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27.4正多边形和圆
【题型1】求正多边形的中心角 3
【题型2】求正多边形的边数 7
【题型3】求正多边形的边心距 11
【题型4】正多边形与圆的综合 16
【知识点1】正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 1.（2025 阜宁县一模）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若BC=4，则⊙O的半径是（　　） A．B．2C．D．
【答案】A 【分析】先根据正方形的性质和勾股定理求出BD的长，再由90度的圆周角所对的弦是直径得到BD是⊙O的直径，据此可得答案． 【解答】解：⊙O是正方形ABCD的外接圆，BC=4，如图，连接BD，
∴CD=BC=4，∠C=90°，
在直角三角形BCD中，由勾股定理得：，
∵∠C=90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴⊙O的半径为，
故选：A． 2.（2025 巨野县一模）在春节灯谜会上，主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，如图，AB与BC为该正多边形的一组相邻边，小亮量得∠BAC=15°，则这个正多边形的边数为（　　） A．9B．10C．11D．12
【答案】D 【分析】由题意知，AB=BC，则∠BCA=∠BAC=15°，可求∠B=150°，可得外角为30°，由360°÷30°=12可得结论． 【解答】解：由题意知，AB=BC，
∴∠BCA=∠BAC=15°，
∴∠B=180°-∠BCA-∠BAC=150°，
∴∠B的外角度数为180°-150°=30°，
∴这个正多边形的边数为360°÷30°=12，
故选：D．
【题型1】求正多边形的中心角
【典型例题】将一个正八边形绕着其中心旋转后与原图形重合，旋转角的大小不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】正八边形的中心角为，
∵，
∴旋转角的大小可能是，，，
∵不是的整数倍，
∴旋转角的大小不能是，
故选：B．
【举一反三1】下列图形中，旋转后能与原图形重合的是（　　）
A.等边三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正八边形
【答案】A
【解析】如图，
∵等边三角形的中心角为，
∴旋转后即可与原图形重合；
∵正方形的中心角为，
正五边形的中心角为，
正八边形的中心角为，
∴正方形、正五边形、正八边形旋转后不能与原图形重合．
故选：A．
【举一反三2】如图，已知正五边形内接于，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵正五边形内接于，
∴正五边形的中心角．
故选：C．
【举一反三3】如图，已知正五边形内接于，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵正五边形内接于，
∴正五边形的中心角．
故选：C．
【举一反三4】正六边形的中心角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵是正六边形，
∴中心角为：，
故选：C．
【举一反三5】正五边形绕着它的中心旋转后与它本身完全重合、最小的旋转角度数是 ．
【答案】
【解析】如图，
由题意可知，所求的问题为的度数，
由正五边形的性质得：，
又，
∴，
故答案为：．
【举一反三6】正九边形的中心角等于 度．
【答案】40
【解析】正九边形的中心角等于：．
故答案是：．
【举一反三7】如果一个正多边形的内角和是，则它的中心角的度数为 度
【答案】45
【解析】设此多边形为边形，
根据题意得：，
解得：，
这个正多边形的中心角的度数为：．
故答案为：．
【举一反三8】如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为 度．
【答案】12
【解析】连结AO，如图，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵多边形AHIJK是正五边形，
∴∠AOH=360°÷5=72°，
∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，
故答案为：12．
【题型2】求正多边形的边数
【典型例题】如图，点，，在上，若，，分别是内接正三角形．正方形，正边形的一边，则（ ）
A.9 B.10 C.12 D.15
【答案】C
【解析】分别连结OB、OA、OC，如图所示，
∵是内接正三角形的一边，
∴∠BOC=，
同理，可得：∠AOB=90°，
∴∠AOC=∠BOC ∠AOB=30° ，
∵是正边形的一边，
∴，
∴n=12，
故选：C．
【举一反三1】一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是( )
