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2025-2026学年度第一学期第一次阶段性学情检测
九年级数学学科
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
2.在一次函数为常数且中，随的增大而增大，那么反比例函数 的图象在( )
A. 第二、四象限 B. 第一、二象限 C. 第三、四象限 D. 第一、三象限
3.若 ，则下列式子不正确的是( )
A. B. C. D.
4.将下列二次函数中图象向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的函数图象顶点在原点的是( )
A. B.
C. D.
5.已知二次函数，则下列说法错误的是( )
A. 图象与轴的交点坐标是 B. 图象的顶点坐标是
C. 图象与轴的交点坐标是， D. 当时，随增大而减小
6.如图，，是边上的两个点，请你再添加一个条件，使得，则下列选项不成立的是( )
A. B. C. D.
7.一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为( )
A. B. C. D.
如图，点是的重心，是边上一点，，连接，连接并延长分别交于点、，则 的值为( )
A. B. C. D. 2
9.如图，在中，，，， 是边上一动点， 于点，点 在 的右侧，且，连接， 从点出发，沿方向运动，当 到达点 时， 停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积的大小变化的情况是( )
A. 一直减小 B. 不变 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小
10.如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接下列结论：；；；当是的中点时，；
当时， . 其中正确结论有( )个.
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.已知线段，，如果线段是线段和的比例中项，那么线段的长度是 ．
12.已知关于的二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是 ______．
13.如图，四边形中，，点在轴上，双曲线 过点，交于点，
连接若，，则的值为 .
14.已知二次函数，
（1）若该二次函数过原点，那么函数的对称轴为 .
（2）当时，对于每一个的值，始终成立，则的取值范围是 ．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
（1）已知 ，且，求的值．
（2）已知是线段上的一个黄金分割点，，，求线段的长.
16.本小题分
已知点在二次函数的图象上，且当时，函数有最小值．
求这个二次函数的表达式．
如果两个不同的点，也在这个函数的图象上，求的值．
17.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，．
的面积是
以点为位似中心，将缩小为原来的 ，得到， 请在轴右侧画出
与位似，位似比为 ，则______．
18.本小题分
如图，在中，和分别是，边上的高，且相交于点，连接．
求证：∽；
若，，，求的长．
19.本小题分
如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、点．
一次函数的解析式及面积；
接写出使反比例函数值小于一次函数值的取值范围．
点坐标轴上的一点，且满足面积等于面积的，直接写出点坐标．
20.本小题分
如图，在中，，，，动点与点，不重合在边上，交于点．
当的面积与四边形的面积相等时，求的长；
当的周长与四边形的周长相等时，求的长．
21.本小题分
某县年大力推广一种成本为元斤的农产品，该产品售价不低于元斤，不高于元斤．
每日销售量斤与售价元斤之间满足如图函数关系式，求与之间的函数关系式；
若每日销售利润为元，当售价定为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？
县科技助农队帮助果农降低种植成本，成本每斤减少元，已知每日最大利润为元，= .
22.本小题分
已知：在矩形中，为的中点，作于点．
如图，求证：；
如图，若，求的值；
如图，连结交于，若，求的值．
23.本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线．
写出抛物线的顶点坐标用含的式子表示；
若点，，抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围；
，是抛物线上两点，若，求取值范围.
2025-2026学年度第一学期第一次阶段性学情检测
九年级数学学科（参考答案）
一、选择题：
1-5 A D C D B 6-10 B A D C B
填空题
11.8 12. 且 13. 6 14.（1）直线或
三、解答题
15.本小题分
（1）解：设 ，则，
，
，解得，
．………………………………………………………… 4分
（2）解：点是线段的黄金分割点，，若，
，
…………………… 8分
16.本小题分
解：二次函数当时，函数有最小值，
点为抛物线的顶点，设抛物线的关系式为，把代入得，
，，
抛物线的关系式为，
即 …………………………………………………………………… 5分
点，都在抛物线上，
因此点、关于直线对称， ，
……………………………………………………………………………… 8分
17.本小题分
(1) 4 …………………………………… 2分
(2)解：如图，△A1B1C1 即为所求. ………… 6分
(3)解: …………………………………… 8分
18.本小题分
证明：和分别是，边上的高，
，
，
∽；……………………………………4分
解：∽，
，即，
又，
∽， ，
，，，，
． ………………………………………………8分
19.本小题分
解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，
将与坐标代入反比例解析式得：，，
、，
代入一次函数解析式得：， 解得：，，
则一次函数的解析式为， …………………………………………………… 2分
直线与轴、轴的交点坐标为、，
； ………………………………………………………… 4分
(2)反比例函数值小于一次函数值的的取值范围为或．……………… 6分
（3）、、． …………………………………………10分
20.本小题分
解：的面积与四边形的面积相等，
．
又，
∽．
，且，． …………………………………………………… 5分
设的长为，
∽， ．
由的周长与四边形的周长相等，得，解得．
的长为． …………………………………………………………………………………… 10分
21.本小题分
解：由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为，那么
， 解得：，……………………………………………… 2分
与之间的函数关系式为； ………………………………………… 4分
根据题意得：，
，
，
抛物线开口方向向下，
对称轴，，
当时，利润最大，
元………………………………………… 9分
………………………………………………………………………………… 12分
22.本小题分
(1)证明：在矩形中，， ∴，，
∵， ∴， ∴， ∴． …………… 4分
(2)在矩形中，， ∵E为的中点， ∴，
由（1）得， ∴，
∴． ………………………………………………………… 8分
(3)过点作于点，如图所示， ∴，
又∵， ∴，
∴，
∴，
由（1）得， ∴，
∵， ∴，
∴， ∴，
在矩形中，，，
∴，即，
∴， ∴． …………………………………………… 12分
23.本小题分
解：由题意，对于抛物线，
，．
对称轴为直线．
当时，, 故顶点坐标为（，）. ……………………………… 4分
由题意得，将代入抛物线，得；将代入抛物线，得．
又抛物线与线段只有一个交点，
分四种情况讨论：当抛物线经过点时，，解得；
当抛物线经过点时，，解得；
抛物线对称轴为直线，且抛物线开口向上，
当时，即，则；当时，即，则．
抛物线与轴切于原点，． ．
综上，的取值范围是或或． ……………………………… 9分
由题意，点M、N在抛物线上
．
．
．
，
．
．
． ………………………………………………………………………… 14分

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