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(共29张PPT)
二次函数的应用
第15讲
考情分析
　　本课时常考知识点有：1.以实际问题为背景构建二次函数模型解决
问题：本考点考查二次函数的实际应用，借助二次函数的图象与性质解
决实际问题，如2023年河南第22题和2022年河南第21题.2.利用二次函
数解决生活中的最值问题：①求利润的最大值或成本的最小值是中考的
常见考查角度，多以解答题的形式命题，占10分，如2018年河南第21
题；②抛物运动的最高点、汽车刹车后运动的最远距离等也是近几年的
热门考查角度，如2024年河南第22题.3.几何图形中的最值问题：利用
二次函数解决几何图形问题，是中考的常见考点，多以选择题、填空题
的形式命题，占3分.
考点1　以实际问题为背景构建二次函数模型
例1 （2022河南）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，
她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7 m，水柱在距喷水头P水平
距离5 m处达到最高，最高点距地面3.2 m；建立如图所示的平面直角
坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x－h）2＋k，其中x（m）是
水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度.
（1）求抛物线的表达式.
解：（1）根据题意，得抛物线的顶点为（5，3.2）.
设抛物线的表达式为y＝a（x－5）2＋3.2.
将（0，0.7）代入，得0.7＝25a＋3.2.
解得a＝－ .
∴y＝－ （x－5）2＋3.2＝－ x2＋x＋ .
∴抛物线的表达式为y＝－ x2＋x＋ .
（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3 m，身高1.6 m的
小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水
平距离.
解：（2）当y＝1.6时，有－ x2＋x＋ ＝1.6.
解得x＝1或x＝9.
∴她与爸爸的水平距离为3－1＝2（m）或9－3＝6（m）.
答：当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离是2 m或6 m.
名师点拨
　　本题考查了二次函数的应用.解题的关键是读懂题意，把实际问题
转化为数学问题.
跟踪训练　（2025辽宁）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的
抛物线形框架结构上增加立柱.为此，某数学兴趣小组开展了综合与实
践活动，记录如下：
活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱
活动准备 1.去学校档案馆查阅框架结构的图纸；
2.准备皮尺等测量工具
采集 数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示
意图，信息如下： 1.大门形状为矩形（矩形ABCD）； 2.底部跨度（AD的长）为8 m； 3.立柱OE的长为2 m，且OE⊥AD，垂足为
O，AO＝OD 图1
设计 方案 考虑到实用和美观等因素，在A，D间增加两
根与AD垂直的立柱，垂足分别为M1，M2，
立柱的另一端点N1，N2在抛物线形框架结构
上，其中AM1＝M2D＝1 m
图2
确定 思路 小组成员经过讨论，确定以点O为坐标原点，
线段AD所在直线为x轴，建立如图2所示的平
面直角坐标系.点E的坐标为（0，2），设抛
物线的表达式为y＝ax2＋2，分析数据得到点
A或点D的坐标，进而求出抛物线的表达式，
再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决
问题 根据以上信息，解决下列问题：
（1）求抛物线的表达式.
解：（1）由题意，得AD＝8，OA＝OD＝4，
∴A（－4，0）.
把A（－4，0）代入y＝ax2＋2，得0＝16a＋2，
∴a＝－ .
∴y＝－ x2＋2.
（2）现有一根长度为2 m的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过
计算，判断这根材料的长度是否够用.（因施工产生的材料长度变化忽
略不计）
解：（2）由题意，可知OM1＝OM2＝4－1＝3，
∴点N1，N2关于y轴对称.
∵y＝－ x2＋2，
∴当x＝3时，y＝－ ×32＋2＝ .
∴M1N1＝M2N2＝ .
∵2× ＝ ＜2，
∴这根材料的长度够用.
考点2　最大利润问题
例2 （2025内江）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹
海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A，B两款“哪吒”文旅
纪念品.已知购进A款200个，B款300个，需花费14 000元；购进A款100
个，B款200个，需花费8 000元.
（1）求A，B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元.
解：（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品
每个进价为y元，
由题意得， 解得
答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进
价为20元.
（2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12 000元的资金
购进A，B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品
多少个？
解：（2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品（400－
m）个.
