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27.3圆中的计算问题
【题型1】利用弧长公式求弧长 5
【题型2】利用弧长公式求半径 10
【题型3】利用弧长公式求圆心角 12
【题型4】求某点的弧形运动路径长度 14
【题型5】利用公式求扇形面积 18
【题型6】已知扇形面积求半径 20
【题型7】已知扇形面积求圆心角 21
【题型8】求图形旋转后扫过的面积 23
【题型9】求弓形面积 27
【题型10】求其他不规则图形的面积 34
【题型11】求圆锥的侧面积 40
【题型12】求圆锥底面圆的半径 43
【题型13】求圆锥的高 47
【题型14】求圆锥的母线长 50
【知识点1】弧长的计算 （1）圆周长公式：C=2πR
（2）弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 1.（2024秋 桥西区期末）如图，扇形纸叠扇完全展开后，∠BAC=120°，扇形的半径BA=3cm,则的长为（　　） A．2πcmB．C．πcmD．
【知识点2】扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S=πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=πR2或S扇形=lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 1.（2025 平舆县一模）如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB=60°，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．B．C．D．
【知识点3】圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧= 2πr l=πrl．
（4）圆锥的全面积：S全=S底+S侧=πr2+πrl
（5）圆锥的体积=×底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 1.（2024春 巧家县校级月考）在如图所示的圆锥中，AB=1.5，底面半径OB=0.9，则圆锥的高OA为（　　） A．1B．1.2C．1.3D．
2.（2025 泸县一模）已知一个圆锥的母线长为是30，底面半径为10，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（　　） A．90°B．100°C．120°D．150°
【题型1】利用弧长公式求弧长
【典型例题】如图，在中，半径，C为上一点，连结，若，，则的长度为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（弧），点是这段弧所在圆的圆心．连结，，，点是的中点，连结并延长交弧于点．若，，则弧的长是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为2，若将绕点O顺时针旋转得到，则的长为 ．
【举一反三5】已知扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的弧长为 ．（结果保留π）
【举一反三6】古希腊数学家曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方法．如图，点A和点B分别表示埃及的赛伊尼和亚历山大两地，B地在A地的北方，两地的经度大致相同，且实际距离为800km．当太阳光线在A地直射时，同一时刻在B地测量太阳光线偏离直射方向的角为α，实际测得α是．由此估算地球周长约为 km．
【举一反三7】传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似的看作扇环，其中长度为米，裙长为米，圆心角，则长度为 米．
【题型2】利用弧长公式求半径
【典型例题】已知一个扇形的面积是，弧长是20π，则这个扇形的半径为（　　）
A.22 B.22π C.24 D.24π
【举一反三1】已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（ ）
A.24 B.22 C.12 D.6
【举一反三2】75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是（　　）
A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm
【举一反三3】已知一个扇形的面积是，弧长是20π，则这个扇形的半径为（　　）
A.22 B.22π C.24 D.24π
【举一反三4】小明同学在计算某扇形的面积和弧长时，分别写出如下式子：，，经核对，两个结果均正确，则下列说法正确的（ ）
A.该扇形的圆心角为，直径是4
B.该扇形的圆心角为，直径是3
C.该扇形的圆心角为，直径是6
D.该扇形的圆心角为，直径是4
【举一反三5】一个扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的半径为 ．
【举一反三6】已知扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的面积是 ．
【举一反三7】已知扇形的弧长是，圆心角为，则扇形所在圆的半径为 ．
【题型3】利用弧长公式求圆心角
【典型例题】一个扇形的弧长是，半径是4，则该扇形的圆心角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】已知扇形半径是9cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为（ ）
A.20° B.40° C.60° D.80°
【举一反三2】一个扇形的半径为6，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】已知扇形半径是9cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为（ ）
A.20° B.40° C.60° D.80°
【举一反三4】一个扇形的半径为6，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三5】若半径为的扇形弧长为，则该扇形的圆心角度数为 ．
【举一反三6】已知扇形弧长是米，半径是米，那么扇形的圆心角是 ．（取）
【举一反三7】已知扇形的半径为，扇形的弧长为，则此扇形的圆心角是 ．
【举一反三8】已知扇形的半径为3cm，此扇形的弧长是2cm，则此扇形的圆心角等于 °
【题型4】求某点的弧形运动路径长度
【典型例题】长为的细木条用两个铁钉固定在墙上，固定点为点C、D，已知，当固定点为D的铁钉脱落后，细木条顺时针旋转至与原来垂直的方向，则点B移动的路径长为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，内接于，，的半径为8，点Q是上一动点，点P是弦的中点，则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径长为（　　）
A. B.2π C. D.
【举一反三2】如图，将含有30°角的直角三角板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点A位置变化为，其中，第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使三角板与桌面成20°角，则点A翻滚到位置时共走过的路径长为 ．
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)，B(-4，1)，C(-1，2)．
（1）画出以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A'B'C'
（2）求点C在旋转过程中所经过的路径的长．
【题型5】利用公式求扇形面积
【典型例题】如果一个扇形的半径是4，圆心角为，则此扇形的面积为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在扇形中，，，若扇形的半径为2，则扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如果一个扇形的半径是4，圆心角为，则此扇形的面积为( )
A. B. C. D.
【举一反三3】若一个扇形的半径是6，扇形的圆心角的度数是，则这个扇形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】已知扇形的圆心角度数为，半径是2，则该扇形的面积为 ．
【举一反三5】如图，以直角三角形的两锐角顶点A、B为圆心作等圆，且与恰好外切，若，则图中阴影面积为 .
