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2026届中考数学一轮复习 第三章函数：二次函数的概念及解析式 基础达标
一、选择题
1.下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　）
A.y＝（a+2）x2+1
B.y=+1
C.y＝（x+2）（x+1）﹣x2
D.y＝2x2+3x
2.函数y＝2x2﹣3x+1的一次项系数是（　　）
A.2 B.﹣3 C.3 D.1
3.下列函数中，二次函数是（　　）
A.y=8x2 B.y=8x+1 C.y=-8x D.y=-
用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣6化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　）
A.y＝（x﹣4）2+10
B.y＝（x﹣4）2﹣22
C.y＝（x+4）2﹣22
D.y＝（x+4）2+10
下列函数中，y一定是x的二次函数的是（　　）
A.y＝ax2+bx+c B.y＝50+x2 C.y＝x+2 D.y＝（x+1）2﹣x2
6.下列函数中，是y关于x的二次函数的是（　　）
A.y＝2x B.y＝2x+32 C. D.y＝2x2﹣1
若函数的图象是抛物线，则m的值为（　　）
A.﹣2 B.2 C.4 D.±2
8.下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（　　）
①面积为10 cm2的矩形中，矩形的长y（cm）与宽x（cm）的关系；
②底面圆的半径为5 cm的圆柱中，侧面积y（cm2）与圆柱的高x（cm）的关系；
③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出（100-2x）件，利润y（元）与每件售价x（元）的关系.
A.① B.② C.③ D.①③
9.下列函数中是二次函数的是（　　）
A.y＝2x+1 B.y＝x2﹣2 C. D.y＝x3
10.下列函数中不是二次函数的有　　
A. B. C. D.
11.下列函数是二次函数的是　　
A.y=
B.y=a
C.y=2
D.y=
12.用配方法将二次函数y＝﹣x2﹣2x﹣3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　）
A.y＝﹣（x﹣1）2+3
B.y＝（x+1）2﹣4
C.y＝﹣（x+1）2﹣2
D.y＝（x﹣1）2+2
一抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ）
A.
B.
C.
D.
14.已知二次函数y=1-3x+5，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是
A.a=1，b=-3，c=5
B.a=1，b=3，c=5
C.a=5，b=3，c=1
D.a=5，b=-3，c=1
15.若二次函数y＝x2﹣bx﹣3配方后为y＝（x+1）2+k，则b、k的值分别为（　　）
A.﹣2，﹣4 B.﹣2，5 C.4，﹣4 D.﹣4，﹣2
二、填空题
16.当m＝　 　时，是二次函数．
若函数是关于x的二次函数．则常数m的值是 　　．
18.若二次函数的图象经过点，则c的值是 ．
19.将二次函数用配方法化成顶点式为 　 　．
20.若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为 ．
三、解答题
已知抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，求a，b的值．
22.如图，二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5），点D是抛物线的顶点，过D作x轴垂线交直线BC于E．
（1）求此二次函数解析式及点D坐标；
（2）连接CD，求△CDE的面积；
（3）当ax2+bx+c＞0时，x的取值范围是 　　．
在平面直角坐标系中，抛物线过，，与轴交于点，顶点为．
23.（1）求，的值．
（2）设抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为．
①求的值；
②当四边形是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值．
24.已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式．
25.设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：
（1）若m＝0时，求二次函数的表达式；
（2）当﹣1≤x≤3时，y有最小值为，求a的值；
（3）若a＜﹣3，求证：n﹣m﹣p＞20．
2026届中考数学一轮复习 第三章函数：二次函数的概念及解析式 基础达标（参考答案）
一、选择题
1.下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　）
A.y＝（a+2）x2+1
B.y=+1
C.y＝（x+2）（x+1）﹣x2
D.y＝2x2+3x
【答案】D
【解析】A：a=-2时，不是二次函数；
B：不是二次函数；
C：y＝（x+2）（x+1）﹣x2=3x+2；
D：符合题意．
故选：D．
2.函数y＝2x2﹣3x+1的一次项系数是（　　）
A.2 B.﹣3 C.3 D.1
【答案】B
【解析】二次函数y＝2x2﹣3x+1的一次项﹣3x，一次项系数是﹣3．
故选：B．
3.下列函数中，二次函数是（　　）
A.y=8x2 B.y=8x+1 C.y=-8x D.y=-
【答案】A
【解析】A是二次函数，故正确；B是一次函数，故错误；C是一次函数，故错误；D是反比例函数，故错误.
