资源简介

山西省2025~2026学年第一学期九年级期中学业质量监测
数学试卷（人教版）
注意事项：
1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷 选择题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1．一元二次方程的根为（ ）
A． B． C． D．
2．剪纸是我国最古老的民间艺术之一，先后入选我国国家级非物质文化遗产名录和联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的为（ ）
A. B.
C. D.
3．若点的坐标为，则它关于原点对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，当时，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．一元二次方程配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，为斜边的中点，以点为中心，把逆时针旋转，使点落在点处，得到Rt，点旋转后的对应点分别为与交于点．若，则的度数为（ ）
A.40° B.45° C. D.55°
7．把抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到的抛物线对应的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
8．新能源汽车以其环保性、经济性和智能性逐渐受到广大民众的青睐．某品牌新能源汽车2025年4月的销售量为25万台，6月销售量增长为36万台．若该品牌新能源汽车这两个月的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．用长的木条围成如图所示的“日”字形窗框，则窗户的最大透光面积（木条宽度和损耗忽略不计）为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，．若把绕点逆时针旋转，得到，点旋转后的对应点为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
第II卷 非选择题
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置）
11．若一元二次方程无实数根，请写出一个满足条件的一元二次方程：___________．
12．若抛物线与轴的公共点是，则这条抛物线的对称轴为___________．
13．某数学小组同学利用计算机中的画图软件，把图1中的基本图形旋转一定角度若干次后，得到图2的图案，该数学小组同学设定的旋转角为___________．
14．景德桥是一座敞肩式单孔圆弧弓形石拱桥，位于山西省晋城市，始建于1189年，是山西省省级文物保护单位．如图所示是它的示意图，其拱桥可近似地用抛物线的一部分表示．若当水面宽度为时，水面到拱顶的高度为，则当水位在此基础上继续上涨时，水面的宽度为___________．（结果保留根号）
15．如图，在矩形中，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点旋转后的对应点分别为．若点落在边上，延长交于点，连接，则的长为___________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本题共2个小题，每小题5分，共10分）解下列方程：
（1）；
（2）．
17．如图，位于平面直角坐标系中，且，，三点的坐标分别为（3，5），．
（1）将以点为中心，顺时针旋转，得到，点，的对应点分别为，请画出这个三角形，并分别写出点和点的坐标．
（2）请用无刻度的直尺，作的平分线．（保留作图痕迹，不写作法）
18．如图，直线分别与轴，轴交于点，抛物线经过点和点，且与轴交于点，连接，求的面积．
19．毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形，因形状好似一棵树，故被称为毕达哥拉斯树．如图是数学社团的李想同学利用几何画板绘制的“勾股树”，电脑打印后为长20cm，宽16cm的矩形图片．他要给这个矩形图片装框挂在墙上，边框（粗细忽略不计）与矩形图片之间的距离等宽．若装框后整幅作品的面积为，求装框后整幅作品外框的总长度．
20．如图，在Rt中，，将绕点顺时针旋转，得到，点旋转后的对应点分别为，连接，分别交于点．若，求的长．
21．阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请仔细阅读并完成相应的任务．
探究利用函数图象解一元二次方程 我们知道，二次函数的图象是一条抛物线，在求抛物线与轴的交点坐标时，令，得到对应的一元二次方程． 当方程有两个不相等的实数根时，对应的抛物线与轴会有两个交点；当方程有两个相等的实数根时，对应的抛物线与轴只有一个交点；当方程没有实数根时，对应的抛物线与轴没有交点． 综上所述，一元二次方程的根的情况，对应的就是抛物线与轴的位置关系．若有实数根，则实数根就是抛物线与轴交点的横坐标． 反之，我们可以利用二次函数的图象与轴的交点坐标，求其对应的一元二次方程的根． 我还发现，一元二次方程的根可以看作一条抛物线与一条直线交点的横坐标，如一元二次方程的根可以看作抛物线与直线的交点的横坐标． 理由如下： 如图，画出抛物线与直线． 由图象可知，抛物线与直线的交点坐标分别为． ．．．．．．
任务：
（1）上面数学笔记的探究过程，主要运用的数学思想是___________．（从下面选项中选出两个即可）
A．分类讨论思想 B．统计思想
C．数形结合思想 D．转化思想
（2）请补全小宣的推理过程．
（3）一元二次方程的根可以看作是一条抛物线与一条直线交点的横坐标，这条抛物线对应的函数解析式是___________，直线对应的函数解析式是___________．
22．综合与实践
问题情境：
蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，上面覆上一层或多层保温塑料膜，就形成了一个温室空间，大棚的设计要保证安全、通风且利于采光．
数学建模：
如图是一种使用钢结构作为骨架的蔬菜大棚，其横截面示意图如图1，是由抛物线和立柱构成．经测量，大棚的最高点到地面的距离为，大棚宽度为，立柱，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系．
问题解决：
（1）求该蔬菜大棚横截面所在抛物线对应的函数解析式．
（2）如图2，从安全角度考虑，需安装“支撑架”对大棚进行加固，“支撑架”由三根支架构成，其中，垂直于地面，平行于地面，且点，均在抛物线上．经考察，当“支撑架”与地面构成正方形时，承受能力最强，此时为最安全的状态．请通过计算说明最安全时，这样的一组“支撑架”的总长度是多少．
（3）为提高水分的利用率，大棚引进智能节水灌溉系统，将灌溉管平行于地面安装于两立柱与之间，每组灌溉管上安装若干个洒水器，且这种洒水器喷洒的纵截面呈抛物线形状．如图3，当洒水器距地面高度为时（即灌溉管为），其最大喷洒直径为．为保证蔬菜获得充足的水分，同时考虑喷洒的密集程度，需要将灌溉管上的洒水器悬于距地面的高度．若使大棚内蔬菜均被完全喷洒到，请直接写出此时一组灌溉管上至少要安装洒水器的个数．（参考数据：）
23．综合与探究
问题情境：
如图，在四边形中，，，平分交于点，连接，将线段绕点逆时针旋转到，使，连接．
问题初探：
（1）如图1，当时，线段和线段的数量关系为___________，位置关系为___________．
深入探究：
（2）对问题（1）进一步研究之后发现，线段与线段之间存在特定的数量关系．请你写出这种关系，并予以证明．
解决问题：
（3）如图2，连接，当时，请直接写出四边形的面积．

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