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2026高考数学第二轮专题
3.排列、组合与二项式定理
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.
1.(2025河北衡水模拟)(2x-)6的展开式中第5项的系数为(　　)
A.60 B.64
C.72 D.84
2.(2025山东菏泽二模)某班班会从甲、乙等6名学生中选3名学生发言,要求甲、乙2名同学至少有1人参加,那么不同的选法有(　　)
A.32种 B.20种
C.16种 D.10种
3.(2025河南洛阳模拟)已知(x+1)5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a5(x-1)5,则a2=(　　)
A.1 080 B.80
C.-10 D.-80
4.(2025湖北荆州模拟)函数f(x)=x4-x3+x2-x+1的图象的对称轴方程为(　　)
A.x=1
B.x=-1
C.x=2
D.x=-2
5.(2025山东聊城二模)若(1+ax2)(1+x)4的展开式中含x3的项的系数为12,则其展开式中所有项的系数的和为(　　)
A.16 B.32
C.48 D.64
6.(2025山东枣庄模拟)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50 000的偶数共有(　　)
A.120个 B.480个
C.288个 D.240个
7.(2025重庆高三检测)在()n的展开式中,只有第4项的二项式系数最大,把展开式中所有的项重新排成一列,则有理项互不相邻的概率为(　　)
A. B.
C. D.
8.(2025山东潍坊二模)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到三个社区做志愿服务工作,每个社区至少安排1人,每名志愿者只到一个社区,其中甲、乙被安排在同一个社区的概率为(　　)
A. B.
C. D.
二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共计18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.(2025浙江温州二模)已知(1-x)2 025=a0+a1x+a2x2+…+a2 025x2 025,则下列选项正确的有(　　)
A.a0=1
B.a1+a2+…+a2 025=0
C.a1+a2 024=0
D.a0+a2+a4+…+a2 024=22 024
10.(2025江西景德镇模拟)现有3名女生、4名男生共7名同学排成一纵队做游戏,下列说法正确的有(　　)
A.若游戏纵队变为环形首尾相接,不同的排法有720种
B.男女相间的不同排法有144种
C.男生排在一起、女生也排在一起的概率为
D.男生甲排在正中间的概率为
11.(2025广东肇庆模拟)已知(mx2+)n(常数m>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,则下列选项正确的有(　　)
A.n=10
B.展开式中奇数项的二项式系数的和为256
C.展开式中含x15的项的系数为90m8
D.若展开式中各项系数的和为1 024,则第6项的系数最大
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共计15分.
12.(2024江苏淮安模拟)(2x2-x+2)4的展开式中含x3的项的系数是　　　.(用数字填写)
13.(2025湖北“新八校”三模)如图,一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置,每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度,记an为第n次跳跃后对应数轴上的数字(n=1,2,…,18),则满足=36,a18=2的跳跃方法有　　　　　种.
14.(2025湖南郴州三模)如图,这是一个平面图形,现提供四种颜色给图中的区域1、区域2、区域3、区域4、区域5、区域6共六个区域涂色,每个区域只涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则共有　　　　种不同的涂色方案.
答案：
1.A　解析 (2x-)6的展开式中第5项为(2x)2(-)4=60x-2,所以所求的系数为60.故选A.
2.C　解析 从6名同学中任选3名同学共有=20种方法,这3名同学中没有甲、乙同学的有=4种方法,所以甲、乙至少有1人参加的不同选法有20-4=16种.故选C.
3.B　解析 设t=x-1,则x=t+1,所以(x+1)5=(t+2)5=a0+a1t+a2t2+…+a5t5.(t+2)5的展开式的通项Tr+1=t5-r×2r=2rt5-r,r=0,1,…,5,取r=3,得a2=23=80.故选B.
4.A　解析 由题意f(x)=x4·(-1)0+x3·(-1)1+x2·(-1)2+x·(-1)3+x0·(-1)4=(x-1)4,函数f(x)的图象可由偶函数y=x4的图象向右平移1个单位长度后得到,所以函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1.故选A.
5.C　解析 (1+ax2)(1+x)4的展开式中含x3的项的系数为+a=12,所以a=2,所以令x=1,(1+2)×(1+1)4=(1+2)×16=48,所以展开式中所有项的系数的和为48.故选C.
