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(共16张PPT)
一元二次方程
第6讲
0
考情分析
　　本课时在中考中基本上占3～9分，常考知识点有一元二次方程根的
判别式（10年10考）和实际应用.根的判别式主要以选择题、填空题的
形式考查，考查方式主要有两种：一是不解方程直接判断一元二次方程
的根的情况，二是根据方程根的情况确定参数的值或取值范围.实际应
用单独考查较少，主要有面积、增长率、利润等问题，近几年考查较少
（仅2020年第9题），更多的是融入到用勾股定理或相似求线段的长度
中或二次函数中考查.
考点1　解一元二次方程
例1 方程（x－2）（x＋3）＝0的解是（　D　）
A. x＝2 B. x＝－3
C. x1＝－2，x2＝3 D. x1＝2，x2＝－3
D
　　解一元二次方程的方法主要有公式法、配方法和因式分解法.这三
种方法要熟练掌握并灵活运用.一般先把方程化成一般形式，若一次项
系数为0，可直接开平方；若常数项为0，可因式分解.若一次项系和常
数项都不为0，当满足完全平方公式时，用因式分解法；当二次项系数
为1，一次项系数是偶数时，用配方法；如果都不符合，用公式法.
名师点拨
跟踪训练　（2024赤峰）若等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋
21＝0的两个根，则这个三角形的周长为（　C　）
A. 17或13 B. 13或21
C. 17 D. 13
C
【解析】x2－10x＋21＝0，（x－3） （x－7）＝0，解得x1＝3，x2＝
7.当等腰三角形的边长是3，3，7时，3＋3＜7，不符合三角形的三边关
系，应舍去；当等腰三角形的边长是7，7，3时，这个三角形的周长是7
＋7＋3＝17.故选C.
考点2　一元二次方程根的判别式
例2　（2025河南）一元二次方程x2－2x＝0的根的情况是（　A　）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
A
名师点拨
　　一元二次方程根的判别式的考法主要有两种：（1）不解方程，直
接判断根的情况；（2）根据根的情况，确定参数的值或取值范围.不管
哪种考法都要熟练掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的
判断方法：（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当Δ＝
0时，方程有两个相等的实数根；（3）当Δ＜0时，方程无实数根.若一
元二次方程的二次项系数含有字母，
则根据一元二次方程的定义求值时，
要注意不能忽略隐含条件“a≠0”.
另外，在确定a，b，c的值
时，一定要注意符号.
跟踪训练（2024河南）若关于x的方程 x2－x＋c＝0有两个相等的
实数根，则c的值为 .
【解析】因为关于x的方程 x2－x＋c＝0有两个相等的实数根，所以Δ
＝（－1）2－4× ×c＝0.解得c＝ .故答案为 .
　
【解析】因为关于x的方程 x2－x＋c＝0有两个相等的实数根，所以Δ
＝（－1）2－4× ×c＝0.解得c＝ .故答案为 .
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
变式训练　 （2023河南）关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的根的
情况是（　A　）
A
考点3　一元二次方程的实际应用
例3（2020河南）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加.
2017年至2019年我国快递业务收入由5 000亿元增加到7 500亿元.设我国2017
年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（　C　）
A. 5 000（1＋2x）＝7 500
B. 5 000×2（1＋x）＝7 500
C. 5 000（1＋x）2＝7 500
D. 5 000＋5 000（1＋x）＋5 000（1＋x）2＝7 500
C
名师点拨
　　解本题一定要注意数据7 500亿元的含义，若表示2019年的业务
量，则答案选C；若表示2017年到2019年总的业务量，则答案选D.
跟踪训练　（2025凉山州）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增
长率相同，第一季度共生产钢铁1 860吨，若设月平均增长率为x，那么
可列出的方程是（　C　）
C
A. 560（1＋x）2＝1 860
B. 560＋560（1＋x）＋560（1＋2x）＝1 860
C. 560＋560（1＋x）＋560（1＋x）2＝1 860
D. 560＋560（1＋2x）2＝1 860
变式训练　（2025威海）如图，某校有一块长20 m，宽14 m的矩形种
植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路
（图中阴影部分）.小路把种植园分成面积均为24 m2的9个矩形地块，
请你求出小路的宽度.
解：设小路的宽度为x m.
根据题意，得（20－4x）（14－4x）＝24×9.
整理得，2x2－17x＋8＝0，
解得x1＝ ，x2＝8（舍去）.
