资源简介

对比维度 2022年版义务教育数学课程标准（2025修订） 2011年版义务教育数学课程标准
内容要求 1．有理数 （1）理解负数的意义；理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小． （2）借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数和绝对值的方法． （3）理解乘方的意义． （4）掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）；理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算． （5）能运用有理数的运算解决简单问题． 1．有理数 （1）理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小． （2）借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道的含义（这里a表示有理数）． （3）理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）． （4）理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算． （5）能运用有理数的运算解决简单的问题．
2．实数 （1）了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应． （2）能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小． （3）能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值． （4）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根． （5）了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根． （6）能用有理数估计一个无理数的大致范围． （7）了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算． （8）了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算． 2．实数 （1）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根． （2）了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根． （3）了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值． （4）能用有理数估计一个无理数的大致范围． （5）了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值． （6）了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算．
3．代数式 （1）借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义． （2）能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能根据特定的问题查阅资料，找到所需的公式． （3）会把具体数代入代数式进行计算． （4）了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）． （5）理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法）． （6）理解乘法公式，，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理． （7）能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）． （8）了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能对简单的分式进行加、减、乘、除运算． （9）了解代数推理． 3．代数式 （1）借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义． （2）能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示．
（3）会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算． 4．整式与分式
（1）了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）．
（2）理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）．
（3）能推导乘法公式：，，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算．
（4）能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）．
（5）了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除运算．
学业要求 1．有理数：理解负数的意义，会用正数和负数表示具体情境中具有相反意义的量；理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能借助数轴体会相反数和绝对值的意义，初步体会数形结合的思想方法；能比较有理数的大小，能求有理数的相反数和绝对值；会运用乘方的意义准确进行有理数的乘方运算；能熟练地对有理数进行加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主），理解有理数的运算律，能合理运用运算律简化运算，能运用有理数的运算解决简单问题. 2．实数：了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，感悟数的扩充；初步认识实数与数轴上的点具有一一对应关系，能用数轴上的点表示一些具体的实数，能比较实数的大小；能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值；知道平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示平方根、算术平方根、立方根；知道乘方与开方互为逆运算，会用乘方运算求百以内完全平方数的平方根和千以内完全立方数的立方根（及对应的负整数），会用计算器计算平方根和立方根；能用有理数估计一个无理数的大致范围；初步认识近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算，会对结果取近似值；会用二次根式 （根号下仅限于数）的加、减、乘、除运算法则进行简单的四则运算. 3．代数式：能运用代数式表示具体问题中简单的数量关系，体验用数学符号表达数量关系的过程，会选择适当的方法求代数式的值；会用文字和符号语言表述整数指数幂的基本性质，能根据整数指数幂的基本性质进行幂的运算；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）；理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法）；知道平方差公式、完全平方公式的几何背景，并能运用公式进行简单计算和推理；能用提公因式法、公式法（对二次式直接利用平方差公式或完全平方公式）进行因式分解（指数为正整数）；知道分式的分母不能为零，能利用分式的基本性质进行约分、通分，并化简分式，能对简单的分式进行加、减、乘、除运算并将运算结果化为最简分式. 体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解有理数、实数、代数式；掌握必要的运算技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式进行表述的方法.
教学目标 经历有理数、实数的形成过程，初步理解数域扩充；掌握数与式的运算，能够解释运算结果的意义. 无具体相关内容
纬度 具体表现
题型分布 选择题、填空题考查基础知识（有理数、实数等）；解答题侧重考查代数式、整式与分式的运算.