由题意得，40（400－m）＋20m≤12 000，
解得m≥200.
∴m的最小值为200.
答：至少需要购进B款纪念品200个.
（3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200
个，售价每增加1元，销量将减少5个.设每个A款纪念品售价a
（60≤a≤100）元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：
元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值.
解：（3）由题意得，W＝（a－40）
＝（a－40）（200－5a＋300）
＝（a－40）（500－5a）
＝500a－20 000－5a2＋200a
＝－5（a－70）2＋4 500.
∵－5＜0，60≤a≤100，
∴当a－70＝0，即a＝70时，W最大，最大值为4 500.
名师点拨
　　本题考查了二次函数的应用.正确求出函数关系式是解决问题的关
键.先根据“W＝每个A款纪念品的利润×销售量”用含a的式子表示
出W，再根据以下知识点求最大值：二次函数的二次项系数小于0时，
求二次函数的最大值，可整理成y＝a（x－h）2＋k，二次函数的最
大值为k；也可整理成一般式y＝ax2＋bx＋c，最大值为 .
跟踪训练　（2025达州）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故
里，某文旅公司推出多款文创产品.已知某款巴小虎吉祥物的成本价是
30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价
1元，每天可以多售出10件.
（1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是
件.
（60＋
10x）　
（2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每
天的利润是630元？
解：（2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，
根据题意，可得（40－30－x）（60＋10x）＝630，
整理可得x2－4x＋3＝0，
解得x1＝1，x2＝3.
由于要让利于游客，∴x＝3.
∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元.
（3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多
少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
解：（3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，由题可得，W＝（40－30－
x）（60＋10x）
＝（10－x）（60＋10x）
＝－10x2＋40x＋600
＝－10（x－2）2＋640.
∵－10＜0，
∴当x＝2时，W取最大值为640元，此时售价为38元.
答：当售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元.
考点3　几何图形的面积问题
例3　为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，
某校准备在校园里利用围墙（墙长12 m）和21 m长的篱笆墙，围成Ⅰ、
Ⅱ两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙
外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列
问题：
（1）方案一：如图1，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ 区中留一个宽度AE＝1 m的水池，且需保证总种植面积为32 m2，试分别确定CG，DG的长.
图1
解：（1）∵（21－12）÷3＝3（m），
∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积和为12×3＝36（m2）.
设水池的长为a m，则水池的面积为a×1＝a（m2）.
∴36－a＝32，
解得a＝4.
∴DG＝4 m.
∴CG＝CD－DG＝12－4＝8（m）.
答：CG的长为8 m，DG的长为4 m.
（2）方案二：如图2，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应
设计为多长？此时最大面积为多少？
图2
解：（2）设BC的长为x m，则CD的长度为（21－3x） m.
∴总种植面积为（21－3x）·x＝－3x2＋21x＝－3 ＋ .
∵－3＜0，
∴当x＝ 时，总种植面积有最大值，为 m2.
答：BC应设计为 m，此时总种植面积最大，且最大面积为 m2.
名师点拨
　　本题主要考查了二次函数的应用.能正确表示BC，CD的长，根据
二次函数的性质求最值是解题的关键.
跟踪训练　（2024自贡）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大
的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O（如图），其中AB上的
EO段围墙空缺.同学们测得AE＝6.6 m，OE＝1.4 m，OB＝6 m，
OC＝5 m，OD＝3 m，班长买来可切断的围栏16 m，准备利用已有围
墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地的最大面积是 m2.
46.4　
京剧作为一门中国文化的传承艺术，常常受到外国友人的青睐.如图，
在平面直角坐标系xOy中，某京剧脸谱的轮廓可以近似地看成是一个半
圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G. 点A，B，C，
D分别是图形G与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，－3），AB
为半圆的直径，且AB＝4，半圆圆
心M的坐标为（1，0）.关于图形G
给出下列四个结论，其中正确的是
.（填序号）
①②　
①图形G关于直线x＝1对称；
②线段CD的长为3＋ ；
③图形G围成的区域内（不含边界）恰有12个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
④当－4≤a≤2时，直线y＝a与图形G有两个公共点.
