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2026高考数学第二轮专题
专题过关检测五　解析几何
(分值:150分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.
1.(2025四川眉山三模)已知点A(4,2),B(1,),若向量是直线l的方向向量,则直线l的倾斜角为(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
2.(2025湖南湘潭三模)已知椭圆C:+y2=1(m>0)的离心率为m,则C的短轴长为(　　)
A. B.1 C.2 D.3
3.(2025浙江温州三模)已知圆x2+y2=1和圆(x-3)2+y2=r2(r>0)有公共点,则r的取值范围为(　　)
A.[2,+∞) B.[2,4]
C.[3,4] D.[1,4]
4.(2025陕西咸阳三模)如图,已知曲线C由一段以坐标原点O为圆心的圆弧和双曲线(该双曲线的中心为坐标原点O,F1,F2为其左、右焦点)右支的一部分组成,圆弧和双曲线弧的公共点为A,B,若A,B,F2三点共线,|AF1|=25,|AB|=14,则圆弧的方程为(　　)
A.x2+y2=144(x≥10)
B.x2+y2=193(x≥12)
C.x2+y2=144(x≤10)
D.x2+y2=193(x≤12)
5.(2025北京石景山一模)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M(x0,y0)在C上,若|MF|>4,则(　　)
A.x0∈(0,2) B.y0∈(0,2)
C.x0∈(2,+∞) D.y0∈(2,+∞)
6.(2025江西景德镇三模)动圆M经过直线l:y=x与☉C:(x-6)2+y2=20的交点A,B,过原点O向动圆M作切线,切点为P,若>λ恒成立,则实数λ的最大值是(　　)
A.8-12 B.20-12
C.20-30 D.32-24
7.(2025江苏南京二模)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点M,N在C的右支上,且=3,点N关于原点O的对称点为P.若PF⊥MN,则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
8.(2025山东模拟预测)已知F1,F2为椭圆与双曲线的公共左、右焦点,P为它们的一个公共点,且|PO|=|F2O|,O为坐标原点,e1,e2分别为椭圆和双曲线的离心率,则的最大值为(　　)
A.2 B. C.2 D.
二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共计18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.(2025河北邢台模拟)已知a≠0,a∈R,圆C:x2+y2-2ax-4y+a2=0与直线x=ty交于A,B两点,O为坐标原点,则(　　)
A.a=1,t=0时,|AB|=2
B.过点O向圆C所引的切线长为|a|
C.a=2时,AB中点的轨迹长度为π
D.|OA|·|OB|=a2
10.(2025河北秦皇岛三模)已知曲线E:=1,则下列说法正确的是(　　)
A.当λ=-1时,曲线E关于直线y=-x对称
B.当λ=0时,E是两条直线
C.当λ=1时,若点P(x,y)是曲线E上的任意一点,则|x|>1
D.当λ=2时,曲线E上的点P(x,y)到原点距离的最小值为+1
11.(2025山东滨州二模)已知F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点与双曲线C的右焦点重合,且M是双曲线C与抛物线E的一个公共点.若△MF1F2是等腰三角形,则双曲线C的离心率为(　　)
A.+1 B.+2
C.+2 D.+1
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共计15分.
12.(2025河北秦皇岛三模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左焦点为F,直线l经过点F与C的左、右两支各有一个交点,若l与C的其中一条渐近线垂直,则C的离心率的取值范围为　　　　　.
13.(2025上海杨浦二模)如图,阿基米德椭圆规是由基座、带孔的横杆、两条互相垂直的空槽、两个可动滑块A,B组成的一种绘图工具,横杆的一端C上装有铅笔,假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长,将滑块A,B固定在带孔的横杆上,令滑块A在其中一条空槽上滑动,滑块B在另一条空槽上滑动,铅笔C随之运动就能画出椭圆.当A,B之间的距离为14厘米时,若需要画出一个离心率为的椭圆,则B,C之间的距离为　　　　　厘米.
14.(2025福建厦门三模)已知直线l:y-2=0与圆O:x2+y2=4相切于点T,A是圆O上一动点,点P满足PO⊥OA,且以P为圆心,PA为半径的圆恰与l相切,则sin∠PTO的最大值为　　　　　.
四、解答题:本大题共5小题,共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)(2025湖北宜昌二模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A(2,)在C上,且AF2⊥F1F2.
(1)求C的标准方程;
(2)过F2的直线交双曲线C于M,N两点(M,N两点均位于x轴下方,M在左,N在右),线段AM与线段F1N交于点R,若△F1RM的面积等于△ARN的面积,求|MN|.
16.(15分)(2025山东烟台二模)已知双曲线Γ:=1(a>0,b>0)的焦距为4,点(,1)在Γ上.