考查形式 1．基础题型：集中考查“数与式”的基础知识和基本技能，是主要考查题型． 2．新定义开放题型：以新定义概念为载体． 3．规律探索题型：依托“数与式”知识考查合情推理、归纳概括能力． 4．几何结合题型：以几何图形为载体，结合“数与式”知识．
核心素养考查 数学抽象、数学运算、逻辑推理、模型观念
考点一 实数及其相关概念
1．实数的分类
2．数轴、相反数、倒数、绝对值
名称 定义 性质
数轴 数轴是一条规定了原点、正方向、单位长度的直线 数轴上的点与实数一一对应
相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数 互为相反数的两个数之和等于0； 互为相反数的两个数绝对值相等
倒数 乘积是1的两个数互为倒数 实数的倒数是
绝对值 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值 正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，即
3．科学记数法
（1）把一个数表示成的形式，其中，为整数．
（2）的确定：当要表示的数的绝对值大于10时，为正整数，其值等于原数中整数部分的位数减去1，例如．当要表示的数的绝对值小于1时，为负整数，其值等于原数中左起第一个非零数字前面所有零（包括小数点前的零）的个数的相反数，例如．
4．近似数
（1）近似数：许多实际情况中，较难取得准确数，把接近准确数但不等于准确数的数称为近似数．
（2）近似数的精确度：近似数的精确度是指近似数与准确数的接近程度．一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．
5．算术平方根、平方根、立方根
（1）如果一个数的平方等于，则这个数就叫做的平方根，记作．正数的正的平方根就叫做算术平方根，0的算术平方根是0．
（2）如果一个数的立方等于，则这个数就叫做的立方根．
【注意】的双重非负性：（1）被开方数a是非负数．（2）算术平方根是非负数．
6．实数的运算法则
（1）常见实数运算：乘方：表示个相乘．
幂的运算：
（2）实数运算顺序：先乘方，开方，再乘除，最后加减；如有括号，先进行括号内的运算，一般按小括号、中括号、大括号依次进行；同级运算，从左到右进行．
考点二 二次根式及其运算法则
1．二次根式的概念
（1）一般的，形如的式子叫做二次根式
（2）被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式是最简二次根式
（3）几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式
（4）二次根式的性质：；；．
2．二次根式的运算
（1）加减法运算：先把每个二次根式化为最简二次根式，然后把同类二次根式合并．
（2）乘除法则：；．
3．二次根式的估算
第一步：一般先对根式进行平方，如
第二步：找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数，如
第三步：对以上两个整数开方，如
第四步：这个根式的值在这两个相邻整数之间，如
考点三 整式及其运算法则
1．单项式
数或字母的积组成的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
2．多项式
几个单项式的和叫做多项式．多项式里，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．
3．同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项．
4．合并同类项
把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．
5．整式的运算
（1）整式的加减运算实际就是去括号后合并同类项．
（2）整式的乘法：单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式；
单项式乘多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；
多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，如．
（3）整式的除法：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数照抄下来作为商的一个因式；多项式除以单项式，先用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
6．幂的运算性质
同底数幂相乘 底数不变，指数相加
幂的乘方 底数不变，指数相乘
积的乘方 积的乘方等于乘方的积
同底数幂相除 底数不变，指数相减
特别地，；
7．乘法公式
平方差公式
完全平方公式 和的完全平方公式
差的完全平方公式
在用完全平方公式对代数式变形时，常用到下列关系：
完全平方公式 变形
8．因式分解
提公因式法：．
公式法：；
十字相乘：
考点四 分式及其运算法则
1．分式的有关概念
（1）分式：如果表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
（2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式．
（2）有关结论：分式有意义的条件为；条件为且
2．分式的基本性质
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变
3．分式的化简与求值
（1）分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分，即．
（2）分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．通分时，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母．
（3）分式的乘法：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．例如：
（4）分式的除法：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．例如
（5）分式的乘方：（为整数）
（6）分式的加减
法则 式子表示
同分母分式的加减法 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．
异分母分式的加减法 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减
有理数：考查以基础题为主，偶尔结合简单推理，题型集中在选择、填空和解答第一题．
实数：在有理数基础上延伸，新增无理数相关内容，难度稍高于有理数，侧重概念辨析和运算规范．
代数式：考查覆盖基础运算、规律探索和跨模块融合，题型全面且难度跨度大．
1．[2025年江苏徐州中考真题]的相反数是( )
A. B. C.2 D.
2．[2025年海南中考真题]当时，代数式的值为( )
A.1 B.7 C. D.