【解析】由图象可知，图形G关于直线x＝1对称，故①正确；如图，
连接CM，∵AB＝4，半圆圆心M的坐标为（1，0）∴OM＝1，MC
＝2，∴OC＝ ＝ .∵点D的坐标为（0，－3），∴OD＝
3，∴CD＝OD＋OC＝3＋ ，故②正确；观察图象可知，图形G围
成的区域内（不含边界）有13个整点，
故③错误；由图象可知，当a＝－4或
a＝2时，直线y＝a与图形G有一个公
共点，故④错误.综上所述，正确的有
①②.故答案为①②.
名师点拨
　　本题考查了二次函数在几何图形问题中的应用、圆的定义及勾股定
理等知识点.数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题关键.
素养落地　数形结合、逻辑推理、数学运算(共25张PPT)
第12讲　 反比例函数及其应用
考情分析
　　反比例函数是中考的必考内容，常考知识点有：1.反比例函数的图
象与性质，此考点多考查基础知识，常以选择题、填空题的形式呈现，
利用反比例函数的图象与性质，判断函数的增减性，并以此来比较自变
量或函数值的大小，10年2考，分值3分.2.反比例函数解析式的确定，
此考点为高频考点，常考查的类型有：①利用反比例函数中k的几何意
义确定解析式；
②利用待定系数法确定解析式，常出现在填空题和解答题中，10年10
考.3.反比例函数与一次函数的综合，此考点在填空题与解答题中都有
出现，常与三角形、四边形等知识综合考查，常考查的类型有：①解析
式的确定；②根据图象确定不等式的解集；③几何图形面积的计算或点
的坐标的确定等.
考点1　反比例函数的图象与性质
例1 （2020河南）若点A（－1，y1），B（2，y2），C（3，y3）均在
反比例函数y＝－ 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　C　）
C
A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y3＞y1
C. y1＞y3＞y2 D. y3＞y2＞y1
名师点拨
　　本题考查了反比例函数的增减性.明确k的正负与增减性之间的关
系是解题的关键.数据比较简单，也可用代入求值比较大小.
跟踪训练　（2025内蒙古）已知点A（m，y1），B（m＋1，y2）都
在反比例函数y＝－ 的图象上，则下列结论一定正确的是（　D　）
A. y1＞y2 B. y1＜y2
C. 当m＜0时，y1＜y2 D. 当m＜－1时，y1＜y2
D
变式训练（2025山东）如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐
标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形.若函数y＝ （x＞0）的图
象经过点B，则满足y≥2的x的取值范围为（　A　）
A. 0＜x≤2 B. x≥2
C. 0＜x≤4 D. x≥4
A
考点2　反比例函数解析式的确定
①利用反比例函数中k的几何意义确定解析式
例2 （2024齐齐哈尔）如图，反比例函数y＝ （k为常数，k≠0，x＜
0）的图象经过 ABCO的顶点A，OC
在x轴上，若点B（－1，3），
S ABCO＝3，则实数k的值为 .
－6　
名师点拨
　　 本题考查了反比例函数的性质及反比例函数中k 的几何意义. 解题的关键是找出含 k 的关系式. 本题属于基础题，难度不大.