【举一反三6】在半径为3的圆中，150°的圆心角所对扇形的面积是 ．
【题型6】已知扇形面积求半径
【典型例题】已知一个扇形的弧长为，扇形的面积是，则它的半径为 ．
【举一反三1】若扇形的圆心角为，面积为，则它的半径为 ．
【举一反三2】已知一个扇形的弧长为，扇形的面积是，则它的半径为 ．
【举一反三3】一个扇形的面积，它所对的弧长为，则这个扇形的半径为 ．
【题型7】已知扇形面积求圆心角
【典型例题】一个扇形的半径为，面积是，则扇形的圆心角为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】一个扇形的弧长是20π cm，面积是240π cm2，则这个扇形的圆心角是（ ）
A.120° B.150° C.60° D.100°
【举一反三2】扇形的半径为，扇形的面积，则该扇形的圆心角为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】一个扇形的半径为，面积是，则扇形的圆心角为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角是 度．
【举一反三5】一扇形面积是，半径为，则该扇形圆心角度数是 ．
【举一反三6】已知扇形的面积为16π，半径为6，此扇形的圆心角为 ．
【题型8】求图形旋转后扫过的面积
【典型例题】如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】贵州毕节风车草原成为近年来网红打卡地，云海风车更是吸引着全国各地的游客前来参观．风车扇叶示意图如图所示，扇叶的长为20米，当扇叶旋转至位置时，扇叶扫过的面积为（ ）
A.平方米 B.平方米 C.平方米 D.平方米
【举一反三2】如图，将绕点C旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（ ）
A. B. C. D.上答案都不对
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为 ．
【举一反三4】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为．
（1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标；
（2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求线段旋转到所扫过的面积（结果保留）．
【举一反三5】如图，在中，，且点A的坐标是．
（1）将先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，画出，并写出点的坐标；
（2）将绕点按逆时针方向旋转，得到，画出，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求扫过的面积．
【题型9】求弓形面积
【典型例题】如图，直径为的圆内有一个圆心角为的扇形，则与弦围成的弓形面积为（ ）．
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，BC＝，则图中阴影部分的面积为( )
A.π－8 B.16π－8 C.4π－8 D.16π－4
【举一反三2】《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（ ）
A.80 B.100 C.104 D.128
【举一反三3】如图，在半径为6的中，点是的中点，与相交于点，，图中阴影部分面积是 ．
【举一反三4】如图所示，水平放置的圆柱形进水管道的截面半径为6m，其中水面的高为3m．则截面上有水面的面积是 m2．
【举一反三5】如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面所在圆的半径，表示水面的位置．过点作，垂足为，交于点，水面高．求截面上有水部分的面积．
【举一反三6】如图，直线与相切，切点为，与轴轴分别交于、两点．与轴负半轴交于点．
（1）求的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
【题型10】求其他不规则图形的面积
【典型例题】“春雨惊春清谷天”截取自二十四节气邮票第一组，示意图如图②所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇形，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在中，，，，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点D，图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，扇形的圆心角为，点在圆弧上，，，阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，在正方形中，对角线的长为，以点A为圆心，长为半径画弧交于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
【举一反三4】如图，在等边中，，点D为边的中点，将绕点D顺时针旋转，得到，是点A的旋转路径，连结，则图中阴影部分的面积为
【举一反三5】如图，已知是半圆的直径，且，是半圆上任意一点（不与点、重合），沿着弦折叠半圆．
（1）如图①，当折叠后的弧与相切时，求线段的长；
（2）如图②，当时，求阴影部分的面积．
【举一反三6】如图，点在的直径的延长线上，点在上，连结、．
（1）给出下列信息：①；②；③与相切．
请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，第三个作为结论，组成一个正确的命题并作出证明．你选择的条件是_______________，结论是________________（填写序号，只需写出你认为正确的一种情形）．
（2）在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积．
【题型11】求圆锥的侧面积
【典型例题】圆锥的底面圆直径是6，高是4，则该圆锥的表面积为（ ）
A.15 B.22 C.21 D.24
【举一反三1】圆锥底面圆的半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，一个圆雉的母线长为，底面圆的直径为，那么这个圆雉的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】已知圆锥的底面积为，母线长为，则圆锥的侧面积是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三4】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的全面积是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三5】已知一个圆锥的底面圆半径为，侧面展开图的半径长为，则这个圆锥的侧面积是 ．
【举一反三6】圆锥的底面半径为2，母线长为6，则它的侧面积为 ．
【举一反三7】如图，在 中，，，且，将 绕边所在的直线旋转一周形成圆锥甲，再将绕边所在的直线旋转一周形成圆锥乙，记两个圆锥的全面积分别为，，则 ， 的大小关系为 ．(选填“”“”或“”)