3．[2025年广东中考真题]依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案(2024-2026年)》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元.数据3000亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4．[2025年河北中考真题]计算：( )
A.2 B.4 C.6 D.8
5．[2025年山东东营中考真题]下列计算正确的是( ).
A. B.
C. D.
6．[2025年江苏扬州中考真题]如图，数轴上点A表示的数可能是( )
A. B. C. D.
7．[2025年湖南长沙中考真题]智慧农业广泛应用智能机器人.某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果.若该机器人搭载m个机械手()，则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为( )
A. B. C. D.
8．[2025年山东青岛中考真题]下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
9．[2025年河南中考真题]化简的结果是( )
A. B.x C. D.
10．[2025年西藏中考真题]观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是( )
A. B.
C. D.
11．[2025年山西中考真题]因式分解：______.
12．[2025年江苏徐州中考真题]2025年“五一”假期，约有166200人次的参观者走进淮塔园林接受红色教育.将166200用科学记数法表示为______.
13．[2025年吉林长春中考真题]已知，则代数式的值为______.
14．[2025年四川乐山中考真题]已知：，，则，______.
15．[2025年江苏徐州中考真题]如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为______.(用含n的代数式表示)
16．[2025年湖南长沙中考真题]计算：.
17．[2025年黑龙江大庆中考真题]先化简，再求值：，其中.
18．[2025年黑龙江中考真题]先化简，再求值：，其中.
19．[2025年内蒙古中考真题]计算：
(1)；
(2).
20．[2025年山东德州中考真题](1)计算：；
(2)化简：.
21．[2025年江苏徐州中考真题]计算：
(1)；
(2).
22．[2025年贵州中考真题](1)计算：；
(2)先化简：，再从，0，2中选取一个使原式有意义的数代入求值.
参考答案
1．答案：A
解析：的相反数是，故选A.
2．答案：A
解析：当时，，所以代数式的值为1，故选：A.
3．答案：D
解析：3000亿.故选：D.
4．答案：B
解析：故选：B.
5．答案：D
解析：A.、不是同类项不能合并，故原计算错误，不符合题意；
B.，故原计算错误，不符合题意；
C.，故原计算错误，不符合题意；
D.，故原计算正确，符合题意；
故选：D.
6．答案：C
解析：设点A表示的数为a，由图可知：，
∵，即：，故选项A不符合题意；
∵，即：，故选项B不符合题意；
∵，即：，故选项C符合题意；
∵，即：，故选项D不符合题意；
故选C.
7．答案：D
解析：当机器人搭载m个机械手时，总效率为每个机械手效率的累加，即：总采摘数，故选：D.
8．答案：D
解析：A、与不能合并，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D.
9．答案：A
解析：，故选：A.
10．答案：A
解析：根据题中规律可得整数部分每次增加2，则第n个数整数部分是，
小数部分每次增加一个9，则第n个数小数部分有n个9，
∴第n个数小数部分是，
∴第n个数是，
故选：A.
11．答案：
解析：；故答案为：.
12．答案：
解析：，故答案为：.
13．答案：3
解析：∵，∴，故答案为：3.
14．答案：12
解析：∵，∴，∴，故答案为：.
15．答案：/
解析：观察发现：
第一个图形有个黑色棋子，
第二个图形有个黑色棋子，
第三个图形有个黑色棋子，
…，
第n个图形有个黑色棋子，
故答案为：.
16．答案：
解析：原式.
17．答案：，2
解析：
，
当时，原式.
18．答案：，
解析：
∵
∴原式.
19．答案：(1)5
(2)
解析：(1)
；
(2)
.
20．答案：(1)
(2)
解析：(1)
；
(2)
.
21．答案：(1)
(2)
解析：(1)
；
(2)
.
22．答案：(1)2
(2)，当时，原式；当时，原式
解析：(1)
；
(2)
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
∴当时，原式；当时，原式.

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