S ABCO＝｜k｜ 求出k值
跟踪训练　（2025绥化）如图，反比例函数y＝ 经过A，C两点，过
点A作AB⊥y轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，连接OA，OC，
AC. 若S△ACO＝4，CD∶OB＝1∶3，则k的值是（　D　）
D
A. －12 B. －9 C. －6 D. －3
【解析】延长DC，BA交于点E，如图.设CD＝a（a＞0），
∵CD：OB＝1：3，∴OB＝3a，∵AB⊥y轴，CD⊥x轴，∴点A的
纵坐标为3a，点C的纵坐标为a，∴xC＝ ，xA＝ ，∴OD＝－ ，
AB＝－ ，∵反比例函数y＝ 经过A，C两点，∴S△DOC＝S△AOB＝
－ ，∵∠EDO＝∠DOB＝∠EBO＝90°，∴四边形OBED是矩形，
∴BE＝OD＝－ ，DE＝OB＝3a，∴AE＝BE－AB＝－ ，CE
＝DE－CD＝2a，∴S△AEC＝ AE CE＝－ ，∴S矩形OBED＝
OD OB＝－ ×3a＝－3k，∵S△ACO＝4，S△ACO＝S矩形OBED－S△DOC
－S△AOB－S△AEC，即－3k－ － － ＝4，解得k＝－
3，故选D. 1
变式训练　（2024苏州）如图，点A为反比例函数y＝－ （x＜0）图
象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y＝ （x＞
0）的图象交于点B，则 的值为（　A　）
A
A. B. C. D.
【解析】如图，作AG⊥x轴，BH⊥x轴，垂足分别
为G，H. 可证明△AGO∽△OHB. 根据k的几何意
义，可得S△AGO＝ ，S△BOH＝2.利用面积比等于相
似比的平方，即可求得 ＝ .故选A.
例3 （2025河南）小军将一副三角尺按如图方式摆放在平面直角坐标系
xOy中，其中含30°角的三角尺OAB的直角边OA落在y轴上，含45°
角的三角尺OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数y＝
（x＞0）的图象经过点C.
（1）求反比例函数的表达式.
解：（1）由题意，得k＝2×2＝4.
∴反比例函数的表达式为y＝ .
②利用待定系数法确定解析式
（2）将三角尺OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落在
反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标.
解：（2）∵C（2，2），
∴CO2＝22＋22＝8.
∵含45°角的三角尺OAC为等腰直角三角形，∠ACO＝90°，
∴AC＝CO，AO＝ ＝4.
如图，连接OD，△OAB旋转到△OEF的位置.
∴OE＝OA＝4.
∵点D的对应点G在y＝ 的图象上，
∴yG＝1.
∴EG＝1.
由旋转，可得AD＝GE＝1，
∴D（－1，4）.
跟踪训练　（2024深圳）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为
菱形，tan∠AOC＝ ，且点A落在反比例函数y＝ 上，点B落在反比
例函数y＝ （k≠0）上，则k＝ .
8　
考点3　反比例函数与一次函数的综合
例4 如图，一次函数y＝－x＋b与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交
于点A（m，3）和B（3，1）.
（1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析
式为 .
解：（1） y＝－x＋4，y＝ .
y＝－x＋4　
y＝ 　
（2）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若
△POD的面积为S，求S的取值范围.
解：（2）由（1），得3＝ .∴m＝1，则A点坐标为（1，3）.
设P点坐标为（a，－a＋4）（1≤a≤3），则S＝ OD·PD＝ a
（－a＋4）＝－ （a－2）2＋2.
∵－ ＜0，
∴当a＝2时，S有最大值，且最大值为S＝－ ×（2－2）2＋2＝2；
当a＝1或a＝3时，S有最小值，且最小值为S＝－ ×（1－2）2＋2＝ .
∴ ≤S≤2.
名师点拨
　　本题考查了反比例函数与一次函数的综合运用.解题的关键是求出
一次函数与反比例函数的解析式.设出点P的坐标，求出三角形面积的
表达式，根据二次函数的性质求出S的取值范围.
变式训练　（2025山西）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与
x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点
C. 已知点A的坐标为（－2，0），点C的坐标为（1，6），点D在反
比例函数y＝ （x＞0）的图象上，纵坐标为2.
（1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标.
解：（1）点B的坐标为（0，4）.
（2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO的面积.
解：（2）S四边形ABDO＝10.
1. （2024通辽）如图，在平面直角坐标系中，原点O为正六边形
ABCDEF的中心，EF∥x轴，点E在双曲线y＝ （k为常数，k＞0）
上，将正六边形ABCDEF向上平移 个单位长度，点D恰好落在双曲
线上，则k的值为（　A　）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 3
A
【解析】设正六边形ABCDEF的边长为a.根据正六边形的性质和含
30°角的直角三角形的性质，可得E点的坐标为 ，点D的
坐标为坐标（a，0）.因为正六边形向上平移 个单位长度后点D的
对应点的坐标为（a， ），所以 a a＝ a.解得a＝4.所以k＝
a＝4 .故选A.