A.14 B.18 C.16 D.20
【答案】D
【解析】∵一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，
∴该正多边形的边数为：，故D正确．
故选：D．
【举一反三2】如图，，分别为的内接正三角形和内接正四边形的一边，若恰好是同圆的一个内接正边形的一边，则的值为（ ）
A.8 B.10 C.12 D.14
【答案】C
【解析】如图：连结OB，OC，OA，
为圆内接正三角形，
，
四边形ACDF为圆内接正方形，
，
，
若以BC为边的圆内接正边形，则有，
故选：C．
【举一反三3】如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（ ）
A.12 B.16 C.20 D.24
【答案】D
【解析】连结，
∵是内接正六边形的一边，
∴
∵是内接正八边形的一边，
∴
∴
∴
故选：D．
【举一反三4】如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（　　）
A.6 B.8 C.10 D.12
【答案】D
【解析】如图，连结，
四边形为的内接正四边形，为的内接正三角形，
点在上，且是和的角平分线，，
，
，
，
恰好是圆O的一个内接正边形的一边，
，
故选：D．
【举一反三5】如图，若以AB为边长作⊙O的内接正多边形，则这个多边形是正 边形．
【答案】六
【解析】如图，连结OB，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴这个多边形是正六边形．
故答案为：六．
【举一反三6】一个正多边形的中心角是30°，则这个多边形是正 边形．
【答案】十二
【解析】∵一个正多边形的中心角是30°，
∴这个多边形是：360°÷30°＝12，即正十二边形，
故答案为：十二．
【举一反三7】若正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为 ．
【答案】
【解析】由题意得：，解得：；
∴正多边形的边数为：；
故答案为：．
【题型3】求正多边形的边心距
【典型例题】如图，正六边形内接于，的半径为6，则边心距的长为（ ）
A. B. C.3 D.
【答案】A
【解析】连结、，如图所示：
∵六边形为正六边形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【举一反三1】如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距和弧的长分别为（ ）
A.， B.， C.， D.，
【答案】D
【解析】连结，
∵正六边形内接于，
∴，，
∴是等边三角形，弧的长为，
∴，
，
∴，
∴
故选：D．
【举一反三2】如图，正六边形内接于，的半径为6，则边心距的长为（ ）
A. B. C.3 D.
【答案】A
【解析】连结、，如图所示：
∵六边形为正六边形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【举一反三3】如图，已知的半径为4，则该圆内接正六边形的边心距的值是（ ）
A. B. C. D.3
【答案】A
【解析】连结，，
∵六边形是正六边形，
∴，
∴是等边三角形，
由题意可知，则垂直平分，
∴，
∴
故选：A．
【举一反三4】已知是的内接正三角形，的半径是，则边心距的值为 ．
【答案】6cm
【解析】过作于，连结，则长为边心距；
在直角中，，cm.
【举一反三5】边长为的正六边形的边心距为 ．
【答案】
【解析】如图，六边形是正六边形，连结，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
即正六边形的边心距为，
故答案为：.
【举一反三6】如图是昆明西山的著名景点升庵亭，它的地基是半径为的正六边形，则该正六边形的边心距是 ．
【答案】
【解析】连结，过作于，
∵圆内接多边形是正六边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【题型4】正多边形与圆的综合
【典型例题】魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术．为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．作圆内接正多边形，当正多边形的边数不断增加时，其周长就无限接近圆的周长，进而可用来求得较为精确的圆周率．祖冲之在刘徽的基础上继续努力，当正多边形的边数增加24576时，得到了精确到小数点后七位的圆周率，这一成就在当时是领先其他国家一千多年，如图，依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是（ ）
A.0.5 B.1 C.3 D.3.2
【答案】C
【解析】连结、，
∵六边形是正六边形，
∴，又，
∴是等边三角形，
∴，
正六边形的周长圆的直径，
故选：C．
【举一反三1】已知 的面积为，则其内接正方形的边长为（ ）
A.3 B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，四边形为的内接正方形，连结、．
设的半径为r，则，
∴；
又∵，
∴为的直径，；
设正方形的边长为a，由勾股定理得：
，
∴，
故选：B．
【举一反三2】利用圆的等分，在半径为3的圆中作出如图的图案，则相邻两等分点之间的距离为（ ）
A.3 B. C.4 D.6
【答案】A
【解析】如图所示，A、B是相邻两等分点，连结，
由题意得，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
故选A．
【举一反三3】下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长，
故选：．
【举一反三4】魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术．为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．作圆内接正多边形，当正多边形的边数不断增加时，其周长就无限接近圆的周长，进而可用来求得较为精确的圆周率．祖冲之在刘徽的基础上继续努力，当正多边形的边数增加24576时，得到了精确到小数点后七位的圆周率，这一成就在当时是领先其他国家一千多年，如图，依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是（ ）
A.0.5 B.1 C.3 D.3.2
【答案】C
【解析】连结、，
∵六边形是正六边形，
∴，又，
∴是等边三角形，
∴，
正六边形的周长圆的直径，
故选：C．
【举一反三5】大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若正六边形半径为5，则这个正六边形的周长是 ．
【答案】
【解析】如图所示：
六边形是正六边形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵正六边形半径为5，
∴这个正六边形的周长是，
故答案为：．
【举一反三6】如图，若的半径为3，则其内接正六边形的周长为 ．
【答案】18
【解析】连结、，
∵正六边形内接于，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴正六边形的周长，
故答案为：18．
