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(共19张PPT)
与圆有关的计算
第26讲
考情分析
　　本课时常考知识点有弧长的计算和不规则图形的面积计算.题型主
要以选择题、填空题为主，分值为3分，常考知识点有：1.以圆或者扇
形为背景，与平面图形相结合计算弧长；2.通过三角形、菱形或扇形的
旋转求阴影部分的面积；3.在矩形中作圆求阴影面积；4.在扇形中作正
方形求阴影面积；5.在扇形中结合直角三角形、等边三角形从而求阴影
面积.
考点1　弧长的计算
例1 （2020河南）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分
∠BOC交 于点D，点E为半径OB上的动点.若OB＝2，则阴影部
分周长的最小值为 .
　
名师点拨
　　本题考查了弧长的计算、轴对称－最短路线问题.掌握轴对称的性
质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题
是关键.
跟踪训练　（2021河南）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均
为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在 上，
∠BAC＝22.5°，则 的长为 .
　
考点2　阴影部分面积的计算
例2（2025河南）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算
术》作注时，创立了“割圆术”.如图是研究“割圆术”时
的一个图形， 所在圆的圆心为O，四边形ABCD为矩形，边CD与
☉O相切于点E，连接BE，∠ABE＝15°，连接OE交AB于点F. 若
AB＝4，则图中阴影部分的面积为 .
－2 　
【解析】∵边CD与⊙O相切于点E，∴OE⊥CD. ∵四边形ABCD为
矩形，∴AB∥CD，∴OE⊥AB，∴AF＝FB＝ AB＝ ×4＝2.由圆
周角定理得，∠AOE＝2∠ABE＝30°，∴OA＝2AF＝4.由勾股定理
得，OF＝ ＝ ＝2 ，则S阴影部分＝S扇形AOE
－S△AOF＝ － ×2×2 ＝ －2 ，故答案为 －2 .
名师点拨
　　本题考查的是切线的性质、扇形面积计算、矩形的性质，熟记圆的
切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.根据切线的性质得到
OE⊥CD，根据矩形的性质得到AB∥CD，得到OE⊥AB，根据垂径
定理求出AF，解直角三角形分别求出OA、OF，再根据S阴影部分＝S扇
形AOE－S△AOF求解即可.
跟踪训练　（2024河南）如图，☉O是边长为4 的等边三角形ABC的
外接圆，点D是 的中点，连接BD，CD. 以点D为圆心，BD的长
为半径在☉O内画弧，则阴影部分的面积为（　C　）
A. B. 4π C. D. 16π
C
【解析】由题意知，⊙O的半径为4，阴影部分为扇形BDC. 根据题
意，易证DB＝DO＝DC＝OB＝OC. 所以BD＝OB＝4，∠BDC＝
120°.因此S扇形BDC＝ ＝ .故选C.
【解析】由题意知，⊙O的半径为4，阴影部分为扇形BDC. 根据题
意，易证DB＝DO＝DC＝OB＝OC. 所以BD＝OB＝4，∠BDC＝
120°.因此S扇形BDC＝ ＝ .故选C.
变式训练　（2022河南）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移
到OB的中点O'处，得到扇形A'O'B'.若∠O＝90°，OA＝2，则阴影
部分的面积为 .
＋ 　
【解析】如图，设O′A′交 于点T，连接OT.
∵OT＝OB，OO′＝O′B′，∴OT＝2OO′.∵∠OO′T
＝90°，∴∠O′TO＝30°，∠TOO′＝60°.∴S阴影＝S扇形O′A′B′－（S扇形OTB－S△OTO′） ＝ － ＝ ＋ .故答案为 ＋ .
考点3　正多边形和圆的有关计算
例3 （2025郑州高新区模拟）如图，AB是☉O内接正八边形的一条
边，经过点B的直线l为☉O的一条切线，则∠1的度数（　B　）
B
A. 20° B. 22.5° C. 25° D. 30°
名师点拨
　　本题主要考查了正多边形的内角、圆的切线的性质等知识点，掌握圆的切线的性质是解题的关键.
跟踪训练　（2025上海）已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边
都有两个交点，若此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的一边，那么这个角的度数为 .
108°或36°　
【解析】可分两种情况讨论：①如图1，∵∠MPN是正五边形的一个内角，∴∠MPN＝ ＝108°；　②如图2，∵∠OAB和∠OBA是正五边形的两个外角，∴∠OAB＝∠OBA＝ ＝72°，∴∠AOB＝180°－72°－72°＝36°，∴这个角的度数为108°或36°.
