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2026高考数学第二轮专题
专题突破练8　空间几何体的表面积与体积
必备知识夯实练
1.(2025辽宁大连模拟)已知圆台的上、下底面的面积分别为4π,36π,侧面积为64π,则该圆台的高为(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
2.(2025广东汕头一模)若圆锥的侧面展开图是半径为3、圆心角为的扇形,则该圆锥的体积为(　　)
A. B.2π
C.6π D.
3.(2025浙江金华二模)如图,AB,CD是棱长为2的正方体展开图中的两条线段,则原正方体中几何体ABCD的表面积为(　　)
A.6+4 B.6+2
C.2+2+4 D.2+4+4
4.(2025江苏盐城模拟)如图,圆锥PO的轴截面为边长为4的正三角形,过PO的中点O'作平行于底面的截面,以截面为底面挖去一个圆柱,则余下几何体的表面积为(　　)
A.11π+π B.11π+2π
C.12π+π D.12π+2π
5.(2025陕西西安一模)正三棱锥S-ABC侧棱长为1,E,F分别是SA,SC上的动点,当△BEF周长的最小值为时,三棱锥的侧面积为(　　)
A. B.1
C. D.2
6.(多选题)(2025浙江湖州模拟)如图,该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体,若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10 cm,则下列选项中正确的是(　　)
A.该几何体的高为10 cm
B.该几何体的表面积为(100+200)cm2
C.该几何体的体积为 cm3
D.一只小蚂蚁从该几何体表面由点E爬行到点S,所经过的最短路程为 cm
7.(2025广东惠州模拟)在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,且AD=2,AB=4, BC=5.在梯形ABCD内,挖去一个以A为圆心,以2为半径的四分之一圆,得到如图所示的阴影部分,以AB所在直线为轴,将图中阴影部分旋转一周形成的旋转体的表面积为　　　　　.
8.(2025湖南怀化模拟)如图,底面半径为4的圆锥,将其放倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动,当这个圆锥在平面内转回原位置时,圆锥本身恰好滚动了2周,则圆锥的表面积为　　　　　.
9.(2024全国甲,理14)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1,下底面半径均为r2,圆台的母线长分别为2(r2-r1),3(r2-r1),则圆台甲与乙的体积之比为　　　　　.
10.(2025浙江绍兴模拟)已知正三棱台的上底面边长是下底面边长的一半,侧棱长为2,过侧棱中点且平行于底面的截面三角形的边长为3,则正三棱台的体积为　　　　　.
关键能力提升练
11.(2025湖北襄阳模拟)一个直三棱柱形容器中盛有水,侧棱AA1=18,底面三角形ABC边AB上的高为h.当底面水平放置时水面高度为16(如图1).当侧面AA1B1B水平放置时(如图2),水面高度为(　　)
图1
图2
A.h B.h
C.h D.h
12.(2022全国甲,理9,文10)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙.若=2,则=(　　)
