资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2026高考数学第二轮专题
专题突破练18　圆锥曲线中的求值与最值、范围问题
1.(15分)(2025山东济南模拟)已知等轴双曲线E过点(2,),直线l:y=kx+2(k>0)与E交于A,B两点,与其渐近线交于C,D两点.
(1)求E的方程;
(2)设=λ,求λ的取值范围.
2.(15分)(2025天津二模)已知椭圆=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点M(0,2)且斜率为k的直线与椭圆交于不同的两点A,B,点O在以线段AB为直径的圆外(O为原点),求k的取值范围.
3.(17分)(2025湖北十堰三模)已知点A,B在抛物线C:x2=2py(p>0)上,O为原点,且△OAB是以AB为斜边的等腰直角三角形,斜边长为4.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若点P在圆Q:x2+(y+4)2=4上,过点P分别作直线l1,l2与抛物线C相切于M,N两点,求tan∠MPN的取值范围.
4.(17分)(2025辽宁沈阳二模)已知O为坐标原点,动点P到x轴的距离为d,且|OP|2=λ+μd2,其中λ,μ均为常数,动点P的轨迹称为(λ,μ)曲线.
(1)若(λ,μ)曲线为双曲线,试问λ,μ应满足什么条件
(2)设曲线C为(1,)曲线,点A(x0,y0)是C上位于第一象限的一点,点A,B关于原点O中心对称,点A,D关于y轴对称.延长AD至E,使得|DE|=|AD|,且直线BE和曲线C的另一个交点G位于第二象限内.
①求x0的取值范围;
②设直线OA斜率为k1,直线AG斜率为k2,判断k1与k2的关系,并求k1+k2的取值范围.
答案：
1.解 (1)∵等轴双曲线E过点(2,),
①若E的焦点在x轴上,不妨设E:=1(a>0),代入(2,),可得a2=2,∴E:=1.
②若E的焦点在y轴上,不妨设E:=1(a>0),代入(2,),可得a2=-2,不符合题意.
综上,E:=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
联立消去y可得(1-k2)x2-4kx-6=0,
∴1-k2≠0,Δ=16k2+24(1-k2)>0,
解得k∈(0,1)∪(1,),
∴x1+x2=,x1x2=-,
显然双曲线E的渐近线方程为y=±x,不妨设C为直线:y=x与直线l的交点,
联立可得x3=-,
同理x4=-,∴λ=
∵k∈(0,1)∪(1,),
(0,1)∪(1,),
∴λ的取值范围为(0,1)∪(1,).
2.解 (1)由题得2c=2,即c=,
又离心率为,
解得a=2,b==1,
故椭圆的方程为+y2=1.
(2)设直线的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立得(1+4k2)x2+16kx+12=0,
由Δ=(16k)2-4×12(1+4k2)>0,
得k2>,
则x1+x2=-,x1x2=
因为点O在以线段AB为直径的圆外,所以∠AOB为锐角.
因为A,B,O不共线,
所以cos∠AOB>0,
故>0,即x1x2+y1y2>0.
因为y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,
所以x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=+4=>0,解得k2<4,
因为k2>,得<|k|<2,
解得-2故实数k的取值范围为(-2,-)∪(,2).
3.解 (1)由题意知,A,B两点关于y轴对称,不妨设点B在y轴右侧,则xB=yB=2,即点(2,2),
将点B的坐标代入抛物线方程可得4p=4,解得p=1,
故抛物线C的方程为x2=2y.
(2)不妨设点N,M分别在第一、二象限,直线MN的方程为y=mx+n,
设点M(x1,)(x1<0),N(x2,)(x2>0),
联立得x2-2mx-2n=0,Δ=4m2+8n>0,x1+x2=2m,x1x2=-2n,
由y=,得y'=x,
则直线PM的斜率为k1=x1,
所以直线PM的方程为y-=x1(x-x1),即y=x1x-
同理可知,直线PN的斜率为k2=x2,直线PN的方程为y=x2x-,
联立直线PM,PN的方程得x1x-=x2x-,
解得xP==m,
则yP=x2=-n,故点P(m,-n).
因为点P在圆Q上,所以m2+(-n+4)2=4,且2≤n≤6,Δ=4m2+8n>0显然成立.
过点P作x轴的垂线,垂足为点H,
tan∠MPH=-=-,tan∠NPH=,
tan∠MPN=tan(∠MPH+∠NPH)==-=-,
令t=2n-1,因为2≤n≤6,则3≤t≤11,,
所以tan∠MPN==,
令s=[],则函数y=-29s2+18s-1在区间[]上单调递增,在[]上单调递减,
故当时,tan∠MPN取最小值,且最小值为,
当时,tan∠MPN取最大值,且最大值为
因此tan∠MPN的取值范围是[].
4.解 (1)设点P(x,y).
由题得x2+y2=λ+μy2,得x2+(1-μ)y2=λ,
若(λ,μ)曲线为双曲线,则λ≠0,
所以上式可化为=1,
则<0,则μ>1,
所以当λ≠0,且μ>1时,(λ,μ)曲线为双曲线.
(2)(方法一)当λ=1,μ=时,x2+y2=1+y2,即x2-=1.
①由题意得B(-x0,-y0),D(-x0,y0),设点E(x,y),由,
即(x+x0,y-y0)=(-2x0,0),
即则E(-x0,y0),
直线BE的斜率为kBE==-,
所以直线BG的方程为y+y0=-(x+x0),即y=-x-4y0,
联立
得(-3)x2+x+(16+3)=0,由直线BG与双曲线有2个交点,则-3≠0,
又因为x=-x0满足(-3)x2+x+(16+3)=0,xG·(-x0)=,
解得xG=
因为yG=-xG-4y0>0,且y0>0,
得xG<-x0<0,
所以xG=<-x0,
又因为=1,可得=3-3,
所以xG=<-x0.
因为x0>1,
所以>0,
所以8-9>0,可得x0>,即x0的取值范围为(,+∞).
②由①得k2=
=
=-
=-
=-
=-=-
又k1=,所以k2k1=-1.
因为x0>,则0<,
则k1=(),则k1+k2=k1-(-).
(方法二)当λ=1,μ=时,x2+y2=1+y2,即x2-=1.
①由题意得B(-x0,-y0),D(-x0,y0),设点E(x,y),由,
即(x+x0,y-y0)=(-2x0,0),
即则E(-x0,y0),直线BE的斜率为kBE==-,
所以直线BG的方程为y+y0=-(x+x0).
设点G(x,y)(x<0,y>0),
因为x2-=1,
所以x2>,所以,
同理,由
两式作差得(x+x0)(x-x0)-(y+y0)(y-y0)=0,
将直线BG方程代入并化简得(x-x0)+(y-y0)=0,(*)
所以,
所以,
可得x0>,
即x0的取值范围为(,+∞).
②由(*)式可得k1·k2==-1,
由①得k1=(),
所以k1+k2=k1-(-).
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