变式训练　（2025德阳）六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为
正六边形.六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应
用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等.在学校开
展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图（如图所示）进行研
究，测得其边长AB＝1，那么图中四边形GCHF的面积是（　A　）
A
A. B.
C. 2 D. 3
【解析】如图，过点A作AM⊥BF，垂足为M，∵六边形ABCDEF是
正六边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF＝1，∠ABF＝∠AFB
＝ ＝30°，∴AM＝ AB＝ ，BM＝FM＝ AB＝ .在
Rt△BCG中，BC＝1，∠BCG＝30°，∴BG＝ BC＝ ，∴FG＝
BF－BG＝ － ＝ ，
∴四边形GCHF的面积为FG BC＝ .
故选A.
我国魏晋时期的数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著
名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，
指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合
体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到
了圆周率π的近似值为3.141 6.如图，☉O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形的面积近似估计☉O的面积，可得π的估计值为 ，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为
（　C　）
C
A. B. 2
C. 3 D. 2
名师点拨
　　本题考查了正多边形和圆、三角形的面积的计算.根据题意求出半
径为1的圆的内接正十二边形的面积就是π的估计值.把正十二边形分成
12个三角形，先求出其中一个三角形的面积为 ，于是得到正十二边形
的面积为12× ＝3，即π的估计值为3.
素养落地　几何直观、逻辑推理、应用意识、数学文化(共19张PPT)
圆的概念及性质
第24讲
考情分析
　　本课时在中考中基本上占3～9分，常考知识点有圆的相关概念及性
质，垂径定理及其推论，圆周角定理及其推论，弧、弦、圆心角之间的
关系.圆周角定理及推论是中考热点，既可以以选择题、填空题的形式
出现，又可以与圆切线的性质结合出现在解答题中，需要重视（注：垂
径定理及其推论2022年课程标准修改为必学内容）.
考点1　与圆有关的概念及性质
例1 圆形的井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，这是利
用了圆特征中的（　B　）
A. 圆是中心对称图形 B. 同一圆中所有直径都相等
C. 圆有无数多条对称轴 D. 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小
B
名师点拨
　　圆有两个要素：圆心和半径.圆心的作用是决定圆的位置，而半径
的作用是决定圆的大小.本题中圆形井盖怎么放都不会掉到井里，是考
查半径的作用.
跟踪训练　如图，已知线段AB，AD，点C在线段AB上，下列说法正
确的是（　B　）
A. 经过点A，B，C，只能作一个圆
B. 经过点A，B，D，只能作一个圆
C. 经过点A，以AD的长为半径只能作一个圆
D. 经过点A，B，以AD的长为半径只能作一个圆
B
考点2　垂径定理及其推论
例2 （2025长沙）如图，AB为☉O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，OB，若AB＝OA，AC＝3，则OA的长为 .
名师点拨
　　本题考查了垂径定理.垂径定理的内容可以描述为：如果一条直径
满足：①过圆心，②垂直于弦，那么可得到结论：③平分弦， ④平分
弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧.
6　
考点3　圆周角定理及其推论
例3 （2025郑州二七区三模）如图，点A，B，C在☉O上，
OA⊥BC，若∠ABC＝35°，则∠BCO的度数为（　C　）
A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°
C
名师点拨
　　本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，熟知以上知识是解题
的关键.本题先根据圆周角定理得∠AOC的度数，再由直角三角形中两
锐角互余即可求解.
例3
跟踪训练
（2023河南）如图，点A，B，C均在☉O上，若∠C＝55°，则∠AOB
的度数为（　D　）
A. 95° B. 100° C. 105° D. 110°
D
跟踪训练
考点4　弧、弦、圆心角之间的关系
例4（2025洛阳一模）如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上两点，
BA平分∠CBD，若∠A＝65°，则∠AOD的度数为（　C　）
A. 65° B. 55° C. 50° D. 75°
C
解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵∠A＝65°，∴∠ABC＝180°－90°－65°＝25°.∵BA平分∠CBD，∴∠ABC＝∠ABD
＝25°，∴∠AOD＝2∠ABD＝50°，故选C.
名师点拨
　　本题主要考查了直径所对的圆周角、角平分线、圆周角定理.解题
的关键是准确识别图形，找出角与角之间的关系.
