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2026高考数学第二轮专题
专题突破练23　切线与公切线问题
必备知识夯实练
1.(2025广东惠州模拟)曲线f(x)=x2-2在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为(　　)
A. B.
C. D.
2.(2025安徽合肥模拟)已知曲线f(x)=ln x+ex在点(1,f(1))处的切线与直线x-ay=0垂直,则a=(　　)
A.1+e B.
C.-1-e D.-
3.(2025山东青岛模拟)过点P(1,-1)作曲线f(x)=x3-x的切线,不同的切线条数为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
4.(2025江西赣州模拟)函数f(x)=ln x图象上的点P到直线y=的最短距离为(　　)
A. B.
C. D.
5.(2025山东济宁模拟)已知函数f(x)=则曲线f(x)在点(7,f(7))处的切线方程为(　　)
A.8x+y-40=0
B.4x+y-12=0
C.8x-y-72=0
D.x+4y-22=0
6.已知函数f(x)=,g(x)=3ln x,若直线l与曲线y=f(x)及y=g(x)均相切,且切点相同,则公切线l的一般式方程为　　　　　.
7.(2025河北石家庄模拟)若曲线f(x)=ax2与g(x)=ln x+1在公共点处存在公共的切线,则a=　　　　　.
8.(2025浙江金华模拟)若直线mx-y+2m-6=0是曲线f(x)=x3-x的切线,则m的值可以是　　　　　.(写出一个值即可)
9.(2025山东济南模拟)若曲线f(x)=ex-a(a>0)在点(0,f(0))处的切线也是曲线g(x)=ln(x+b)(b>0)的切线,则的最小值为　　　　　.
关键能力提升练
10.(2025宁夏石嘴山三模)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=ln x,若曲线y=f(x)与y=g(x)有两条公切线,则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
11.(2025河南周口二模)将曲线f(x)=ln绕原点逆时针旋转角α后第一次与y轴相切,则tan α=(　　)
A.- B.-
C.-2e D.-e
12.(2025山东聊城二模)过函数图象上一点,垂直于函数在该点处的切线的直线,称为函数在该点处的“法线”.若一条直线同时是两个函数的法线,则称该直线为两个函数的“公法线”.函数y=与函数y=1+ex+1的“公法线”的一般式方程为　　　　　　　　.
13.(2025浙江强基联盟一模)在动画和游戏开发中,相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线,且曲线不重合,则称两条曲线相切.设两抛物线y=x2+a与y2=x相切,则a=　　　　　.
核心素养创新练
14.(多选题)(2025辽宁本溪模拟)若函数f(x)在其图象上两个不同点A,B处的切线完全重合,则称直线AB为曲线y=f(x)的“自公切线”,f(x)为“自公切线函数”,则下列选项正确的是(　　)
A.函数f(x)=x2+ex是“自公切线函数”
B.函数f(x)=x-cos x是“自公切线函数”
C.曲线f(x)=-x2+2|x|的“自公切线”方程为y=1
D.曲线f(x)=x3+的“自公切线”方程为y=8x
答案：
1.B　解析 因为f(x)=x2-2,
所以f'(x)=x,则f'(1)=1.
设切线的倾斜角为α,则tan α=1,
又α∈[0,π),所以α=故选B.
2.C　解析 由f(x)=ln x+ex,得f'(x)=+ex,
即f'(1)=1+e,即曲线在点(1,f(1))处的切线斜率为1+e.
又曲线的切线与直线x-ay=0垂直,可得a≠0,所以(1+e)=-1,
解得a=-1-e.故选C.
3.C　解析 由题意设切点坐标为(x0,-x0),易知x0≠1.因为f'(x)=3x2-1,所以切线斜率3-1=,又x0≠1,化简可得2-3=0,解得x0=0或x0=,所以满足条件的切点有两个,对应切线有2条.故选C.
4.C　解析 设与直线y=平行且与曲线f(x)=ln x相切的直线的切点坐标为
因为f'(x)=,所以,
解得x0=1,则切点坐标为(1,0).
最短距离为点(1,0)到直线y=的距离,即d=故选C.
5.A　解析 当x∈(0,2]时,f'(x)=2x-3,
当x∈(6,8]时,f(x)=2f(x-2)=8f(x-6),则f'(x)=8f'(x-6),
所以f(7)=8f(1)=-16,f'(7)=8f'(1)=-8,
则所求切线方程为y-(-16)=-8(x-7),即8x+y-40=0.
故选A.
6.3x-ey=0　解析 设切点为(x0,y0),
由
得
解得x0=e,y0=3ln x0=3,
故切线方程为y-3=(x-e),
即3x-ey=0.
7　解析 函数f(x)=ax2与g(x)=ln x+1的导数分别为f'(x)=2ax与g'(x)=,
设公共点坐标为(x0,y0),
则所以ln x0+1=a,
又2a=1,故ln x0=-,
即x0=,所以a=
8.11或2(写出其中一个即可)　解析 设切点为(t,t3-t),f'(x)=3x2-1,f'(t)=3t2-1,所以切线方程为y-(t3-t)=(3t2-1)(x-t),
整理得y=(3t2-1)x-2t3,
由mx-y+2m-6=0,得y=mx+2m-6,
所以
消去m,化简得(t-1)(t+2)2=0,
解得t=1或t=-2,则m=3-1=2或m=3×4-1=11,
所以m的值为2或11.