A. B.2
C. D.
13.(多选题)(2025江苏南京模拟)“阿基米德多面体”又称“半正多面体”,与正多面体类似,它们也都是凸多面体,每个面都是正多边形,并且所有棱长也都相等,但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同.有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到,如图,正八面体E-ABCD-F的棱长为3,取各条棱的三等分点,截去六个角后得到一种阿基米德多面体,则该阿基米德多面体(　　)
A.共有18个顶点
B.共有36条棱
C.表面积为6+8
D.体积为8
14.(多选题)(2025广东深圳模拟)如图,圆锥SO底面圆的圆心为O,AB是圆O的一条直径,SA与底面所成角的正弦值为,AB=4,P是母线SA的中点,C是母线SB上一动点,则下列说法正确的是(　　)
A.圆锥SO的母线长为12
B.圆锥SO的表面积为16π
C.一只蚂蚁沿圆锥SO的表面上的曲线ACP从点A处爬到点P处,在蚂蚁所爬的最短路径中,这只蚂蚁离圆锥SO的顶点S的最短距离是
D.在圆锥SO内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体,则该正方体的体积的最大值是
15.(2025北京西城一模)端午节又名端阳节、粽子节等,它是中国首个入选世界非遗的节日.从形状来分,端午节吃的粽子有三角粽、四角粽、枕形粽、牛角粽等.其中,四角粽的形状可以近似看成一个四面体ABCD,如图所示.设棱AD的长为6 cm,其余的棱长均为2 cm,则该四角粽的表面积为　　　cm2,体积为　　　　cm3.(粽叶的厚度忽略不计)
核心素养创新练
16.(2025湖北武汉模拟)如图,在棱长为1的正方体内部,有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体Oi(i=1,2,…,8),有1个以正方体中心为球心的球O0,O0与Oi(i=1,2,…,8)均相切,则该9部分的体积和的最大值为(　　)
A. B.(2-3)π
C.()π D.
答案：
1.C　解析 作圆台的轴截面,如图所示.
由题意得圆台的上、下底面的半径分别为2,6,设圆台的母线长为l,高为h,则该圆台的侧面积S侧=π×(2+6)×l=64π,解得l=8,所以h==4
2.A　解析 设圆锥的母线长为l,底面半径为r,高为h,则l=3,由题意可得2πr=3,即r=1,所以h==2,故圆锥的体积V=
3.B　解析 还原正方体如图所示,
BC=CD=BD=2,S△BCD=22sin=2,S△ABD=S△ACD=S△ABC=2×2=2,
所以四面体ABCD的表面积为6+2
4.D　解析 作出圆锥PO的轴截面△PAB,此截面截挖去的圆柱得圆柱的轴截面矩形CDEF,如图所示.
依题意,△PAB是边长为4的正三角形,所以OB=2,OP=2
因为O'是PO中点,所以OO'=PO=,OC=O'D=OB=1,圆锥母线PB=4,圆柱OO'的侧面积S1=2π·OC·OO'=2,圆锥PO的表面积S2=π·OB2+π·OB·PB=4π+8π=12π,所以余下几何体的表面积是S1+S2=12π+2
5.A　解析 作正三棱锥S-ABC的侧面展开图,如图所示,连接BB',
当E,F分别为BB'与SA,SC的交点时,△BEF的周长最小,此时BB'=,而SB=SB'=1,所以SB2+SB'2=2=BB'2,所以∠BSB'=90°,所以∠ASB=30°,所以三棱锥的侧面积为3SA×SBsin 30°=
6.ACD　解析 由题可知EF=SA=10 cm,所以AC=10 cm,所以OA=5 cm,所以SO==5 cm,因此该几何体的高为10 cm,所以A正确;
几何体的表面积为102+40×5+4102=100+200+100(cm2),所以B错误;
该几何体的体积为102×5102×5(cm3),所以C正确;
观察图形知,小蚂蚁从点E爬行到点S的最短路径为沿表面越过棱AB或AD,由对称性,不妨取长方形EFBA及△SAB,将它们置于同一平面内,连接SE,如图,取EF中点H,连接SH,则SH=5+5,而EH=5,所以最短路程为SE=(cm),所以D正确.故选ACD.
7.68π　解析 由题意可知阴影部分以AB所在直线为轴,旋转一周形成的旋转体为一个圆台挖去一个半球,其中圆台的上、下底面半径分别为2和5,高为4,母线长为=5,挖去半球的半径为2,故形成的旋转体的表面积为π×52+π(2+5)×5+4π×22=68π.
8.48π　解析 设圆锥的母线长为l,底面半径为r=4,则2πl=2×2πr,解得l=2r=8,所以圆锥的表面积为π×8×4+π×42=48π.
