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2026高考数学第二轮专题
限时练3
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.
1.(2025广东广州模拟)已知集合A={x|0≤x≤a},B={x|x2-2x≤0},若B A,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,2)
B.(0,2]
C.(2,+∞)
D.[2,+∞)
2.(2025河南郑州二模)已知圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆,则该圆锥的体积为(　　)
A. B.
C. D.
3.(2025江苏南通模拟)设等比数列{an}的前n项之积为Tn,若T2=8,T3=4,则T5的值为(　　)
A. B.
C. D.1
4.(2025湖南湘潭三模)已知椭圆C:+y2=1(m>0)的离心率为m,则C的短轴长为(　　)
A. B.1
C.2 D.3
5.(2025湖北武汉二模)现有甲、乙两个AI大模型,在对甲、乙两个大模型进行深度体验后,6位评委分别对甲、乙进行打分(满分10分),得到如图所示的统计表格,则下列结论不正确的是(　　)
评委编号 1 2 3 4 5 6
甲 7.0 9.3 8.3 9.2 8.9 8.9
乙 8.1 9.1 8.5 8.6 8.7 8.6
A.甲得分的平均数大于乙得分的平均数
B.甲得分的众数大于乙得分的众数
C.甲得分的中位数大于乙得分的中位数
D.甲得分的方差大于乙得分的方差
6.(2025湖北七市州二模)已知向量m=(1,0),向量a满足|a-4m|=|m|,则|a|的最小值为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
7.(2025山东潍坊二模)已知角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴非负半轴重合,其终边与圆O交于点A(3,4).若角α终边沿逆时针方向旋转角θ,交圆O于点B(-),则角θ可能为(　　)
A.75° B.105°
C.375° D.405°
8.(2025浙江衢州、丽水、湖州二模)过抛物线C:y2=4x焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过点A作C的切线l交x轴于点M,过点B作直线l的平行线交x轴于点N,则|FM|+4|FN|的最小值是(　　)
A.12 B.10
C.9 D.8
二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共计18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.(2025浙江金华模拟)已知复数z1,z2互为共轭复数,则(　　)
A.|z1|=|z2|
B.z1·z2=|z1||z2|
C.|z1-z2|2=-(z1-z2)2
D.|2=()2
10.(2025河北衡水模拟)已知函数f(x)=cos xsin x,下列说法中正确的有(　　)
A.f(x)的最大值为1
B.f(x)在区间[0,]上单调递增
C.f(x)的图象关于直线x=对称
D.f(x)的最小正周期为
11.(2025山东济宁二模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P在正方体的内切球表面上运动,且满足BP∥平面ACD1,则下列结论正确的有(　　)
A.BP⊥B1D
B.点P的轨迹长度为π
C.线段BP长度的最小值为
D.的最小值为1-
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共计15分.
12.(2025山东泰安二模)若函数f(x)=ex-ax与直线y=x相切,则实数a的值为　 .
13.(2025江苏苏北七市三模)已知函数f(x)满足f(x+2)=f(x-2),且f(x)=则方程3f(x)=x的实数解的个数为　　　　.
14.(2025福建宁德三模)已知数列{an}共有m+k项(n=m+k,m≥k,m,k∈N*),其中m项为0,k项为1.若数列{an}满足对任意i≤m+k,a1,a2,…,ai中的0的个数不少于1的个数,则称数列{an}为“规范数列”.当m=3,k=3时,“规范数列”的个数为　　　　　,记Pm+k表示数列{an}是“规范数列”的概率,则Pm+2的最小值为　　　　.
答案：
1.D　解析 由题得,B={x|x2-2x≤0}={x|0≤x≤2}.
因为B A,则a≥2,则实数a的取值范围是[2,+∞).故选D.
2.C　解析 设圆锥底面圆的半径为r,高为h,母线长为l,则l=3,2πr=3π,所以r=,所以h=,所以该圆锥的体积为r2h=()2故选C.
3.A　解析 因为T2=8,T3=4,故a3=,所以T5=a1a2a3a4a5=故选A.
4.B　解析 依题意,05.A　解析 甲、乙的得分从小到大排列如下,甲:7.0,8.3,8.9,8.9,9.2,9.3,乙:8.1,8.5,8.6,8.6,8.7,9.1,甲得分的中位数为8.9,乙得分的中位数为8.6,则甲得分的中位数大于乙得分的中位数,故C正确;甲得分的众数为8.9,乙得分的众数为8.6,则甲得分的众数大于乙得分的众数,故B正确;甲得分的平均数为=8.6,乙得分的平均数为=8.6,所以甲得分的平均数等于乙得分的平均数,故A错误;甲得分的方差为[(7.0-8.6)2+(8.3-8.6)2+(8.9-8.6)2+(8.9-8.6)2+(9.2-8.6)2+(9.3-8.6)2]≈0.613 3,乙得分的方差为[(8.1-8.6)2+(8.5-8.6)2+(8.6-8.6)2+(8.6-8.6)2+(8.7-8.6)2+(9.1-8.6)2]≈0.086 7,
故甲得分的方差大于乙得分的方差,故D正确.故选A.
6.C　解析 设a=(x,y),则a-4m=(x-4,y).又|a-4m|=|m|,即=1,所以(x-4)2+y2=1,所以y2=1-(x-4)2≥0,解得3≤x≤5,所以|a|=,所以当x=3时,|a|取得最小值,且最小值为3.故选C.