【题型12】求圆锥底面圆的半径
【典型例题】一个圆锥的母线长为，侧面展开图扇形的圆心角为，则这个圆锥的底面圆半径为（　　）
A. B.2 C.3 D.
【举一反三1】用圆心角为，半径为的扇形做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥底面的半径是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，从一张腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用此扇形铁皮围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，从一张腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用此扇形铁皮围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】一个圆锥的母线长为，侧面展开图扇形的圆心角为，则这个圆锥的底面圆半径为（　　）
A. B.2 C.3 D.
【举一反三5】如图所示的是一个母线长为10的圆锥，将其侧面展开后得到一个半径为10，圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径是 ．
【举一反三6】如图若用半径为6，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是 ．
【举一反三7】若圆锥的母线长为，其侧面积为，则圆锥底面半径为 ．
【举一反三8】如图，小红用一张半径为，圆心角为的扇形红色纸片做成一个圆锥形的帽子，则这个圆锥形帽子的底面圆的半径为 ．
【题型13】求圆锥的高
【典型例题】把半径为6，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）
A. B. C.2 D.
【举一反三1】将一个直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，得到一个圆锥，若这个直角三角形斜边的长为，圆锥的侧面积为，则该圆锥的高为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，正六边形的边长为12，连结，以点A为圆心，为半径画弧，得扇形，将扇形围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ）
A. B. C. D.2
【举一反三3】如图，有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，要把它围成一个圆锥的侧面（接缝处忽略不计），那么这个圆锥的高为 m．
【举一反三4】如图，有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为 ．
【举一反三5】如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角， 求此圆锥高的长度.
【题型14】求圆锥的母线长
【典型例题】如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为（ 　 ）．
A. B. C. D.
【举一反三1】已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，若这个圆锥的底面半径长是，则这个圆锥的母线长为（ ）
A.3 B.6 C.9 D.12
【举一反三2】如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径，扇形的圆心角等于，则围成的圆锥的母线长R的值为（ ）
A.2 B.4 C.8 D.10
【举一反三3】若圆锥的底面半径为，侧面展开图的面积为，则圆锥的母线长为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径，扇形的圆心角等于，则围成的圆锥的母线长R的值为（ ）
A.2 B.4 C.8 D.10
【举一反三5】底面半径为5的圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，则圆锥的母线长为 ．
【举一反三6】已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为，则它的母线长为 ．
【举一反三7】若一个圆锥的底面圆的半径是4，侧面展开图的圆心角的度数是180°，则该圆锥的母线长为 ．27.3圆中的计算问题
【题型1】利用弧长公式求弧长 5
【题型2】利用弧长公式求半径 10
【题型3】利用弧长公式求圆心角 12
【题型4】求某点的弧形运动路径长度 14
【题型5】利用公式求扇形面积 18
【题型6】已知扇形面积求半径 20
【题型7】已知扇形面积求圆心角 21
【题型8】求图形旋转后扫过的面积 23
【题型9】求弓形面积 27
【题型10】求其他不规则图形的面积 34
【题型11】求圆锥的侧面积 40
【题型12】求圆锥底面圆的半径 43
【题型13】求圆锥的高 47
【题型14】求圆锥的母线长 50
【知识点1】弧长的计算 （1）圆周长公式：C=2πR
（2）弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 1.（2024秋 桥西区期末）如图，扇形纸叠扇完全展开后，∠BAC=120°，扇形的半径BA=3cm,则的长为（　　） A．2πcmB．C．πcmD．
【答案】A 【分析】根据弧长公式进行计算即可． 【解答】解：由弧长公式可得，
的长为=2π（cm），
故选：A． 【知识点2】扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S=πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=πR2或S扇形=lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 1.（2025 平舆县一模）如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB=60°，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．B．C．D．
【答案】C 【分析】连接OC，过点O作OE⊥BC于点E，首先证明△OAC≌△OBC，由全等三角形的性质易得S△OAC=S△OBC，∠OCA=∠OCB，进而可知∠OCA=∠OCB=30°，结合垂径定理以及含30度角的直角三角形的性质，可得，OC=2OE，结合勾股定理解得OE，OC的值，然后根据阴影部分的面积S=S⊙O-S△OAC-S△OBC求解即可． 【解答】解：如下图，连接OC，过点O作OE⊥BC于点E，
在△OAC和△OBC中，
，
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴S△OAC=S△OBC，∠OCA=∠OCB，
由条件可知，
∵OE⊥BC，
∴，OC=2OE，
由勾股定理得，
解得OE=2，
∴OC=4，
∴，
∴阴影部分的面积．
故选：C． 【知识点3】圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧= 2πr l=πrl．
（4）圆锥的全面积：S全=S底+S侧=πr2+πrl
（5）圆锥的体积=×底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 1.（2024春 巧家县校级月考）在如图所示的圆锥中，AB=1.5，底面半径OB=0.9，则圆锥的高OA为（　　） A．1B．1.2C．1.3D．
