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2026高考数学第二轮专题
“116分”综合提升卷3
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.
1.(2025山东青岛一模)若(1+2i)z=5,则z·=(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
2.(2025北京海淀二模)圆心为(-1,2)且与x轴相切的圆的方程是(　　)
A.(x-1)2+(y+2)2=2
B.(x+1)2+(y-2)2=2
C.(x-1)2+(y+2)2=4
D.(x+1)2+(y-2)2=4
3.(2025广东汕头模拟)已知a=log0.50.2,b=0.50.5,c=20.5,则(　　)
A.aB.aC.bD.b4.(2025江苏南通模拟)如图,三棱锥P-ABC的体积为V,E,F分别是棱PB,PC上靠近点P的三等分点,G是棱AB上靠近点B的三等分点,H是棱AC上靠近点C的三等分点,则多面体BCFEGH的体积为(　　)
A.V B.V
C.V D.V
5.(2025江西新余模拟)已知,则cos 2α+cos2α=(　　)
A. B.
C.- D.-
6.(2025山东济南二模)已知集合A={(x,y)|y=ex,x∈R},B={(x,y)|y=x+a,x∈R},A∩B有且只有2个子集,则实数a=(　　)
A.-e B.-1
C.1 D.e
7.(2025安徽滁州二模)已知A,B,C三点在半径为1的圆O上运动,且|AB|=,则的取值范围为(　　)
A.[-] B.[-]
C.[] D.[-,-]
8.(2025山东日照二模)已知数列{an}的通项公式an=3n-1,在每相邻两项ak,ak+1之间插入2k个2(k∈N*),使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn},记数列{bn}的前n项和为Sn,则使Sn≥150成立的n的最小值为(　　)
A.20 B.21
C.22 D.23
二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共计18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.(2025河北廊坊模拟)某商场统计了180天的日收入(单位:万元),并分组如下:[0,2),[2,4),[4,6),…,[10,12],得到如图所示的频率分布直方图,则下列说法正确的是(　　)
A.这180天中日收入不低于8万元的有54天
B.用比例分配的分层随机抽样法从日收入低于8万元的天数中抽取14天,则这14天中有6天的日收入低于4万元
C.这组数据的平均数是6万元(每组数据以区间中点值为代表)
D.这组数据的第75百分位数为8.5万元
10.(2025江西师范大学附中二模)“∞”可以看作数学上的无穷符号,也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线C过坐标原点O,C上的点到两定点F1(-a,0),F2(a,0)(a>0)的距离之积为定值.则下列说法正确的是(　　)(参考数据:≈2.236)
A.若|F1F2|=12,则C的方程为(x2+y2)2=72(x2-y2)
B.若C上的点到两定点F1,F2的距离之积为16,则点(-4,0)在C上
C.若a=3,点(3,y0)在C上,则2<<3
D.当a=3时,C上第一象限内的点P满足△PF1F2的面积为,则|PF1|2-|PF2|2=18
11.(2025山东青岛模拟)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l过点F且与C交于A,B两点,O为坐标原点,点P(2,x0)为C上一点,且|PF|=3,则下列选项正确的是(　　)
A.过点M(2,3)且与抛物线C仅有一个公共点的直线有2条
B.当△AOB的面积为2时,|AF|·|BF|=8
C.△AOB为直角三角形
D.2|AF|+|BF|的最小值为3+2
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共计15分.
12.(2025江苏镇江模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则=　　　　.
13.(2025山东烟台模拟)现有8名同学分别去A,B两个小区做志愿服务工作,每人选择其中的一个小区,且每个小区至少去3名同学,则不同的安排方法种数为　　　　　.(用数字作答)
14.(2025浙江绍兴模拟)已知函数f(x)=sin ωπx(ω>0),将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,点A,B,C是f(x)与g(x)图象的连续相邻的三个交点,若△ABC是锐角三角形,则ω的取值范围是　　　　　　.