用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣6化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　）
A.y＝（x﹣4）2+10
B.y＝（x﹣4）2﹣22
C.y＝（x+4）2﹣22
D.y＝（x+4）2+10
【答案】B
【解析】y＝x2﹣8x﹣6＝x2﹣8x+16﹣16﹣6＝（x﹣4）2﹣22，
故选：B．
下列函数中，y一定是x的二次函数的是（　　）
A.y＝ax2+bx+c B.y＝50+x2 C.y＝x+2 D.y＝（x+1）2﹣x2
【答案】B
【解析】A中y＝ax2+bx+c，当a＝0时，不是二次函数，不符合题意；
B中y＝50+x2，是二次函数，符合题意；
C中y＝x+2，是一次函数，不符合题意；
D中y＝（x+1）2﹣x2，整理得，y＝2x+1，是一次函数，故不符合题意，
故选：B．
6.下列函数中，是y关于x的二次函数的是（　　）
A.y＝2x B.y＝2x+32 C. D.y＝2x2﹣1
【答案】D
【解析】A．y＝2x，自变量的次数是1，故不是二次函数；
B．y＝2x+32，自变量的次数是1，故不是二次函数；
C．，自变量在分母上，故不是二次函数；
D．y＝2x2﹣1是二次函数；
故选：D．
若函数的图象是抛物线，则m的值为（　　）
A.﹣2 B.2 C.4 D.±2
【答案】B
【解析】∵函数y＝（m+2）2x﹣3的图象是抛物线，
∴m+2≠0且m2﹣2＝2，
∴m＝2．
故选：B．
8.下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（　　）
①面积为10 cm2的矩形中，矩形的长y（cm）与宽x（cm）的关系；
②底面圆的半径为5 cm的圆柱中，侧面积y（cm2）与圆柱的高x（cm）的关系；
③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出（100-2x）件，利润y（元）与每件售价x（元）的关系.
A.① B.② C.③ D.①③
【答案】C
【解析】①y=，y是x的反比例函数，故①不符合题意；
②y=2π×5x=10πx，y是x的正比例函数，故②不符合题意；
③y=（x-80）（100-2x）=100x-2x2-8 000+160x=-2x2+260x-8 000，y是x的二次函数，故③符合题意.
9.下列函数中是二次函数的是（　　）
A.y＝2x+1 B.y＝x2﹣2 C. D.y＝x3
【答案】B
【解析】A．根据二次函数的定义，y＝2x+1是一次函数，不是二次函数，那么A不符合题意．
B．根据二次函数的定义，y＝x2﹣2是二次函数，那么B符合题意．
C．根据二次函数的定义，是反比例函数，不是二次函数，那么C不符合题意．
D．根据二次函数的定义，y＝x3不是二次函数，那么D不符合题意．
故选：B．
10.下列函数中不是二次函数的有　　
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A．是二次函数，不符合题意；
B．是二次函数，不符合题意；
C．是二次函数，不符合题意；
D．是一次函数，符合题意；
故选：D．
11.下列函数是二次函数的是　　
A.y=
B.y=a
C.y=2
D.y=
【答案】C
【解析】A、不是整式，不是二次函数，故此项不符合题意；
B、当a=0时原函数是一次函数，不是二次函数，故此项不符合题意；
C、y=2符合二次函数的定义，是二次函数，故此项符合题意；
D、函数化简后不含二次项，不是二次函数，故此项不符合题意；
故选：C．
12.用配方法将二次函数y＝﹣x2﹣2x﹣3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　）
A.y＝﹣（x﹣1）2+3
B.y＝（x+1）2﹣4
C.y＝﹣（x+1）2﹣2
D.y＝（x﹣1）2+2
【答案】C
【解析】y＝﹣x2﹣2x﹣3
＝﹣[（x+1）2+3﹣1]
＝﹣（x+1）2﹣2．
故选：C．
一抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，
，
顶点为，
抛物线解析式为．
故选：C．
14.已知二次函数y=1-3x+5，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是
A.a=1，b=-3，c=5
B.a=1，b=3，c=5
C.a=5，b=3，c=1
D.a=5，b=-3，c=1
【答案】D
【解析】∵函数y=1-3x+5=5-3x+1是二次函数，
∴a=5，b=-3，c=1．
故选：D．
15.若二次函数y＝x2﹣bx﹣3配方后为y＝（x+1）2+k，则b、k的值分别为（　　）
A.﹣2，﹣4 B.﹣2，5 C.4，﹣4 D.﹣4，﹣2
【答案】A
【解析】∵y＝（x+1）2+k＝x2+2x+1+k＝x2+2x+（1+k），
又∵y＝x2﹣bx﹣3，
∴x2+2x+（1+k）＝x2﹣bx﹣3，
∴b＝﹣2，k＝﹣4．
故选：A．
二、填空题
16.当m＝　 　时，是二次函数．
【答案】0．
【解析】∵是二次函数，
∴m2+2＝2，且m﹣2≠0，
∴m＝0，
故答案为：0．
若函数是关于x的二次函数．则常数m的值是 　　．
【答案】-1
【解析】∵是关于x的二次函数，
∴，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
18.若二次函数的图象经过点，则c的值是 ．
【答案】