【答案】B 【分析】利用勾股定理直接求解即可． 【解答】解：由题意和勾股定理，得：；
故选：B． 2.（2025 泸县一模）已知一个圆锥的母线长为是30，底面半径为10，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（　　） A．90°B．100°C．120°D．150°
【答案】C 【分析】设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π×10=，然后解关于n的方程即可． 【解答】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
根据题意得2π×10=，
解得n=120，
即这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°．
故选：C．
【题型1】利用弧长公式求弧长
【典型例题】如图，在中，半径，C为上一点，连结，若，，则的长度为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
，
，
，
，
的长为：，
故答案为：A
【举一反三1】如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】弧的半径，圆心角，
∴，
故选：B．
【举一反三2】如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，连结，
∵在中，，，，
，，
由作图可知，，
是等边三角形，
，
∴弧的长为，
故选：C．
【举一反三3】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（弧），点是这段弧所在圆的圆心．连结，，，点是的中点，连结并延长交弧于点．若，，则弧的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设的半径为，则，
，
，
∵点是的中点，
∴，，，
，
在中，，即，
解得，
即的半径为，
∵，
∴，，
∴弧的长是．
故选：D．
【举一反三4】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为2，若将绕点O顺时针旋转得到，则的长为 ．
【答案】
【解析】由题意知，，，
∴，
故答案为：．
【举一反三5】已知扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的弧长为 ．（结果保留π）
【答案】
【解析】扇形的弧长是 ．
故答案为：．
【举一反三6】古希腊数学家曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方法．如图，点A和点B分别表示埃及的赛伊尼和亚历山大两地，B地在A地的北方，两地的经度大致相同，且实际距离为800km．当太阳光线在A地直射时，同一时刻在B地测量太阳光线偏离直射方向的角为α，实际测得α是．由此估算地球周长约为 km．
【答案】40000
【解析】设地球的半径是，
太阳的光线是平行的，
，
的长，
∴
，
地球周长约是．
故答案为：40000．
【举一反三7】传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似的看作扇环，其中长度为米，裙长为米，圆心角，则长度为 米．
【答案】
【解析】由题意知，，
解得，
∵裙长为米，
∴米，
∴（米），
故答案为：．
【题型2】利用弧长公式求半径
【典型例题】已知一个扇形的面积是，弧长是20π，则这个扇形的半径为（　　）
A.22 B.22π C.24 D.24π
【答案】C
【解析】根据题意得，
解得．
故选：C．
【举一反三1】已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（ ）
A.24 B.22 C.12 D.6
【答案】A
【解析】，即，解得．
故选：A
【举一反三2】75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是（　　）
A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm
【答案】A
【解析】∵75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，
由弧长公式l，
∴2.5π，
解得：r＝6，
故选：A．
【举一反三3】已知一个扇形的面积是，弧长是20π，则这个扇形的半径为（　　）
A.22 B.22π C.24 D.24π
【答案】C
【解析】根据题意得，
解得．
故选：C．
【举一反三4】小明同学在计算某扇形的面积和弧长时，分别写出如下式子：，，经核对，两个结果均正确，则下列说法正确的（ ）
A.该扇形的圆心角为，直径是4
B.该扇形的圆心角为，直径是3
C.该扇形的圆心角为，直径是6
D.该扇形的圆心角为，直径是4
【答案】D
【解析】，，
，，
该扇形的圆心角为，直径是4，
故选：D．
【举一反三5】一个扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的半径为 ．
【答案】9
【解析】个扇形的圆心角为，弧长为，设此扇形的半径为r，
则，
解得，，
故答案为：9．
【举一反三6】已知扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的面积是 ．
【答案】
【解析】设扇形的半径为r．则
，解得，
∴扇形的面积，
故答案为：．
【举一反三7】已知扇形的弧长是，圆心角为，则扇形所在圆的半径为 ．
【答案】
【解析】设扇形所在圆的半径为r，
则，
解得，
故答案为：．
【题型3】利用弧长公式求圆心角
【典型例题】一个扇形的弧长是，半径是4，则该扇形的圆心角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设圆心角为，根据题意得：
，
解得：，
∴该扇形的圆心角的度数是，故B正确．
故选：B．
【举一反三1】已知扇形半径是9cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为（ ）
A.20° B.40° C.60° D.80°
【答案】D
【解析】根据，
解得：n＝80，
故答案为：D．
【举一反三2】一个扇形的半径为6，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意得到，
解得，
即扇形的圆心角度数为．
故选：C
【举一反三3】已知扇形半径是9cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为（ ）
A.20° B.40° C.60° D.80°
【答案】D
【解析】根据，
解得：n＝80，
故答案为：D．
【举一反三4】一个扇形的半径为6，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意得到，
解得，
即扇形的圆心角度数为．
故选：C
【举一反三5】若半径为的扇形弧长为，则该扇形的圆心角度数为 ．
【答案】
【解析】设设该扇形的圆心角度数为，
根据弧长公式得：，解得，即圆心角度数为．
故答案为：．
【举一反三6】已知扇形弧长是米，半径是米，那么扇形的圆心角是 ．（取）
【答案】
【解析】设扇形的圆心角是
由题意可得：，解得：．
故答案为．
【举一反三7】已知扇形的半径为，扇形的弧长为，则此扇形的圆心角是 ．
【答案】
【解析】扇形的弧长是．
∴
故答案是：．
【举一反三8】已知扇形的半径为3cm，此扇形的弧长是2cm，则此扇形的圆心角等于 °
【答案】120
【解析】扇形的弧长是．
∴n=120，
故答案是：120.