答：小路的宽度为 m.
欧几里得在《几何原本》中记载了用图解法解方程x2＋ax＝b2的方法，类似地，我们可以用折纸的方法求方程x2＋x－1＝0的一个正根.如图，一张边长为1的正方形纸片ABCD，先折出AD，BC的中点G，H，再折出线段AN，然后沿线段AN折叠使AD落在线段AH上，得到点D的新位置P，并连接NP，NH，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程x2＋x－1＝0的一个正根，则这条线段是（　B　）
B
A. 线段BH B. 线段DN
C. 线段CN D. 线段NH
【解析】设DN＝m，则NC＝1－m.由题意，得△ADN≌△APN，H
是BC的中点.∴DN＝NP＝m，CH＝ .∵S正方形＝S△ABH＋S△ADN＋
S△CHN＋S△ANH，∴1×1＝ ×1× ＋ ×1×m＋ × ×（1－m）＋
× ×m.∴m＝ .∵x2＋x－1＝0的解为x＝－ ± ，∴取正
值为x＝ .∴这条线段是线段DN. 故选B.
名师点拨
　　本题考查了一元二次方程的解法，运用勾股定理和面积法找到线段
之间的关系是解题的关键.
素养落地　数形结合、数学建模
【解析】设小矩形的长为x，则小矩形的宽为8－x.根据题意，得x［x
－（8－x）］＝24.解得x＝6或x＝－2（舍）.故答案为6.
跟踪训练　如图，矩形ABCD是由三个小矩形拼接而成的.如果AB＝8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为 .
6　(共20张PPT)
一元一次不等式(组)
第8讲
考情分析
　　本课时在中考中基本上占3～13分，常考知识点有解一元一次不等
式组及解集表示（10年8考）和一元一次不等式的实际应用（10年7
考）.解一元一次不等式组的考查方式有三种：一是求解集并在数轴上
表示；二是求特殊解；三是已知解集或特殊解的个数求参数的值或取值
范围.一元一次不等式的实际应用常在解答题的第20或21题，常和方
程、一次函数等综合考查.
考点1　一元一次不等式（组）的解法及解集表示
例1 （2025郑州三模）不等式组 的解集为（　C　）
C
A. x＞－2 B. x＞－3
C. x≥3 D. －2＜x≤3
名师点拨
　　确定不等式组的解集常用的方法有两种：（1）借助数轴求解集，
注意空心点和实心点的不同含义；（2）借助口诀“同大取大，同小取
小，大小小大中间找，大大小小找不到”求解集.
跟踪训练　（2024河南）下列不等式中，与－x＞1组成的不等式组无
解的是（　A　）
A. x＞2 B. x＜0 C. x＜－2 D. x＞－3
A
【解析】根据不等式组的解集的确定方法逐项判断即可.∵－x＞1，
∴x＜－1.对于选项A， 无解，故此选项符合题意；对于选
项B， 的解集是x＜－1，故此选项不符合题意；对于选项
C， 的解集是x＜－2，故此选项不符合题意；
对于选项D， 的解集是－3＜x＜－1，故此选项不符合题意.
故选A.
变式训练　（2025郑州金水区一模）一个不等式的解集在数轴上的表示
如图所示，则这个不等式可能为（　C　）
A. 2x＋1＞5 B. 2x＜3x－2
C. 4x＋1＜6x＋5 D. 1－5x＞5－3x
C
考点2　一元一次不等式的实际应用
例2 （2023河南）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时
只能选择其中一种.
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元.
（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价
为770元，可减160元，需付款610元）
（1）购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说
明理由.
解：（1）选择活动一时，需付款450×0.8＝360（元）；
选择活动二时，需付款450－80＝370（元）.
∵360＜370，∴选择活动一更合算.
（2）购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活
动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价.
解：（2）设一件这种健身器材的原价是x元.
根据题意，得0.8x＝x－80.
解得x＝400.
答：一件这种健身器材的原价是400元.
（3）购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选
择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请
直接写出a的取值范围.
解：（3）由题意知，选择活动一时，需付款0.8a元；
选择活动二时，若0＜a＜300，需付款a元，
若300≤a＜600，需付款（a－80）元，
若600≤a＜900，需付款（a－160）元.
①当0＜a＜300时，a＞0.8a，此时无论a为何值，都是活动一更合
算，不符合题意；
②当300≤a＜600时，a－80＜0.8a，解得300≤a＜400，即当300≤a
＜400时，活动二更合算；
③当600≤a＜900时，a－160＜0.8a，解得600≤a＜800，即当
600≤a＜800时，活动二更合算.