名师点拨
　　本题主要考查了反比例函数的性质、正六边形的性质等.将函数图
象与几何图形结合起来，正确表示出点D，E，及平移后点D的对应点
等关键点的坐标是解题关键.
素养落地　数形结合、逻辑推理
2. （2024河南）如图，矩形ABCD的四个顶点都在格点（网格线的交
点）上，对角线AC，BD相交于点E，反比例函数y＝ （x＞0）的图
象经过点A.
（1）求这个反比例函数的表达式.
解：（1）∵反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点A（3，2），代入，得2＝ .∴k＝6.∴这个反比例函数的表达式为y＝ .
（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出
反比例函数的图象.
解：（2）反比例函数的图象如图所示.
（3）将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为 .
　
【解析】由图知，E（6，4）.令 ＝4，得x＝ .∵6－ ＝ ，∴矩形
ABCD向左平移 个单位时，点E落在反比例函数图象上.故答案为 .
素养落地　数形结合、数学运算、逻辑推理(共30张PPT)
二次函数的图象与性质
第13讲
？
？
？
考情分析
　　本课时在中考中基本上占3～10分.常考知识点有：1.二次函数的图
象与性质，考查的内容有：①增减性；②对称性；③求顶点坐标；④以
二次函数为载体，探究函数图象的性质，主要在填空题、选择题中出
现，10年2考，占3分.2.二次函数解析式的确定，此考点年年考，一般
出现在二次函数综合题的第一问.3.二次函数图象的平移，是中考的常
见考点，考查的内容有：①解析式的确定；②明确二次函数解析式的三
种形式，会判断平移后的二次函数解析式，10年2考，占3分.
考点1　二次函数的图象与性质
①二次函数的增减性
例1 （2025威海）已知点（－2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次
函数y＝－（x－2）2＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是
（　C　）
A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2
C. y2＞y1＞y3 D. y3＞y2＞y1
C
名师点拨
　　解决此类问题的关键是能够求出对称轴，并能根据开口方向判断对
称轴两侧的增减性.需要注意的是所给的点是否在对称轴的同侧，若不
在同侧，要根据对称性转化到同侧，再利用增减性比较大小.
跟踪训练　（2024广东）若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在
二次函数y＝x2的图象上，则（　A　）
A. y3＞y2＞y1 B. y2＞y1＞y3
C. y1＞y3＞y2 D. y3＞y1＞y2
变式训练　（2024乐山）已知二次函数y＝x2－2x（－1≤x≤t－
1），当x＝－1时，函数取得最大值，当x＝1时，函数取得最小值，
则t的取值范围是（　C　）
A
C
A. 0＜t≤2 B. 0＜t≤4
C. 2≤t≤4 D. t≥2
②二次函数图象的对称性
例2 （2019河南）已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过（－2，n）和
（4，n）两点，则n的值为（　B　）
A. －2 B. －4 C. 2 D. 4
名师点拨
　　本题考查了二次函数图象上点的坐标.熟练掌握二次函数图象上点
的对称性是解题的关键.
B
跟踪训练　已知二次函数y＝－ax2＋2ax＋3（a＞0），若点P（m，
3）在该函数的图象上，且m≠0，则m的值为 .
2　
变式训练　（2025河南一模）已知二次函数y＝x2－2x＋c的图象上
A，B，C三点的坐标分别为（m－1，yA），（m，－4），（m＋
1，yC）.若yA＝yC，则c的值为 .
－3　
③二次函数图象的顶点坐标与最值
例3　已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y＝－x2＋bx＋c上两点，
则该抛物线的顶点坐标是 .
名师点拨
　　本题考查了二次函数的图象和性质.解决此类问题的关键是先求出
解析式，再把一般式化为顶点式求出顶点坐标，或者直接代入顶点坐标
公式求解亦可.
（1，4）　
跟踪训练　（2025平凉）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个
柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的
抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）
与水平距离x（m）之间的关系式是y＝－x2＋2x＋ （x＞0），则水
流喷出的最大高度是（　B　）
B
A. 3 m B. 2.75 m
C. 2 m D. 1.75 m
变式训练　（2024河南）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h
（m）满足关系式h＝－5t2＋v0t，其中t（s）是物体运动的时间，v0
（m/s）是物体被发射时的速度.社团活动时，科学小组在实验楼前从地
面竖直向上发射小球.