【题型4】求某点的弧形运动路径长度
【典型例题】长为的细木条用两个铁钉固定在墙上，固定点为点C、D，已知，当固定点为D的铁钉脱落后，细木条顺时针旋转至与原来垂直的方向，则点B移动的路径长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
，
点B移动的路径长为：（cm）．
故选：C．
【举一反三1】如图，内接于，，的半径为8，点Q是上一动点，点P是弦的中点，则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径长为（　　）
A. B.2π C. D.
【答案】C
【解析】连结，
∵点P为的中点，
∴，
∴点P在以为直径的上运动，
设与交于点，
则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径为的长，
∵，的半径为8，
∴，，
∴点P所经过的路径长为，
故选：C．
【举一反三2】如图，将含有30°角的直角三角板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点A位置变化为，其中，第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使三角板与桌面成20°角，则点A翻滚到位置时共走过的路径长为 ．
【答案】
【解析】∵，，，
∴，，
，，
∴，，
∴点A翻滚到位置时共走过的路径长为：，
故答案为：．
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)，B(-4，1)，C(-1，2)．
（1）画出以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A'B'C'
（2）求点C在旋转过程中所经过的路径的长．
【答案】解　（1）如图，连结OA、OB、OC并点O为旋转中心，顺时针旋转90°得到A'、B'、C'，连结A'B'、B'C'、A'C'，△A'B'C'就是所求的三角形．
（2）C在旋转过程中所经过的路程为扇形的弧长；
所以
【题型5】利用公式求扇形面积
【典型例题】如果一个扇形的半径是4，圆心角为，则此扇形的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】扇形面积为：，
故选：C．
【举一反三1】如图，在扇形中，，，若扇形的半径为2，则扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
∴扇形的面积．
故选：B．
【举一反三2】如果一个扇形的半径是4，圆心角为，则此扇形的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】扇形面积为：，
故选：C．
【举一反三3】若一个扇形的半径是6，扇形的圆心角的度数是，则这个扇形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】扇形的半径为6，圆心角为，
扇形的面积是：．
故选：C
【举一反三4】已知扇形的圆心角度数为，半径是2，则该扇形的面积为 ．
【答案】
【解析】扇形的面积为，
故答案为：．
【举一反三5】如图，以直角三角形的两锐角顶点A、B为圆心作等圆，且与恰好外切，若，则图中阴影面积为 .
【答案】
【解析】设，则，
∵圆A、B是等圆，，
∴圆A、B的半径都为2．
则两个扇形的面积之和．
故答案为：．
【举一反三6】在半径为3的圆中，150°的圆心角所对扇形的面积是 ．
【答案】
【解析】由题意，得：150°的圆心角所对的扇形的面积是；
故答案为：．
【题型6】已知扇形面积求半径
【典型例题】已知一个扇形的弧长为，扇形的面积是，则它的半径为 ．
【答案】4
【解析】由扇形的面积公式可得：
，解得，
故答案为4．
【举一反三1】若扇形的圆心角为，面积为，则它的半径为 ．
【答案】2
【解析】设扇形的半径为，
扇形的圆心角为，面积为，
，
解得（负值舍去）．
故答案为：2．
【举一反三2】已知一个扇形的弧长为，扇形的面积是，则它的半径为 ．
【答案】4
【解析】由扇形的面积公式可得：
，解得，
故答案为4．
【举一反三3】一个扇形的面积，它所对的弧长为，则这个扇形的半径为 ．
【答案】3
【解析】根据题意，
∵一个扇形的面积，它所对的弧长为，
又∵，
∴，
∴；
故答案为：3．
【题型7】已知扇形面积求圆心角
【典型例题】一个扇形的半径为，面积是，则扇形的圆心角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设扇形的圆心角为，
由题意得：，
∴，
即扇形的圆心角为，
故选：D．
【举一反三1】一个扇形的弧长是20π cm，面积是240π cm2，则这个扇形的圆心角是（ ）
A.120° B.150° C.60° D.100°
【答案】B
【解析】设这个扇形的半径为r，圆心角是n，面积为S，弧长为l，
由题意得：，即240π＝×20πr，
解得：r＝24，
又由可得：，
解得：，
故选：B．
【举一反三2】扇形的半径为，扇形的面积，则该扇形的圆心角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设扇形的圆心角是n°，
根据题意可知：S＝即，
解得n＝90．
故选：C．
【举一反三3】一个扇形的半径为，面积是，则扇形的圆心角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设扇形的圆心角为，
由题意得：，
∴，
即扇形的圆心角为，
故选：D．
【举一反三4】扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角是 度．
【答案】75
【解析】由扇形的面积，
解得：，
由弧长，
解得：，
故答案为：75.
