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2026高考数学第二轮专题
“116分”综合提升卷2
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.
1.(2025江苏宿迁二模)设集合U=R,M={x|x>1},N={x|-1A. U(M∩N)
B. U(M∪N)
C.M∪( UN)
D.N∪( UM)
2.(2025山东聊城一模)已知角α∈(0,π),向量a=(1,),b=(cos α,sin α),若a∥b,则α=(　　)
A. B.
C. D.
3.(2025江苏南通模拟)若(x+)n(n∈N*)的展开式中存在常数项,则n的最小值为(　　)
A.1 B.3
C.5 D.6
4.(2025山东潍坊二模)已知-1+i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个复数根,则m+n=(　　)
A.-5 B.-1
C.1 D.5
5.(2025山东聊城二模)为了研究某市高中生的脚长x(单位:cm)和身高y(单位:cm)的关系,市卫健委从该市随机抽取若干名高中生做调查,经统计,所调查数据的=19.25,=161,根据最小二乘法算得脚长和身高的经验回归方程为=4x+.已知被调查的某学生的脚长为25 cm,身高为180 cm,则该样本点的残差为(　　)
A.1 B.-1
C.4 D.-4
6.(2025河南开封模拟)已知函数f(x)=ax3-2x2-3x+1在R上单调递减,则实数a的取值范围为(　　)
A.[-,+∞) B.[-,+∞)
C.(-∞,-] D.(-∞,-]
7.(2025河北沧州模拟)已知a>0,且f(x)=ln为奇函数,则(　　)
A.f()>f()>0
B.f()>f()>0
C.f()>0>f()
D.f()>0>f()
8.(2025山东泰安二模)已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥F1Q,=2,则椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共计18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.(2025山东菏泽一模)已知函数f(x)的定义域为R,且f(1)≠0,若f(xy)=yf(x),则(　　)
A.f(0)=0
B.f(x)是奇函数
C.f(x)是增函数
D.f(x)+f(2x)=f(3x)
10.(2025湖北黄石模拟)已知某平面图形由如图所示的四个全等的等腰三角形ABO,三角形CBO,三角形FEO,三角形DEO拼成,其中线段AD,CF,BE的中点均为O,且AO=BO=2.若将该平面图形绕着直线a旋转半周所围成的几何体记为Ω1,将该平面图形绕着直线b旋转半周所围成的几何体记为Ω2,直线a⊥直线b,则(　　)
A.Ω1的体积为π
B.Ω2的表面积为(12-4)π
C.经过两次旋转后,点A所有的运动轨迹总长为4π
D.Ω2的体积为4π
11.(2025广东广州模拟)已知离散型随机变量X的分布列为P(X=xi)=pi(i=1,2,3,…,n).定义随机变量Y=etX(t∈R,e为自然对数的底数,e=2.718 28…)的分布列如下:
Y …
P p1 p2 … pn
随机变量Y的数学期望E(Y)=E(etX)=pi称为随机变量X的生成函数,记为MX(t).M'X(0)是函数MX(t)在t=0处的导数,则(　　)
A.M'X(0)=E(X)
B.若X服从两点分布,P(X=0)=P(X=1)=,则MX(t)=
C.若X~B(n,p),则MX(t)=(etp+1-p)n
D.若实数a,b为常数,则MaX+b(t)=ebt·MX(at)
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共计15分.
12.(2025山东青岛二模)记等差数列{an}的前n项和为Sn,且an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=,则Sn=　　　　.
13.(2025北京丰台二模)已知直线x=-为函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0)图象的一条对称轴,则满足条件的一个ω的取值为　　　　;若f(x)在区间(-,0)上有零点,则ω的最小值为　　　　.
14.(2025安徽A10联盟模拟)已知点P(1,m)不在函数f(x)=x3-3mx的图象上,且过点P有三条直线与f(x)的图象相切,则实数m的取值范围为　　　　　　.
四、解答题:本大题共3小题,共计43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)(2025北京东城二模)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD是正方形, AB=1,AA1=2,点M在棱CC1上,AC1∥平面BDM.
(1)求证:M为CC1的中点;
(2)求平面BDM与平面B1DM夹角的余弦值.
16.(15分)(2025河北石家庄教学质量检测)已知函数f(x)=2aln x+x2-(a+2)x,其中a>0.
(1)若a=1,求f(x)的单调区间;
(2)若g(x)=f(x)-x2+(a+1)x+,x1,x2为g(x)的两个不同的极值点,求g(x1)+g(x2)-4a的最小值.
17.(15分)(2025山东济南一模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,点O为坐标原点,过C的右焦点的直线l交C的右支于P,Q两点,当l⊥x轴时,|PQ|=2.
(1)求C的方程;
(2)过点P作直线x=1的垂线,垂足为N.
(ⅰ)证明:直线NQ过定点;
(ⅱ)求△OQN面积的最小值.