6.D　解析 根据题意可分为两类:个位数字为0和个位数字为2或4,当个位数字为0时,小于50 000的偶数有=4×24=96个;当个位数字为2或4时,小于50 000的偶数有=144个,所以小于50 000的偶数共有96+144=240个.故选D.
7.C　解析 因为()n的展开式中,只有第4项的二项式系数最大,所以展开式共有7项,n=6,所以展开式的通项为Tr+1=(-)r=(r=0,1,2,3,4,5,6).因为x的指数幂为整数即r=0,3,6时为有理项,所以展开式的第1,4,7项为有理项,所以把展开式中所有的项重新排成一列,则有理项互不相邻的概率为P=故选C.
8.C　解析 将甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者安排到三个社区做志愿服务工作,每个社区的人数分别为3,1,1或2,2,1,所以不同的分法种数为(=(10+)×6=150种.现在考虑把甲、乙安排在同一个社区,若甲、乙所安排的社区有3人,则还需从另外3人中抽1人,此时分法种数为=18种;若甲、乙所安排的社区只有他们两人,此时只需将剩余3人分为两组,则分法种数为=18种.综上所述,甲、乙被安排在同一个社区的概率为故选C.
9.ACD　解析 对于A,令x=0,则a0=1,故A正确;对于B,令x=1,则a0+a1+a2+…+a2 025=0,①
所以a1+a2+…+a2 025=-1,故B错误;对于C,a1x=(-x)1=-2 025x,所以a1=-2 025,a2 024x2 024=(-x)2 024=2 025x2 024,所以a2 024=2 025,所以a1+a2 024=0,故C正确;对于D,令x=-1,则22 025=a0-a1+a2-a3+…+a2 024-a2 025,②
①+②可得22 024=a0+a2+a4+…+a2 024,故D正确.故选ACD.
10.ABD　解析 对于A,游戏纵队变为环形首尾相接,相当于固定一人,剩下6人全排列,共有=720种排法,故A正确;对于B,男女相间时,可先排3名女生,再将4名男生插入到女生排好形成的4个空中(含两端),共有=144种排法,故B正确;对于C,7名同学排成一纵队共有=5 040种排法,男生排在一起、女生也排在一起的排法有=288种,故男生排在一起、女生也排在一起的概率为,故C错误;对于D,男生甲排在正中间,即男生甲先排在中间,其余6人全排列,排法有=720种,故男生甲排在正中间的概率为,故D正确.故选ABD.
11.AD　解析 (mx2+)n的展开式的通项公式为Tr+1=(mx2)n-r·()r=mn-r,对于A,根据题意可得,则n=10,故A正确;对于B,(mx2+)10的展开式中奇数项的二项式系数之和为210-1=512,故B错误;对于C,由=15,解得r=2,则展开式中含x15的项的系数为m10-2=45m8,故C错误;对于D,令x=1,则展开式中各项系数之和为(m+1)10=1 024=210,解得m=1,可得展开式的通项公式为Tr+1=,即每项系数均为该项的二项式系数,易知展开式中第6项的系数最大,故D正确.故选AD.
12.-104　解析 (2x2-x+2)4的展开式中,含x3的项为(2x2)1(-x)1×22+(2x2)0(-x)3×2=-96x3-8x3=-104x3.
13.1 305　解析 由=36,得到a10=-6或a10=6.若a10=-6,a18=2,即前10次跳跃,8次向左,2次向右,后面8次跳跃全部向右,有=45种;若a10=6,a18=2,即前10次跳跃,8次向右,2次向左,后面8次跳跃6次向左,2次向右,有=45×28=1 260种.所以共有45+1 260=1 305种跳跃方法.
14.96　解析 若仅用三种颜色涂色,则区域1,6同色,区域2,4同色,区域3,5同色,共有=24种涂法;若用四种颜色涂色,则区域1,6,区域2,4,区域3,5中有一组不同色,则有3种情况,先从四种颜色中取两种涂同色区,有=12种涂法,剩余两种涂在不同区域,有2种涂法,共有3×12×2=72种涂法.故总的涂色方案有24+72=96种.
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