（1）小球被发射后 s时离地面的高度最大（用含v0的式子表示）.
解：（1）
　
（2）若小球离地面的最大高度为20 m，求小球被发射时的速度.
解：（2）由题意知，当t＝ 时，h＝20.
∴－5× ＋v0× ＝20，
解得v0＝20（已舍去负值）.
答：小球被发射时的速度是20 m/s.
（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的
高度相同.小明说：“这两次间隔的时间为3 s.”已知实验楼高15 m，
请判断他的说法是否正确，并说明理由.
解：（3）小明的说法不正确.理由如下：
由（2），得h＝－5t2＋20t.
∴当h＝15时，15＝－5t2＋20t.
解得t1＝1，t2＝3.
∵3－1＝2（s），
∴小明的说法不正确.
考点2　二次函数解析式的确定
例4 （2024浙江）已知二次函数y＝x2＋bx＋c（b，c为常数）的图象
经过点A（－2，5），对称轴为直线x＝－ .
（1）求二次函数的表达式.
解：（1）由题意知，二次函数图象的对称轴为直线x＝－ ＝－ .
∴b＝1.
∴二次函数为y＝x2＋x＋c.
又函数图象经过点A（－2，5），
∴4－2＋c＝5，
即c＝3.
∴二次函数的表达式为y＝x2＋x＋3.
（2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个
单位长度后，恰好落在y＝x2＋bx＋c的图象上，求m的值.
解：（2）由题意知，点B平移后的点为（1－m，9）.
又点（1－m，9）在y＝x2＋x＋3的图象上，
∴9＝（1－m）2＋（1－m）＋3.
解得m＝4或m＝－1（舍去）.
∴m＝4.
（3）当－2≤x≤n时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最大值与最小值的
差为 ，求n的取值范围.
解：（3）由（1）知，当x＝－2时，y＝5；
当x＝－ 时，y＝ ；
5－ ＝ .
∵当－2≤x≤n时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最大值与最小值的差为 ，
∴－ ≤n≤1.
拓展：由（3）知，2＜ ，5－2＝3.
∴当x＝n时，y＝3，且n＜－ .
∴n2＋n＋3＝3.
解得n＝－1或0（舍去）.
∴n的值为－1.
拓展 当－2≤x≤n时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最大值与最小值的差为2，求n的值.
名师点拨
　　本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、
二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、坐标与图形变化——
平移，其中用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.第（1）问除
了由点A（－2，5）在抛物线上得到一个关于b，c的方程外，由对称
轴是直线x＝－ ，结合对称轴公式求出b的值是本题的突破口；
第（2）问可以先表示出点B平移后的对应点的坐标，然后代入抛物线
解析式求出m的值，也可以求出函数值等于9时自变量的值，然后推出
m的值；第（3）问先判断当x＝－2与当x＝－ 时的函数值的差值刚
好等于 ，因此－ ≤n≤1.拓展：如果当－2≤x≤n时，二次函数y
＝x2＋bx＋c的最大值与最小值的差小于 ，那么n就是小于－ 的某
个数；如果当－2≤x≤n时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最大值与最小
值的差大于 ，那么n就是大于1的某个数.
跟踪训练　（2025青海）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3
（a≠0）与x轴交于A，B两点，点B的坐标为（1，0），点C（2，
5）在抛物线上.
（1）求抛物线的解析式.
解：（1）将B（1，0），C（2，5）代入y＝ax2＋bx－3（a≠0）得，
解得
∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.
（2）①求点A的坐标；
②当y＜0时，根据图象直接写出x的取值范围.
解：（2）①令y＝0，则x2＋2x－3＝0，
解得x＝－3或x＝1，
∴点A的坐标为（－3，0）.
②－3＜x＜1
（3）连接AC交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使△ACP是以AC
为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐
标，若不存在，请说明理由.
解：（3）存在符合条件的点P，P1（0，7），P2（0，－3）.
