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2026高考数学第二轮专题
专题突破练10　空间位置关系的判断与证明
必备知识夯实练
1.(2025湖南岳阳二模)已知直线m,n,l,平面α,β,若平面α⊥平面β,且α∩β=l,则下列说法正确的是(　　)
A.若m∥α,则m⊥β
B.若m α,n β,则m⊥n
C.若m α,则m⊥β
D.若m α,则直线m必垂直于平面β内的无数条直线
2.(多选题)(2025浙江温州二模)在四棱锥P-ABCD中,E,F分别是AP,BC上的点,,则下列条件可以确定EF∥平面PCD的是(　　)
A.AD∥BC
B.AB∥CD
C.BC∥平面PAD
D.CD∥平面PAB
关键能力提升练
3.(12分)(2023全国乙,文19)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=2, PB=PC=,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,点F在AC上,BF⊥AO.
(1)求证:EF∥平面ADO;
(2)若∠POF=120°,求三棱锥P-ABC的体积.
4.(15分)(2025江苏淮安模拟)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=3,点Q为BC的中点,点P为CC1上一点.
(1)若平面BA1C1∩平面QAC1=直线l,求证:A1B∥l;
(2)当平面APQ⊥平面APB1时,求CP的长度.
核心素养创新练
5.(17分)(2025江苏无锡期中)如图几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的.已知AD=2,AB=4,P是上的中点,Q是AC的中点,BP与CE交于点O.
(1)求该几何体的体积;
(2)求证:OQ∥平面ABEF;
(3)若M是上的一点,且满足平面OMQ∥平面ABEF,求sin∠FAM的值.
答案：
1.D　解析 若m∥α,则m与β也可能平行或者m β,故A错误;若m α,n β,当m,n至少有一条直线与l垂直时才有m⊥n,否则还有可能存在平行或异面及相交但不垂直的情况,故B错误;若m α,且m⊥l,才会有m⊥β,否则还有可能存在平行或相交但不垂直的情况,故C错误;对于D,当直线a β,且a⊥l,此时a⊥m,故满足条件的直线a有无数条,故D正确.故选D.
2.BD　解析 如图,过点E作EG∥PD交AD于点G,连接GF,即有EG∥平面PCD,由于△AEG∽△APD,所以,若AB∥CD,则GF∥CD,又GF 平面PCD,CD 平面PCD,所以GF∥平面PCD,由EG∩GF=G,EG,GF 平面EGF,得平面EGF∥平面PCD,又EF 平面EGF,所以EF∥平面PCD,故B正确;
若CD∥平面PAB,又因为平面ABCD∩平面PAB=AB,所以CD∥AB,所以EF∥平面PCD,故D正确;
假设EF∥平面PCD,设平面EFP∩CD=H,则EF∥PH,若BC∥平面PAD,平面ABCD∩平面PAD=AD,所以BC∥AD,反之,若BC∥AD,当且仅当BC∥平面PAD,即选项A,C同时正确或错误.若BC∥AD,可能AB∥CD,也可能AB与CD相交.若AB与CD相交,由知延长FG必与AB,CD交于同一点O,由几何关系知EF与PH不平行,故A,C错误.故选BD.
3.(1)证明 设=(0<λ<1),则=λ(),
所以=(1-λ)+
因为O为BC的中点,则,所以
因为AB⊥BC,则=0,因为AB=2,BC=2,BF⊥AO,
则=[(1-λ)+]·()=-(1-λ)=4λ-4(1-λ)=8λ-4=0,解得λ=,
故F为AC的中点.
又因为E为PA的中点,则EF∥PC,又D,O分别为PB,BC的中点,所以DO∥PC,则EF∥DO,因为EF 平面ADO,DO 平面ADO,所以EF∥平面ADO.
(2)解 连接OF,PF.
∵O,F分别为BC,AC中点,且AB⊥BC,∴OF⊥BC.
又PB=PC,O为BC中点,∴BC⊥OP.
∵OF∩OP=O,OF,OP 平面POF,
∴BC⊥平面POF.
又BC 平面ABC,∴平面ABC⊥平面POF,且交线为OF.
过点P作PM⊥FO交FO延长线于点M,则PM⊥平面ABC,
即PM为三棱锥P-ABC的高.
∵∠POF=120°,∴∠POM=60°.
在Rt△PBO中,PO==2,
∴PM=POsin∠POM=2,
∴V三棱锥P-ABC=S△ABC×PM=2×2
4.(1)证明 连接A1C,交AC1于点O,连接OQ.
因为O,Q分别为A1C,BC中点,则A1B∥OQ,且A1B 平面QAC1,OQ 平面QAC1,可得A1B∥平面QAC1,又因为A1B 平面BA1C1,平面BA1C1∩平面QAC1=直线l,所以A1B∥l.
(2)解 取B1C1的中点Q1,以Q为原点,QC,QA,QQ1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则Q(0,0,0),A(0,,0),B1(-1,0,3),设CP=h,0≤h≤3,则P(1,0,h),可得=(0,,0),=(1,0,h),=(2,0,h-3),=(1,,-3).设平面APQ的法向量为m=(x1,y1,z1),则
令z1=-1,则x1=h,y1=0,可得m=(h,0,-1).
设平面APB1的法向量为n=(x2,y2,z2),则
令x2=3-h,则y2=,z2=2,可得n=(3-h,,2),因为平面APQ⊥平面APB1,则m⊥n,可得m·n=h(3-h)-2=0,解得h=1或h=2,所以CP的长度为1或2.
5.(1)解 因为几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,AD=2,AB=4.
所以该几何体的体积为底面半径为2,高为4的圆柱体积的,所以该几何体的体积为π×22×4=
(2)证明 连接AE,因为P是上的中点,则BP⊥CE,O是EC的中点,又Q是AC的中点,所以OQ∥AE,OQ 平面ABEF,AE 平面ABEF,所以OQ∥平面ABEF.
(3)解 连接OM,QM,因为平面OMQ∥平面ABEF,设平面OMQ∩平面ABCD=HG,又平面ABEF∩平面ABCD=AB,则HG∥AB,因为Q是AC的中点,所以H为BC的中点,G为AD的中点,因为平面OMQ∩平面ADF=MG,又平面ABEF∩平面ADF=AF,平面OMQ∥平面ABEF,所以GM∥AF,又∠FAD=120°,所以∠AGM=60°.因为AG=1,AM=2,在△AGM中,由正弦定理可得,所以,所以sin∠AMG=,因为GM∥AF,所以∠FAM=∠AMG,所以sin∠FAM=
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