答案：
1.B　解析 依题意,M∩N={x|1-1},所以 U(M∩N)={x|x≤1或x≥2},故A错误; U(M∪N)={x|x≤-1},故B正确; UN={x|x≤-1或x≥2},M∪( UN)={x|x≤-1或x>1},故C错误. UM={x|x≤1},N∪( UM)={x|x<2},故D错误.
2.B　解析 因为α∈(0,π),所以sin α>0.向量a=(1,),b=(cos α,sin α),若a∥b,则sin α=cos α>0,可得tan α=,故α=
3.B　解析 (x+)n的展开式的通项为Tr+1=xn-r()r=xn-3r,r∈N,r≤n,
依题意,n-3r=0有正整数解,则n是3的正整数倍,
所以n的最小值为3.
4.D　解析 因为-1+i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个复数根,所以-1-i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的另一个复数根,由根与系数的关系得-m=-1+i+(-1-i),解得m=2,n=(-1+i)(-1-i)=1-2i2=3,则m+n=5,故D正确.
5.D　解析 因为=19.25,=161,又经验回归直线=4x+必过点(),所以161=4×19.25+,解得=84,所以=4x+84.当x=25时,=4×25+84=184,所以该样本点的残差为180-184=-4.
6.D　解析 由题知f'(x)=3ax2-4x-3≤0在R上恒成立,
所以得a≤-
7.A　解析 因为f(x)的定义域为(-),f(x)为奇函数,所以a=3,则f(x)=ln=ln(-1).
由于y=1-3x(-因此f(x)为定义在(-)上的增函数.
因为a=3>0,所以0<2a<3a,所以0<,
故f()>f()>f(0)=0.
8.D　解析 由=2,可得|QF2|=2|PF2|.
设|PF2|=m,则|QF2|=2m,|PF1|=2a-m,|QF1|=2a-2m.由PQ⊥F1Q,则|PF1|2=|PQ|2+|QF1|2,即(2a-m)2=9m2+(2a-2m)2,解得m=(m=0舍去).所以|QF1|=2a-2,|QF2|=a.因为|F1F2|2=|QF1|2+|QF2|2,即4c2=,解得,所以椭圆的离心率e=
9.ABD　解析 令y=-1,可得f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函数,故B正确;因为f(x)的定义域为R,且f(x)为奇函数,所以f(0)=0,故A正确;不妨取f(x)=-x,则满足f(xy)=yf(x),且f(1)≠0,但f(x)=-x不是增函数,故C错误;令y=2,则f(2x)=2f(x),令y=3,则f(3x)=3f(x),故f(x)+f(2x)=f(x)+2f(x)=3f(x)=f(3x),故D正确.
10.AD　解析 如图,过点A作直线a的垂线,垂足为H,过点A作直线b的垂线,垂足为M.
由题意得AO=2,AB=BO=2,所以cos∠ABO==-,故∠ABO=所以∠ABM=,所以BM=1,AM=,AH=3.该平面图形绕着直线a旋转半周所围成的几何体为2个圆台挖去2个圆锥,其中圆台的2个底面半径分别为BO=2,AH=3,高为AM=,圆锥的底面半径为AH=3,高为AM=,所以Ω1的体积为V=2×[(4π++9π)9π]=,故A正确;该平面图形绕着直线b旋转半周所围成的几何体为2个大圆锥挖去2个小圆锥,其中大圆锥的底面半径为AM=,母线长为AO=2,高为OM=3,小圆锥的底面半径为AM=,母线长为AB=2,高为BM=1,则Ω2的表面积为2个大圆锥和2个小圆锥的侧面积之和,所以Ω2的表面积为S=2×(2+2)=2×(6+2)=12+4,故B错误;该平面图形绕着直线a旋转半周,点A的运动轨迹为半径为3的半圆,该平面图形绕着直线b旋转半周,点A的运动轨迹为半径为的半圆,所以经过两次旋转后,点A所有的运动轨迹总长为3π+=(3+)π,故C错误;由选项B知Ω2的体积为V=2×(3π×3-3π×1)=4π,故D正确.
11.AD　解析 对于A,随机变量X的生成函数MX(t)=E(etX),则M'X(t)=E(XetX),当t=0时,MX'(0)=E(Xe0)=E(X),故A正确;对于B,X服从两点分布,P(X=0)=P(X=1)=,则生成函数为MX(t)=et·0+et·1,故B错误;对于C,X~B(n,p),则P(X=k)=pk(1-p)n-k, k=0,1,2,…,n,则生成函数为MX(t)=E(etX)=etkpk(1-p)n-k=(etp)k(1-p)n-k=(1-p+pet)n,故C错误;对于D,对于线性变换aX+b的生成函数MaX+b(t)=E(et(aX+b))=E(eatX+bt)=ebt·MX(at),故D正确.