【举一反三5】一扇形面积是，半径为，则该扇形圆心角度数是 ．
【答案】
【解析】设扇形圆心角的度数为，
，
．
即扇形圆心角度数为．
故答案为：．
【举一反三6】已知扇形的面积为16π，半径为6，此扇形的圆心角为 ．
【答案】160
【解析】设此扇形的圆心角为，
由题意可得，，
解得：，
故答案为：．
【题型8】求图形旋转后扫过的面积
【典型例题】如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图：
；
则．
故选：D．
【举一反三1】贵州毕节风车草原成为近年来网红打卡地，云海风车更是吸引着全国各地的游客前来参观．风车扇叶示意图如图所示，扇叶的长为20米，当扇叶旋转至位置时，扇叶扫过的面积为（ ）
A.平方米 B.平方米 C.平方米 D.平方米
【答案】C
【解析】由题意，扇叶扫过的图形为扇形，且，半径米，
∴扇叶扫过的面积为平方米，
故选：C．
【举一反三2】如图，将绕点C旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（ ）
A. B. C. D.上答案都不对
【答案】B
【解析】根据旋转的性质可得，
∵，
∴，
由旋转的性质可知，则阴影部分的面积即为扇形和扇形的差，
∴线段扫过的图形面积为；
故选B．
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】2π
【解析】∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴BC＝，
∵把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，
∴∠ACB＝∠A′C B′＝45°，A′C＝AC＝4，A′B′＝AB＝4，∠C A′B′＝∠CAB＝90°，
∴阴影部分的面积＝ ×4×4＋×4×4 ＝2π，
故答案为2π．
【举一反三4】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为．
（1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标；
（2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求线段旋转到所扫过的面积（结果保留）．
【答案】解　（1）如图所示：
由图可知：；
（2）如图所示：
由图可知：；
（3）∵，
∴线段旋转到所扫过的面积.
【举一反三5】如图，在中，，且点A的坐标是．
（1）将先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，画出，并写出点的坐标；
（2）将绕点按逆时针方向旋转，得到，画出，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求扫过的面积．
【答案】解　（1）如图，为所求作的三角形，．
（2）如图，为所求作的三角形，．
（3）∵，
∴扫过的面积．
【题型9】求弓形面积
【典型例题】如图，直径为的圆内有一个圆心角为的扇形，则与弦围成的弓形面积为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵扇形，
∴，
又∵，
∴为大圆的直径，
∴，
∴，
∴
，
故选C．
【举一反三1】如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，BC＝，则图中阴影部分的面积为( )
A.π－8 B.16π－8 C.4π－8 D.16π－4
【答案】C
【解析】∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∵OB＝OC，OB2＋OC2＝BC2，BC＝4，
∴2OB2＝()2，
解得OB＝4，
∴S阴影＝S扇形BOC S△BOC
＝
＝4π 8．
故选：C．
【举一反三2】《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（ ）
A.80 B.100 C.104 D.128
【答案】D
【解析】如图，过点O作于点C，
由题意可知，
∴，
在中， ，
∴矢，
∴该弧田的面积为，
故选：D．
【举一反三3】如图，在半径为6的中，点是的中点，与相交于点，，图中阴影部分面积是 ．
【答案】
【解析】如图，连结OA，OB，
∵点C为的中点，
∴ ，
∵CD=3，
∴OD=6-3=3，
在中，sin=，
∴，
∵为等腰三角形，
∴，
由勾股定理可得= ，
∴AB=，
∴
．
故答案为：．
【举一反三4】如图所示，水平放置的圆柱形进水管道的截面半径为6m，其中水面的高为3m．则截面上有水面的面积是 m2．
【答案】（）
【解析】如图，连结,，过点O作，垂足为D，则，
则中，
∴，
∴，
，
∴
∴扇形面积=，
，
水面面积=，
故答案为：（）.
【举一反三5】如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面所在圆的半径，表示水面的位置．过点作，垂足为，交于点，水面高．求截面上有水部分的面积．
【答案】解　连结，，
，
，
，
由题意知，，，
，
，
垂直平分，
，
为等边三角形，
，
，
，
在中，根据勾股定理，，
，
，
截面上有水部分的面积．
答：截面上有水部分的面积为．
【举一反三6】如图，直线与相切，切点为，与轴轴分别交于、两点．与轴负半轴交于点．
（1）求的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】解　（1）直线，
当时，，当时，，
∴，
在中，，
∴，
如图，连结，
∵P是切点，
∴，
∴ , 即，
，
∴的半径为3；
（2）如图，过点P作，垂足为点E，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【题型10】求其他不规则图形的面积
【典型例题】“春雨惊春清谷天”截取自二十四节气邮票第一组，示意图如图②所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇形，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，，
，
故选：B．
【举一反三1】如图，在中，，，，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点D，图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在中，，，，
∴，，
∴，
∴图中阴影部分的面积是．
故选：A.