综上所述，当300≤a＜400或600≤a＜800时，活动二更合算.
名师点拨
　　本题考查了一元一次方程以及一元一次不等式的应用.根据两种活
动的优惠方案，用含x的代数式表示出两种活动方案的费用，并根据题
意列出方程和不等式是解题的关键.在表示的过程中，要关注常见的表
示不等关系的词语，如：大于、小于、超过、不足、不大于、不小于、
至少、最多等，准确表示.
跟踪训练　（2024山西）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号
的水基灭火器和干粉灭
火器共50个.其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为
380元/个.若学校购买这两种灭火器的总价不超过21 000元，则最多可购
买这种型号的水基灭火器多少个？
解：设可购买这种型号的水基灭火器x个，则购买干粉灭火器（50－
x）个.
根据题意，得540x＋380（50－x）≤21 000.
解得x≤12.5.
∵x为正整数，
∴x可取的最大值为12.
答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个.
（2025黑龙江）若关于x的不等式组
恰有3个整数解，则a的取值范围是 .
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组整数解的个数
可得答案.解不等式，得；解不等式，得
∵不等式组恰有3个整数解，∴－2≤a＜－1.故答案为－2≤a＜－1.
－2≤a＜－1
名师点拨
　　本题考查了含参一元一次不等式组的整数解.解决本题的关键是找
到3个整数解的具体数值，从而得出关于a的不等式组（尤其要注意是
否含等号）.先解含参的不等式组，得a＜x≤ ，根据不等式组恰有3
个整数解，得此不等式组的3个整数解为－1，0，1，则－2≤a＜－1.
素养落地　运算能力、应用意识
跟踪训练　（2025河南省实验中学二模）若关于x的不等式组
的解集为－1＜x＜1，则a＋b的值是（　C　）
A. 1 B. C. －1 D. －
C
变式训练 （2024安徽）已知实数a，b满足a－b＋1＝0，0＜a＋b＋1＜1，则下列判断正确的是（　　）
A.－＜a＜0 B.＜b＜1
C.－2＜2a＋4b＜1 D.－1＜4a＋2b＜0
C
【解析】∵a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，∵0＜a＋b＋1＜1，∴0＜a＋
a＋1＋1＜1，即0＜2a＋2＜1，∴－1＜a＜－ ，故选项A错误；∵b
＝a＋1，－1＜a＜－ ，∴0＜b＜ ，故选项B错误；由－1＜a＜－
，得－2＜2a＜－1，－4＜4a＜－2，由0＜b＜ ，得0＜4b＜2，0＜
2b＜1，∴－2＜2a＋4b＜1，故选项C正确；∴－4＜4a＋2b＜－1，
故选项D错误.故选C.(共20张PPT)
一次方程(组)
第5讲
考情分析
　　本课时在中考中基本上占3～10分，常考知识点有解二元一次方程
组和一次方程（组）的实际应用（10年8考）.考查形式主要有三种：一
是单独列二元一次方程组（仅2018年在第6题考查）；二是单独解二元
一次方程组（仅2023年在第12题考查）；三是结合不等式和一次函数的
增减性设计方案或求最值（10年7考，2016年第20题，2017年第21题，
2019年第20题，2021年第22题，2023年第21题，2024年第21题，2025年
第20题）.
考点1　二元一次方程组的解法
例1　（2023河南）方程组 的解为
.
　
　　解决此类问题的关键是熟练掌握二元一次方程组常用的两种解法：
代入消元法和加减消元法.当方程组中一个方程的常数项为0或者一个未
知数的系数为1或－1时，常采用代入消元法；当同一个未知数的系数相
同或互为相反数时，常采用加减消元法.当不存在以上这些特殊关系
时，常根据等式的基本性质，将相同未知数的系数变成相同或互为相反
数，再利用加减消元法.本题利用加减消元法或代入消元法求解都比较
简便.
名师点拨
跟踪训练　（2025洛阳一模）方程组 的解是 .
　
变式训练　（2025河南模拟）已知x，y满足 我们可
以不解这个方程组，用①×a＋②×b整体求出x＋11y的值，则a∶b的
值是 .
－ 　
考点2　一次方程（组）的应用
例2 （2025吉林）某公司将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出
售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和每盒20元.某游客购
买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元.求该游客购买甲种商品和
乙种商品的盒数.