(1)求Γ的方程;
(2)设过Γ的左焦点F1的直线交Γ的左支于点A,B,过Γ的右焦点F2的直线交Γ的右支于点C,D,若以A,B,C,D为顶点的四边形是面积为4的平行四边形,求直线AB的方程.
17.(15分)(2025广东深圳二模)已知椭圆E:=1(a>b>0),F为E的右焦点,P为E上的动点,当直线PF与x轴垂直时,|PF|=,R是直线y=2上一动点,|PR|的最小值为1.
(1)求E的方程:
(2)过点R作E的两条切线分别交x轴于M,N两点,求△RMN面积的取值范围.
18.(17分)(2025江苏南京二模)在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,0),B(1,0),Q(-4,0),动点P满足|PA|+|PB|=4,记点P的轨迹为C.
(1)求C的方程.
(2)过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E,F(E在F的左侧).设直线AE,AF的斜率分别为k1,k2.
①求证:为定值;
②设直线AF,BE相交于点M,求证:|MA|-|MB|为定值.
19.(17分)(2025广东中山模拟预测)在平面直角坐标系xOy中,若在曲线E1的方程F(x,y)=0中,以(λx,λy)(λ为非零的正实数)代替(x,y)得到曲线E2的方程F(λx,λy)=0,则称曲线E1,E2关于原点“伸缩”,变换(x,y)→(λx,λy)称为“伸缩变换”,λ称为伸缩比.
(1)已知曲线E1的方程为-y2=1,伸缩比λ=,求E1关于原点“伸缩变换”后所得曲线E2的方程;
(2)射线l的方程y=x(x≥0),如果椭圆E1:+y2=1经“伸缩变换”后得到椭圆E2,若射线l与椭圆E1,E2分别交于两点A,B,且|AB|=,求椭圆E2的方程;
(3)对抛物线E1:x2=2p1y,作变换(x,y)→(λ1x,λ1y),得抛物线E2:x2=2p2y;对E2作变换(x,y)→(λ2x,λ2y),得抛物线E3:x2=2p3y;如此进行下去,对抛物线En:x2=2pny作变换(x,y)→(λnx,λny),得抛物线En+1:x2=2pn+1y,….若p1=1,λn=2n,求数列{pn}的通项公式pn.
答案：
1.A　解析 直线l的斜率k=,所以直线l的倾斜角为30°.故选A.
2.B　解析 依题意,03.B　解析 由题可得|r-1|≤3≤r+1,解得2≤r≤4.故选B.
4.D　解析 由题可知圆弧和双曲线弧的公共点为A,B,若A,B,F2三点共线,故AB⊥F1F2,所以|AF2|=|BF2|=|AB|=7,所以|F1F2|==24=2c,则|OF2|=c=12,
故|OA|=,即圆弧的半径为,则圆弧的方程为x2+y2=193(x≤12).故选D.
5.C　解析 抛物线C:y2=8x的准线方程为x=-2,又点M(x0,y0)在C上,且|MF|>4,则|MF|=x0+2>4,所以x0>2,即x0∈(2,+∞),故A错误,C正确;又=8x0,所以∈(16,+∞),所以y0∈(4,+∞)∪(-∞,-4),故B,D错误.故选C.
6.D　解析 将直线l与☉C的方程联立,得A(2,2),B(4,4),设动圆M的方程为(x-6)2+y2-20+λ(x-y)=0,∴切线长|OP|==4,即点P的轨迹是以O为圆心,r=4为半径的圆,设线段AB的中点为D(3,3).
∵=PD2-AD2=PD2-2,而|PD|>|OD|-r=3-4(O,P,D不能三点共线),∴λ的最大值是32-24.故选D.
7.D　解析 设双曲线的左焦点为F1,连接PF,PF1,NF1,MF1,如图所示.
根据双曲线的对称性可知四边形PF1NF为平行四边形,又因为PF⊥MN,所以四边形PF1NF为矩形,设|NF|=t(t>0),因为=3,则|MF|=3t,
由双曲线的定义可得|NF1|=2a+t,|MF1|=2a+3t,又因为△MNF1为直角三角形,
所以|MN|2+|NF1|2=|MF1|2,
即(4t)2+(2a+t)2=(2a+3t)2,解得t=a,
所以|NF1|=3a,|NF|=a,
又因为△NFF1为直角三角形,|FF1|=2c,
所以|NF|2+|NF1|2=|FF1|2,即a2+9a2=4c2,
所以,即e=.故选D.
8.B　解析 由题意可设椭圆和双曲线的方程分别为=1(a>b>0),=1(a'>0,b'>0),
因为二者共焦点,所以c2=a2-b2=a'2+b'2,如图.