3
【解析】
∵二次函数的图象经过点，
∴，
故答案为：3．
19.将二次函数用配方法化成顶点式为 　 　．
【答案】．
【解析】由题知，
，
即顶点式为．
故答案为：．
20.若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为 ．
【答案】
【解析】∵函数是关于x的二次函数，
∴，
解得，
故答案为：．
三、解答题
已知抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，求a，b的值．
【答案】解：∵抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，
∴解得
22.如图，二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5），点D是抛物线的顶点，过D作x轴垂线交直线BC于E．
（1）求此二次函数解析式及点D坐标；
（2）连接CD，求△CDE的面积；
（3）当ax2+bx+c＞0时，x的取值范围是 　　．
【答案】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣5），
把C（0，﹣5）代入得﹣5＝a×（0+1）×（0﹣5），
解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣5），
即y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
∴D（2，﹣9）.
（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把B（5，0），C（0，﹣5）分别代入得
解得
∴直线BC的解析式为y＝x﹣5，
当x＝2时，y＝x﹣5＝﹣3，
∴E（2，﹣3），
∴DE=9-3=6，
∴S△CDE＝×6×2＝6.
（3）当x＜﹣1或x＞5时，y＞0.
在平面直角坐标系中，抛物线过，，与轴交于点，顶点为．
23.（1）求，的值．
（2）设抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为．
①求的值；
②当四边形是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值．
【答案】（1）解：∵抛物线过，，
∴，
∴；
（2）解：①由（1）得抛物线得解析式，
∴点P的坐标为，
在中，当时，，
∴点C的坐标为；
∵抛物线过点，，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
在中，当时，，
当时，，
∴，，
∴，，
∴；
②∵，，
∴轴，即，
∴当四边形是直角梯形时，只有或，
如图2-1所示，当时，
∵点C的坐标为，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴；
如图2-2所示，当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，过点Q作轴于H，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴．
综上所述，当四边形是直角梯形时，该直角梯形中最小内角的正弦值为或．
24.已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式．
【答案】
设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，依题意，得
，
，
得
25.设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：
（1）若m＝0时，求二次函数的表达式；
（2）当﹣1≤x≤3时，y有最小值为，求a的值；
（3）若a＜﹣3，求证：n﹣m﹣p＞20．
【答案】（1）解：当m＝0时，抛物线y＝ax2+bx+1经过（﹣1，0），（0，1），（2，1）三点，
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x+1；
（2）解：∵抛物线y＝ax2+bx+1经过（0，1），（2，1）两点，
∴当x＝0或x＝2时，y＝1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴y＝ax2﹣2ax+1，
∵当﹣1≤x≤3时，y有最小值为，
∴如果a＞0，当x＝1时，函数y取得最小值，
∴，
∴．
∴a的值为；
如果a＜0，则x＝﹣1或x＝3时，函数y取得最小值，
∴a×（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+1＝，
∴a＝﹣．
综上，a的值为或﹣．
（3）证明：由（2）知：抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴＝1，
∴b＝﹣2a．
∴y＝ax2﹣2ax+1，
∴m＝a×（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+1＝3a+1，n＝a﹣2a+1＝﹣a+1，p＝m＝3a+1，
∴n﹣m﹣p＝﹣a+1﹣（3a+1）﹣（3a+1）＝﹣7a﹣1．
∵a＜﹣3，
∴﹣7a＞21，
∴﹣7a﹣1＞20．
即：n﹣m﹣p＞20．

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