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2026高考数学第二轮专题
专题突破练4　平面向量的综合应用
必备知识夯实练
1.(2023全国甲,文3)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos=(　　)
A. B.
C. D.
2.(2025浙江金华三模)已知|a|=1,|a+b|=,向量a与b的夹角为,则|b|=(　　)
A.1 B.
C. D.2
3.(2024全国甲,理9)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则(　　)
A.x=-3是a⊥b的必要条件
B.x=-3是a∥b的必要条件
C.x=0是a⊥b的充分条件
D.x=-1+是a∥b的充分条件
4.(2025江苏南通一模)若非零向量a,b满足|a|=2|b|,且向量b在向量a上的投影向量是-a,则向量a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.π
5.(2025湖南长沙模拟)已知菱形ABCD的边长为1,∠DAB=60°,E是BC的中点,AE与BD相交于点F,则=(　　)
A. B.
C.1 D.
6.(2025山东烟台一模)在△ABC中,AB=2AC=6,∠BAC=60°,=3,则||=(　　)
A. B.
C. D.2
7.(2025江苏南京二模)在四边形ABCD中,AB∥DC,∠A=90°,AB=AD=2CD=2,E是线段AD的中点,F是线段BE上的动点,可以与点B,E重合,则的最小值为(　　)
A.- B.-
C.- D.-
8.(2025广东惠州模拟)已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且(a-2b)⊥a,则|a-b|=　　　　.
9.(2025江苏南京模拟)如图,已知点G是△ABC的重心,过点G作直线分别与AB,AC两边交于M,N两点,设=x=y,则x+4y的最小值为　　　　　.
关键能力提升练
10.(2025山东济南二模)在正方形ABCD中,AB=4,E为AB的中点,F为BC边上靠近点C的四等分点,AF与DE交于点M,则cos∠EMF=(　　)
A.- B.-
C. D.
11.(2022北京,10)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则的取值范围是(　　)
A.[-5,3]
B.[-3,5]
C.[-6,4]
D.[-4,6]
12.(多选题)(2025浙江台州二模)已知|a|=2,|b|=3,|c|=4,则下列选项正确的是(　　)
A.|a+b+c|的取值范围是[0,9]
B.(a+b)·(a+c)的最大值为30
C.(a+b)·(a+c)的最小值为-
D.(a+b)·(a+c)的最小值为-10
13.(2025北京,10)已知在平面直角坐标系xOy中,||=||=,||=2,设C(3,4),则|2|的取值范围是(　　)
A.[6,14]
B.[6,12]
C.[8,14]
D.[8,12]
核心素养创新练
14.(2025山东青岛模拟)“超椭圆”C:=1(n>0)是一种优美的封闭曲线.如图是当n=,a=b=1时C的图象,点Q是C与y轴正半轴的交点,过原点O的直线交C于点A,B,则的取值范围是(　　)
A.[-] B.[-]
C.[0,] D.[0,]
答案：
1.B　解析 ∵a=(3,1),b=(2,2),∴a+b=(5,3),a-b=(1,-1).则有cos=故选B.
2.B　解析 因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×1×|b|+|b|2=|b|2+|b|+1=5,解得|b|=或|b|=-2(舍去).故选B.
3.C　解析 若a⊥b,则x(x+1)+2x=0,解得x=0或x=-3.若a∥b,则2(x+1)-x2=0,解得x=1+或x=1-故选C.
4.B　解析 ∵b在a上的投影向量为a=-a,=-,∴a·b=-|a|2,则cos==-,
∵∈[0,π],∴=故选B.
5.B　解析 因为AD∥BE,所以∠DAF=∠BEF,∠ADF=∠EBF,
所以△FEB∽△FAD,所以=2,所以)=,故=()12+1×1故选B.
6.C　解析 在△ABC中,AB=2AC=6,∠BAC=60°,=3,
所以)=,
则||=
=
=
=
故选C.
7.C　解析 如图,以A为坐标原点,以直线AB,AD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.
因为AB=AD=2CD=2,E是线段AD的中点,所以A(0,0),B(2,0),C(1,2),D(0,2),E(0,1),而F是线段BE上的动点,从而可设=+(1-λ)=(2λ,0)+(0,1-λ)=(2λ,1-λ),λ∈[0,1],所以点F的坐标是(2λ,1-λ),所以=(2-2λ,-1+λ),=(1-2λ,1+λ),
=(2-2λ)(1-2λ)+(-1+λ)(1+λ)=4λ2-6λ+2+λ2-1=5λ2-6λ+1=5,λ∈[0,1],
所以当λ=时,取最小值-故选C.
