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2026高考数学第二轮专题
专题突破练17　圆锥曲线的定义、方程与性质
必备知识夯实练
1.(2025湖北黄冈二模)设abc≠0,“曲线ax2+by2=c为椭圆”是“ac>0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2025安徽淮北二模)若抛物线y2=4x的焦点是椭圆C:=1(m>0)的一个焦点,则椭圆C的长轴长为(　　)
A.2 B.2
C.4 D.8
3.(2025江苏苏州模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,上、下顶点分别为B2,B1,点D在线段B1F上,且|B1D|=2|DF|.若OD∥AB2,则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
4.(2025浙江台州二模)已知F1,F2为双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2作直线l与双曲线C的右支交于A,B两点,且|AB|=|BF1|,cos∠ABF1=,则双曲线C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
5.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,抛物线y2=4x的准线l经过F1,且l与双曲线的一条渐近线交于点A,若∠F1F2A=,则双曲线的方程为(　　)
A.=1 B.=1
C.-y2=1 D.x2-=1
6.(多选题)(2025山东泰安二模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,则下列选项正确的是(　　)
A.若a=2,b=,则双曲线的任一焦点到渐近线的距离为
B.若点P在双曲线C上,则直线PF1与PF2的斜率之积为
C.以线段F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限交于点P,且|PO|=|PF2|,则双曲线C的离心率e=+1
D.若过F2的直线l与x轴垂直且与渐近线交于A,B两点,∠AF1O=,则双曲线C的渐近线方程为y=±2x
7.(多选题)(2025安徽黄山二模)已知抛物线C:y2=2px的焦点为F,点A(8,8)在抛物线上,过点F作直线交抛物线于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,则下列说法正确的是(　　)
A.|MN|的最小值为4
B.以线段MN为直径的圆与直线x=-2相切
C.当=2时,则|MN|=9
D.=-12
8.(2022全国甲,文15)记双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值:　　　　　.
9.(2025江西宜春一模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P在C上且位于第一象限,过点P作直线垂直于C的准线,垂足为A,若直线AF的倾斜角为,则|PF|=　　　　　.
10.(2025湖北宜昌二模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|BF2|,|AB|=|BF1|,则椭圆C的离心率为　　　　.
关键能力提升练
11.(2025河北秦皇岛二模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F(c,0),过点A且斜率为k的直线l与圆(x-c)2+y2=(c-a)2相切,与C交于第一象限的一点B.若≤k≤1,则C的离心率的取值范围是(　　)
A.[3,3+2]
B.[3,3+4]
C.[3+2,7+4]
D.[3+4,7+4]
12.(多选题)(2025陕西西安二模)设双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,下列说法正确的是(　　)
A.若C的渐近线的斜率为±,则C的离心率为
B.若C的渐近线方程为y=±x,且点(2,)在C上,则a=2
C.过点F2的直线与C的右支相交于A,B两点,若|AB|=4a,∠F1AB=90°,则C的离心率为
D.若C的左、右顶点分别为M,N,且P是C上异于M,N的一点,则直线PM,PN的斜率之积为
13.(2025山东菏泽模拟)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥F1Q,=2,则椭圆C的离心率为　 　.
核心素养创新练
14.(多选题)(2025浙江杭州二模)设曲线C:-y|y|=1,直线y=ax+b与曲线C的交点的可能个数的集合记为D(a,b),则(　　)
A.D(a,b)={0,1,2,3}
B.D(a,2)={0,1,2}
C.D(a,-3a)={0,1,2}
D.若D(a,b)={3},则|a|>且b<0
答案：
1.A　解析 若曲线ax2+by2=c为椭圆,则该椭圆的标准方程为=1(a≠b).
因为椭圆中分母须大于0,所以>0且>0,又因为abc≠0,那么ac>0且bc>0,所以充分性成立.
当ac>0时,比如a=b=1,c=1,此时曲线方程为x2+y2=1,它表示的是圆不是椭圆,必要性不成立.所以“曲线ax2+by2=c为椭圆”是“ac>0”的充分不必要条件.故选A.
2.C　解析 在抛物线y2=4x中,焦点坐标为(1,0).所以椭圆的焦点在x轴上,且c=1(c为椭圆的半焦距).在椭圆中,m=a2=3+1=4,又因为a>0,所以a=2.则椭圆的长轴长为2a=2×2=4.故选C.
