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2026高考数学第二轮专题
专题突破练21　函数的图象与性质
必备知识夯实练
1.(2025辽宁沈阳二模)已知f(x-1)=ex,则f(2)=(　　)
A.e B.2e
C.e2 D.e3
2.(2022天津,3)函数y=的图象大致为(　　)
A. B.
C. D.
3.(2025广东揭阳模拟)已知函数f(x)=ex-e-x,则函数y=f(x-1)+1的图象(　　)
A.关于点(1,1)对称
B.关于点(-1,1)对称
C.关于点(-1,0)对称
D.关于点(1,0)对称
4.(2025辽宁葫芦岛模拟)已知函数y=f(2x+1)的定义域为[-1,2],则函数y=的定义域为(　　)
A.[-1,2] B.(-1,2]
C.[-1,5] D.(-1,5]
5.(2025江苏泰州一模)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(4-x),且f(x)在[-2,2]上单调递增.设a=f(),b=f(),c=f(-13),则下列选项正确的是(　　)
A.aC.b6.(多选题)(2025湖南衡阳模拟)已知函数f(x)=x2-2|x|(xA.-1 B.1
C.2 D.3
7.(多选题)(2025山东青岛一模)已知狄利克雷函数D(x)=设函数f(x)=D(x)·sin πx,则下列选项正确的是(　　)
A.f(x)是奇函数
B.f(x)是周期函数
C.f(x)的值域是[-1,1]
D.f(x)在区间[-1,1]上的有理数零点恰有3个
8.(2023全国甲,理13)若f(x)=(x-1)2+ax+sin为偶函数,则a=　　　　　.
9.(2025上海浦东模拟)已知函数f(x)=则不等式f(x)≤1的解集为　　　.
关键能力提升练
10.(2025山东济南一模)已知函数f(x)=则f(2x)+f(x-3)>0的解集是(　　)
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,-3) D.(-3,+∞)
11.(多选题)(2025广东汕头一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=tanx,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)的图象关于直线x=1对称
B.f()=
C.f(x)在区间[2 023,2 025]上单调递增
D.当x∈[0,201]时,方程f(x)=的所有解的和为9 050
12.(多选题)(2025山东济宁二模)已知函数f(x)=cos x-sin(cos x)-1,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)的图象关于y轴对称
B.2π是f(x)的一个周期
C.f(x)在[0,π]上单调递增
D.f(x)<-
13.(2025河北秦皇岛模拟)已知函数f(x)满足对 x∈R都有f(x)+f(-x)=0成立.当x≥0时,f(x)=x2+2x,则不等式f(f(x))+f(x+1)<0的解集为　　　　　.
核心素养创新练
14.(2025北京海淀模拟)对于函数f(x)﹐若集合{x|x>0,f(x)=f(-x)}中恰有k个元素,则称函数f(x)是“k阶准偶函数”.已知函数f(x)=
(1)若a=0,则函数f(x)是“　　　　　阶准偶函数”;
(2)若函数f(x)是“1阶准偶函数”,则a的取值范围是　　　　　　　.
答案：
1.D　解析 令x-1=2,得x=3,
所以f(2)=f(3-1)=e3.故选D.
2.A　解析 函数y=f(x)=的定义域为{x|x≠0},且f(-x)==-=-f(x),函数f(x)为奇函数,C,D错误;又当x<0时,f(x)=0,B错误.故选A.
3.A　解析 因为f(x)=ex-e-x,x∈R,
所以f(-x)=e-x-ex=-f(x),即f(x)的图象关于原点对称,函数y=f(x-1)+1的图象可由f(x)的图象先向右平移一个单位长度,再向上平移一个单位长度得到,所以函数y=f(x-1)+1的图象关于点(1,1)对称.故选A.
4.D　解析 对于函数y=f(2x+1),-1≤x≤2,则-1≤2x+1≤5,
所以函数f(x)的定义域为[-1,5].
对于函数y=,
需
解得-1所以函数y=的定义域为(-1,5].故选D.
5.D　解析 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(4-x),则f(x)的图象关于直线x=2对称,
所以f(x)=f(4-x)=-f(-x),
则f(x+4)=-f(x),
则f(x+8)=-f(x+4)=f(x),
所以f(x)的周期是8,
所以b=f()=f(),c=f(-13)=f(3)=f(1),
因为f(x)在[-2,2]上单调递增,所以b=f()故选D.
6.BCD　解析 F(x)=f(x)-x=F(x)的大致图象如图.
则F(x)在R上共有3个零点,
即F(x)=0在R上有3个根,分别是x1=-1,x2=0,x3=3.
又因为函数F(x)=f(x)-x在x∈(-∞,a)内存在两个零点,故a∈(0,3].
故选BCD.
7.ABD　解析 D(x)的定义域为R,当x为有理数时,-x是有理数,
则D(-x)=D(x)=1,
当x为无理数时,-x是无理数,则D(-x)=D(x)=0,即D(x)为偶函数,
故f(-x)=sin(-πx)·D(-x)=-sin πx·D(x)=-f(x),f(x)是奇函数,故A正确;
对于任意的2k,k∈Z,且k≠0,当x为有理数时,x+2k也是有理数,则D(x+2k)=D(x)=1,
当x为无理数时,x+2k也是无理数,则D(x+2k)=D(x)=0,
f(x+2k)=D(x+2k)·sin[π(x+2k)]=D(x)·sin πx=f(x),
即函数f(x)是周期函数,故B正确;
函数D(x)的值域为{0,1},当x为无理数时,f(x)=0,
当x为有理数时,f(x)=sin πx,πx不能取到一个周期中的所有实数,所以f(x)=sin πx取不到[-1,1]的全部,故C错误;
f(x)=D(x)·sin πx=0,当x为有理数时,f(x)=sin πx,得出在区间[-1,1]上的零点分别是-1,0,1,即有3个有理数零点,故D正确.故选ABD.