设|PF1|=m,|PF2|=n,由椭圆和双曲线的定义可知m+n=2a,m-n=2a',
由此解得m=a+a',n=a-a',
由题意知|PO|=|F2O|=|F1O|=c,
所以∠F1PF2=∠F1PO+∠OPF2=(∠F1PO+∠PF1O)+(∠F2PO+∠PF2O)=90°,
故在Rt△PF1F2中,由勾股定理可知m2+n2=4c2,代入m,n的表达式可得a2+a'2=2c2,
由离心率的定义可得=2,设x=,y=,则x2+y2=2,问题转化为求2x+y的最大值,设p=(x,y),q=(2,1),由p·q≤|p|·|q|可得2x+y≤,
当且仅当两向量同向共线时即x=2y=等号成立,所以的最大值为.
故选B.
9.BCD　解析 圆C:(x-a)2+(y-2)2=4的圆心C(a,2),半径r=2.
当a=1,t=0时,点C(1,2)到直线x=0的距离d=1,
则|AB|=2=2,A错误;
切线长为=|a|,B正确;
当a=2时,点C(2,2),令弦AB中点为M,则CM⊥AB,点M的轨迹是以OC为直径的半圆(不含端点),轨迹长度为|OC|π=π,C正确;
由
消去x得(t2+1)y2-(2at+4)y+a2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=,|OA||OB|=||=|x1x2+y1y2|=|(t2+1)y1y2|=a2,D正确.故选BCD.
10.BCD　解析 当λ=-1时,曲线E:=1,设点(x,y)在曲线上,则点(x,y)关于y=-x对称的点为(-y,-x),所以=1,即=-1,故点(-y,-x)不在曲线E上,所以曲线E不关于直线y=-x对称,故A错误;
因为λ=0,所以=1,则x2=1,所以x=±1,即E是两条直线,故B正确;
当λ=1时,曲线E:=1,则=1->0,所以>0,解得x>1或x<-1,所以|x|>1,故C正确;
当λ=2时,曲线E:=1,则x2+y2=(x2+y2)=3+≥3+2=3+2,当且仅当,即x2=1+,y2=2+时等号成立,所以+1,所以曲线E上的点P(x,y)到原点距离的最小值为+1,故D正确.故选BCD.
11.AC　解析 由题设F2,0,且p>0,a2+b2=c2=,
当|MF2|=|F1F2|=2c时,由抛物线的性质可知|MF2|=xM+c,所以xM=c,
故=2pxM=4c2,
所以=1,即=1,
化简得c4-6c2a2+a4=0,
所以e4-6e2+1=0,求得e2=3+2或e2=3-2,
又e>1,得到e2=3+2,解得e=+1(负值舍去);
当|MF1|=|F1F2|=2c时,则|MF2|=2c-2a,
由抛物线的性质可知|MF2|=xM+c,则xM=c-2a,
所以=2pxM=4c(c-2a),所以=1,
即=1,
化简得c4-4ac3-2c2a2+12ca3-3a4=0,
所以e4-4e3-2e2+12e-3=0,
所以(e2-4e+1)(e2-3)=0,
所以e2-4e+1=0或e2-3=0,解得e=2+或e=,
又c-2a>0,所以e>2,解得e=2+.
综上,e=+1或e=2+.
故选AC.
12.(,+∞)　解析 由题意可得双曲线C:=1(a>0,b>0)的两渐近线方程为y=±x,
由对称性不妨设直线l与渐近线y=-x垂直,由题意可得直线l的斜率为,
又直线l与双曲线C的左、右两支各有一个交点,则,
所以a2,
所以C的离心率的取值范围为(,+∞).
13.21　解析 依题意,当滑块B在两条空槽的交点处时,BC长为椭圆的短半轴长b,
当滑块A在两条空槽的交点处时,AC长为椭圆的长半轴长a,则a=14+b,
由椭圆的离心率为,得,解得,即,解得b=21,所以B,C之间的距离为21厘米.
14.　解析 设P(x,y),则x≠0,
因为直线l:y-2=0与圆O:x2+y2=4相切于点T,
则T(0,2),
又以P为圆心,PA为半径的圆恰与l相切,
则可得|y-2|=|PA|=,化简可得x2=-4y,且x≠0,
从而可设Px0,-,且x0≠0,
则sin∠PTO=,
由于+2≥2+2=3,当且仅当,即x0=±2时,等号成立,
所以sin∠PTO=,
故sin∠PTO的最大值为.
15.解 (1)因为AF2⊥F1F2,且A2,,
所以焦点F2(2,0),即c=2,
又=1,由解得
所以双曲线C:-y2=1.
(2)由题知直线斜率不为0,设过F2(2,0)的直线为x=my+2(m>0),
联立消x得到(m2-3)y2+4my+1=0,
则Δ=(4m)2-4×(m2-3)=12(m2+1)>0,且m≠.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则y1+y2=-,y1y2=.
