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2026高考数学第二轮专题
专题突破练1　三角恒等变换
必备知识夯实练
1.(2025河北沧州模拟)cos2+sincos-sin2的值为(　　)
A. B.
C. D.
2.(2023新高考Ⅱ,7)已知α为锐角,cos α=,则sin=(　　)
A. B.
C. D.
3.(2025江西南昌模拟)化简:=(　　)
A.2cos α B.2cos α
C.2sin α D.sin α
4.(2025湖北襄阳模拟)1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割,在某直角三角形中,一个锐角的斜边与其邻边的比,叫做该锐角的正割,用sec(角)表示;锐角的斜边与其对边的比,叫做该锐角的余割,用csc(角)表示,则csc 10°-sec 10°=(　　)
A.-4 B.2
C.4 D.-2
5.(2025湖南怀化二模)若α∈(0,),sin(-α)=-,则cos(+α)的值为(　　)
A. B.
C. D.
6.(2025广东东莞模拟)设α∈(0,),β∈(0,),且tan α=,则2α-β=(　　)
A. B.
C. D.π
7.(多选题)(2025山东淄博模拟)若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈[,π],β∈[π,],则下列选项正确的是(　　)
A.cos 2α=-
B.cos 2α=
C.α+β=
D.α+β=
8.(2025北京,13)已知α,β∈[0,2π],且sin(α+β)=sin(α-β),cos(α+β)≠cos(α-β),写出满足条件的一组(α,β)=　　　　　.
9.(2025广东潮州模拟)如图,三个相同的正方形相接,则α+β=　　　　　.
关键能力提升练
10.(2025安徽皖北协作区一模)如图,这是一朵美丽的几何花,且这八片花瓣的顶端A,B,C,D,E,F,G,H用线段依次相连后所得的多边形恰好是一个正八边形,设∠ACG=α,∠EBH=β,则tan(α+β)=(　　)
A.-3 B.-2
C.-2+1 D.--1
11.(多选题)(2025江苏盐城模拟)已知锐角α,β满足=2,则下列选项正确的是(　　)
A.α+2β=π
B.tan(α+β)=-2
C.sin α=
D.tan α∶tan β=2∶3
12.(2025安徽皖南八校三模)如图所示,两个直角三角形有公共斜边MN,且MN=1,MB-MA=,NA-NB=,设∠AMN=β,∠BMN=α,则cos(β-α)=　　　　　.
13.(2025清华附中模拟)若实数α,β∈[-π,π],且α,β满足方程组则α=　　　　　,β=　　　　　.(写出一组值即可)
核心素养创新练
14.(2025湖南岳阳二模)已知圆锥的侧面展开图为半圆,其轴截面是以A为顶点的等腰三角形,若A,B,C分别是该三角形的三个内角,则tan+tan+tan B+tantantan B=(　　)
A. B.2
C.0 D.1
答案：
1.A　解析 cos2+sincos-sin2=cos(2)+sin(2)
=cossin故选A.
2.D　解析 由cos α=1-2sin2,得sin2(1-)==()2.
因为0<α<,所以0<,所以sin>0,所以sin故选D.
3.A　解析 原式==2cos α.故选A.
4.C　解析 csc 10°-sec 10°
=
=-=-
==4.故选C.
5.C　解析 因为sin(-α)=-,所以sin(α-)=因为α∈(0,),所以α-(-),所以cos(α-)=,所以cos(+α)=cos[(α-)+]=cos(α-)cos-sin(α-)sin故选C.
6.C　解析 因为tan α=,所以,即sin αcos β-cos αsin β=cos α,即sin(α-β)=cos α=sin(-α).
因为α∈(0,),β∈(0,),所以α-β∈(-),-α∈(0,),
则α-β=-α,即2α-β=故选C.
7.AC　解析 因为α∈[,π],所以2α∈[,2π].因为08.()(答案不唯一)　解析 ∵sin(α+β)=sin(α-β),∴sin αcos β+cos αsin β=sin αcos β-cos αsin β,
∴cos αsin β=0. ①
∵cos(α+β)≠cos(α-β),
∴cos αcos β-sin αsin β≠cos αcos β+sin αsin β,∴sin αsin β≠0. ②
由①②可知cos α=0,sin β≠0,可取α=,β=故答案为()(答案不唯一).
9　解析 由题图可得tan α=,tan β=,所以tan(α+β)==1,而α,β均为锐角,即0<α+β<π,所以α+β=
10.D　解析 如图,连接AE,BF,CG,DH,AC,BE,BH.
设线段AE与CG的交点为O,线段BH与线段AE的交点为M.因为∠COB=∠AOB=,所以∠AOC=,又OC=OA,所以∠ACG=∠ACO=设OA=a,则易知OB=OE=a,OM=MB=a,所以tan∠EBH=tan∠EBM=+1,所以tan α=1,tan β=+1,
所以tan(α+β)==--1.故选D.
11.ABD　解析 由,得,即,
所以sin αcos β=sin β-cos αsin β,所以sin β=sin αcos β+cos αsin β=sin(α+β),所以β+α+β=α+2β=π或β=α+β(舍去),故A正确;
由=2,得=2,即tan α+tan β=-2(1-tan αtan β),所以tan(α+β)==-2,故B正确;
由A选项得tan β=tan[π-(α+β)]=-tan(α+β)=2,
所以tan α=tan[(α+β)-β]=,即,又sin2α+cos2α=1,所以sin α=(sin α=-舍去),故C错误;
tan α∶tan β=2=2∶3,故D正确.故选ABD.
12　解析 ∠BMN=α,∠AMN=β,由题意可得MB=cos α,NB=sin α,MA=cos β,NA=sin β,因为
两式两边平方,左、右相加可得2-2cos αcos β-2sin αsin β=,即2-2cos(β-α)=,
所以cos(β-α)=
13.-　0(答案不唯一)　解析 ∵
∴
①+②,得1+cos α+sin α=0,根据辅助角公式得2sin(α+)=-1,
∴α+=2kπ-或α+=2kπ+,k∈Z,
即α=2kπ-或α=2kπ+π,k∈Z.
∵α∈[-π,π],∴可只取α=-,此时,2cos β=1+2cos(-)=2,
∴β=2kπ,k∈Z,又∵β∈[-π,π],∴可取β=0.
14.B　解析 设圆锥的底面圆半径以及圆锥的母线分别为r,l,由题意可得2πr=2πl,故l=2r,因此△ABC为等边三角形,故A=B=C=60°.故tan+tan+tan B+tantantan B=tan+tan+tan B(1+tantan)=tan()(1-tantan)+tan B(1+tantan)=2tan B=2tan 60°=2故选B.
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