8.2　解析 因为(a-2b)⊥a,所以(a-2b)·a=0,即a2-2a·b=0,因为|a|=1,所以2a·b=1,又|b|=2,所以|a-b|==2.
9.3　解析 因为点G为△ABC的重心,可得)=,
又因为G,M,N三点共线,所以=1,
易知x>0,y>0,所以x+4y=(x+4y)()=(5+)(5+2)=3,
当且仅当x=1,y=时,等号成立,所以x+4y的最小值为3.
10.A　解析 如图,∠EMF为的夹角,而,
所以||=
=
==2,
||=
=
==5,
=()·()==0-12+8+0=-4.
综上,cos∠EMF==-=-故选A.
11.D　解析 如图所示,以点C为坐标原点,CA,CB分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,
则C(0,0),A(3,0),B(0,4).∵PC=1,∴可设P(cos θ,sin θ),θ∈[0,2π],
=(3-cos θ,-sin θ)·(-cos θ,4-sin θ)=-3cos θ-4sin θ+sin2θ+cos2θ=1-5sin(θ+φ),其中tan φ=,∵-1≤sin(θ+φ)≤1,
∴-46.故选D.
12.ABC　解析 由向量模长的三角不等式得|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|=2+3+4=9,当且仅当a,b,c同向时,取得最大值9.当向量a,b,c首尾顺次连接构成封闭的三角形时,a+b+c=0,模长为0,由于长度为2,3,4的边满足任意两边之和大于第三边,所以这样的三角形是存在的,故|a+b+c|的取值范围是[0,9],故A正确.因为(a+b)·(a+c)=a2+a·c+a·b+b·c=4+8cos+6cos+12cos,当a,b,c同向时,cos=cos=cos=1,(a+b)·(a+c)的最大值为4+8+6+12=30,故B正确;因为(a+b)·(a+c)=a2+a·c+a·b+b·c=a2+a·(c+b)+b·c,设d=b+c,则上式为|a|2+a·d+b·c①,当a与d反向时,a·d=2×|d|cos π=-2|d|,d·d=(b+c)·(b+c)=|b|2+|c|2+2b·c=9+16+2b·c,所以b·c=,代入①式得4-2|d|+,所以当|d|=2时,(a+b)·(a+c)取得最小值,为-,此时b·c=-,所以cos==-,这种可能性是存在的,故C正确,D错误.故选ABC.
13.D　解析 ∵||=||=,||=2,,A,B两点在以O为圆心,为半径的圆上.取AB的中点H,可知|OH|=1,∴点H在以O为圆心,1为半径的圆上,
则|2|2=4+4=4)+4=4+4=4()()+4=4()+4=4(-1)+4=4,∴|2|=2||.
∵||-1≤||≤||+1,||=5,∴4≤||≤6,即8≤2||≤12.故选D.
14.D　解析 当n=,a=b=1时,曲线C的方程为=1,在曲线C上任取一点P(x,y),则点P关于原点的对称点为点P'(-x,-y),则=1,即点P'在曲线C上,所以曲线C关于原点对称,同理可知,曲线C关于x轴、y轴对称.因为过原点O的直线交C于点A,B,则点A,B关于原点对称.在曲线C的方程中,令x=0,可得y=±1,即点Q(0,1),则=()·()==1-由对称性,不妨设点A(x,y),其中0≤x≤1,0≤y≤1,则=1,=x2+y2=x2+,令t=[0,1],f(t)=t4+(1-t)4,其中0≤t≤1,则f'(t)=4t3+4(t-1)3=4(2t3-3t2+3t-1)=4(2t-1)(t2-t+1).因为t2-t+1=>0,令f'(t)=0可得t=,列表如下:
t [0,) (,1]
f'(t) - 0 +
f(t) 单调递减 极小值 单调递增
所以函数f(t)[0,)内单调递减,在(,1]上单调递增,所以f(t)min=f()=2×()4=,又因为f(0)=f(1)=1,则f(t)max=1,所以1,故=1-[0,].故选D.
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