解：设该游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒.
根据题意，得
解得
答：该游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒.
名师点拨
　　本题考查了二元一次方程组的实际应用.解题的关键是正确理解题
意，找出题中的未知量、已知量，结合等量关系列出方程（组），并进
行求解、作答.不难发现，本题的等量关系有：游客购买了甲、乙两种
商品共10盒，花费230元.设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y
盒，根据题意可列方程组 解得 即游客购
买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒.
跟踪训练　（2025江西）某文物考古研究院用1∶1复原的青铜蒸馏器进
行了蒸馏酒实验.用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原
材料与出酒率（出酒率＝ ×100％）如表：
类别 原材料 出酒率
粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏
水） 30％
芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20％
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别
蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2
倍，芋头糟醅量是第一次的3倍.
（1）求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？
解：（1）设第一次实验用了x公斤粮食糟醅，y公斤芋头糟醅.
根据题意，得
解得
答：第一次实验用了40公斤粮食糟醅，20公斤芋头糟醅.
（2）受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原
品的80％.若粮食糟醅中大米占比约为 ，在古代要想蒸馏出这两次实
验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？
解：（2）设需要准备m公斤大米.
根据题意，得（m÷ ）×30％×80％＝（40＋40×2）×30％，
解得m＝37.5.
答：需要准备37.5公斤大米.
变式训练　（2025北京海淀区二模）为了解新能源汽车的能耗情况，某
测评公司推出了“真实路况能耗挑战”测试.测试路线由市区道路和高
速道路两部分组成.若挑战结束后车辆的百公里平均能耗不高于17
kW·h，则视为挑战成功.一款新能源汽车在测试路线的市区道路中百公
里平均能耗为15 kW·h，在高速道路中百公里平均能耗为20 kW·h，此
次测试的总能耗为32 kW·h.若本次测试道路中市区道路的长度是高速
道路长度的4倍，请通过计算判断该车是否能挑战成功.
解：设本次测试道路中高速道路的长度是x百公里，则本次测试道路中
市区道路的长度是4x百公里.
根据题意，得15×4x＋20x＝32，
解得x＝0.4.
∴ ＝ ＝16（kW·h）.
∵16＜17，
∴该车能挑战成功.
　（2025洛阳三模）《九章算术》中第七章《盈不足》记
载了一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人
数、物价各几何？”译文：“现有一些人合伙购买物品，若每人出8
钱，则多出3钱；若每人出7钱，则还差4钱.问人数、物价各是多少？”
设有x个人，物价为y钱，则下列方程组中正确的是（　B　）
B
A. B. C. D.
名师点拨
　　《孙子算经》《九章算术》等古代数学著作中记载的数学问题是全
国各地中考的热点，体现了我国古代数学的辉煌成就.解决这类问题，
首先要读懂题意，特别是涉及一些古代的计量单位，我们只需要把它当
成一个一般的计量单位去看待就可以了，不必过度追究.在读懂题意的
基础上，最关键的是要通过分析找到题目中的等量关系，设出未知数，
列出方程.这类问题一般设一个或者两个未知数都可以列出方程，具体
根据题目的要求或者自己的熟练情况去灵活选择.
素养落地　阅读理解、数学建模、数学文化(共18张PPT)
分式方程
第7讲
考情分析
　　本课时在中考中基本上占3分，常考知识点有解分式方程（10年1
考，2017年第4题）和分式方程的实际应用（10年1考，2022年第21
题）.解分式方程的考查方式主要有：一是以选择或填空的形式解分式
方程；二是判断某步求解过程是否正确.
考点1　解分式方程
例1 （2025郑州一模）解方程： － ＝ .
解：原方程两边都乘（x－1）（x＋1），
得2x－3－（x－1）＝2（x＋1），
解得x＝－4.
检验：当x＝－4时，（x＋1）（x－1）≠0.
∴原分式方程的解为x＝－4.
名师点拨
　　解分式方程的基本步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、
系数化为1、检验.去分母时有两点需要特别注意：（1）确定最简公分
母，特别是分母上出现互为相反数的式子时，去分母时要注意符号的变
化；（2）去分母时，对于整式项不能漏乘，特别是单独的一个数字.另
外，还要明确每个步骤的变形依据，这是新的考试方向.
跟踪训练（2025广东）在解分式方程 ＝ －2时，小李的解法
如下：
第一步： ·（x－2）＝－ ·（x－2）－2，
第二步：1－x＝－1－2，
第三步：－x＝－1－2－1，
第四步：x＝4.