8.2　解析 由题意整理得f(x)=x2+(a-2)x+cos x+1,
∴f(-x)=(-x)2+(a-2)(-x)+cos(-x)+1=x2+(2-a)x+cos x+1,
∵函数f(x)是偶函数,
∴f(x)=f(-x),即x2+(a-2)x+cos x+1=x2+(2-a)x+cos x+1,
解得a=2.
9.[-2,1]　解析 因为f(x)≤1,
若x≤0,则()x-3≤1,即()x≤4=()-2,解得-2≤x≤0;
若x>0,则x2≤1,解得0综上,不等式f(x)≤1的解集为[-2,1].
10.A　解析 当x>0时,f(x)=1-ex,此时-x<0,则f(-x)=e-(-x)-1=ex-1=-f(x);
当x<0时,f(x)=e-x-1,此时-x>0,则f(-x)=1-e-x=-f(x);
且当x=0时,f(0)=0,所以f(x)为奇函数,
易知f(x)为R上的单调递减函数,则由f(2x)+f(x-3)>0,得f(2x)>-f(x-3)=f(3-x),则2x<3-x,解得x<1,所以原不等式的解集为(-∞,1).故选A.
11.AC　解析 由f(x+2)=-f(x)=f(-x)知,f(x)的图象关于直线x=1对称,所以A正确;
所以f()=f()=tan,所以B错误;
奇函数f(x)在[0,1]上单调递增,且f(0)=0,所以f(x)在[-1,1]上单调递增,由f(x+4)=-f(x+2)=f(x)知,f(x)是周期为4的函数,
所以f(x)在区间[2 023,2 025]上单调递增,所以C正确;
因为曲线f(x)关于直线x=1对称,f()=,且f(x)在[-1,1]上单调递增,
所以方程f(x)=在[-1,1]上有一根,再结合对称性可得f(x)=在[1,3]上有一根,即一个周期内有两根,且和为2,故f(x)=在[0,201]上所有根的和为2×(1+5+9+…+201)-(202-)=10 100,所以D错误.故选AC.
12.ABD　解析 对于A,因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=cos(-x)-sin(cos(-x))-1=cos x-sin(cos x)-1=f(x),所以f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,故A正确;
对于B,因为f(x+2π)=cos(x+2π)-sin(cos(x+2π))-1=cos x-sin(cos x)-1=f(x),所以f(x)的一个周期是2π,故B正确;
对于C,f'(x)=-sin x+sin xcos(cos x)=sin x[cos(cos x)-1],因为x∈[0,π],所以sin x≥0,又cos(cos x)-1≤0,所以f'(x)≤0,当且仅当x=0,或x=π或x=时,f'(x)=0,所以f(x)=cos x-sin(cos x)-1是[0,π]上的单调递减函数,故C错误;
对于D,因为-1≤cos x≤1,令t=cos x,则y=t-sin t-1,求导得y'=1-cos t,由于cos t∈[-1,1],所以y'=1-cos t≥0,所以y=t-sin t-1单调递增.
当t=1时,y取得最大值1-sin 1-1=-sin 1;
当t=-1时,y取得最小值-1-sin(-1)-1=sin 1-2.
因为sin 1>sin,
所以-sin 1<-sin=-,
即f(x)<-,故D正确.
故选ABD.
13.(-∞,)　解析 因为对 x∈R都有f(x)+f(-x)=0,所以f(x)是R上的奇函数,
又当x≥0时,f(x)=x2+2x=(x+1)2-1,显然f(x)在(0,+∞)内单调递增,故函数f(x)在R上单调递增.
当x<0时,-x>0,则f(-x)=x2-2x,即f(x)=-f(-x)=-x2+2x;
由f(f(x))+f(x+1)<0,可得f(f(x))<-f(x+1)=f(-x-1),
故得f(x)<-x-1,
则有
或
即
解得x<,
所以不等式f(f(x))+f(x+1)<0的解集为(-∞,).
14.(1)2　(2)[-2,-1)∪[1,2)　解析 (1)当a=0时,函数f(x)=
当x>0时,f(x)=2x,f(-x)=()-x=2x,根据题意得2x=2x,解得x=2或x=1,
则集合{x|x>0,f(x)=f(-x)}中恰有2个元素,故f(x)=是“2阶准偶函数”.
(2)若函数f(x)=是“1阶准偶函数”,则集合{x|x>0,f(x)=f(-x)}中恰有1个元素,当a=0时,f(x)=是“2阶准偶函数”,不符合题意;
当a<0时,函数f(x)=的图象如图①所示,
图①
图②
根据“1阶准偶函数”的定义得f(x)=2x,f(-x)=()-x=2x,
由题意知f(x)=f(-x),所以2x=2x,解得x=1或x=2,要使得集合{x|x>0,f(x)=f(-x)}中恰有1个元素,则需要满足-2≤a<-1.
当a>0时,函数f(x)=的图象如图②所示,
根据“1阶准偶函数”的定义得当0由题意知f(x)=f(-x),当()x=2x时,解得x=0,不符合题意;当x>a时,f(x)=2x,f(-x)==2x,由题意f(x)=f(-x)得2x=2x,解得x=2或x=1,要使得集合{x|x>0,f(x)=f(-x)}中恰有1个元素,则需要满足1≤a<2.
综上,若函数f(x)是“1阶准偶函数”,则a的取值范围是[-2,-1)∪[1,2).
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