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2026高考数学第二轮专题
限时练2
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.
1.(2025湖北十堰三模)已知复数z=,则|z|=(　　)
A.1 B.
C. D.
2.(2025湖南长沙模拟)已知集合A={x|x2-x-6≤0},B={x|ex≤1},则A∪B=(　　)
A.[-2,0]
B.[-2,3]
C.(-∞,0]
D.(-∞,3]
3.(2025山东青岛一模)已知a=(1,1),b=(1,-2),则a在b上的投影向量为(　　)
A.(-)
B.()
C.(-)
D.()
4.(2025湖北宜昌二模)已知a>1,函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是(　　)
A.[2,+∞)
B.(1,]
C.(1,)
D.[,+∞)
5.(2025广东深圳三模)已知{an}是公差不为0的等差数列,其前n项和为Sn,则“ n∈N*,Sn≥S9”是“a9≤0”的(　　)
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(2025湖北鄂州模拟)现有5种颜色的筷子各一双,从中任取两根筷子,若已知取到的筷子中有红色的,则两根筷子都是红色的概率为(　　)
A. B.
C. D.
7.(2025河南郑州三模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,函数g(x)=(x-3)f(x)的图象关于直线x=3对称,若g(-2)=-5,则f(4)=(　　)
A.-3 B.-1
C.0 D.1
8.(2025浙江嘉兴三模)甲、乙、丙三人玩传球游戏,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人,若第一次由甲传出,则经过6次传球后,球恰在乙手中的概率为(　　)
A. B.
C. D.
二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共计18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.(2025广东深圳二模)已知函数f(x)=2sin(x+)cos(x+),则(　　)
A.f(x)的最大值为1
B.f(x)的最小正周期为π
C.f(x)在(0,)上单调递增
D.f(x)的图象关于直线x=对称
10.(2025山东潍坊一模)已知圆台的高为2,其母线与底面所成的角为,下底面半径是上底面半径的2倍,则(　　)
A.该圆台的上底面半径为2
B.该圆台的体积为
C.该圆台外接球(圆台的上、下底面的圆周均在球面上)的表面积为
D.用平面截该圆台,若所截图形为椭圆,则椭圆离心率的取值范围为(0,]
11.(2025山东济宁一模)若双曲线C:x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过C的右支上一点P作圆(x-3)2+y2=1的切线,切点为A,B,则下列结论正确的是(　　)
A.若=0,则△PF1F2的面积为9
B.若Q为圆(x-3)2+y2=1上的一动点,则|PF2|+|PQ|的最小值为3
C.四边形PAF2B面积的最小值为
D.的最小值为2-3
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共计15分.
12.(2025安徽淮南模拟)(2x-3y)5的展开式中含x3y2项的系数为　　　　.
13.(2025福建龙岩二模)在△ABC中,BC=2,D为边AB上的点,且满足AD=AC, BD=CD=3,则cos A=　　　　.
14.(2025广东惠州一模)已知函数f(x)=xm+lognx(m>0,n>0,且n≠1),若f(x)≥1恒成立,则的最小值为　　　　.
答案：
1.B　解析 因为z=i,故|z|=故选B.
2.D　解析 由题知,不等式x2-x-6=(x-3)(x+2)≤0,解得-2≤x≤3.不等式ex≤1=e0,解得x≤0,所以集合A=[-2,3],B=(-∞,0],所以A∪B=(-∞,3].故选D.
3.A　解析 a在b上的投影向量为|a|cosb=(1,-2)=(-).故选A.
4.D　解析 当x≤2时,函数f(x)单调递增,所以f(x)=x3≤2.要使函数f(x)的值域为R,则当x>2时,loga2≤2,解得a,所以实数a的取值范围是[,+∞).故选D.
5.C　解析 由题意知,S9是数列{Sn}中的最小值,所以a9≤0,且a10≥0,所以由“ n∈N*,Sn≥S9”可以推出“a9≤0”,充分性成立;反之,若a9≤0,a10的符号无法确定,所以无法确定S9就是{Sn}中的最小值,所以必要性不成立.故“ n∈N*,Sn≥S9”是“a9≤0”的充分不必要条件.故选C.
6.D　解析 设事件M为“两根筷子都是红色的”,事件N为“取到的筷子中有红色的”,则P(M)=,P(N)=1-故P(M|N)=故选D.
7.D　解析 因为g(-2)=(-2-3)·f(-2)=-5f(-2)=-5,所以f(-2)=1.因为f(x)是奇函数,f(2)=-f(-2)=-1,所以g(2)=(2-3)f(2)=1.因为函数g(x)=(x-3)f(x)的图象关于直线x=3对称,所以g(4)=g(2)=1,即g(4)=(4-3)f(4)=f(4)=1.故选D.
