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2026高考数学第二轮专题
专题突破练6　求数列的通项公式
必备知识夯实练
1.(2025江西赣州一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足3an=2Sn+1,则S5=(　　)
A.11 B.31
C.61 D.121
2.(2025天津,6)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=-n2+8n,则{|an|}的前12项和为(　　)
A.112 B.48
C.80 D.64
3.(2025福建福州模拟)已知数列{an}满足an+1=,且a1=2,则a9=(　　)
A. B.
C. D.
4.(2025山东临沂一模)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+nan=1,则满足Sn>0.99时,n的最小值为(　　)
A.49 B.50
C.99 D.100
5.(多选题)(2025山东济南模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,a2=3,an+1=3an-2an-1(n≥2),则下列说法正确的有(　　)
A.数列{an+1-an}为等差数列
B.数列{an+1-2an}为等比数列
C.an=2n-1
D.Sn=2n+1-n-2
6.(2025河北张家口一模)已知数列{an}满足a1=2,an>0且+1,则-n=　　　　　.
7.(2025广东广州模拟)某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术,以此达到10年内每年此农产品的销售额(单位:万元)等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年(2024年)该公司该产品的销售额为100万元,则按照计划该公司从2024年到2033年该农产品的销售总额约为　　　　　万元.(参考数据:1.39≈10.6,1.310≈13.8,1.311≈17.9)
8.(13分)若数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn(Sn-an)+2an=0(n≥2),a1=2.
(1)求证:{}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
关键能力提升练
9.(2025浙江湖州模拟)已知数列{an}满足a1+3a2+9a3+…+3n-1an=,设数列{an}的前n项和为Sn,若SnA. B.
C. D.
10.(2025江苏南通模拟)如图,在杨辉三角形中,斜线l的上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列:1,3,3,4,6,5,10,…,记其前n项和为Sn,则S21=(　　)
A.351 B.360
C.361 D.358
11.(2025江苏宿迁模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2n,则(　　)
A.9a7>8a8
B.9a7<8a8
C.9S7>7a8
D.9S7<7a8
12.(多选题)(2025山东德州模拟)对于数列{an},定义An=为数列{an}的“好数”,已知某数列{an}的“好数”An=2n+1,记数列{an-kn}的前n项和为Sn,若Sn≤S6对任意的n∈N*恒成立,则k的可能取值为(　　)
A.2 B.
C. D.
13.(2025安徽铜陵模拟)已知数列{an}满足2anan+1+an+1=3an,且a2=,则使不等式+…+<100成立的n的最大值为　　　　　.
核心素养创新练
14.已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*).记数列{an}的前n项和为Sn,则(　　)
A.B.3C.4D.答案：
1.D　解析 令n=1,得3a1=2S1+1=2a1+1,得a1=1.
由3an=2Sn+1,当n≥2时,3an-1=2Sn-1+1,两式相减得3an-3an-1=2(Sn-Sn-1)=2an,即an=3an-1,即=3(n≥2),所以数列{an}是以a1=1为首项,3为公比的等比数列,所以S5==121.
2.C　解析 由题意知a1=S1=7,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+8n+(n-1)2-8(n-1)=-2n+9.
又a1=7适合上式,所以an=-2n+9.
当an>0时,n≤4,当an<0时,n≥5.
∴{|an|}前12项的和T12=S4-(S12-S4)=2S4-S12=2×(-16+32)-(-122+8×12)=80.故选C.
3.A　解析 易知an≠0,从而由题意得,即-1=--1),-1=-0,所以数列是以-为首项,-为公比的等比数列,从而-1=-,所以-1=,解得a9=
4.D　解析 因为Sn+nan=1,所以a1=,当n≥2时,Sn+nan=Sn-1+(n-1)an-1=1,所以(n+1)an=(n-1)an-1,即(n≥2),此时an=…a1=…(n≥2),当n=1时也满足该式,
故an=,Sn=1-nan=1-,若Sn=1->0.99,解得n>99,又n∈N*,所以n的最小值为100.
5.BCD　解析 因为an+1=3an-2an-1(n≥2),所以an+1-an=2(an-an-1),又a2-a1=2≠0,则{an+1-an}是首项为2,公比为2的等比数列,故A错误;
根据题意得an+1=3an-2an-1 an+1-2an=an-2an-1,又a2-2a1=1≠0,所以数列{an+1-2an}是首项为1,公比为1的等比数列,故B正确;
由上得an+1-an=2n,所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+2+4+…+2n-1==2n-1,故C正确;
Sn=(2+22+23+…+2n)-n=-n=2n+1-n-2,故D正确.
