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2026届中考数学一轮复习 第三章函数：二次函数的综合应用 基础达标
一、选择题
如图，在正方形中，，对角线相交于点O，动点P从点O出发沿方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿方向以的速度运动，当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），的面积为，则点P分别在上运动时，y与x的函数关系分别是（ ）
1.
A.均为一次函数 B.一次函数，二次函数 C.均为二次函数 D.二次函数，一次函数
如果二次函数y＝ax2＋bx＋c(ab≠0)的图象如图所示，那么一次函数y＝bx＋c与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
A. B. C. D.
3.某农场要建两间矩形饲养室，一面靠墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1 m宽的门.已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为28 m，则当能建成的饲养室总占地面积最大时，中间隔开的墙长是（　　）
A.4 m B.5 m C.6 m D.8 m
4.已知二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是　　
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题
已知抛物线C1：y＝－x2＋2mx＋1(m为常数，且m≠0)的顶点为A，与y轴相交于点C.抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，其顶点为B.若抛物线C1上存在一点P，使得以A，B，C，P为顶点的四边形为菱形，则m的值为 .
6.如图，有长为24m的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃ABCD的面积最大为 　 　m2．
三、解答题
7.已知抛物线（为常数）与轴交于两点，且线段的长为．
(1)求的值；
(2)若该抛物线的顶点为，求的面积．
如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）．
8.
（1）的长为_______．
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出x的值．
9.如图①，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点是抛物线对称轴上的一个动点，连接．当的面积等于面积的2倍时，求点的坐标；
(3)抛物线对称轴上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案：
10.
（1）求方案一中与墙垂直的边的长度；
（2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？
11.学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42 m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为．
（1）求与与的关系式．
（2）围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值．
（3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值．
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴相交于另一点，连接．点是线段上方抛物线上的一个动点，过点作交线段于点．（1）求抛物线的解析式；
12.（2）求的最大值，并写出此时点的坐标；
（3）在轴上找一点，抛物线上找一点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，，为抛物线上的一点，
(1)求抛物线的解析式；
(2)①如图1，若为抛物线的顶点，求四边形的面积；
②如图2，若平分四边形的面积，求点的坐标；
(3)当时，函数的最小值为，求的值．
2026届中考数学一轮复习 第三章函数：二次函数的综合应用 基础达标（参考答案）
一、选择题
如图，在正方形中，，对角线相交于点O，动点P从点O出发沿方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿方向以的速度运动，当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），的面积为，则点P分别在上运动时，y与x的函数关系分别是（ ）
1.
A.均为一次函数 B.一次函数，二次函数 C.均为二次函数 D.二次函数，一次函数
【答案】D
【解析】解：∵正方形中，，
∴，
∴，，
当点P在上运动时，由题意得，，
作于点，
∵，
∴，
∴，是二次函数；
当点P在上运动时，由题意得，
∴，是一次函数；
如果二次函数y＝ax2＋bx＋c(ab≠0)的图象如图所示，那么一次函数y＝bx＋c与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
3.某农场要建两间矩形饲养室，一面靠墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1 m宽的门.已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为28 m，则当能建成的饲养室总占地面积最大时，中间隔开的墙长是（　　）
A.4 m B.5 m C.6 m D.8 m
【答案】B
【解析】设垂直于墙的材料长为x m，
则平行于墙的材料长为（28-3x） m，
则总面积S=x（28-3x+2）=-3x2+30x
=-3（x-5）2+75，
则当x=5时，能建成的饲养室面积最大为75 m2.
4.已知二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是　　
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】当时，，
，
，，
，，
，
故选：C．
二、填空题
已知抛物线C1：y＝－x2＋2mx＋1(m为常数，且m≠0)的顶点为A，与y轴相交于点C.抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，其顶点为B.若抛物线C1上存在一点P，使得以A，B，C，P为顶点的四边形为菱形，则m的值为 .
【答案】 ±
6.如图，有长为24m的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃ABCD的面积最大为 　 　m2．
【答案】
48．
【解析】
设篱笆的宽AB为x米，长BC为（24﹣3x）米，
∴S＝x（24﹣3x）＝﹣3x +24x＝﹣3（x﹣4） +48，
∵墙长不限，
当x＝4时，24﹣3x＝12，S值最大，此时S＝48．
故答案为：48．
三、解答题
7.已知抛物线（为常数）与轴交于两点，且线段的长为．
(1)求的值；
(2)若该抛物线的顶点为，求的面积．
【答案】
（1）解：令，
，
，即，
，
，即，
，
；
（2）解：由（1）知，则抛物线为，
抛物线顶点坐标为，
．
如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）．
8.
