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2026高考数学第二轮专题
专题突破练22　基本初等函数、函数与方程
必备知识夯实练
1.(2025湖南沅澧共同体一模)已知幂函数f(x)=(m2+2m-2)xm+2在(0,+∞)内单调递增,则m的值为(　　)
A.1 B.-3
C.-4 D.1或-3
2.(2023天津卷,3)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则(　　)
A.c>a>b B.c>b>a
C.a>b>c D.b>a>c
3.(2025湖南长沙模拟)已知lg a+lg b=0(a>0,b>0,且a≠1,b≠1),则函数f(x)=a-x与g(x)=logbx的图象可能是(　　)
A. B.
C. D.
4.(2025河北沧州二模)函数f(x)=2x+ln x-1的零点所在的区间为(　　)
A.(0,) B.(,1)
C.(1,) D.(,2
5.(2025山东聊城模拟)设函数f(x)=log3(x2-ax+3)在区间(0,1)内单调递减,则a的最大值为(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
6.(2025北京顺义一模)在天文学中,天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等m是在地球上看到的星体亮度等级,视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距(10秒差距≈32.6光年)时的视星等,这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等m和绝对星等M满足m-M=5lg(),其中d是与地球的距离,单位为秒差距.若恒星A距离地球约32.6光年,恒星B距离地球约326光年,恒星A,B的视星等满足mB-mA=4,则(　　)
A.MB=MA+4 B.MB=MA+6
C.MA=MB+1 D.MA=MB+6
7.(多选题)(2025湖南郴州三模)已知函数f(x)=则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是奇函数
B.f(x)是增函数
C.不等式f(x)>0的解集为(-∞,0]∪(1,+∞)
D.若函数y=f(x)-a恰有两个零点,则a的取值范围为(0,1]
8.(2024全国甲,理15)已知a>1且=-,则a=　　　　　.
9.(2025江苏盐城三模)设函数f(x)=则关于x的方程[f(x)]2-3f(x)+2=0的解的个数是　　　　　.
关键能力提升练
10.(2025湖南永州开学考试)若函数f(x)=ax-k(a>0且a≠1)的图象经过定点(19,1),且函数g(x)=loga(x+k-19)满足g(x1x2x3…x2 023)=19,则g()+g()+g()+…+g()的值为(　　)
A. B.19
C.38 D.loga19
11.(2025浙江宁波模拟)已知函数f(x)=(a>0且a≠1)在R上为单调函数.若方程f2(x)-4|f(x)|+3=0有4个不同的实数解,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,] B.[]
C.(] D.(,1)
12.(多选题)(2025湖南长沙模拟)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=a有四个不同的实数解x1,x2,x3,x4,且满足x1A.0B.x1+2x2的取值范围是(3,)
C.x1+x2+x3+x4的取值范围是(10,+∞)
D.2x1+x2的取值范围是[2,3)
13.(2025湖南沅澧共同体模拟)人教A版高中数学必修第一册教材第87页中提到:函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数.有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.若函数f(x)=log2(+tx)-(t>0)的图象关于点(0,-1)成中心对称图形,则实数t的值为　　　,若f(2m2)+f(m-3)>-2,则实数m的取值范围是　　　　.
核心素养创新练
14.(多选题)(2025江苏宿迁二模)在平面直角坐标系xOy中,设A(x1,y1),B(x2,y2),定义:ABn=(|x1-x2|n+|y1-y2|n.若s,t∈N*,且sA.若点A,B关于x轴对称,则ABs=ABt
B.若点A,B关于直线y=x对称,则ABs≥ABt
C.若OAs=2OBs,则OAt=2OBt
D.若P={M|AMs≤1},Q={M|AMt≤1},则P Q
答案：
1.A　解析 由题意可得解得所以m=1.故选A.
2.D　解析 因为函数y=1.01x为增函数,所以1.010.6>1.010.5>1.010=1.
又0.60.5<0.60=1,所以1.010.6>1.010.5>0.60.5,即b>a>c.故选D.
3.B　解析 由lg a+lg b=0可知,=b,故f(x)=a-x=bx,故函数f(x)=a-x与函数g(x)=logbx的单调性相同.故选B.
4.B　解析 因为y=2x与y=ln x-1均在定义域上单调递增,
所以f(x)=2x+ln x-1在(0,+∞)内单调递增,
又f()=+ln-1=-1-ln 2,
因为-1<,ln 2>ln,
所以f()=-1-ln 2<0,
又f(1)=2+ln 1-1=1>0,
所以函数f(x)的零点所在区间是(,1).故选B.
5.B　解析 由f(x)=log3(x2-ax+3)在区间(0,1)内单调递减,可得y=x2-ax+3在(0,1)内单调递减,且在(0,1)内y>0,抛物线y=x2-ax+3的对称轴为直线x=,由解得2≤a≤4,所以a的最大值为4.故选B.
6.C　解析 由题意得mA-MA=5lg(),mB-MB=5lg(),
两式相减,可得mA-MA-mB+MB=5lg()-5lg()=-5,
又mB-mA=4,所以MB-MA=-1,所以MA=MB+1.故选C.
7.CD　解析 作出f(x)的大致图象如图.
由图象可知,f(x)的图象不关于原点对称,所以f(x)不是奇函数,故A错误;
f(x)在定义域内不单调,故B错误;
若f(x)>0,则x≤0或x>1,即不等式f(x)>0的解集为(-∞,0]∪(1,+∞),故C正确;
令y=f(x)-a=0,则f(x)=a,原题意等价于y=f(x)与y=a的图象有2个交点,则0所以a的取值范围为(0,1],故D正确.故选CD.