6.4-　解析 由题得,当n≥2时,=()+()+…+()++…++(n-1)+4=+(n-1)+4=n+4-,当n=1时,n+4-=1+4-1=4=符合题意.所以-n=n+4--n=4-
7.3 940　解析 该公司从2024年起的每年销售额可构成数列{an},n∈N*,n≤10,a1=100,依题意,当n∈N*,n≤9时,an+1=1.3an-3,即an+1-10=1.3(an-10),a1-10=90≠0.因此数列{an-10}是首项为90,公比为1.3的等比数列,所以an-10=90×1.3n-1,即an=90×1.3n-1+10,
则a1+a2+…+a10=+10×10≈300×(13.8-1)+100=3 940,
所以从2024年到2033年该农产品的销售总额约为3 940万元.
8.(1)证明 当n≥2时,an=Sn-Sn-1,且Sn(Sn-an)+2an=0.
∴Sn[Sn-(Sn-Sn-1)]+2(Sn-Sn-1)=0,即SnSn-1+2(Sn-Sn-1)=0,
即又,
故数列{}是首项为,公差为的等差数列.
(2)解 由(1)知,
∴Sn=,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-,
当n=1时,a1=2不适合上式.
故an=
9.D　解析 因为a1+3a2+9a3+…+3n-1an=,
所以当n≥2时,a1+3a2+9a3+…+3n-2an-1=,
两式相减得3n-1an=,所以an=
当n=1时,S1=a1=
当n≥2时,Sn=+…+)n=)n,
所以Sn=)n,n≥2.当n=1时,S1=也符合上式,所以Sn=)n,n∈N*.
由Sn10.C　解析 当n=2m-1(m∈N*)时,an=a2m-1=1+2+…+m=,
当n=2m(m∈N*)时,an=a2m=m+2.
综上,S21=
[(12+22+…+112)+(1+2+…+11)]+
+75=253+33+75=361.
11.B　解析 因为数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2n,当n=1时,则a1=S1=2a1-2,解得a1=2,当n≥2且n∈N*时,由Sn=2an-2n可得Sn-1=2an-1-2n-1,上述两式作差可得an=2an-2an-1-2n-1,整理可得an-2an-1=2n-1,等式an-2an-1=2n-1两边同时除以2n-1可得=1,
所以数列{}是以=2为首项,公差为1的等差数列,
所以=2+n-1=n+1,所以an=(n+1)·2n-1,
9a7=9×8×26=9×29,8a8=8×9×27=9×210,则9a7<8a8;
Sn=2an-2n=(n+1)·2n-2n=n·2n,
9S7=9×7×27=63×27,7a8=7×9×27=63×27,所以9S7=7a8.
12.BCD　解析 因为An==2n+1,所以a1+2a2+…+2n-1an=n·2n+1,可得a1=4.
当n≥2时,a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n,
两式相减得2n-1an=n·2n+1-(n-1)·2n=(n+1)2n,所以an=2(n+1)(n≥2),
当n=1时,a1=4也符合上式.
故an=2(n+1),则an-kn=(2-k)n+2,所以数列{an-kn}为等差数列.故Sn≤S6对任意的n(n∈N*)恒成立可化为a6-6k≥0,a7-7k≤0,
即解得k,结合四个选项,B,C,D正确.
13.99　解析 由2anan+1+an+1=3an,a2=可得2a1a2+a2=3a1 a1=,
易知an≠0,两侧同时除以anan+1,可得2+,整理得-1=3(-1),所以{-1}是以-1=为首项,为公比的等比数列,
则-1=)n-1=2()n,
故-1+-1+…+-1==1-()n=(+…+)-n,
故+…+=n+1-()n,
易知f(n)=n+1-()n(n∈N*)单调递增,则f(99)=100-<10014.A　解析 因为a1=1,an+1=(n∈N*),所以a2=,an>0,S100>
由an+1=,
　,即
根据累加法,可得<1+(n≥2),当n=1时,=1符合上式,则,当且仅当n=1时等号成立,∴an,∴an+1=an,
由累乘法可得an(n≥2),且a1=,
则an,当且仅当n=1时等号成立,
由裂项相消法求和得S100≤6(+…+)=6×()<3,
即21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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