第五步：检验：当x＝4时，x－2≠0.
第六步：所以原分式方程的解为x＝4.
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答
过程是否正确.若不正确，请写出你的解答过程.
解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0
的数（或式子），等式仍然成立.
小李的解答过程不正确，正确的解答过程如下：
原方程两边都乘x－2，
得1－x＝－1－2（x－2），
去括号，得1－x＝－1－2x＋4，
移项，得－x＋2x＝－1＋4－1，
解得x＝2.
检验：当x＝2时，x－2＝0.
∴x＝2是原方程的增根.
∴原方程无解.
变式训练　（2025黑龙江）已知关于x的分式方程 － ＝3解为负
数，则k的值为（　A　）
A. k＜－4 B. k＞－4
C. k＜－4且k≠－ D. k＞－4且k≠－
A
考点2　分式方程的实际应用
例2 （2025山西）我国自主研发的HGCZ－2000型快速换轨车，采用先
进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该型号
快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨公里数
的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间
少22小时.求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里.
解得x＝2.
经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意.
答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里.
解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里.
根据题意，得 － ＝22，
名师点拨
　　本题考查了分式方程的应用.读懂题意，找准等量关系，正确列出
分式方程是解题的关键.设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公
里，根据一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队
人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里
钢轨所用时间少22小时，可列出关于x的分式方程，解之并检验后，即
可得出结论.检验时不仅要检验整式方程的解是否为原分式方程的解，
也要检验分式方程的解是否符合实际问题.
跟踪训练　（2025自贡）去年暑假，小张与小李主动帮刘大爷掰玉米，
他们各掰了36筐和30筐，两人劳动时间相同，小张平均每小时比小李多
掰2筐，请问小李平均每小时掰玉米多少筐？
解：设小李平均每小时掰玉米x 筐，则小张平均每小时掰玉米（x＋2）筐.
根据题意，得 ＝ ，
解得x＝10.
经检验，x＝10是原方程的根且符合题意.
答：小李平均每小时掰玉米10筐.
变式训练　某地计划在规定时间内种植梨树6 000棵.开始种植时，由于
志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20％，结果提
前2天完成任务.问原计划每天种植梨树多少棵？
解：设原计划每天种植梨树x棵，则实际每天种植梨树（1＋20％）x棵.
根据题意，得 － ＝2.
解得x＝500.
经检验，x＝500是原方程的解，且符合题意.
答：原计划每天种植梨树500棵.
（2025遂宁）若关于x的分式方程 ＝ －1无解，则a的值为
（　D　）
A. 2 B. 3 C. 0或2 D. －1或3
D
【解析】　原方程两边同乘x－2，得－（3－ax）＝a－（x－2）化简
得ax－3＝a－x＋2，即（a＋1）x＝a＋5；当整式方程无解，即当a
＋1＝0且a＋5≠0时，a＝－1，此时方程无解；当解为增根，即当解x
＝ ＝2时，解得a＝3，此时x＝2使原方程分母为零，无意义.综上
所述，a的值为－1或3，故选D.
名师点拨
　　本题考查了根据含参分式方程解的情况确定参数的值或取值范围.
根据解分式方程的步骤，先把分式方程转化为整式方程，求出整式方程
的解，当所求整式方程的解满足分式的分母不为0时，才是分式方程的
解，否则分式方程无解.
素养落地　运算能力、应用意识
跟踪训练　（2024齐齐哈尔）如果关于x的分式方程 － ＝0的解是
负数，那么实数m的取值范围是（　A　）
A. m＜1且m≠0 B. m＜1
C. m＞1 D. m＜1且m≠－1
A
【解析】先解分式方程，然后根据关于x的分式方程 － ＝0的解是
负数及分母不为0，列出关于m的不等式，解不等式即可.具体如下：
∵ － ＝0，
∴x＋1－mx＝0，即x－mx＝－1，即（1－m）x＝－1.根据题意
知，1－m≠0.所以x＝ .∵关于x的分式方程 － ＝0的解是负
数，∴m－1＜0，且m－1≠－1.解得m＜1且m≠0.故选A.
变式训练　若关于x的分式方程 ＋1＝ 的解为非负数，则m的取
值范围是（　A　）
A. m≤1且m≠－1 B. m≥－1且m≠1
C. m＜1且m≠－1 D. m＞－1且m≠1
A

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