【举一反三2】如图，扇形的圆心角为，点在圆弧上，，，阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连结，，
，
，
又，
是等边三角形，
，
又，
，
，
，
，
故选：B．
【举一反三3】如图，在正方形中，对角线的长为，以点A为圆心，长为半径画弧交于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解析】四边形是正方形，
，，，
，
，
．
故答案为：．
【举一反三4】如图，在等边中，，点D为边的中点，将绕点D顺时针旋转，得到，是点A的旋转路径，连结，则图中阴影部分的面积为
【答案】
【解析】∵等边中，，点D为边的中点，
∴，
∵将绕点D顺时针旋转，得到，是点A的旋转路径，连结，
∴，
则图中阴影部分的面积为，
故答案为：．
【举一反三5】如图，已知是半圆的直径，且，是半圆上任意一点（不与点、重合），沿着弦折叠半圆．
（1）如图①，当折叠后的弧与相切时，求线段的长；
（2）如图②，当时，求阴影部分的面积．
【答案】解　（1）当折叠后的弧与相切时，设折叠后的弧所在圆的圆心为，如图：
，、关于直线对称，
平分，
，
，
是等腰直角三角形．
，
，
，
（2）作关于的对称点，连结、，如图：
，
，
则阴影部分的面积等于与弦所围成的图形的面积，即，
，，
过点作，
，
，
，
，
阴影部分的面积为，
【举一反三6】如图，点在的直径的延长线上，点在上，连结、．
（1）给出下列信息：①；②；③与相切．
请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，第三个作为结论，组成一个正确的命题并作出证明．你选择的条件是_______________，结论是________________（填写序号，只需写出你认为正确的一种情形）．
（2）在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积．
【答案】解　（1）选择①②可证明③或选择①③可证明②或选择②③可证明①，
以选择①②可证明③为例证明，
证明：如图所示，连结，
，
，
，
，即，点在上，
∴与相切．
故答案为：①②，③．
（2）如图所示，作于，
在中，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
．
【题型11】求圆锥的侧面积
【典型例题】圆锥的底面圆直径是6，高是4，则该圆锥的表面积为（ ）
A.15 B.22 C.21 D.24
【答案】D
【解析】底面直径为6，则底面周长，底面面积；
由勾股定理得，母线长，
圆锥得侧面积，
它的表面积，
故选：．
【举一反三1】圆锥底面圆的半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】圆锥的底面周长是．
则圆锥的侧面积是：．
故选：B．
【举一反三2】如图，一个圆雉的母线长为，底面圆的直径为，那么这个圆雉的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意，圆锥的侧面积为，
故选：A．
【举一反三3】已知圆锥的底面积为，母线长为，则圆锥的侧面积是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设圆锥的底面半径为r，
由题意，
，
∴圆锥的侧面积，
故选：D．
【举一反三4】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的全面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】观察三视图发现该几何体为圆锥，
其底面直径为6cm，母线长为8cm，
所以其侧面积为：，
底面积为：，
全面积为：
故选：B
【举一反三5】已知一个圆锥的底面圆半径为，侧面展开图的半径长为，则这个圆锥的侧面积是 ．
【答案】
【解析】圆锥的侧面积是，
故答案为：．
【举一反三6】圆锥的底面半径为2，母线长为6，则它的侧面积为 ．
【答案】
【解析】根据圆锥的侧面积公式：，
故答案为：．
【举一反三7】如图，在 中，，，且，将 绕边所在的直线旋转一周形成圆锥甲，再将绕边所在的直线旋转一周形成圆锥乙，记两个圆锥的全面积分别为，，则 ， 的大小关系为 ．(选填“”“”或“”)
【答案】>
【解析】在中，，
，
，
，
故答案为：．
【题型12】求圆锥底面圆的半径
【典型例题】一个圆锥的母线长为，侧面展开图扇形的圆心角为，则这个圆锥的底面圆半径为（　　）
A. B.2 C.3 D.
【答案】A
【解析】设圆锥底面半径为，
那么圆锥底面圆周长为，
所以侧面展开图的弧长为，
则，
解得：，
故选：A．
【举一反三1】用圆心角为，半径为的扇形做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥底面的半径是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵圆心角为，半径为，设所对的弧记作，
∴，
设圆锥的底面圆的半径为，则，
∴，
解得，
故选C．
【举一反三2】如图，从一张腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用此扇形铁皮围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵是等腰三角形,,
∴过点作,
∴,
∵等腰的腰长为,
∴,
∴扇形的半径为,
∴圆锥的底面圆周长及扇形的弧长为：,
∴圆锥的底面圆半径为：,即,
故选：D．
【举一反三3】如图，从一张腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用此扇形铁皮围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵是等腰三角形,,
