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2026高考数学第二轮专题
1.集合、常用逻辑用语、不等式
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.
1.(2025浙江杭州模拟)已知集合A={3,4},B={x∈Z|x2-8x+12<0},则A∪B中元素的个数是(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
2.(2025浙江嘉兴模拟)已知集合A={x|x=3k,k∈N},B={x|x=2k+1,k∈N},则A∩B=(　　)
A.{x|x=6k-1,k∈N}
B.{x|x=6k+1,k∈N}
C.{x|x=6k+3,k∈N}
D.{x|x=6k+5,k∈N}
3.(2025山东菏泽二模)已知a>1,b>1,且ab=4,则log2a·log2b的最大值为(　　)
A. B.1
C.4 D.16
4.(2025湖南沅澧共同体模拟)设集合A={(x,y)|x∈N*,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=9},则集合A∩B的子集的个数为(　　)
A.4 B.8
C.15 D.16
5.(2025山东菏泽一模)“x>0”是“2x+>2”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(2025陕西西安二模)已知命题p: x∈R,3x=x3;命题q: x>0,x+>sin x,则(　　)
A.p和 q都是真命题
B. p和 q都是真命题
C.p和q都是真命题
D. p和q都是真命题
7.(2025广东佛山模拟)图中阴影部分用集合符号可以表示为(　　)
A.B∩(A∪C)
B.B∩(A∩C)
C.B∩ U(A∪C)
D.(A∪B)∩(B∪C)
8.(2025湖南长沙模拟)命题p: x∈R,ax2+2x+5>0为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A.a<
B.a>1
C.a≤
D.a>
二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共计18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.(2025山东临沂二模)已知a>b>c,则下列不等式正确的有(　　)
A.
B.ab2>cb2
C.a+b>c
D.a2+c2>b2
10.(2025湖南永州模拟)下列命题是真命题的有(　　)
A.“a>1”是“<1”的必要不充分条件
B.命题“ x∈(0,+∞),ln x=x-1”的否定是“ x∈(0,+∞),ln x≠x-1”
C.若a,b∈R,则≥2=2
D.若a+b=0,则ea+eb≥2
11.(2025浙江温州模拟)给定n∈N*,若集合P {1,2,3,…,n},且存在a,b,c,d∈P,满足aA.{1,2,3}是“广义等差集合”
B.{1,3,4,6}是“广义等差集合”
C.若P不是“广义等差集合”,当n=8时,|P|的最大值为4
D.若P不是“广义等差集合”,且|P|的最大值为4,则n可以是13
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共计15分.
12.(2025河北石家庄模拟)设p:m13.(2025江苏南通模拟)已知二次不等式x2-bx+2b-3<0的解集为(x1,x2),<2,则实数b的取值范围是　　　　　　　　.
14.(2025安徽蚌埠二模)柯西不等式在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立.已知a>0,b>0,直线y=x-2a与曲线y=ln(x+b)相切,则的最小值为　　　　　.
答案：
1.A　解析 集合A={3,4},B={x∈Z|x2-8x+12<0}={x∈Z|22.C　解析 易知集合B中的元素为全体正奇数,所以集合A∩B中的元素为集合A中的正奇数,所以A∩B={x|x=3(2k+1),k∈N}={x|x=6k+3,k∈N}.故选C.
3.B　解析 log2a·log2b≤()2=()2=1,当且仅当log2a=log2b=1,即a=b=2时,等号成立.故选B.
4.D　解析 因为集合A={(x,y)|x∈N*,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=9},所以集合A∩B中元素为(4,5),(3,6),(2,7),(1,8),共4个.所以它的子集有24=16个.故选D.
5.A　解析 因为2x>0,所以2x+2=2,当且仅当x=0时等号成立,所以当x≠0时,2x+>2,所以“x>0”是“2x+>2”的充分不必要条件.故选A.
6.C　解析 当x=3时,3x=x3成立,所以p: x∈R,3x=x3为真命题;因为 x>0,x+2=2,当且仅当x=,即x=1时,等号成立,而sin x≤1,所以q: x>0,x+>sin x为真命题.所以p,q都是真命题, p, q都是假命题.故选C.
7.A　解析 在阴影区域内任取一个元素x,则x∈(A∩B)或x∈(B∩C),故阴影部分所表示的集合为B∩(A∪C)或者(A∩B)∪(B∩C),故A正确.故选A.
8.B　解析 因为命题p为真命题,所以ax2+2x+5>0在R上恒成立,故解得a>,故命题p为真命题的一个充分不必要条件为a>1.故选B.
9.AD　解析 对于A,,因为a>b>c,所以c-b<0,a-c>0,a-b>0,即<0,所以,故A正确;对于B,取a>b=0>c,此时ab2=cb2=0,故B错误;对于C,取a=-1>b=-2>c=-3,则a+b=c=-3,故C错误;对于D,若a>b=0>c,则a2+c2>b2=0显然成立,若a>b>0>c或a>b>c>0,则a2+c2>a2>b2成立,若a>0>b>c或0>a>b>c,则a2+c2>c2>b2成立.综上所述,只要a>b>c,就一定有a2+c2>b2,故D正确.故选AD.
10.BD　解析 将不等式<1化为-1<0,即<0,解得a>1或a<0,因此“a>1”能推出<1”,反之则不成立,所以“a>1”是<1”的充分不必要条件,故A错误;易知命题“ x∈(0,+∞),ln x=x-1”的否定是“ x∈(0,+∞),ln x≠x-1”,故B正确;当a,b∈R且异号时,为负值,显然2=2不成立,故C错误;对于D,易知ea>0,eb>0,所以ea+eb≥2=2=2,当且仅当a=b=0时,等号成立,故D正确.故选BD.
11.ABC　解析 对于A,取a=1,b=c=2,d=3,则符合“广义等差集合”的定义,故A正确;对于B,取a=1,b=3,c=4,d=6,则b-a=d-c=2,故B正确;对于C,当n=8时,P {1,2,3,…,8},若|P|=5,设P={a1,a2,a3,a4,a5},a112.{1}　解析 因为p是q的必要条件,所以{x|113.(-∞,)∪(6,+∞)　解析 因为二次不等式x2-bx+2b-3<0的解集为(x1,x2),所以x2-bx+2b-3=0的两实数根为x1,x2,则所以(b-6)(b-2)>0且<2,整理得(b-6)(b-2)>0且>0,等价于(b-6)(b-2)>0且(b-2)(2b-3)>0,解得b>6或b<
14.10　解析 由y=ln(x+b),得y'=,设切点为(x0,y0),则=1,故x0=1-b,
又y0=x0-2a,y0=ln(x0+b),所以y0=ln(x0+b)=0,x0-2a=0,所以2a+b=1,
所以=()(2a+b)=+2=10,
当且仅当,即a=,b=时两个等号均成立,所以的最小值为10.
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