四、解答题:本大题共3小题,共计43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)(2025山东聊城二模)周末双休,四名同学约好一起参加体验活动,有甲、乙两个体验项目可供选择,每人必须参加且只能参加一个项目.四人约定每人通过掷一次质地均匀的骰子来决定自己参加哪个体验项目,若掷出的点数小于3,就体验甲项目,否则体验乙项目.
(1)求这4个人中恰有2人参加甲项目的概率;
(2)用X,Y分别表示这4个人中参加甲、乙项目的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列及期望.
16.(15分)(2025浙江稽阳联谊学校二模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c, BC=1且bcos C+csin B=1+2c.
(1)求B的大小;
(2)如图所示,D为△ABC外一点,∠DCB=B,CD=,AC=AD,求sin∠BCA的值.
17.(15分)(2025湖北七市(州)二模)已知函数f(x)=2ax+(2-a)ln x+.
(1)当a<0时,讨论f(x)的单调性;
(2)若a=0,g(x)=emx-x2+mx+,讨论关于x的方程f(x)-g(x)=0的根的个数.
答案：
1.C　解析 z==1-2i,所以=1+2i,所以z=(1-2i)(1+2i)=5.故选C.
2.D　解析 因为圆心为(-1,2)且与x轴相切,所以半径r=2,则圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=4.故选D.
3.D　解析 a=log0.50.2>log0.50.25=2>20.5=c,又y=x0.5在(0,+∞)上为增函数,所以b=0.50.5<20.5=c.综上,b4.B　解析 连接EC,EH.
∵S△FHC=S△PAC,∴VE-FHC=VE-APC=VB-APC=VB-APC=V.
∵S四边形HGBC=S△ABC-S△ABC=S△ABC,∴VE-HGBC=VP-HGBC=VP-ABC=VP-ABC=V,
∴多面体BCFEGH的体积为VE-FHC+VE-HGBC=V.故选B.
5.B　解析 ,sin α=sin(α-),即sin α=sin α-cos α,化简得tan α=-1,∴cos 2α+cos2α=故选B.
6.C　解析 令ex=x+a,则a=ex-x,记g(x)=ex-x,则g'(x)=ex-1,当x>0时,g'(x)>0,g(x)在(0,+∞)内单调递增,当x<0时,g'(x)<0,g(x)在(-∞,0)内单调递减,且当x→+∞时,g(x)→+∞,当x→-∞时,g(x)→+∞,g(0)=1,因此a=ex-x只有一个实数根,则a=g(0)=1,由于A∩B有且只有2个子集,则A∩B只有一个元素,故a=g(0)=1.故选C.
7.A　解析 如图,设AB的中点为E,因为|OA|=|OB|=1,|AB|=,
所以|OE|=,∠AOB=120°,=()·()=()+||2=1×1×(-)-2+1=-+1-2×1cos∠COE=-cos∠COE,
因为-1≤cos∠COE≤1,所以-故选A.
8.B　解析 由题设,数列{bn}各项依次为2,,8,,26,,80,,242,,…,当n=20时,S20=2+2×2+8+2×4+26+2×8+80+2×2=148,当n=21时,S21=S20+2=150,所以使Sn≥150成立的n的最小值为21.故选B.
9.AD　解析 由频率分布直方图得这180天中日收入不低于8万元的有(0.100+0.050)×2×180=54(天),故A正确;日收入低于8万元的各组[0,2),[2,4),[4,6),[6,8)的频率比为0.050∶0.075∶0.100∶0.125=2∶3∶4∶5,所以从日收入低于8万元的天数中抽取14天,各组抽取的天数依次为2,3,4,5,则这14天中有2+3=5(天)的日收入低于4万元,故B错误;这组数据的平均数是(0.050×1+0.075×3+0.100×5+0.125×7+0.100×9+0.050×11)×2=6.2(万元),故C错误;因为前4组的频率为(0.050+0.075+0.100+0.125)×2=0.7<0.75,前5组的频率为1-0.05×2=0.9>0.75,所以这组数据的第75百分位数在第5组为8+=8.5(万元),故D正确.故选AD.