【举一反三7】如图，已知四个正六边形摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上，其中上下两个大一点的正六边形边长均为a，左右两个正六边形边长均为b．
（1） ；
（2）若，则 ．
【答案】（1） （2）
【解析】连结，，过作，
由图形可得，两个大六边形关于对称，
∴是圆的直径，
∵两个大六边形是全等的正六边形，
∴，
∴也是直径，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵小六边形是正六边形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：，．27.4正多边形和圆
【题型1】求正多边形的中心角 2
【题型2】求正多边形的边数 3
【题型3】求正多边形的边心距 5
【题型4】正多边形与圆的综合 7
【知识点1】正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 1.（2025 阜宁县一模）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若BC=4，则⊙O的半径是（　　） A．B．2C．D．
2.（2025 巨野县一模）在春节灯谜会上，主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，如图，AB与BC为该正多边形的一组相邻边，小亮量得∠BAC=15°，则这个正多边形的边数为（　　） A．9B．10C．11D．12
【题型1】求正多边形的中心角
【典型例题】将一个正八边形绕着其中心旋转后与原图形重合，旋转角的大小不可能是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列图形中，旋转后能与原图形重合的是（　　）
A.等边三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正八边形
【举一反三2】如图，已知正五边形内接于，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，已知正五边形内接于，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】正六边形的中心角为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三5】正五边形绕着它的中心旋转后与它本身完全重合、最小的旋转角度数是 ．
【举一反三6】正九边形的中心角等于 度．
【举一反三7】如果一个正多边形的内角和是，则它的中心角的度数为 度
【举一反三8】如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为 度．
【题型2】求正多边形的边数
【典型例题】如图，点，，在上，若，，分别是内接正三角形．正方形，正边形的一边，则（ ）
A.9 B.10 C.12 D.15
【举一反三1】一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是( )
A.14 B.18 C.16 D.20
【举一反三2】如图，，分别为的内接正三角形和内接正四边形的一边，若恰好是同圆的一个内接正边形的一边，则的值为（ ）
A.8 B.10 C.12 D.14
【举一反三3】如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（ ）
A.12 B.16 C.20 D.24
【举一反三4】如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（　　）
A.6 B.8 C.10 D.12
【举一反三5】如图，若以AB为边长作⊙O的内接正多边形，则这个多边形是正 边形．
【举一反三6】一个正多边形的中心角是30°，则这个多边形是正 边形．
【举一反三7】若正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为 ．
【题型3】求正多边形的边心距
【典型例题】如图，正六边形内接于，的半径为6，则边心距的长为（ ）
A. B. C.3 D.
【举一反三1】如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距和弧的长分别为（ ）
A.， B.， C.， D.，
【举一反三2】如图，正六边形内接于，的半径为6，则边心距的长为（ ）
A. B. C.3 D.
【举一反三3】如图，已知的半径为4，则该圆内接正六边形的边心距的值是（ ）
A. B. C. D.3
【举一反三4】已知是的内接正三角形，的半径是，则边心距的值为 ．
【举一反三5】边长为的正六边形的边心距为 ．
【举一反三6】如图是昆明西山的著名景点升庵亭，它的地基是半径为的正六边形，则该正六边形的边心距是 ．
【题型4】正多边形与圆的综合
【典型例题】魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术．为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．作圆内接正多边形，当正多边形的边数不断增加时，其周长就无限接近圆的周长，进而可用来求得较为精确的圆周率．祖冲之在刘徽的基础上继续努力，当正多边形的边数增加24576时，得到了精确到小数点后七位的圆周率，这一成就在当时是领先其他国家一千多年，如图，依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是（ ）
A.0.5 B.1 C.3 D.3.2
【举一反三1】已知 的面积为，则其内接正方形的边长为（ ）
A.3 B. C. D.
【举一反三2】利用圆的等分，在半径为3的圆中作出如图的图案，则相邻两等分点之间的距离为（ ）
A.3 B. C.4 D.6
【举一反三3】下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最大的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术．为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．作圆内接正多边形，当正多边形的边数不断增加时，其周长就无限接近圆的周长，进而可用来求得较为精确的圆周率．祖冲之在刘徽的基础上继续努力，当正多边形的边数增加24576时，得到了精确到小数点后七位的圆周率，这一成就在当时是领先其他国家一千多年，如图，依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是（ ）
A.0.5 B.1 C.3 D.3.2
【举一反三5】大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若正六边形半径为5，则这个正六边形的周长是 ．
【举一反三6】如图，若的半径为3，则其内接正六边形的周长为 ．
【举一反三7】如图，已知四个正六边形摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上，其中上下两个大一点的正六边形边长均为a，左右两个正六边形边长均为b．
（1） ；
（2）若，则 ．

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