跟踪训练　（2025山西）如图，AB为☉O的直径，点C，D是☉O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD. 若 ＝ ，则∠D的度数为（　B　）
B
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 75°
变式训练　（2025河南模拟）如图，BD是☉O的直径，点A，C在
☉O上， ＝ ，AC交BD于点G. 若∠COD＝130°，则∠AGB
的度数为（　C　）
A. 99° B. 108° C. 110° D. 117°
C
1. 图1为一枚宋代古钱币，从中抽象出等大的方孔圆形（如图2），蕴
含着“天圆地方”的思想，这一铸钱形制在中国古代延用了二千多年.
（1）用数学的眼光观察，图2 ；
A. 是轴对称图形
B. 是中心对称图形
C. 既是轴对称图形又是中心对称图形
C　
图1 图2
（2）请你用直尺，在图2中作出圆心O（不写作法，保留作图痕迹）；
解：（2）如图1，点O即为所求.
图2
图1
（3）古钱币的直径是鉴定其真伪的重要依据，已知这种钱币真品的直
径为3.6 cm，允许误差±0.2 cm，直径超出此范围的钱币为伪品.如图
3，可用一把三角尺测量该钱币的直径，将直角顶点A放在其上，三角
尺的两直角边与圆分别交于点B，C，测得AB＝2 cm，AC＝3 cm，判
断这枚古钱币的真伪，并说明理由.
图3
解：（3）如图2，连接BC.
∵∠BAC＝90°，
∴BC是直径.
∴BC＝ ＝ ＝ ≈3.6（cm）.
∴这枚古钱币是真品.
图2
名师点拨
　　本题考查了圆的基本概念与简单作图、勾股定理、圆周角定理
等知识.解题的关键是理解圆既是中心对称图形又是轴对称图形的性
质，同时用到了90°的圆周角所对的弦是直径.两条直径的交点即
为圆心的位置.
素养落地　应用意识、作图能力
2. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆
弧长度的“会圆术”，如图， 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，
C是弦AB的中点，D在 上，CD⊥AB. “会圆术”给出 长l的
近似值s的计算公式：s＝AB＋ ，当OA＝2，∠AOB＝90°
时，｜l－s｜＝ .（结果保留一位小数）
0.1　
【解析】如图，连接OC.
∵AO＝2，∠AOB＝90°，∴OB＝2，AB＝2 .∵C是
弦AB的中点，D在 上，CD⊥AB，∴CO⊥AB，即
D，C，O三点共线.∴CO＝ ，CD＝2－ .∵s＝AB
＋ ，∴s＝2 ＋ ＝3.∵l＝2π×2×
≈3.1，∴｜l－s｜≈0.1.故答案为0.1.
素养落地　应用意识、数学文化(共34张PPT)
与圆有关的位置关系
第25讲
考情分析
　　本课时在中考中基本上占9～10分，是中考的热点内容.切线的性质
在中考中出现的频率超高，它常与圆周角定理及其推论或者与特殊四边
形的判定相结合，以解答题的形式呈现；圆内接四边形及性质也常以解
答题的形式考查角的大小及线段的长度.
考点1　点、直线与圆的位置关系
例1 （2025云南）已知☉O的半径为5 cm.若点P在☉O上，则点P到圆
心O的距离为 cm.
名师点拨
　　点与圆的位置关系、直线与圆的
位置关系是本讲内容的基础，熟练掌
握各种位置关系的判断标准是解决问
题的关键.
5　
跟踪训练　（2024广州）如图，☉O中，弦AB的长为4 ，点C在
☉O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°.☉O所在的平面内有一点P，若
OP＝5，则点P与☉O的位置关系是（　C　）
A. 点P在☉O上 B. 点P在☉O内
C. 点P在☉O外 D. 无法确定
C
变式训练　如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D
为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个
点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 .
3＜r＜5　
考点2　切线的性质与判定
例2 （2021河南）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原
理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长
度的“连杆”AP，BP的连接点P在☉O上，当点P在☉O上转动时，
带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON. 当AP与☉O
相切时，点B恰好落在☉O上，如图2.
请仅就图2的情形解答下列问题.
（1）求证：∠PAO＝2∠PBO；
解：（1）证明：如图，连接OP，延长BO与☉O
交于点C，则OP＝OB＝OC.
∵AP与☉O相切于点P，
∴∠APO＝90°.
∴∠PAO＋∠AOP＝90°.
∵MO⊥CN，
∴∠AOP＋∠POC＝90°.
∴∠PAO＝∠POC.
∵OP＝OB，
∴∠OPB＝∠PBO.
∴∠POC＝∠OPB＋∠PBO＝2∠PBO.
∴∠PAO＝2∠PBO.
（2）若☉O的半径为5，AP＝ ，求BP的长.
解：（2）如图所示，连接PC，过点P作PD⊥OC于点D.
