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莆田四中2025-2026学年上学期高一年段期中考数学科试卷
一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）
1．已知集合，，则（ ）.
A． B． C． D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，且，则m=（ ）
A．2 B．6 C．25 D．44
5．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知正实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．
7．某放射性物质在衰变过程中，其质量（单位：克）与年数满足关系式（为初始质量，为常数，）.已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（ ）
A． B． C． D．
8．函数的定义域为，满足,且对，.记，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
A．与是同一个函数
B．命题“，”的否定是“，”
C．函数的值域为
D．若函数的定义域为，则函数的定义域为
10．已知函数，则（ ）
A．函数的图象关于原点对称 B．当时，函数在定义域上单调递增
C．当时，函数的最小值为 D．若对，都有，则
11．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，为增函数. B．当时，的值域为.
C．. D．与轴有两个交点时，.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．计算
13．郭老师在黑板上写出了一个函数，请三位同学各自说出这个函数的一条性质：①此函数为奇函数；②定义域为；③在上为单调减函数．郭老师说其中有一个同学的结论错误，另两位同学的结论正确．请你写出一个这样的函数 ．
14．已知二次函数满足有两个相等实根，且不等式的解集为．当时，在上的取值范围为，则 ， ．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
(2)若命题，的真假性相同，求实数的取值范围.
16．（15分）已知是定义域为的奇函数，当时，，且．
(1)当时，求的解析式；
(2)判断在区间上的单调性，并证明．
17．（15分）某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足（k为常数），如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是3万件.已知生产该产品的固定投入为9万元，每生产1万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本（此处每件产品年平均成本按元来计算）的1.5倍.
(1)将2025年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？
18．（17分）已知函数（且）
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若， 求使不等式在上恒成立的的取值范围；
(3)若，且在上的最小值为，求的值.
19．（17分）对于定义在上的函数，若其在区间上存在最小值和最大值，且满足，则称是区间上的“聚集函数”.现给定函数.
(1)当时，求函数在上的最大值和最小值，并判断是否是“聚集函数”；
(2)若函数是上的“聚集函数”，求实数的取值范围;
(3)已知，若函数是上的“聚集函数”，求的最大值.
参考答案
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A B C A D B
二、多选题
题号 9 10 11
答案 BCD AD ACD
三、填空题
12． 22
13．（答案不唯一）
14． 1
四、解答题
15．(1)图象见解析，.
(2).
【详解】（1）函数的图象如图1

由图可知，的取值范围为.
则在上恒成立，
令，
任取，且，
，即，
所以在上单调递增，
所以的最大值为，
所以的取值范围为.
因为命题，的真假性相同，所以，都为真或都为假，
当，都为真时，即，此时无解，
当，都为假时，即，则，或，
所以的取值范围为.
则，即，即.
所以的取值范围为.
以下部分同方法一.
16．(1)
(2)在区间上单调递增，证明见详解
【详解】（1）由是定义在上的奇函数，且，可得，
当时，，所以，解得，
所以当时，，
当时，，，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以当时，.
（2）在区间上单调递增，
证明如下：任取，且，
则
，
因为，且，
所以，，，
故，所以在区间上单调递增.
17．(1)
(2)该厂家2025年的促销费用投入2万元时，厂家的利润最大，为35.5万元.
【详解】（1）由题意知，当时，，
则，解得，
所以.
因为每件产品的销售价格为元，
所以2025年该产品的利润
,
即.
（2）因为当时，.
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故该厂家2025年的促销费用投入2万元时，厂家的利润最大，最大为万元.
18．(1)奇函数 (2). (3)2
【分析】（1）根据奇偶性的定义，即可化简求解，
（2）根据函数的单调性和奇偶性即可将问题转化为，利用基本不等式即可求解最值得解，
（3）利用换元法可得，进而利用二次函数的性质，结合分类讨论求解.
【详解】（1）函数的定义域为R，
且
所以函数是奇函数.
（2），得所以，显然函数，在R上单调递增，
因此函数是R上的增函数，
不等式
则，
，，
于是，当且仅当时取等号，
因此，
所以的取值范围是.
（3）由，得，故，
而，解得，则，
，
令，
由（2）知，函数是R上的增函数，当时，，
，
当时，函数在上单调递增，
当时，，解得与矛盾； -
当时，时，，则，
综上.
19．(1)最小值，最大值为；是 (2) (3)8
【详解】（1）根据题意：，则，
因为，则当时，，
当时，，且，
即函数为上的“聚集函数”.
（2）
①若，则，，
根据题意：，无解；
②若，则，，
根据题意：，解得：；
③若，则，，
根据题意：，解得：；
④若，则，，
根据题意：，解得：无解；
综上：实数的取值范围为：.
（3）
因为，则，
①若，则由图象可得：，
，设，即求的最大值.
，
因为，则，，代入上式，得，则.
②若，则由图象可得：，
，设，即求的最大值.
，
因为，则，，代入上式，得，则.
综上：的最大值为，当且仅当时取等号，
即或时取等号.
因此的最大值为.

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