8.C　解析 设事件An=“第n次球在甲手中”,Bn=“第n次球在乙手中”,Cn=“第n次球在丙手中”,由题意可知P(An+1)=P(Bn)+P(Cn).又P(An)+P(Bn)+P(Cn)=1,所以P(An+1)=P(An),构造等比数列P(An+1)-P(An)-=-(P(An)-).因为第一次由甲传球,可认为第0次传球在甲,即P(A0)=1,所以{P(An)-}是以P(A0)-为首项,公比为-的等比数列,故P(An)-(-)n,P(An)=(-)n.
因为第一次由甲传球,之后都是等可能地将球传给另外两个人中的任何一人,则P(Bn)=P(Cn),所以经过6次传球后,球恰在乙手中的概率为P(B6)=(1-P(A6))=故选C.
9.AB　解析 由题知,f(x)=2sin(x+)cos(x+)=sin 2(x+)=sin(2x+)= cos 2x,∴f(x)max=1,故A正确;函数f(x)的最小正周期T==π,故B正确;当x∈(0,)时,令t=2x,则t∈(0,π).∵y=cos t在区间(0,π)上单调递减,∴f(x)在区间(0,)上单调递减,故C错误;因为f()=cos=0,所以直线x=不是函数f(x)图象的对称轴,故D错误.
故选AB.
10.BCD　解析 如图,设圆台上底半径为r,下底半径为2r,高为h,
则tan 60°=,得r=,即圆台的上底面半径为r=,故A错误;圆台的体积为V=[r2+(2r)2+r·2r]=()=,故B正确;因为母线l==2r,∠A1AO=60°,所以△A1AO为等边三角形,所以OA=OA1,所以该圆台外接球的球心就是下底面圆心O,所以该圆台外接球半径为R=2r=,所以其外接球表面积为S=4πR2=4π,故C正确;用平面截该圆台,若所截图形为椭圆,离心率最大时,截面可以是过A1,E的截面,此时对椭圆有2a=A1E=4,得a=2.因为圆台中截面半径为R0=r+,所以椭圆中b=,所以e2=1-=1-,所以e=,所以椭圆离心率的取值范围为(0,],故D正确.故选BCD.
11.BC　解析 圆(x-3)2+y2=1的圆心为(3,0),半径为1,双曲线的焦点为(±3,0).对于A,由双曲线焦点三角形的面积公式可得=8,故A错误;
对于B,由双曲线的定义可得|PF2|+|PQ|=|PF1|+|PQ|-2≥5-2=3,当P,F1,Q三点共线时取等号,故B正确;对于C,=2=2|PA|×1,所以当|PA|最小时,四边形PAF2B的面积最小.由双曲线的性质可得当点P位于右顶点时,|PA|最小,所以|PA|=,所以四边形PAF2B面积的最小值为,故C正确;对于D,=||2cos 2∠APF2=(|PF2|2-1)(1-2sin2∠APF2)=(|PF2|2-1)(1-2)=|PF2|2+-3≥2-3=2-3,当且仅当|PF2|2=时,等号成立.因为|PF2|≥2,所以取不到等号,故D错误.故选BC.
12.720　解析 由题得展开式的通项为Tk+1=(2x)5-k(-3y)k=25-k(-3)kx5-kyk,令k=2,得T3=23×(-3)2x3y2=720x3y2,所以(2x-3y)5展开式中含x3y2项的系数为720.
13　解析 在△BDC中,BC=2,BD=DC=3,
由余弦定理,得cos∠CDB==-=-cos∠CDA.
在△ADC中,AD=AC,所以∠ADC=∠ACD,
则cos A=-cos 2∠ADC=-(2cos2∠ADC-1)=-(2cos2∠CDB-1)=-(2-1)=
14.e　解析 由题知,函数f(x)=xm+lognx的定义域为(0,+∞),当n>1时,可得f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.又f(1)=1,不符合题意;当00,令h(x)=xm+,则h(x)在区间(0,+∞)上单调递增.令f'(x)=0,解得x0=(当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,f(x)在区间(0,x0)上单调递减,当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在区间(x0,+∞)上单调递增,所以当x=x0时,f(x)有极小值,也是最小值.
又因为f(x)≥1恒成立且f(1)=1,所以则x0=(=1,得mln n=-1,所以设g(x)=(x>1),g'(x)=,令g'(x)=0,得x=e,当x∈(1,e)时,g'(x)<0,则g(x)在区间(1,e)上单调递减,当x∈(e,+∞)时,g'(x)>0,则g(x)在区间(e,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(e)=e,即的最小值为e.
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