资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2026高考数学第二轮专题
2.复数、平面向量
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.
1.(2025浙江衢州、丽水、湖州二模)已知i为虚数单位,复数z=a2-4+(a-2)i(a∈R)是纯虚数,则a=(　　)
A.2或-2 B.2
C.0 D.-2
2.(2025湖南常德模拟)已知复数z满足(1+2i)z=i2 025(i为虚数单位),则的虚部为(　　)
A. B.-
C.i D.-i
3.(2025山东烟台、德州二模)已知复数z满足z(1+i)=2-3i,则z在复平面内所对应的点位于(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.(2025湖南长沙二模)在复平面内,O为坐标原点,复数1-i,-1+2i对应的向量分别是,则对应的复数为(　　)
A.-2+3i B.i
C.2-3i D.-i
5.(2025山东济宁二模)已知1-2i是关于x的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一个根,则|a+bi|=(　　)
A.2 B.3
C.5 D.
6.(2025山东淄博一模)已知|a|=2,向量a在向量b上的投影向量c与向量b方向相反,且|c|=,则a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
7.(2025山东滨州二模)在平行四边形ABCD中,AD=2,AB=3,∠BAD=,点M在边AB上,且,则=(　　)
A.2 B.3
C.-2 D.4
8.(2025湖北黄冈模拟)如图,在平行四边形ABCD中,已知,直线BE,CF交于点O,若=a,=b,则=(　　)
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共计18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.(2025山东泰安模拟)已知向量a=(3,-1),b=(1,2),则下列说法正确的有(　　)
A.a⊥b
B.|a+b|=
C.已知c=(t,1),若a∥c,则t=-3
D.a与b夹角的余弦值为
10.(2025安徽亳州模拟)已知任意两个不共线向量a,b,|a|=|b|,=a+b,=a+2b, =a+λb,则下列选项正确的有(　　)
A.||<||
B.A,B,C三点共线
C.若λ=4,则B为AC的中点
D.若λ=-1,则
11.(2025江苏苏州模拟)任何一个复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)都可以表示成z=r(cos θ+isin θ)(r≥0,θ∈R)的形式,通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现:[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ)(n∈N*),我们称这个结论为棣莫弗定理,则下列说法正确的有(　　)
A.复数z=1-i的三角形式为z=2(cos+isin)
B.当r=1,θ=时,z+z2+z3+…+z2 024=0
C.当r=2,θ=时,z3=-8
D.当r=3,θ=时,“n为偶数”是“zn为纯虚数”的充分不必要条件
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共计15分.
12.(2025湖南郴州模拟)定义:|a×b|=|a||b|·sin θ,其中θ为向量a,b的夹角.若a·b=8,tan θ=2,则|a×b|=　　　　.
13.(2025广东深圳模拟)已知i为虚数单位,复数z=i-2i2+3i3-4i4+…+2 025i2 025,则z的实部与虚部之和为　　　　.
14.(2025安徽蚌埠二模)键线式可以简洁直观地描述有机物的结构,在有机化学中极其重要.某有机物分子可以用如图所示的键线式表示,其结构简式可以抽象为如图所示的图形.已知六边形ABCHIJ与六边形CDEFGH为全等的正六边形,且AB=4,点M为正六边形CDEFGH内的一点(包含边界),则的取值范围是　　　　　.
答案：
1.D　解析 因为复数z=a2-4+(a-2)i(a∈R)是纯虚数,所以由a2-4=0,得a=2或a=-2,由a-2≠0,得a≠2,所以a=-2.故选D.
2.B　解析 因为复数z满足(1+2i)z=i2 025=i,所以z=,可得z=i,所以i,故的虚部为-故选B.
3.C　解析 由z(1+i)=2-3i得z=,则z在复平面内所对应的点为(-,-),位于第三象限.故选C.
4.A　解析 因为复数1-i,-1+2i在复平面内对应的点为M(1,-1),N(-1,2),所以=(1,-1),=(-1,2),所以=(-1,2)-(1,-1)=(-2,3),则对应的复数为-2+3i.故选A.
5.D　解析 将1-2i代入x2+ax+b=0有(1-2i)2+a(1-2i)+b=0,化简整理有(a+b-3)-(4+2a)i=0,即解得所以|a+bi|=故选D.
6.D　解析 设向量a和向量b的夹角为θ,θ∈[0,π],因为向量a在向量b上的投影向量c与向量b方向相反,所以|a|cos θ=-|c|=-,即cos θ=-,所以θ=故选D.
7.B　解析 因为,所以,所以=()·()==||2+|||cos|2=22+2×332=3.故选B.
8.D　解析 设=,则++λ()=a+λ(b-a)=(1-)a+λb,
又b=3,a=-3,所以=(1-)(-3)+3=(1-+(-3),
因为F,O,C三点共线,所以1--3=1,解得λ=,所以=(1-)a+λb=a+b.故选D.
9.BC　解析 对于A,易知a·b=3-2=1≠0,所以a,b不垂直,故A错误;对于B,a+b=(3,-1)+(1,2)=(4,1),可得|a+b|=,故B正确;对于C,由c=(t,1)且a∥c可得3×1+t=0,解得t=-3,故C正确;对于D,设a与b的夹角为θ,所以cos θ=,故D错误.故选BC.
10.ABD　解析 对于A,||2==(a+b)2=a2+2a·b+b2,||2==(a+2b)2=a2+4a·b+4b2,所以||2-||2=(a2+4a·b+4b2)-(a2+2a·b+b2)=3b2+2a·b>0,所以||2>||2,所以||>||,故A正确;对于B,由题意可得=(a+2b)-(a+b)=b,=(a+λb)-(a+b)=(λ-1)b,所以,故A,B,C三点共线,故B正确;对于C,若B为AC的中点,则,因为=b,=(a+λb)-(a+2b)=(λ-2)b,所以λ-2=1,解得λ=3,故C错误;对于D,若λ=-1,则=(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,故,故D正确.故选ABD.
11.BC　解析 复数z=1-i的三角形式为z=2(cos+isin),故A错误;当r=1,θ=时,z=cos+isin=i,所以z+z2+z3+…+z2 024=0,故B正确;当r=2,θ=时,z=2(cos+isin),z3=[2(cos+isin)]3=23(cos π+isin π)=-8,故C正确;当r=3,θ=时,z=3(cos+isin),zn=[3(cos+isin)]n=3n(cos+isin),若zn为纯虚数,则+kπ,所以n=4k+2,k∈Z,虽然n=4k+2,k∈Z是偶数,但是偶数还有n=4k,k∈Z的形式的数,所以“n为偶数”是“zn为纯虚数”的必要不充分条件,故D错误.故选BC.
12.16　解析 因为a·b=|a||b|cos θ=8,所以|a×b|=|a||b|sin θ=|a||b|cos θ·tan θ=16.
13.1　解析 z=i-2i2+3i3-4i4+…+2 025i2 025=i+2-3i-4+5i+…+2 025i,所以z的实部与虚部之和为(1+2-3-4)+(5+6-7-8)+…+2 025=-4+2 025=1.
14.[16,48]　解析 过点M作直线AB的垂线,垂足为M1,则=0,,所以,当点M与点H重合时,取最小值=4×4=16,当点M与点E重合时,取最大值=4×12=48,所以的取值范围是[16,48].
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