8.64　解析 由log2a=-,得(log2a)2-5log2a-6=0,即(log2a+1)(log2a-6)=0,
又a>1,则log2a+1>0,
所以log2a=6,则a=64.
9.5　解析 由[f(x)]2-3f(x)+2=0,得f(x)=1或f(x)=2,
当f(x)=1时,若x≤0,
则8x+1=1,无解.
若x>0,则|log6x|=1,故log6x=1或log6x=-1,解得x=6或x=
当f(x)=2时,若x≤0,则8x+1=2,解得x=0.
若x>0,则|log6x|=2,故log6x=2或log6x=-2,解得x=36或x=
所以方程[f(x)]2-3f(x)+2=0的解的个数是5.
10.C　解析 因为函数f(x)=ax-k(a>0且a≠1)的图象经过定点(19,1),
所以f(19)=a19-k=1,则19-k=0,
则k=19,
所以g(x)=logax.
又g(x1x2x3…x2 023)=loga(x1x2x3…x2 023)=19,
所以g()+g()+g()+…+g()=loga()+loga()+loga()+…+loga()
=loga()
=loga
=2loga(x1x2x3…x2 023)=2×19=38.故选C.
11.C　解析 由题意可知f(x)为单调函数,当x>2时,f(x)单调递减;
故当x≤2时,f(x)也单调递减,故0要确保f(x)在R上单调递减,
则-(2-2)2+4a=4a≤f(2)=2,
解得a,
所以满足f(x)在R上单调递减时,实数a的取值范围为0当x≤2时,f(x)=ax-2+1,
又f(x)在(-∞,2]上单调递减,0即f(x)在(-∞,2]上的值域为[2,+∞).
令f2(x)-4|f(x)|+3=0,
则|f(x)|=1或|f(x)|=3,
即f(x)=±1或f(x)=±3,
要使得f2(x)-4|f(x)|+3=0有4个不同的实数解,
则-(2-2)2+4a=4a>1,解得a>
综上,实数a的取值范围为12.ABD　解析 作函数f(x)=的大致图象如图.
关于x的方程f(x)=a有四个不同的实数解,即直线y=a与y=f(x)的图象有4个交点,数形结合可得0由图象可得0<-log2x1=log2x2<1,则=x2,即x1x2=1,且1因为令y=2x1+x2=2x1+,根据“对勾”函数单调性可得y=2x1+在()内单调递减,在(,1)内单调递增,故y∈[2,3),所以D正确.
故选ABD.
13.1　(-∞,-)∪(1,+∞)　解析 由函数f(x)=log2(+tx)-(t>0)的图象关于点(0,-1)成中心对称,得g(x)=f(x)+1为奇函数,g(x)=log2(+tx)-+1,g(-x)=log2(-tx)-+1=log2(-tx)-+1,又g(x)+g(-x)=0,
则log2(+tx)-+1+log2(-tx)-+1=0,
所以log2[(+tx)(-tx)]-2=0,
所以log2(x2+4-t2x2)-2=0,所以x2+4-t2x2=4,即x2(1-t2)=0,那么t2=1,又t>0,所以t=1.
显然t=1满足题意.
故函数f(x)=log2(+x)-,g(x)=log2(+x)-+1.
因为y=log2(+x)+1,y=-在[0,+∞)内都是递增函数,所以g(x)=log2(+x)-+1在[0,+∞)内是递增函数,又因为g(x)是奇函数,且是连续函数,所以函数g(x)在R上单调递增,要使f(2m2)+f(m-3)>-2,
即f(2m2)+1>-[f(m-3)+1],即g(2m2)>-g(m-3)=g(3-m)成立,
只需2m2>3-m,即2m2+m-3>0成立,解得m>1或m<-,
故m的取值范围是(-∞,-)∪(1,+∞).
14.ABD　解析 因为点A,B关于x轴对称,且A(x1,y1),B(x2,y2),
所以B(x1,-y1),
而ABn=(|x1-x2|n+|y1-y2|n,
得到ABs=(|x1-x2|s+|y1-y2|s=(|y1-(-y1)|s=(|2y1|s=|2y1|,
同理ABt=(|x1-x2|t+|y1-y2|t=(|y1-(-y1)|t=(|2y1|t=|2y1|,
即此时满足ABs=ABt,故A正确;
因为点A,B关于直线y=x对称,且A(x1,y1),B(x2,y2),
所以B(y1,x1),
则ABs=(|x1-x2|s+|y1-y2|s=(2|x1-x2|s|x1-x2|,ABt=(|x1-x2|t+|y1-y2|t=(2|x1-x2|t|x1-x2|,
构造函数f(x)=2x,由指数函数性质得f(x)在R上单调递增,因为s,t∈N*,且sf(),则,得到|x1-x2|>|x1-x2|,即ABs>ABt,则ABs≥ABt,故B正确;
由题意得OAs=(|x1|s+|y1|s,OBs=(|x2|s+|y2|s,
因为OAs=2OBs,所以(|x1|s+|y1|s=2(|x2|s+|y2|s,
得到|x1|s+|y1|s=2s(|x2|s+|y2|s)=|2x2|s+|2y2|s,
令x1=2,x2=0,y1=2,y2=,符合题意,此时OAt=(2t+2t=2,
而OBt=(||t,则2OBt=2,由已知得,则2OBt>OAt,故C错误;
设M(x,y)∈P,A(x0,y0),则AMs=(|x-x0|s+|y-y0|s1,
则|x-x0|s+|y-y0|s≤1,从而|x-x0|s,|y-y0|s∈[0,1],1≥|x-x0|s+|y-y0|s≥|x-x0|t+|y-y0|t,
则AMt=(|x-x0|t+|y-y0|t1,则M(x,y)∈Q,P Q,故D正确.
故选ABD.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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