3.B　解析 由题可得,点B2(0,b),A(a,0),F(c,0),=(a,-b).
∵|B1D|=2|DF|,则点D为线段B1F靠近点F的三等分点,
故D(c,-b),=(c,-b),=(a,-b),
由OD∥AB2得,化简得e=故选B.
4.B　解析 由双曲线定义得,|AF1|-|AF2|=|BF1|-|BF2|=2a,|F1F2|=2c.
设|BF1|=|AB|=m,则|BF2|=m-2a,由图,|AF2|=|AB|-|BF2|=2a,|AF1|=4a,
在△ABF1中,由余弦定理得cos∠ABF1=,
解得m=3a,
∴|BF2|=m-2a=a.在△BF1F2中,由余弦定理得cos∠F2BF1=cos∠ABF1=,
∴7a2=3c2,故离心率e=故选B.
5.D　解析 抛物线y2=4x的准线方程为x=-,则c=,则F1(-,0),F2(,0),
不妨设点A为第二象限内的点,联立可得
即点A(-c,).
因为AF1⊥F1F2,且∠F1F2A=,
则△F1F2A为等腰直角三角形,
且|AF1|=|F1F2|,即=2c,可得=2,所以解得
因此双曲线的标准方程为x2-=1.故选D.
6.ACD　解析 由双曲线的性质知,焦点到渐近线的距离为b,故A正确;
当点P为双曲线顶点时,直线PF1与PF2的斜率之积为0,故B错误;
由题意点P在圆x2+y2=c2上,又|PO|=|PF2|,所以xP=,代入圆的方程,可得yP=,将点P()代入双曲线方程可得,=1,
即=3+2,
所以e=+1,故C正确;
直线l的方程为x=c,与渐近线y=±x相交于A(c,),B(c,-),
所以=(2c,),=(c,0),即cos,化简可得=12,解得=2,所以双曲线渐近线方程为y=±2x,故D正确.
故选ACD.
7.BCD　解析 由题得,82=2p×8,解得p=4,则C:y2=8x,F(2,0),
由题可设直线MN:x=ty+2,联立抛物线方程得y2-8ty-16=0,显然Δ>0,
所以y1+y2=8t,y1y2=-16,则|MN|==8(1+t2)≥8,当且仅当t=0时等号成立,A错误;
由抛物线的定义知|MN|=x1+x2+4,而线段MN的中点横坐标为,
所以线段MN的中点与直线x=-2的距离为+2,即为|MN|的一半,
所以以线段MN为直径的圆与直线x=-2相切,B正确;
若=2,且y1>0>y2,则y1=2|y2|,而y1y2=-16,
所以y1=4,y2=-2,
则y1+y2=8t=2t=,
所以x1+x2=t(y1+y2)+4=2+4=5,则|MN|=x1+x2+4=9,C正确;
由=x1x2+y1y2=(t2+1)y1y2+2t(y1+y2)+4=-16t2-16+16t2+4=-12,D正确.
故选BCD.
8.2(答案不唯一,只要1解析 由题意知,双曲线C的渐近线方程为y=±x,要使直线y=2x与双曲线C无公共点,只需0<2即可.由0<2,得0<4,所以19.4　解析 因为抛物线C:y2=4x的焦点为F,所以F(1,0),
由题意可得∠APF=∠PFx,∠APF+∠AFP+∠FAP=π,
所以∠FAP=π-∠AFx=π-,
又由抛物线定义得|PA|=|PF|,
所以△PAF为等边三角形,设准线与x轴交于点F',在Rt△AFF'中,∠FAF'=30°,
所以|AF|=2|FF'|=4,
所以|PF|=|AF|=4.
10　解析 由已知可设|F2B|=x,
则|AF2|=2x,|BF1|=|AB|=3x,
由椭圆的定义有|BF1|+|BF2|=2a=4x,故x=
∴|AF2|=a=|AF1|,|BF1|=|AB|=,故点A为椭圆的上顶点或下顶点.