10.ACD　解析 已知原点O在C上,则|OF1|·|OF2|=a2,设点(x,y)为C上任意一点,则有a2=,整理得(x2+y2)2=2a2(x2-y2).若|F1F2|=12,则C的方程为(x2+y2)2=72(x2-y2),故A正确;若|OF1|·|OF2|=16,则a=4,代入方程得(x2+y2)2=32(x2-y2),显然点(-4,0)不在此曲线上,故B错误;若a=3,点(3,y0)在C上,有=9,整理得(+18)2=405,所以=9-18≈2.124,故C正确;因为|PF1||PF2|sin∠F1PF2=,|PF1||PF2|=9,可得∠F1PF2=90°,所以点P是曲线C:(x2+y2)2=18(x2-y2)和以F1F2为直径的圆x2+y2=9在第一象限内的交点,联立方程,解得x=,y=,即P(),所以|PF1|2-|PF2|2=18,故D正确.故选ACD.
11.BD　解析 抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(,0),准线为x=-因为点P(2,x0)为C上一点,且|PF|=3,由抛物线定义可得2+=3,解得p=2,则抛物线方程为y2=4x.对于A,注意到32>4×2,则点M在抛物线外,如图所示,则过点M可作抛物线的两条切线,此外直线y=3过点M,且与抛物线只有一个公共点,故过点M(2,3)且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条,故A错误;
对于B,设直线AB方程为x=my+1,将直线AB的方程与抛物线的方程联立,消去x,整理得y2-4my-4=0,Δ=16m2+16>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4,由题图可得S△AOB=|OF||y1-y2|==2,则(y1-y2)2=32,则(y1+y2)2-4y1y2=16(m2+1)=32,则m2=1.又由抛物线定义可得|AF|·|BF|=(x1+1)(x2+1)=(my1+2)(my2+2)=m2y1y2+2m(y1+y2)+4=-4m2+8m2+4=8,故B正确;
对于C,因为=(x1,y1),=(x2,y2),所以=x1x2+y1y2=(my1+1)(my2+1)+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=-4(m2+1)+4m2+1=-3<0,故∠AOB为钝角,所以△AOB为钝角三角形,故C错误;
对于D,因为x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=-4m2+4m2+1=1,则由抛物线定义得2|AF|+|BF|=2(x1+1)+x2+1=2x1++3≥2+3,当且仅当2x1=,即x1=时,等号成立.故D正确.
故选BD.
12.-2　解析 因为等比数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,
所以2Sn=Sn+1+Sn+2.
设等比数列的公比为q,由题意知q≠1,
所以2,化简得q2+q-2=0,解得q=-2或q=1(舍去),
所以=q=-2.
13.182　解析 根据题意可知将8名同学分成两组,其中一组有3人,另一组有5人,然后分配到A,B两个小区,则有=112种不同的安排方法,或每组4人,然后分配到A,B两个小区,则有=70种不同的安排方法,由分类加法计数原理可知共有112+70=182种不同的安排方法.
14.(,+∞)　解析 由题意可得g(x)=f(x-)=sin[πω(x-)]=sin(ωπx-),
作出函数f(x),g(x)的图象如图所示.
点A,B,C是f(x)与g(x)图象的连续相邻的三个交点(不妨设点B在x轴下方),D为AC的中点.
由对称性可得△ABC是以B为顶角的等腰三角形,设f(x)与g(x)的最小正周期是T,又ω>0,所以|AC|=T==2|AD|.