9.2　解析 (ex-a)'=ex,(ln(x+b))'=
因为曲线f(x)=ex-a(a>0)在点(0,f(0))处的切线的斜率为e0=1,
故曲线f(x)=ex-a(a>0)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x-0+e0-a=x+1-a.
设该直线与曲线g(x)=ln(x+b)(b>0)的切点坐标为(m,ln(m+b)),
则=1,故m=1-b,故切点坐标为(1-b,0),
该切点在直线y=x+1-a上,
故0=1-b+1-a,即a+b=2,
故(a+b)()=(2+)≥2,
当且仅当a=b=1时,等号成立,
故的最小值为2.
10.C　解析 设公切线与曲线y=f(x)、曲线y=g(x)相切的切点分别为(t,at2+1),(x0,ln x0),
而f'(x)=2ax,g'(x)=,易验证当t=x0时不符合题意,所以有2at=,则x0>0,
又a>0,则t>0,
消去x0,得at2-ln(2at)-2=0.
令函数h(t)=at2-ln(2at)-2(t>0),
由曲线y=f(x)与y=g(x)有两条公切线,得函数h(t)有两个不同的正零点.
h'(t)=2at-,当0时,h'(t)>0,
函数h(t)在内单调递减,在内单调递增,h(t)min=h=-ln(2a)-,
而当t从大于0的方向趋近于0时,h(t)→+∞,当t→+∞时,h(t)→+∞,
则当且仅当-ln(2a)-<0,即a>时,函数h(t)有两个不同的正零点,
所以a的取值范围是
故选C.
11.D　解析 根据题意,曲线f(x)=ln绕原点逆时针旋转角α后第一次与y轴相切,则y=tanx是曲线f(x)=ln过原点的切线.
设切点坐标为(x0,-ln x0),
又由f'(x)=-,即切点处切线的斜率满足tan=-
把切点坐标代入方程y=tanx,得-ln x0=-x0,解得x0=e,
故tan=-,所以=-,故tan α=-e.故选D.
12.x+y-1=0　解析 易验证对y=来说,当x=0或x=1时,都不满足题意.
由y=求导得y'=,则法线斜率为-,
则曲线y=在点(a,)(0由“公法线”得-=-+1+eb+1,解得a=,b=-1,
所以“公法线”的一般式方程为x+y-1=0.
13　解析 由题意可知,两抛物线y=x2+a与y2=x只可能在第一象限相切.
设两条抛物线相切于点(x0,y0),抛物线y=x2+a在该点处的切线的斜率为2x0,抛物线y2=x在第一象限的图象为函数y=在第一象限的图象,曲线y=在该点处的切线的斜率为,
所以有2x0=,解得x0=,y0=,
所以切点为,代入y=x2+a,解得a=
14.BCD　解析 若f(x)为“自公切线函数”,则f'(x)在某区间内不单调,
由f(x)=x2+ex,得f'(x)=2x+ex,因为f'(x)在R上单调递增,
故f(x)=x2+ex不是“自公切线函数”,故A错误;
因为f(x)=x-cos x,所以f'(x)=1+sin x,当x=2kπ(k∈Z)时,f'(2kπ)=1,f(2kπ)=2kπ-1,
则曲线f(x)在点(2kπ,2kπ-1)(k∈Z)处的切线方程为y-2kπ+1=x-2kπ(k∈Z),即y=x-1,
所以f(x)=x-cos x是“自公切线函数”,故B正确;
当x≥0时,f(x)=-x2+2x,
则f'(x)=-2x+2,
当x<0时,f(x)=-x2-2x,
则f'(x)=-2x-2,所以f'(1)=f'(-1)=0,f(1)=f(-1)=1,
所以曲线f(x)在点(-1,1)和点(1,1)处的切线方程均为y=1,
即曲线f(x)=-x2+2|x|的“自公切线”方程为y=1,故C正确;
因为f(x)=x3+,x≠0,
所以f'(x)=3x2-,x≠0,
则f'(-x)=f'(x),所以f'(x)为(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,
令h(x)=3x2-,x≠0,则h'(x)=6x+,当x>0时,h'(x)>0,当x<0时,h'(x)<0,
所以h(x)即f'(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,
所以必存在x1,x2,且x1≠x2≠0,使得f'(x1)=f'(x2),且x1+x2=0,
不妨设两切点分别为A(x1,),B(x2,),
因为f(x)=x3+,x≠0,
则f(-x)=-f(x),
所以f(x)为奇函数,
又x1+x2=0,所以切点A,B关于原点对称,且切线的斜率k=f'(x1)=kAO=kBO,
又f'(x1)=3,kAO=,
所以3,
整理得=16,解得x1=2或x1=-2,取A(2,16),B(-2,-16),则k=8,
故曲线f(x)=x3+的“自公切线”方程为y=8x,故D正确.故选BCD.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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