则有AO＝ ＝ .
由（1）可知，∠POC＝∠PAO.
∴Rt△POD∽Rt△OAP.
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ .
解得PD＝3.
∴OD＝4.
∴CD＝OC－OD＝1.
在Rt△PDC中，PC＝ ＝ ，
∵CB为圆的直径，
∴∠BPC＝90°.
∴BP＝ ＝ ＝3 .
故BP长为3 .
名师点拨
　　本题考查了切线的性质及圆周角定理.解此类题目的关键是作出适
当的辅助线，比如连接切点与圆心、将直径的两端与圆上某一点连接、
过圆上某点作垂直于半径的线段等，根据辅助线构造直角三角形及相似
三角形，再根据相关性质进行求解.
（1）
（2）
跟踪训练　（2022河南）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏
“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目.滚铁环器材由铁环和推杆组成.
小明对滚铁环的启动阶段进行了研究.如图，滚铁环时，铁环☉O与水
平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，
A，B，C，D在同一平面内.当推杆AB与铁环☉O相切于点B时，手
上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果.
（1）求证：∠BOC＋∠BAD＝90°.
解：（1）证明：方法1：如图1，过点B作
EF∥CD，分别交AD于点E，交OC于点F.
∵CD与☉O相切于点C，
∴∠OCD＝90°.
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°.
∵EF∥CD，
∴∠OFB＝∠AEB＝90°.
∴∠BOC＋∠OBF＝90°，∠ABE＋∠BAD＝90°.
图1
∵AB为☉O的切线，
∴∠OBA＝90°.
∴∠OBF＋∠ABE＝90°.
∴∠OBF＝∠BAD.
∴∠BOC＋∠BAD＝90°.
方法2：如图2，延长OB，交CD于点M.
∵CD与☉O相切于点C，
∴∠OCM＝90°.
∴∠BOC＋∠BMC＝90°.
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°.
∵AB为☉O的切线，
∴∠OBA＝90°.
∴∠ABM＝90°.
图2
图2
∴在四边形ABMD中，∠BAD＋∠BMD＝180°.
∵∠BMC＋∠BMD＝180°，
∴∠BMC＝∠BAD.
∴∠BOC＋∠BAD＝90°.
方法3：如图3，过点B作BN∥AD.
∴∠NBA＝∠BAD.
∵CD与☉O相切于点C，
∴∠OCD＝90°.
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°.
∴AD∥OC.
∴BN∥OC.
∴∠NBO＝∠BOC.
图3
图3
∵AB为☉O的切线，
∴∠OBA＝90°.
∴∠NBO＋∠NBA＝90°.
∴∠BOC＋∠BAD＝90°.
（2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环
平稳启动.图中点B是该区域内的最低位置，此时点A距地面的距离AD
最小，测得 cos ∠BAD＝ .已知铁环☉O的半径为25 cm，推杆AB的
长为75 cm，求此时AD的长.
解：（2）如图4，辅助线作法同方法1.
在Rt△ABE中，∵AB＝75， cos ∠BAD＝ ，
∴AE＝45.
由（1）知，∠OBF＝∠BAD.
∴ cos ∠OBF＝ .
在Rt△OBF中，
∵OB＝25，
∴BF＝15，OF＝20.
图4
图4
∵OC＝25，
∴CF＝5.
∵∠OCD＝∠ADC＝∠CFE＝90°，
∴四边形CDEF为矩形.
∴DE＝CF＝5.
∴AD＝AE＋ED＝50（cm）.
答：此时AD的长为50 cm.
考点3　三角形的内切圆与外接圆
例3（2025上海）在锐角三角形ABC中，AB＝AC，BC＝8，它的外接
圆O的半径长为5，若D是边BC的中点，以点D为圆心的圆和☉O相
交，那么☉D的半径长可以是（　B　）
A. 2 B. 5 C. 8 D. 10
B
【解析】如图，连接AD并延长交⊙O于点E，∵AB＝AC，D为BC中点，∴BD＝DC＝4，OD⊥BC，在锐角三角形ABC中，AB＝AC，∴外接圆心O在AD上，连接OB，由勾股定理得，OD＝ ＝3，设以D为圆心的圆的半径为r，⊙D与⊙O相交应满足DE＜r＜AD，即2＜r＜8，在此范围的半径只有选项B，故选B.
名师点拨
　　本题考查了三角形的外接圆、等腰三角形的性质、勾股定理等
知识.