∴过点作,
∴,
∵等腰的腰长为,
∴,
∴扇形的半径为,
∴圆锥的底面圆周长及扇形的弧长为：,
∴圆锥的底面圆半径为：,即,
故选：D．
【举一反三4】一个圆锥的母线长为，侧面展开图扇形的圆心角为，则这个圆锥的底面圆半径为（　　）
A. B.2 C.3 D.
【答案】A
【解析】设圆锥底面半径为，
那么圆锥底面圆周长为，
所以侧面展开图的弧长为，
则，
解得：，
故选：A．
【举一反三5】如图所示的是一个母线长为10的圆锥，将其侧面展开后得到一个半径为10，圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径是 ．
【答案】7
【解析】设这个圆锥的底面半径为：，
由题意可得：，
解得：，
故答案为：7．
【举一反三6】如图若用半径为6，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是 ．
【答案】2
【解析】设圆锥的底面半径为，
由题意得，，
解得，，
故答案为：．
【举一反三7】若圆锥的母线长为，其侧面积为，则圆锥底面半径为 ．
【答案】3
【解析】设底面半径为，
依题意得：
，
解得：，
则圆锥底面半径为，
故答案为：3．
【举一反三8】如图，小红用一张半径为，圆心角为的扇形红色纸片做成一个圆锥形的帽子，则这个圆锥形帽子的底面圆的半径为 ．
【答案】
【解析】设底面圆的半径为，
则：，
解得：，
故答案为：．
【题型13】求圆锥的高
【典型例题】把半径为6，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）
A. B. C.2 D.
【答案】A
【解析】设此圆锥的底面半径为，
由题意，得，
解得．
故圆锥的高为：．
故选：A．
【举一反三1】将一个直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，得到一个圆锥，若这个直角三角形斜边的长为，圆锥的侧面积为，则该圆锥的高为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】扇形的面积，即，
解得，即圆锥的底面周长为，
由可得圆锥的半径，即直角三角形的一直角边为，
设直角三角形的另一条直角边的长为，
由勾股定理可知，
解得：，
直角三角形的另一直角边为，即圆锥的高为．
故选：B．
【举一反三2】如图，正六边形的边长为12，连结，以点A为圆心，为半径画弧，得扇形，将扇形围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ）
A. B. C. D.2
【答案】D
【解析】过B作于点P，连结，
∵正六边形的每个内角都是，每条边都相等，
∴，
∴，是等边三角形，
∴，
∵的圆心角为，
∴的长为，
∴圆锥底面半径，
∴圆锥高为，
故选：D．
【举一反三3】如图，有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，要把它围成一个圆锥的侧面（接缝处忽略不计），那么这个圆锥的高为 m．
【答案】
【解析】扇形的弧长为：，
∵扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
设圆锥的底面半径为r，则
，
解得，
∴圆锥的高为．
故答案为：
【举一反三4】如图，有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为 ．
【答案】
【解析】设底面半径为，则，
解得：，
所以其高为：（），
故答案为：．
【举一反三5】如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角， 求此圆锥高的长度.
【答案】解　设圆锥底面圆的半径为，
∵，
∴的长，
∴，即：，
在中，，
根据勾股定理得，.
【题型14】求圆锥的母线长
【典型例题】如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为（ 　 ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意得，
解得，，
即该圆锥母线的长为3cm．
故选：C．
【举一反三1】已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，若这个圆锥的底面半径长是，则这个圆锥的母线长为（ ）
A.3 B.6 C.9 D.12
【答案】C
【解析】圆锥的底面周长，
则：，
解得．
故选：C．
【举一反三2】如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径，扇形的圆心角等于，则围成的圆锥的母线长R的值为（ ）
A.2 B.4 C.8 D.10
【答案】C
【解析】∵圆的半径，
∴圆的周长，
∴这个圆锥侧面展开的扇形的弧长是，
∵扇形的圆心角等于，
∴，
∴这个扇形的半径是．
故选：C．
【举一反三3】若圆锥的底面半径为，侧面展开图的面积为，则圆锥的母线长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示，
∵圆锥的底面半径为，
∴圆锥的底面圆周长是，
∵侧面展开图的面积为，
∴侧面展开图的面积，
∴圆锥的母线长为，
故选：．
【举一反三4】如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径，扇形的圆心角等于，则围成的圆锥的母线长R的值为（ ）
A.2 B.4 C.8 D.10
【答案】C
【解析】∵圆的半径，
∴圆的周长，
∴这个圆锥侧面展开的扇形的弧长是，
∵扇形的圆心角等于，
∴，
∴这个扇形的半径是．
故选：C．
【举一反三5】底面半径为5的圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，则圆锥的母线长为 ．
【答案】15
【解析】圆锥的底面周长，
则：，
解得．
故答案为：15．
【举一反三6】已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为，则它的母线长为 ．
【答案】12
【解析】∵圆锥的底面半径是4，
∴圆锥的底面圆周长为，
∴侧面展开后所得的扇形的弧长是，
∵侧面展开后所得的扇形的圆心角为
∴侧面展开后所得的扇形的半径为：
∵圆锥的母线就是侧面展开后所得的扇形的半径，
∴圆锥的母线长度为12，
故答案为：12．
【举一反三7】若一个圆锥的底面圆的半径是4，侧面展开图的圆心角的度数是180°，则该圆锥的母线长为 ．
【答案】
【解析】设该圆锥的母线长为，根据题意得：
，
解得：，
即该圆锥的母线长为．
故答案为：．

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