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重庆市西南大学附属中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷
一、单选题
1．的绝对值是（ ）
A．8 B． C． D．
2．博物馆是承载历史记忆、传承文化根脉的重要场所，其LOGO设计常融入文化元素与美学理念．下列四大博物馆的LOGO中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列命题中，真命题是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．同旁内角相等，两直线平行
C．三个角对应相等的两个三角形全等
D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
5．如图，在中，，，平分，点是上一点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．估算的结果在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
7．为美化校园环境，学校计划在教学楼走廊打造一面文化墙，文化墙由若干个黑色小正方形瓷砖拼接而成，瓷砖排列遵循统一规律，其中第①个图形需要1块瓷砖，第②个图形需要4块瓷砖，第③个图形需要9块瓷砖，第④个图形需要16块瓷砖……，按此规律排列下去，第⑨个图形需要瓷砖的块数为（ ）
A．79 B．80 C．81 D．82
8．《孙子算经》里面记载了一道“二人持钱”问题：今有甲乙二人持钱，不知其数，若甲得乙中半，可满四十八；若乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙各持几何？其大意是：甲、乙两人各自持有一定数量的钱，若甲得到乙所持钱数的一半，此时甲拥有的总钱数为；若乙得到甲所持钱数的三分之二（古代数学中“太半”，特指分数“三分之二”），此时乙拥有的总钱数也为，计算甲、乙两人最初各自持有多少钱？设甲最初持有元，乙最初持有元，则可列二元一次方程组为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，在、上分别截取、，使．再分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线，交于点．
已知，，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
10．若满足关系式，则的值为（ ）
A． B．6 C．2 D．
11．如图，和都是等腰直角三角形，的延长线交于点，且恰为的中点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．9
12．已知多项式，下列说法：
①若，则；
②的最小值为；
③若为整数，则整数的取值为、或；
④若，则．其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．2025年是“十四五”规划收官之年．“十四五”规划把创新提到前所未有的重要位置，我国研发投入再创新高，2024年全社会研发经费投入规模比“十三五”末增长近，增量达到1200000000000元，1200000000000用科学记数法表示为 ．
14．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
15．如图，在中，，，，在数轴上，点与原点重合，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于一点，则这个点表示的实数是 ．
16．若，则代数式的值是 ．
17．如图，在中，，，点在上，连接，，过点作交的延长线于点，若，则 ．
18．已知等腰三角形的两边分别为、，且满足，则的周长为 ．
19．若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数的和为 ．
20．如图，在中，，，，，分别为边和上的高，垂直平分边，交于点，则 ；交的延长线于点，连接，则 ．
三、解答题
21．因式分解：
(1)；
(2)．
22．计算：
(1)；
(2)．
23．解分式方程：
(1)；
(2)．
24．化简求值：，其中．
25．在中，，，，于，为的边上的中线．
(1)求的度数；
(2)求的长．
26．学校为了以新的面貌迎接学生返校，在暑假期间对学校的建筑外墙进行了粉刷维修．学校雇用了、两个施工队，施工队工作5天和施工队工作6天完成的粉刷量相同，施工队工作3天比施工队工作2天完成的粉刷量多160平方米．
(1)求、施工队每天粉刷的面积分别是多少平方米？
(2)已知施工队比施工队每天的费用低，施工结束学校给每个施工队支付了36000元，若施工队比施工队多工作10天，则施工队每天的费用是多少元
27．一个四位数，且各数位上的数字各不相同，若满足，则称这个四位数为“葫芦数”．例如，四位数1375，因为，所以1375是“葫芦数”．一个“葫芦数”，将其千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位置，得到一个新数，记．
(1)按照上述规定，最大的“葫芦数”是_____；_____．
(2)若且能被12整除，求满足条件的所有的值．
28．在正中，，将绕点旋转得到线段，连接．
(1)如图1，交于点，若，求的长；
(2)如图2，若，在线段上取点、，使得，连接，过点作于点，求证：；
(3)如图3，以线段为边作正，使得和在的同侧，为的中点，连接，请直接写出的最小值．
参考答案
1．A
解：的绝对值是8．
故选：A．
2．B
解：A、该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，不是轴对称图形；
B、该图形沿中间竖直的一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形；
C、该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，不是轴对称图形；
D、该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，不是轴对称图形．
故选：B．
3．D
解：、，故本选项计算错误，不符合题意；
B、，故本选项计算错误，不符合题意；
C、，故本选项计算错误，不符合题意；
D、，故本选项计算正确，符合题意．
故选：D．
4．D
解：A、两个相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；
B、同旁内角互补，两直线平行，原命题是假命题；
C、三个角对应相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；
D、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，是真命题；
故选：D．
5．C
解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
故选：C
6．D
解：∵，，
∴，
∴．
即估算的结果在8和9之间．
故选：D．
7．C
解：第①个图形需要1块瓷砖，而，
第②个图形需要4块瓷砖，而，
第③个图形需要9块瓷砖，而，
第④个图形需要16块瓷砖，而，
……
第n个图形需要块瓷砖，
∴第⑨个图形需要瓷砖的块数为．
故选：C．
8．B
解：根据题意， 可列方程组：．
故选：B．
9．C
解：，，，
，，
，
由作图可知，是的平分线，
，
，
，
在中，，，
，
，
．
故选：C．
10．A
解：∵ ，
∴ ，，．
由 得 ，
由 得 ，即 ，
∴ ．
代入原式：，
，
∴ ，
两边平方得 ，即 ，
∴ ．
故选：A．
11．A
解：如图，延长至，使，连接，
∵恰为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故选：A
12．B
解：当 时，，，
则 ，
故正确；
设，
二次函数：，
，
的图象开口向上，函数有最小值，
当 时，函数有最小值为 ，
的最小值为，
故正确；
，
可得：，
若为整数，
则 为整数，
即 是 4 的约数，
可得：或或，
解得：或或或或或，
故错误；
，
则
，
故错误，
综上所述，正确说法为和，共个．
故选：B．
13．
解：．
故答案为：．
14．
解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴ ，
解得 ．
故答案为 ：．
15．
解：∵，，，
∴，
∴这个点表示的实数是．
故答案为：．
16．
解：由，两边平方得：
，
所以，，
将代入可得，，
故答案为：．
17．
解：过点作，交于，如图，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
18．10
解：
因为每个数的平方是非负的，所以且，解得，
接下来分情况讨论等腰三角形的三边：
当腰长为2时，三边为．因为，不满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），所以这种情况不成立；
当腰长为4时，三边为．因为，满足三角形三边关系，所以周长为．
故答案为：10．
19．
解：解不等式组
解得：．
不等式组有且仅有3个整数解，
这3个整数解为、，
，
解得：，
解分式方程
解得：，
分式方程的解为正数，且．
由得，；
由得，即．
结合不等式组和分式方程的条件，的取值范围为且，
整数为，
符合条件的所有整数的和为．
故答案为：．
20． /
解：∵，，，是边上的高，
∴，，
∵垂直平分边，
∴，
∴，
∴，
∵是高，
∴在中，，
∴．
过点F作，交的延长线于点G，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵是高，即，
∴，
∴，
，
∵垂直平分边，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴在中，．
故答案为：；．
21．(1)
；
(2)
．
（1）解：
；
（2）解：
．
22．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：
．
23．(1)
(2)原方程无解
（1）解：

