=小时
设乘公交车平均每小时走x千米，则电动汽车的平均速度是每小时走2.5x千米，
得：
故答案为：D．
【分析】设乘公交车平均每小时走x千米，则电动汽车的平均速度是每小时走2.5x千米，根据“乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟”列出方程即可。
10．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB=90°，
∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴，，
∴，
∴∠APB=180°-∠BAD-∠ABE=135°，①正确；
∴∠BPD=180°-∠APB=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠APH=∠FPD=90°，
∴∠FPB=∠FPD+∠BPD=135°，
∴∠APB=∠FPB，
∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∠APB=∠FPB，
∴△ABP≌△FBP，
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，②正确；
∵∠DAB=∠CAD，
∴∠PAH=∠BFP，
∵∠APH=∠FPD，PA=PF，∠PAH=∠BFP，
∴△APH≌△FPD，
∴AH=FD，
又∵AB=FB，
∴AB=FD+BD=AH+BD；③正确；
连接HD，ED，如图：
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，
∵∠HPD=90°，PH=PD，
∴∠HDP=∠DHP=45°
∴∠HDP=∠BPD，
∴HD∥EP，
∴S△EPH=S△EPD，
∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD
=S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD
=S△ABP+S△APH+S△PBD
=S△ABP+S△FPD+S△PBD
=S△ABP+S△FBP
=2S△ABP，④不正确；
故正确的有①②③；
故答案为：C.
【分析】根据三角形的内角和是180°可得∠BAC+∠ABC=90°，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线和三角形的内角和是180°可得∠BPD=45°，求得∠FPB=135°，判断①正确，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，判断②正确，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得AH=FD，等量代换可判断③正确，连接HD，ED，根据全等三角形的面积相等，对应边相等可得S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，根据等边对等角和三角形的内角和是180°可推得∠HDP=∠BPD，根据内错角相等，两直线平行可得HD∥EP，根据平行线之间的距离处出相等可得S△EPH=S△EPD，等量代换可判断④不正确，即可得出答案.
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为．
故答案为：．
【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，形式为（为原数左起第一个非零数字前0的个数.
12．【答案】66
【知识点】完全平方公式及运用；分式的值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
则，
故答案为：66．
【分析】根据 得到，先求出式子的值，再求解的值即可．
13．【答案】15
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】
解：∵，点G、D、F分别为、的中点，∴，，
，，
，，
，，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：15．
【分析】由题示条件可以得出，，再由三角形的外角的性质得出，，从而得出，进一步推导即可．
14．【答案】3
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为零，
∴，
解得：x=3
故答案为：3.
【分析】利用分式的值为零的条件可得，再求出x的值即可.
15．【答案】①③⑤
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵直线m是的垂直平分线，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
∵在中，，则，
又∵
∴，故②不正确，不符合题意；
过点D作于点N，如下图：
则，
∴
∴
又∵
∴
∴
由题意可得：
∴
，延长交于点，过C作，如下图：
则，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
又∵
∴，
∴，
设直线m交于点O，则，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴垂直平分线段，故③正确，符合题意；
∵，
∴不全等于，故④错误，不符合题意；
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故⑤正确，符合题意；
综上，①③⑤正确，
故答案为：①③⑤．
【分析】根据垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质可判定①；根据等腰直角三角形，直角三角形边的关系可判定②；如图所示，延长交于点，过C作，则，可证，得到，则有，再证，则，，可判定③；由，可得不全等于，可判定④；根据，得到为等腰直角三角形，则，由是等腰直角三角形，得到，由因为，所以得到，可判定⑤；由此即可求解．
16．【答案】（1）解：
．