由sin ωπx=sin(ωπx-)=sin ωπx-cos ωπx,
整理得sin ωπx=-cos ωπx,
所以tan ωπx=-,
则sin2πωx=,
所以sin ωπx=±,则yA=yC=-yB=,所以|BD|=2|yA|=,
要使△ABC为锐角三角形,则0<∠ABD<,
所以0解得ω>
所以ω的取值范围是(,+∞).
15.解 (1)依题意知,这4个人中,每个人参加甲项目的概率为,参加乙项目的概率为,设“这4个人中恰有k人去参加甲项目”为事件Ak(k=0,1,2,3,4),
则P(Ak)=()k·()4-k.
故这4个人中恰有2人去参加甲项目的概率为P(A2)=()2·()2=
(2)X=0,Y=4或X=4,Y=0时,ξ=|X-Y|=4,X=1,Y=3或X=3,Y=1时,ξ=|X-Y|=2,X=2,Y=2时,ξ=|X-Y|=0,
故ξ的所有可能取值为0,2,4.
P(ξ=0)=P(A2)=,由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,
所以P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=)3+)3,
P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=)4+)4=
所以ξ的分布列是
ξ 0 2 4
P
所以E(ξ)=0+2+4
16.解 (1)∵bcos C+csin B=1+2c=a+2c,
∴在△ABC中,由正弦定理得sin Bcos C+sin Csin B=sin A+2sin C,
又sin A=sin(B+C),
∴sin Bcos C+sin Csin B=sin(B+C)+2sin C=sin Bcos C+cos Bsin C+2sin C,
即sin Csin B-cos Bsin C=2sin C,
∵0°sin B-cos B=2,即sin B-cos B=1,
即sin(B-30°)=1,
又0°(2)由AC=AD,令∠DCA=∠CDA=α,∠CAD=180°-2α.
在△ACD中,由正弦定理,得,
又CD=,∴AC=
在△ABC中,由正弦定理得,
∵∠DCB=B=120°,∴∠ACB=120°-α,
∴∠BAC=60°-(120°-α)=α-60°,
又BC=1,∴AC=
∴sin(α-60°)=cos α,即sin(α-60°)=sin(90°-α),解得α=75°,
∴sin∠BCA=sin(120°-75°)=
17.解 (1)f(x)=2ax+(2-a)ln x+的定义域为(0,+∞),则f'(x)=,
由f'(x)==0,解得x1=,x2=-,
因为a<0,所以x2=->0.
①当a=-2时,f'(x)=0恒成立,
所以f(x)无单调递增区间,单调递减区间为(0,+∞).
②当a<-2时,>-,
令f'(x)>0,得x∈(-);
令f'(x)<0,得x∈(0,-)∪(,+∞),所以f(x)的单调递增区间为(-),单调递减区间为(0,-),(,+∞).
③当-2令f'(x)>0,得x∈(,-);
令f'(x)<0,得x∈(0,)∪(-,+∞),
所以f(x)的单调递增区间为(,-),单调递减区间为(0,),(-,+∞).
综上,当a=-2时,f(x)无单调递增区间,单调递减区间为(0,+∞);
当a<-2时,f(x)的单调递增区间为(-),单调递减区间为(0,-),(,+∞);
当-2(2)由题设f(x)=2ln x+,g(x)=emx-x2+mx+,
所以f(x)-g(x)=0 emx+mx=2ln x+x2=+ln x2.(*)
令h(x)=x+ex,x∈R,则h'(x)=1+ex>0,
即h(x)在R上单调递增,
故上式(*)中满足h(mx)=h(ln x2),则有mx=ln x2,可得m=,x>0.
令F(x)=,则F'(x)=,
由F'(x)=0,解得x=e.
当00,当x>e时,F'(x)<0,
F(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
当x→+∞时,F(x)→0且F(x)>0,当x→0时,F(x)→-∞,
故F(x)max=F(e)=
结合图象,可知:
当m>时,方程f(x)-g(x)=0有0个实根;
当m=或m≤0时,方程f(x)-g(x)=0有1个实根;
当021世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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