在△AF1B中,由余弦定理推论得cos∠F1AB=
在△AOF2中,设∠OAF2=θ,
故cos∠F1AB=cos 2θ=1-2sin2θ=,得sin2θ=,
故e==sin θ=
11.A　解析 依题意,点A(-a,0),直线l的方程为y=k(x+a),
圆(x-c)2+y2=(c-a)2的圆心为(c,0),半径为c-a,
由直线l与圆(x-c)2+y2=(c-a)2相切,得=c-a,
令双曲线离心率为e,又k≤1,则,
因此1+[,2],即-11,解得3≤e≤3+2,
所以C的离心率的取值范围是[3,3+2].故选A.
12.ACD　解析 对于A,由C的渐近线的斜率为±,则,
所以C的离心率为,故A正确;
对于B,由C的渐近线方程为y=±x,设C:-y2=k(k>0),
又点(2,)在C上,所以=1=k,即C:-y2=1,
所以a=,故B错误;
对于C,由过点F2的直线与C的右支相交于A,B两点,不妨设|AF2|=m,|BF2|=n,
若|AB|=4a,∠F1AB=90°,
则|AF1|=2a+m,|BF1|=2a+n,
在Rt△AF1B中,由勾股定理得(2a+m)2+(m+n)2=(2a+n)2,结合m+n=4a,解得m=a,n=3a,
故|AF1|=3a,|AF2|=a,
在Rt△AF1F2中,由勾股定理得(2c)2=(3a)2+a2,即4c2=10a2,
所以e=,故C正确;
对于D,设P(x0,y0)(x0≠±a),
则=1,即-a2),
又M(-a,0),N(a,0),
所以kPM·kPN=,故D正确.
故选ACD.
13　解析 由=2,可得|QF2|=2|PF2|,设|PF2|=m,则|QF2|=2m,|PF1|=2a-m,|QF1|=2a-2m,由PQ⊥F1Q,则=|PQ|2+,即(2a-m)2=9m2+(2a-2m)2,解得m=,所以|QF1|=2a-2,|QF2|=a,
在Rt△QF1F2中,有,即4c2=,解得,所以椭圆C的离心率e=
14.ACD　解析 当y≥0时有C:-y2=1,且渐近线为y=±,当y<0时有C:+y2=1,如图1.
图1
曲线上半部分为双曲线的一部分,下半部分为椭圆的一部分,且曲线关于y轴对称,根据对称性,只需讨论a≥0的情况.
若a=0,
当b<-1时,直线y=ax+b与曲线无交点;
当b=-1时,直线y=ax+b与曲线有1个交点;
当b>-1时,直线y=ax+b与曲线有2个交点;
当0图2
由图知,以直线y=ax+b与椭圆部分相切为界,此时有1个交点;
此时a不变,b→-1,直线与曲线有2个交点;b→-∞,直线与曲线无交点,
所以当0当b≥-1时, a∈(0,),直线y=ax+b与曲线有2个交点;
当a>,如图3,分别以直线y=ax+b与曲线双曲线、椭圆部分相切为界,
图3
直线在双曲线部分相切线上方时,直线与曲线恒有1个交点;
直线与双曲线部分相切时,直线与曲线恒有2个交点;
直线在椭圆相切线下方时,直线与曲线无交点;
直线与椭圆部分相切时,直线与曲线有1个交点;
直线在两条相切线之间时,直线与曲线有3个交点.
综上,D(a,b)={0,1,2,3},A正确;
对于直线y=ax+2恒过点(0,2),随a的变化与曲线位置,如图4.
图4
0≤a<时直线与曲线恒有2个交点;a时,直线与曲线恒有1个交点;
所以y=ax+2与曲线的交点个数可能有1,2两种可能,即D(a,2)={1,2},B错误;
对于y=a(x-3),以直线与椭圆部分相切、直线与双曲线渐近线平行为界,
将直线方程与椭圆方程联立,消元得(1+4a2)x2-24a2x+36a2-4=0,且a≥0,
若Δ=576a4-4(1+4a2)(36a2-4)=0,可得a=,如图5.
图5
当0≤a<时,直线与曲线有2个交点;
当a=或a>时,直线与曲线有1个交点;
当所以y=a(x-3)与曲线的交点可能有0,1,2三种可能,即D(a,-3a)={0,1,2},C正确;
结合A选项的分析,当a>时存在直线与曲线有3个交点,而其他情况不存在,
此时,假设b≥0,显然直线y=ax+b与曲线有且仅有1个交点,不符合,
所以b<0,结合对称性,直线与曲线有3个交点,必有|a|>且b<0,D正确.
故选ACD.
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