（2）解：
．

（3）解：
．
（4）解：
．

【知识点】整式的混合运算；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）构造平方差公式计算解题；
（2）根利用平方差公式、多项式的乘法和完全平方公式展开，然后合并同类项化简；
（3）利用提取公因式和完全平方公式因式分解即可；
（4）利用分组分解因式解题．
（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
17．【答案】（1）解：x3﹣4x2y+4xy2
＝x（x2﹣4xy+4y2）
＝x（x﹣2y）2；
（2）解：（2y﹣x）（x﹣y）+（2x3y+4xy3）÷2xy
＝2xy﹣2y2﹣x2+xy+2x3y÷2xy+4xy3÷2xy
＝2xy﹣2y2﹣x2+xy+x2+2y2
＝3xy；
（3）解：①，
x+3＝2x+2（2x﹣6），
﹣5x＝﹣15，
x＝3，
经检验x＝3不是原方程的解，
所以原方程无解；
②，
2+x（x+2）＝x2﹣4，
2x＝﹣6，
x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是原方程的解，
所以原方程的解为：x＝﹣3．
【知识点】整式的混合运算；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；解分式方程
【解析】【分析】（1）先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先根据多项式乘多项式、多项式除以单项式的运算法则展开，再合并同类项即可；
（3）先将分式方程转化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可得出答案．
18．【答案】（1）解：分别作点、、关于轴的对称点、、，
连接点、、，得到即为所求，如图所示，
（2）
（3）解：点，如图所示：
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（2）关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，
可得：点关于轴的对称点坐标为，
故答案为：；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求，如图所示，
点与点关于轴对称，
，
，
根据两点之间线段最短可知：当点、、三点共线时的和最小．
此时点
【分析】（1）先分别作点、、关于轴的对称点、、，再依次连接点、、即可；
（2）根据关于谁对称谁不变，其他变为相反数写出即可；
（3）根据两点之间线段最短可知：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，再写出点的坐标即可.
（1）解：如图所示，分别作点、、关于轴的对称点、、，
连接点、、，得到即为所求；
（2）解：关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，
可得：点关于轴的对称点坐标为，
故答案为：；
（3）解：作点关于轴的对称点，
连接交轴于点，点即为所求，
点与点关于轴对称，
，
，
根据两点之间线段最短可知：当点、、三点共线时的和最小．
此时点
19．【答案】解：原式
∵要使分式有意义，则a-1≠0，a+1≠0，
∴a≠±1，
∴将a=0代入原式得，原式=-1.
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】 首先将原式化简，注意分式的运算顺序和分母不为零的条件。然后从给定的数值中选择合适的整数代入化简后的式子求值。需排除使分母为零的值，如a=1，以及原式中可能存在的其他限制条件。
20．【答案】（1）
（2）或
（3）解：，
变形得，，
整理得，，
∴或，
解得，
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】（1）解：根据题意，方程 的解是，
故答案为：；
（2）解：猜想关于的方程得到或，
故答案为：或；
【分析】（1）根据题目所给方法解题；
（2）根据题目所给方法解题；
（3）原方程变形为， 然后根据题目所给方法解题即可 ．
（1）解：根据题意，方程 的解是，
故答案为：；
（2）解：猜想关于的方程得到或，
故答案为：或；
（3）解：，
变形得，，整理得，，
∴或，
解得，．
21．【答案】（1）解：设“小面”单价元，则“豌杂面”单价元，
由题意得，解得，
经检验：是原分时方程的解，
∴，
答：“小面”单价8元，则“豌杂面”单价15元；
（2）解：设该面馆十月三日当天“小面”的销量是份，
由题意得，解得，
答：该面馆十月三日当天“小面”的销量是165份．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查分式方程与一元一次方程解实际应用题，．
（1）设“小面”单价元，则“豌杂面”单价元，利用“两种面的销量相同”，可列出立分式方程，求出根，再进行验根可求出答案；
（2）设该面馆十月三日当天“小面”的销量是份，利用“两种面的总销售额为2895元”，可列出方程，解方程可求出答案．
22．【答案】证明：（1）如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
解：（2）①如图所示：过点D作，交于点G，
∵是等边三角形，
∴，
，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，连接并延长交于点H，
当与是“和合”三角形时，，
∵，
∴，
∴，
由①知，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即当的值为时，与是“和合”三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先由平行线性质得，再由等角的补角相等可得，则，等量代换得，则可依据AAS可证；
（2）①同（1）过点D作交于点G，则可证，则，再结合已知可得，则由三角形的内角和等量代换可得；
②由“和合”三角形的概念知，当与是“和合”三角形时，，则由同角的补角相等可得，则，由于等边中，则垂直平分，则可分别求得，再借助外角的性质可得，即有，则可证，又由①知，则．
23．【答案】（1）解：如图1，过点C作轴于H．
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：在B点运动过程中，长保持不变，的长为3，理由如下：
如图2，过C作轴于M．
由（1）可知：，
∴，，
∵轴
∴
又∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
（3）解：．理由如下：
如图，延长交的延长线于M，过点N作于H，交于K．
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点C作CH⊥y轴交y轴于H，通过AAS可证明得到，，，求得CH、OH的长度，即可得到C点的坐标；
（2）过点C作轴交y轴于M，通过AAS可证明，得到，则；
（3）延长交的延长线于M，过点N作于H，交于K．先证明，得到，，然后证明，得到，即可推出．
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