12　解析 由an=Sn-Sn-1代入已知,得Sn-Sn-1+2SnSn-1=0.若SnSn-1=0,则Sn=Sn-1=0,又S1=a1≠0,不符合题意,故SnSn-1≠0,所以+2=0,即=2,n≥2,又=2,可得{}是首项为2,公差为2的等差数列,所以=2+(n-1)·2=2n,所以Sn=
13.1(答案不唯一)　4　解析 因为直线x=-为函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0)图象的一条对称轴,
所以-+=kπ,k∈Z,解得ω=1-3k,k∈Z,
又ω>0,所以可取ω=1(答案不唯一).
令ωx++mπ,m∈Z,解得x=,m∈Z,
若f(x)在区间(-,0)上有零点,由-<0,故m≤-1且ω>--3m,又ω>0且要求ω的最小值,所以ω的最小值为4.
14.(0,)　解析 点P(1,m)不在函数f(x)=x3-3mx的图象上,则f(1)=1-3m≠m,即m设过点P的直线与f(x)=x3-3mx的图象相切于点Q(t,t3-3mt),f'(x)=3x2-3m,则切线的斜率k=f'(t)=3t2-3m=,整理可得2t3-3t2+4m=0,则问题可转化为g(t)=2t3-3t2+4m有三个零点.g'(t)=6t2-6t,令g'(t)=0,可得t=0或t=1,当t∈(-∞,0)时,g'(t)>0,则g(t)在(-∞,0)上单调递增,当t∈(0,1)时,g'(t)<0,则g(t)在(0,1)上单调递减,当t∈(1,+∞)时,g'(t)>0,则g(t)在(1,+∞)上单调递增,即当t=0时,g(t)有极大值,当t=1时,g(t)有极小值,要使g(t)=2t3-3t2+4m有三个零点,则解得015.(1)证明 连接AC,交BD于点O,连接OM.
因为四边形ABCD是正方形,所以O是AC的中点.
因为AC1∥平面BDM,AC1 平面C1AC,且平面BDM∩平面C1AC=OM,所以AC1∥OM,所以M为CC1的中点.
(2)解 如图,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0),B(1,1,0),M(0,1,1),B1(1,1,2),则=(1,1,2),=(1,1,0),=(0,1,1),
设平面B1DM的法向量为m=(x,y,z),则取x=1,得平面B1DM的一个法向量为m=(1,1,-1),
设平面BDM的法向量为n=(u,v,w),
则取u=1,得平面BDM的一个法向量为n=(1,-1,1),设平面BDM与平面B1DM夹角为θ,则cos θ=-cos=-,所以平面BDM与平面B1DM夹角的余弦值为
16.解 (1)因为a=1,所以f(x)=2ln x+x2-3x(x>0),f'(x)=+x-3=(x>0),
令f'(x)>0,解得02,令f'(x)<0,解得1所以f(x)的单调递增区间为(0,1)和(2,+∞),单调递减区间为(1,2).
(2)由题意知g(x)=-x+2aln x(x>0),g'(x)=--1+(x>0),
由题可得-x2+2ax-a=0有两个不相等的正根x1,x2,
所以解得a>1,
所以g(x1)+g(x2)-4a=(-x1+2aln x1+-x2+2aln x2)-4a
=-(x1+x2)+2aln(x1x2)-4a=2aln a-4a.
令h(a)=2aln a-4a(a>1),则h'(a)=2ln a-2,
当a∈(1,e)时,h'(a)<0;当a∈(e,+∞)时,h'(a)>0,
所以h(a)在(1,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,
所以h(a)min=h(e)=2e-4e=-2e,
即g(x1)+g(x2)-4a的最小值为-2e.
17.(1)解 由题设且a2+b2=c2,得a=b,c=a,由l⊥x轴时,|PQ|=2,不妨令P(a,),代入双曲线得=1,所以a2=b2=2,c=2,则所求方程为=1.
(2)(ⅰ)证明 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则N(1,y1),由题可知l斜率不为0,设l:x=my+2,联立双曲线并整理得(m2-1)y2+4my+2=0,则m2-1≠0,Δ=8m2+8>0,
所以y1+y2=-,y1y2=,
由x2≠1,直线NQ:y=(x-1)+y1,
根据双曲线的对称性,直线NQ所过定点必在x轴上,
令y=0,则(x-1)+y1=0,得x=,
因为x2=my2+2,所以x=,而=-2m,
所以=my1y2,则x=,
所以NQ过定点M(,0).
(ⅱ)解 由S△OQN=|OM||y1-y2|=,
由l与C的右支交于两点,可得0≤m2<1,令t=m2-1∈[-1,0),则(-∞,-1],
则S△OQN=,
故S△OQN,当且仅当t=-1时,等号成立.
综上,S△OQN的最小值为
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