经检验是原方程的根，
∴原方程的解为；
（2）解：




将代入原方程分母
∴是原方程的增根，
∴原方程无解．
24．，
解：
，
由，
得，
故原式．
25．(1)
(2)
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴在中，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
（2）解：∵是中线，
∴，
∴在中，．
26．(1)A施工队每天粉刷120平方米，B施工队每天粉刷100平方米
(2)A施工队每天的费用是1200元
【详解】（1）设A施工队每天粉刷x平方米，B施工队每天粉刷y平方米
根据题意，得，
解得，
答：A施工队每天粉刷120平方米，B施工队每天粉刷100平方米．
（2）解：设施工队每天的费用为x元，则施工队每天的费用为元，
根据题意，得，
解得（元），
答：A施工队每天的费用是1200元．
27．(1)，；
(2)5137，7315
（1）解：由葫芦数定义，，，且数字各不相同．
最大M需a最大，
故，，
∴，
∴，
故；
，，
，
；
故答案为：，；
（2）解：，，
．
由，，
得，，
故．
代入得，．
∵能被12整除，
∴被12整除．
∵99与12的最大公因数为3，
∴故为整数．
∵33与4互质，
∴4整除，
即为4的倍数．
∵，
∴，
∴，
即．
∵，且，为4的倍数，
∴或8．
若，则，数字重复，无效．
若，则a，b可能取(4、0，5、1，6、2，7、3，8、4，9、5)．
当，时 ,则 ，数字a，c均为4，重复，无效；
当，时 ,则 ，数字5，1，3，7各异，；
当，时 ,则 ，数字b，c均为2，重复，无效；
当，时 ,则 ，数字7，3，1，5各异，；
当，时 ,则 ，数字b，d均为4，重复，无效；
当，时 ,则 ，数字c为负，不符合题意；
故满足条件的M为5137和7315．
28．(1)
(2)见解析
(3)
（1）解：∵是正三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∵将绕点旋转得到线段，
∴，
∴．
（2）证明：连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵在等边中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点B，F，H三点共线，
∵在等边中，，即，
∴．
（3）解：将线段绕点B逆时针旋转，得到，连接，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴．
连接，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵在等边中，，，点M是的中点，
∴，，，
∴，
，
∴在中，，
∵，
∴，
即的最小值为．

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