7.D　解析 因为角α的终边与圆O交于点A(3,4),所以cos α=,sin α=设旋转后的角为β,且旋转后的角交圆O于点B(-),则cos β=-,sin β=,得到sin θ=sin(β-α)=-(-),cos θ=cos(β-α)=(-),故θ=45°+2k·180°,k∈Z,当k=1时,θ=405°,故D正确.故选D.
8.C　解析 设A(t2,2t),焦点F(1,0),设直线AB的方程为x=my+1,则
化简得y2-4my-4=0,所以y1y2=-4,x1x2==1,所以B(,-),设在点A处的切线方程为y-2t=k(x-t2),化简得ky2-4y-4t2k+8t=0.因为Δ=16-4k(-4t2k+8t)=0,化简得k=,则在点A处得切线方程为y-2t=(x-t2),即ty=x+t2.令y=0,则x=-t2,故M=(-t2,0),则|FM|=1-(-t2)=1+t2.过点B作直线l的平行线BN,故kBN=,所以直线BN的方程为y+(x-).令y=0,则x=2+,故N(2+,0),|FN|=|1-(2+)|=1+,所以|FM|+4|FN|=1+t2+4(1+)=t2++5≥9,当且仅当t2=2时,等号成立,|FM|+4|FN|取到最小值9.
9.ABC　解析 设z1=a+bi,则z2=a-bi.
对于A,|z1|=|z2|=,故A正确;
对于B,z1z2=a2+b2,|z1||z2|=a2+b2,故B正确;
对于C,z1-z2=2bi,|z1-z2|2=(2b)2=4b2,-(z1-z2)2=-(2bi)2=4b2,故C正确;
对于D,设z1=1+i,z2=1-i,则=i,则||2=|i|2=1,()2=i2=-1,故D错误.
故选ABC.
10.BC　解析 由题可得,f(x)=cos xsin x=sin 2x,则f(x)的最大值为,故A错误.因为正弦函数y=sin x的单调递增区间为[2kπ-,2kπ+],k∈Z,令2kπ-2x≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-x≤kπ+,k∈Z.当k=0时,函数f(x)的单调递增区间为[-],[0,] [-],所以f(x)在区间[0,]上单调递增,故B正确.因为正弦函数y=sin x的对称轴方程为x=kπ+,k∈Z.令2x=kπ+,k∈Z,解得x=,k∈Z.当k=1时,x=,所以f(x)的图象关于直线x=对称,故C正确.在f(x)=sin 2x中,ω=2,所以f(x)的最小正周期T==π,故D错误.故选BC.
11.ACD　解析 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),A1(1,0,1),C1(0,1,1),正方体的内切球的球心为正方体的中心O(),半径r=因为=(-1,1,0),=(-1,0,1),设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则y=1,z=1,所以n=(1,1,1).对于选项A,=(-1,-1,-1),因为BP∥平面ACD1,所以n=0.又=-n,所以=0,即BP⊥B1D,故A正确.对于选项B,因为BP∥平面ACD1,平面ACD1∥平面A1BC1,所以点P的轨迹是平面A1BC1与正方体内切球的交线,此交线为圆,记圆心为O1.设平面A1BC1与正方体的中心O的距离为d,=(0,-1,1),=(-1,0,1),设平面A1BC1的法向量为m=(a,b,c),则令a=1,则b=1,c=1,得m=(1,1,1).又=(,-),所以点O到平面A1BC1的距离为d=,所以圆O1的半径为r1=,所以圆的周长l=2πr1=,即点P的轨迹长度为,故B错误.对于选项C,因为=(-,-),则||=,即BO=,点P在球面上,BO1=,线段BP长度的最小值为BO1-,故C正确.对于选项D,设夹角为θ,=(-1,0,1),||=在平面直角坐标系中,B(0,),C1(-,0), P(x,y),O1(0,),=(-,-),=(x,y-),所以x2+(y-)2=()2.令x=cos θ,y=sin θ,=-x-y+=1-sin(θ+)≥1-,所以的最小值为1-,故D正确.
故选ACD.
12.e-1　解析 设切点为(x0,-ax0).由f(x)=ex-ax,得f'(x)=ex-a,
故切线斜率1=-a,
则=1,
即-a,
解得x0=1,所以a=e-1.
13.5　解析 由函数f(x)满足f(x+2)=f(x-2),则f(x+4)=f(x),所以f(x)的周期为4,由f(x)=
则f(8)=f(0)=2cos 0=2,可得f(x)的图象如图.
方程3f(x)=x的解,即为f(x)与y=x的交点横坐标,且当x>8时,y=x>>2,
由图可知,两图象交点个数为5,即方程3f(x)=x的实数解的个数为5.
14.5　　解析 当m=3,k=3时,满足要求的“规范数列”有0,0,0,1,1,1;0,0,1,0,1,1;0,0,1,1,0,1;0,1,0,0,1,1;0,1,0,1,0,1.所以当m=3,k=3时,“规范数列”的个数为5.当n=m+k,m≥k,m,k∈N*时,具有“规范数列”数列特征的数列{an}的个数为f(m,k).当k=2,m≥2,m∈N*时,由已知数列{an}共有m+2项,其中m项为0,2项为1,所以满足条件的数列{an}的个数为若数列{an}为“规范数列”,则第一项为0.若第一项为0,第二项为0,“规范数列”的个数为;若第一项为0,第二项为1,第三项必然为0,此时“规范数列”的个数为所以f(m,2)=故Pm+2==1-因为函数y=1-在区间[2,+∞)上单调递增,所以当m=2时,Pm+2取最小值,(Pm+2)min=1-
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