（1）的长为_______．
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出x的值．
【答案】（1）解：当重合时，如下图：
，以为边作正方形，
是等腰直角三角形，
，
即，
解得：（负的舍去），
，
，
，
故答案为：7；
（2）解：当在线段上运动时，
，
当在线段的延长线上运动时，即点在线段上运动，如下图：
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
；
（3）解：当正方形的对称中心与点B重合时，
，
，
即，
解得：，
．
9.如图①，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点是抛物线对称轴上的一个动点，连接．当的面积等于面积的2倍时，求点的坐标；
(3)抛物线对称轴上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把代入中，得：
，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：记对称轴交轴于，交于点，作于点，

抛物线对称轴为：直线，
把代入中，得：，
∴点坐标是，
设直线，
把，代入，得
，
解得，
∴直线的解析式为
设，则，
∴，
∵，
由得：，
∴
整理得：
解得：
∴点的坐标为或；
（3）解：存在，如图：
当时，
，
∴，
抛物线对称轴为：直线，
∴．
综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案：
10.
（1）求方案一中与墙垂直的边的长度；
（2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？
【答案】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为，
根据题意得，
解得
答：与墙垂直的边的长度为15米；
（2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为，
根据题意得
∴
∵，
∴当时，有最大值363，
答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大．
11.学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42 m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为．
（1）求与与的关系式．
（2）围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值．
（3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值．
【答案】解：（1）∵篱笆长，
∴
∴
∵墙长42 m，
∴，
解得，，
∴；
.
（2）令，则，
整理得：，
此时，，
∴，一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴围成的矩形花圃面积能为；
∴
∴
∵，
∴.
（3），
∵
∴有最大值，
又，
∴当时，取得最大值，此时，
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴相交于另一点，连接．点是线段上方抛物线上的一个动点，过点作交线段于点．（1）求抛物线的解析式；
12.（2）求的最大值，并写出此时点的坐标；
（3）在轴上找一点，抛物线上找一点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
【答案】解：（1）对于，当时，，当时，，
故点、的坐标分别为：，，
则，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）过点作轴交于点，
当时，，
解得，，
点的坐标是，
设直线的表达式为，把点和点的坐标代入，
，
解得，
直线的表达式为：，
设点，则，
则，
，
当时，的最大值为3，
此时，
则点的坐标为，
轴，则，
在中，，，，
则，
则，
则，
即当最大时，最大，
故的最大值为：，
即的最大值为，此时点的坐标为；
（3）设点、点，，
当是对角线时，
由中点坐标公式得：且，
解得：（不合题意的值已舍去），
故点的坐标为；
当或为对角线时，由中点坐标公式得：
或且，
解得：或，
即点的坐标为：或或，
综上，点的坐标为：或或或．
13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，，为抛物线上的一点，
(1)求抛物线的解析式；
(2)①如图1，若为抛物线的顶点，求四边形的面积；
②如图2，若平分四边形的面积，求点的坐标；
(3)当时，函数的最小值为，求的值．
【答案】
（1）解：∵，且点A在x轴负半轴上，点C在y轴负半轴上，
∴，
代入，得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①对于，当时，，
解得，，
∴；
∵D是抛物线的顶点，，
∴；
过点D作轴于点E，
∴，
∴
∴
；
②设，与轴将于点，
∵
∴
∴；
设直线的解析式为，
把代入得，
，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴
∴，
∵平分四边形的面积，
∴，
∴，
整理得，，
解得，或，
当时，点B与点D重合，舍去，
当时，，
∴；
（3）解：的对称轴为直线，且开口向上，
①时，即，随的增大而减小，
∴在时取得最小值，
∴，
整理得，，
解得，或（舍去）
②当时，即，
在时取得最小值，
∴，
∴（不合题意，舍去）
③当时，随的增大而增大，
在时，取得最小值，
∴，
解得，或（舍去）
综上，的值为或

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