跟踪训练　（2024宜宾）如图，△ABC内接于☉O，BC为☉O的直
径，AD平分∠BAC交☉O于点D，则 的值为（　A　）
A. B.
C. 2 D. 2
A
【解析】连接BD，CD. 在四边形ABDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，AD平分∠BAC，易证BD＝CD. 将△ADC绕点D逆时针旋转90°得到△A′DB，则A，B，A′三点共线，所以AB＋AC＝AA′.在等腰△A′DA中，易得AA′＝ AD. 所以AB＋AC＝ AD. 所以
＝ .故选A.
考点4　圆内接四边形及其性质
例4 （2025甘肃）如图，四边形ABCD内接于☉O， ＝ ，连接
BD，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为（　C　）
C
A. 20° B. 35° C. 55° D. 70°
名师点拨
　　本题考查圆内接四边形的性质等知识，关键是根据圆内接四边形的性质得到∠ADC＝110°，然后根据 ＝ 得到∠ADB＝∠BDC，即可得到∠BDC的度数.
跟踪训练　（2024浙江）如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜
AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点
F，连接EF，使∠AFE＝∠ADC.
（1）若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数.
解：（1）∵CD为直径，∴∠CAD＝90°.
∵∠AFE＝∠ADC＝60°，
∴∠ACD＝90°－60°＝30°.
∴∠ABD＝∠ACD＝30°.
（2）求证：①EF∥BC；
②EF＝BD.
解：（2）证明：①如图，延长AB到M.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠CBM＝∠ADC.
又∵∠AFE＝∠ADC，
∴∠AFE＝∠CBM.
∴EF∥BC.
②如图，过点D作DG∥BC，交圆周于点G，连接AG，CG.
∵DG∥BC，∴∠BCD＝∠CDG
∴ ＝ .
∴BD＝CG.
∵四边形ACGD是圆内接四边形，
∴∠GDE＝∠ACG.
∵EF∥DG，
∴∠DEF＝∠GDE.
∴∠DEF＝∠ACG.
∵∠AFE＝∠ADC，∠ADC＝∠AGC，
∴∠AFE＝∠AGC.
∵AE＝AC，
∴△AEF≌△ACG（AAS）.
∴EF＝CG.
∴EF＝BD.
（2024滨州）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b，则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC内切圆的直径d，下列表达式错误的是（　D　）
D
A. d＝a＋b－c
B. d＝
C. d＝
D. d＝｜（a－b）（c－b）｜
【解析】方法一：本题作为选择题，用特殊值法可快速判定答案.∵三
角形ABC为直角三角形，∴令a＝3，b＝4，c＝5.对于选项A，d＝a
＋b－c＝2，对于选项B，d＝ ＝2，对于选项C，d＝
＝2，对于选项D，d＝｜（a－b）（c－b）｜
＝1.很明显，只有选项D跟其他选项不一致.所以表达式错误的应是选
项D. 故选D.
方法二：如图，作OE⊥AC于点E，OD⊥BC于点D，
OF⊥AB于点F.
易证四边形OECD是正方形.设OE＝OD＝OF＝r，则EC＝CD＝r.由内切圆的性质，可得AE＝AF，BD＝BF. ∴AE＝AF＝b－r.BD＝BF＝a－r.对选项A，∵AF＋BF＝AB，∴b－r＋a－r＝c，∴r＝ ，即d＝a＋b－c.正确；对于选项B，∵S△ABC＝S△AOC＋S△BOC＋S△AOB，∴ ab＝ ar＋ br＋ cr，∴ab＝r（a＋b＋c），
∴r＝ ，即d＝ ，正确；对于选项C，∵由前面可知，d＝a＋b－c，∴d2＝（a＋b－c）2＝（a＋b）2－2c（a＋b）＋c2＝a2＋2ab＋b2－2ac－2bc＋c2，∵a2＋b2＝c2，∴d2＝2c2＋2ab－2ac－2bc＝2（c2＋ab－ac－bc）＝2［（c2－ac）＋b（a－c）］＝2（c－a）（c－b）.∴d＝ ，正确；由排除法
可知，选项D错误.故选D.
名师点拨
　　本题考查三角形内切圆的直径公式，结合中国古代数学成就来考.
是未来数学命题的一种趋势，掌握直角三角形内切圆的性质是解题的关
键.这是直角三角形内切圆的常考形式，直角三角形内切圆半径的常用
公式有两个，分别是r＝ 和r＝ ，所以很快判定出选项A
和选项B正确，而对于我们不熟悉的选项C和选项D可直接用特殊值法判
定答案.
素养落地　几何直观、推理能力、运算能力、应用意识、数学文化

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