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第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理
课时1 勾股定理
（1）经历探索勾股定理的过程，了解勾股定理的文化背景。
（2）理解并掌握勾股定理的内容，能够用符号语言进行表述。
（3）能够运用勾股定理解决简单的直角三角形边长计算问题。
教学目标
重点难点
重点
勾股定理的内容和证明及简单应用．
难点
勾股定理的证明．
请你欣赏：美丽的勾股树
一、探究新知
探究1 我们一起穿越回到 2500 年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰直角三角形砖铺成的地面（如图）：
A
B
C
（图中每个正方形代表一个单位面积）
问题1
正方形A中含有 个直角三角形，
即A面积是 个单位面积。
正方形B面积是 个单位面积。
正方形C面积是 个单位面积。
问题2　图中正方形 A，B，C 所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？
　　　　　　
思考：其他的直角三角形也有这个性质吗？
a
a
c
sA
sB
sC
SA＋SB＝SC
a2＋a2＝c2
等腰直角三角形两直角边的平方等于斜边的平方.
探究2
在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A，B，C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
这两幅图中 A，B 的面积都好求，该怎样求C的面积呢？
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：
左图：
右图：
方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：
左图：
右图：
根据前面求出的 C 的面积直接填出下表：
思考： 正方形 A，B，C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
a
c
b
Sa+Sb=Sc
a2+b2=c2
A的面积 B的面积 C的面积
左图
右图
猜想：
命题1 如果直角三角形的两直角边长分别是a、b，斜边长是c，那么a2+b2=c2。
a
b
c
即 直角三角形两直角边平方和等于斜边平方。
小组合作：
1．拿出准备好的四个全等的直角三角形（设两条直角边分别为 a，b，斜边为 c）；
2．小组合作用这四个直角三角形拼成一个正方形吗？
拼一拼试试看；
3．能否就拼出的图说明 a2＋b2＝c2？
(1)中间小正方形的面积为 ，一个直角三角形的面积为
　　　，此时大正方形的面积可表示为　　　;
(2)大正方形的面积还可表示为　　　　;
(3)于是得等式： 　，
化简得　　　　　　．
a
b
c
赵爽弦图
2ab＋(b－a) ＝c
a ＋b ＝c
(a＋b)
＝
a ＋b ＝c
A
B
C
c
a
b
a
b
c
b
a
b
a
c
c
毕达哥拉斯证法
2ab＋c
伽菲尔德的“总统证法”
伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证法称为“总统”证法。
勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2 .
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
a
b
c
公式变形
a
b
c
a，b，c为正数

数学史知识：勾股定理的名称由来：
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
例1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
(1)已知a=6，c=10，求b; (2)已知a=5，b=12，求c;
(3)已知c=25，b=15，求a.
(3)由勾股定理得
解：（1）根据勾股定理得
（2）根据勾股定理得
2.在Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝3，b＝4，则c＝________；
巩固练习．
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，则c＝________；
3.火眼金睛
（1）在三角形中，三边分别为a，b，c，则a +b =c . （ ）
（2）如图所示， 在直角三角形中，则有a +b =c .（ ）
例2.求下列图中未知数 x，y 的值：
解：（1）由勾股定理可得
81＋144＝x2，
解得 x＝15．(负值舍去）
（2）由勾股定理可得
y2＋144＝169，
解得 y＝5. (负值舍去）
（1）
（2）
巩固练习.
1.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积．

解：E的面积=(A的面积+B的面积)+
(C的面积+D的面积)=
(122+162)+(92+122)=400+225=625.
2.如图所示的勾股树有7层，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形ABCD的边长是10，求所有正方形的面积之和.

解：根据勾股定理的几何意义，
从上往下数：第7层的正方形面积之和=第6层的正方形面积之和=...=正方形ABCD的面积=102=100，
∴所有正方形的面积之和为100×7=700.
例3.在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图 ，
当BC为斜边时，如图 ，
4
3
C
A
B
4
3
A
C
B
图
图
当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
归纳
巩固练习
1.已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边．
8 cm
10 cm
2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .
例4.在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;
（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.
解：
(1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得
x2+(2x)2=52，
解得
(2)
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得
(2x)2-x2=152，
解得
已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.
归纳
巩固练习
(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，a∶b＝3∶4，则a＝________，b＝________；
(4)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为________；
(5)已知等边三角形的边长为2 cm，则它的高为________cm，面积为________cm2.
达标检测
1.下列说法中，正确的是 （ ）
A. 已知 a，b，c 是三角形的三边，则 a2 + b2 = c2
B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，所以 a2 + b2 = c2
D. 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，所以 a2 + b2 = c2
2.若直角三角形的三边长为3，4，m,则m2的值为_________
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6；D为AC上一点．若BD是∠ABC的平分线，则AD的长是_________

4.如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S2-S1=24，则图中阴影部分的面积为_______

5.如图，△ABC中，∠BCA=90°，AB=5，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积分别为S1，S2，S3，求S1+S2+S3的值.
课堂小结
1．本节课学到了什么数学知识？
2．你了解了勾股定理的发现和验证方法了吗？
勾股定理
证明
注意
在直角三角形中.
看清哪个角是直角.
已知两边没有指明是直角边还是斜边时，一定要分类讨论.
在Rt△ABC中，∠C＝90°,a，b为直角边，c 为斜边，则有a2＋b2＝c2.
内容
数学思想
从特殊到一般、数形结合、分类讨论、方程思想

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