因为=S△ARN,所以=S△ANM,
即点F1(-2,0)和点A2,到直线x=my+2的距离相等,
则有,解得m2=48,所以|MN|=|y1-y2|=.
16.解 (1)由双曲线Γ:=1(a>0,b>0)的焦距为4,点(,1)在Γ上,
可得2c=4,所以c=2,且=1,
又因为c2=a2+b2,即a2+b2=4,
联立解得a2=3,b2=1,
所以Γ的方程为-y2=1.
(2)由题意知,四边形ABCD为平行四边形,可得直线AB与CD平行,
当直线AB斜率不存在时,令x=-2,代入双曲线方程-y2=1,可得y=±,
此时四边形ABCD为矩形,面积为4×,不合题意;
所以直线AB斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x+2),则直线CD的方程为y=k(x-2),
直线AB和CD的距离d=.
设A(x1,y1),B(x2,y2),联立
整理得(1-3k2)x2-12k2x-12k2-3=0,
则1-3k2≠0,Δ=12(k2+1)>0,且x1+x2=,x1x2=,
又由双曲线的渐近线的方程为y=±x,
要使得过Γ的左焦点F1的直线交Γ的左支于点A,B,可得k2>,则|AB|=|x1-x2|=,
所以S四边形ABCD=|AB|×d==4,
化简可得7k4-8k2+1=0,解得k2=,或k2=1.
因为k2>,所以k2=1,解得k=±1,
故直线AB的方程为y=±(x+2),
即x-y+2=0或x+y+2=0.
17.解 (1)设点F(c,0)(c>0),
当直线PF与x轴垂直时,不妨设点Pc,,
则=1.
因为|PR|的最小值为2-b=1,所以b=1,又由a2=b2+c2,
解得a=2,c=,故E的方程为+y2=1.
(2)如图,
设点M(m,0),N(n,0),R(t,2),显然直线RM,RN斜率不为0,
设lRM:x=y+m,lRN:x=y+n,
联立
得[16+(t-m)2]y2+4(t-m)my+4(m2-4)=0.
因为直线RM与E相切,所以Δ=[4(t-m)m]2-4[16+(t-m)2]·4(m2-4)=0,
于是16(t-m)2m2-16[16+(t-m)2](m2-4)=0,
化简得3m2+2tm-t2-16=0,
又直线RN与E相切,同理有3n2+2tn-t2-16=0,
故m,n是关于x的一元二次方程3x2+2tx-t2-16=0的两根,
则m+n=-,mn=-,
所以|MN|=|m-n|=,
又t2≥0,所以S△RMN=|MN|·2=,
所以△RMN面积的取值范围为,+∞.
18.(1)解 由|AB|=2,|PA|+|PB|=4>|AB|,
所以点P在以A,B为焦点,4为长轴长的椭圆上.
设椭圆方程为=1(a>b>0),焦距为2c,
则c=1,a=2,所以b2=a2-c2=3,
所以C的方程为=1.
(2)①证明 由Q(-4,0),直线l的斜率存在且不为0.
设直线l的方程为x=my-4,E(x1,y1),F(x2,y2),x1<0,
联立得(3m2+4)y2-24my+36=0,
则3m2+4≠0,Δ=144(m2-4)>0,y1+y2=,y1y2=,
所以my1y2=(y1+y2).
又A(-1,0),所以k1=,k2=,
所以=-1.
②解 由①知=-1,所以k1+k2=0.作点E关于x轴的对称点E'(x1,-y1),则F,A,E'三点共线.又A(-1,0),B(1,0),设M(x0,y0),则直线AF方程即为直线AE'方程x=y-1.又直线BE方程为x=y+1,两式作差,得y0=-,
所以x0=·--1=,
所以x1=,y1=-,由x1<0,得x0<0.
又因为=1,所以=1,
即,即=1(x0<0),
所以点M在以A,B为焦点,1为实轴长的双曲线的左支(椭圆内部)上运动,
所以|MA|-|MB|=-1.
19.解 (1)由条件得-y2=1,整理得=1,
所以E2的方程为=1.
(2)因为椭圆E1经“伸缩变换”后得到椭圆E2,
对E1作变换(x,y)→(λx,λy)(λ>0),得E2:+λ2y2=1.
联立解得点A的坐标为.
联立解得点B的坐标为.
所以|AB|==,
所以.
解得λ=2或λ=.
因此椭圆E2的方程为x2+4y2=1或=1.
(3)对En:x2=2pny作变换(x,y)→(λnx,λny),
得抛物线En+1:(λnx)2=2pnλny,即x2=y.
又因为x2=2pn+1y,所以pn+1=,即=n.
当n≥2时,·…·=1+2+3+…+(n-1),
得pn=,p1=1适用上式.
所以数列{pn}的通项公式pn=.
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