9　解析 如图,由题意,可知
甲　　　
乙　　
10.　解析 如图,延长三棱台ABC-A1B1C1的侧棱交于一点O,可以得到正三棱锥O-ABC,
设三棱台的上底面边长为x,下底面边长为2x,则有=3,即x=2,由题可得正三棱锥的侧棱长为2×2=4,过点O作OP⊥平面ABC,交平面A1B1C1于点E,记BC的中点为H,则AP=AH=2,则OP=,故三棱台的体积为(42)
11.D　解析 设底面三角形ABC的面积为S,当底面ABC水平放置时,水面高度为16,所以水的体积V=16S,设侧面AA1B1B水平放置时,水呈四棱柱体,设四棱柱体的底面梯形的面积为S',则V=18S',所以16S=18S',所以,设四棱柱体的底面梯形的高为h',则可得()2=,解得h'=h.
12.C　解析 如图,甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆,设圆的半径(即圆锥的母线长)为3,
则圆的周长为6π,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,则2πr1=4π,2πr2=2π,则r1=2,r2=1,由勾股定理得,h1=,h2=2,所以,故选C.
13.BD　解析 由图可知该多面体有24个顶点,36条棱,故A错误,B正确;
该多面体的棱长为1,且表面由6个正方形和8个正六边形组成,故该多面体的表面积为6×1+8×61×1×sin 60°=6+12,故C错误;
正八面体E-ABCD-F可分为两个全等的正四棱锥,其各棱长均为3,在四棱锥E-ABCD中,过E作EO⊥平面ABCD于点O,连接AO,如图所示.
因为EO⊥平面ABCD,且OA 平面ABCD,所以OE⊥OA.在正方形ABCD中,因为边长为3,所以OA=
在Rt△AOE中,EO=,则正八面体E-ABCD-F的体积为322=9
切割掉6个棱长均为1的正四棱锥,减少的体积为612,所以该阿基米德多面体的体积为9=8,故D正确.
故选BD.
14.BCD　解析 如图1,圆锥SO的轴截面为等腰三角形SAB,则OA=2.
图1
图2
因为SA与底面所成角的正弦值为,所以,所以,解得SA=6,故A错误;
如图2,在圆锥SO的侧面展开图中,SA=6,∠ASA'=,则圆锥的侧面积为62=12π,所以圆锥SO的表面积为12π+4π=16π,故B正确;
如图2,易知AP为蚂蚁所爬的最短路径,过点S作SH⊥AP,垂足为H.
在△ASP中,AS=6,SP=3,∠ASP=,由余弦定理可得AP==3,则AS·SPsin∠ASP=AP·SH,即6×33SH,解得SH=,故C正确;
如图1,设圆锥SO内切球的球心为O',过点O'作O'E⊥SA,O'F⊥SB,垂足分别为E,F,由题意可知sin∠SAO=,则sin∠ASO=,所以因为SA=6,OA=2,所以SO=4,所以,解得O'O=
设该正方体棱长的最大值为a,则3a2=(2)2,解得a=,所以该正方体的体积的最大值是a3=,故D正确.故选BCD.
15.12+6　6　解析 cos∠ACD=,
所以sin∠ACD=,
所以该四角粽的表面积S=2(2)2+222=12+6
取BC的中点为O,连接OA,OD,则OA⊥BC,OA=OD=2=3,
所以OA2+OD2=AD2,即OD⊥OA,
又BC∩OD=O,BC,OD 平面BCD,所以OA⊥平面BCD,所以该四角粽的体积V=S△BCD×OA=(2)2×3=6
16.C　解析 设球体O0的半径为r1,Oi(i=1,2,…,8)的半径为r2,所以2r1+2r2=,即得r1+r2=,0所以y=r1r2=r2×(-r2)=-r2,图象是开口向下的抛物线,对称轴为直线r2=,所以y=-r2,该9部分的体积和为V=(r1+r2)(-r1r2)=[(r1+r2)2-3r1r2]=2(-r1r2)≤()π.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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