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人教版九年级上册数学24.3正多边形和圆同步练习
一、单选题
1．若正六边形的半径是4，则正六边形的面积为（ ）
A． B． C．24 D．
2．苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点为正六边形对角线的中点，连接，若，则的长是（ ）
A．2 B．1 C．3 D．4
3．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，已知起始点的坐标为，则第次旋转结束时，点的坐标为（）
A． B． C． D．
4．若正六边形的半径是，则该正六边形的边长是（ ）
A． B． C．3 D．
5．“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．如果一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
7．已知O为边长为2的正六边形的中心，P为正六边形内一点，且．若，则的度数为（ ）
A． B．或 C． D．或
8．我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在上任取点A，从点A开始，以的半径为半径，在上依次截取点B，C，D，E，F，从而点A，B，C，D，E，F把六等分．下列可以只用圆规将圆等分的是（ ）．
①两等分； ②三等分； ③四等分．
A．② B．①② C．①③ D．①②③
9．如图，正五边形内接于，点是弧上的动点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．随着点F的变化而变化
10．如图，正六边形内接于，交于点，连接，则下列三角形中，与关于点成中心对称的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知正六边形的外接圆半径为3，则它的边长为 ．
12．如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A~H）且顺次连接点A~H构成正八边形，则该正八边形的中心角为 度．
13．如图将的圆周6等分，则圆内接六边形的面积与内接四边形的面积比值为 ．
14．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 ；（2）周长的最小值是 ．
15．正边形的边数变为原来的倍时，它的每个内角增加 ，每个中心角减少 ．
三、解答题
16．如图，在四边形中，，．
(1)证明四边形有外接圆；
(2)简要说明正边形有外接圆．
17．如图，在单位长度为的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点、、．
(1)请完成如下操作：根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心，连接、．
(2)请在的基础上，完成下列填空：
的半径_____（结果保留根号）
求出四边形的面积．
18．如图，是的直径，D、E为上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交于点F，连接
(1)证明：；
(2)若，求的度数；
(3)设E是半圆的中点，交于点G，若，，求的长．
19．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为，如图，若的半径为1．（在求圆内接正多边形面积时，通过分割成三角形，利用特殊角解决）
(1)求圆内接正六边形面积．
(2)圆内接正八边形的面积为_____．
(3)运用“割圆术”，用圆内接正十二边形近似估计的面积，可得圆内接正十二边形面积是_____，可得的估计值为_____．
试卷第1页，共3页
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《人教版九年级上册数学24.3正多边形和圆同步练习》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D C A D B B C C
11．3
12．45
13．
14． 4
15．
16．（1）证明：如图，取的中点，作的垂直平分线交于点，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形有外接圆；
（2）解：∵正边形是各边长度相等、各内角相等的多边形，其对称中心到所有顶点的距离相等；
∴正边形的所有顶点共圆，外接圆存在．
17．（1）解：如下图所示，连接线段、，作线段、的垂直平分线，
两条垂直平分线的交点即为圆心，
连接、；
（2）解：是的半径，并且是直角边长为和的直角三角形的斜边，
，
的半径是，
故答案为：；
解：由图可知，，边上的高是，
，
由图可知：，
的半径是，
边上的高是，
，
四边形的面积是.
18．（1）解：∵是的直径，
∴
即，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴ ，
∴；
（3）解：如图；过点作于点，于点，
则，
∵ ，
∴四边形是矩形，
∵点是半圆的中点，
∴，
∴，
∴是的平分线，
∵，，
∴，
∴矩形是正方形，
设，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴在中，由勾股定理得：.
19．（1）解：如图，设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点O作于点C；
由题意知，，
∴是等边三角形，
∴，；
由勾股定理得，
∴，
∴正六边形的面积为；
（2）解：如图，设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点B作于点C；
由题意知，，
∴，
∴；
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴圆内接正八边形的面积为；
故答案为：；
（3）解：如图，设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点B作于点C；
由题意知，，
∴，
∴，
∴圆内接正十二边形的面积为；
圆的面积为，则；
故答案为：3；3．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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