【解析】设点P的坐标为（0，a），∵A（－3，0），C（2，5），
∴AC2＝（2＋3）2＋（5－0）2＝50，AP2＝（0＋3）2＋（a－0）2＝9
＋a2，CP2＝（0－2）2＋（a－5）2＝a2－10a＋29，∵△ACP是以
AC为直角边的直角三角形，∴分以下两种情况讨论：①当AP为斜边
时，则AP2＝AC2＋CP2，∴9＋a2＝50＋a2－10a＋29，解得a＝7，
∴P1（0，7）；②当CP为斜边时，则CP2＝AC2＋AP2，∴a2－10a＋
29＝50＋9＋a2，解得a＝－3，∴P2（0，－3）.综上所述，存在符合
条件的点P，P1（0，7），P2（0，－3）.
考点3　二次函数图象的平移
例5 在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－4先向右平移2个单位长
度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是（　B　）
A. y＝（x＋2）2＋2 B. y＝（x－2）2－2
C. y＝（x－2）2＋2 D. y＝（x＋2）2－2
B
名师点拨
　　本题主要考查了二次函数图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何
平移得到的即可.在一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）平移过程中，先把
抛物线的解析式化成顶点式，然后根据平移规律：左右平移在x处加减
平移单位长度，上下平移在等号右边的整体加减平移单位长度.
跟踪训练　（2025郑州二模）将抛物线y＝－x2＋1向上平移m（m＞
0）个单位后，与x轴交于A，B两点，若AB＝4，则m的值为（　B　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
B
变式训练　（2025郑州高新区二模）已知二次函数y＝－（x－a）（x
－b），其中a＜b，将该二次函数图象向上平移，若平移后的图象与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），下列说法正确的是（　B　）
A. a＋b＞m＋n B. a＋b＝m＋n
C. a＋b＜m＋n D. b－a＝n－m
B
【解析】当y＝0时，可得－（x－a） （x－b）＝0，解得x1＝a，x2
＝b.∴抛物线与x轴的交点坐标分别为（a，0），（b，0）.当抛物线
向上平移时，根据抛物线的对称性可知，a－m＝n－b，整理可得a
＋b＝m＋n，故选B.
规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y
函数”.例如：函数y＝x＋3与y＝－x＋3互为“Y函数”.若函数y＝
x2＋（k－1）x＋k－3的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”
的图象与x轴的交点坐标为 .
素养落地　创新意识、应用意识、分类讨论、运算能力、数形结合
（3，0）或（4，0）　
【解析】当k＝0时，函数解析式为y＝－x－3，它的“Y函数”的解析
式为y＝x－3，它们的图象与x轴都只有一个交点，∴它的“Y函数”
的图象与x轴的交点坐标为（3，0）；
当k≠0时，此函数为二次函数，若二次函数y＝ x2＋（k－1）x＋k
－3的图象与x轴只有一个交点，则二次函数的顶点在x轴上，即
＝0，解得k＝－1，∴二次函数的解析式为y＝－
x2－2x－4＝－ （x＋4）2，∴它的“Y函数”的解析式为y＝－
（x－4）2，令y＝0，得－ （x－4）2＝0，解得x＝4，∴二次函数的
“Y函数”的图象与x轴的交点坐标为（4，0）.综上所述，它的“Y函
数”的图象与x轴的交点坐标为（3，0）或（4，0）.(共18张PPT)
一次函数的图象与性质
第10讲
？
？
？
考情分析
　　本课时常考知识点有三个：1.一次函数的图象与性质，此考点考查
的是函数的基础知识，利用一次函数的图象与性质，判断增减性或大致
图象，并以此来判断函数图象上点的横、纵坐标的大小关系； 最近两
年中考出现了新的考试动向：与图形的平移结合在一起命题，常以选择
题或填空题的形式出现，分值为3分.
2.一次函数解析式的确定，此考点是中考的重点考查内容，在函数综合
题的某一小问出现，一般与反比例函数结合，常用待定系数法确定解析
式，10年5考.3.一次函数与一元一次不等式、二元一次方程组的综合应
用，此考点单独考查的次数较少，一般会在综合应用题中进行考查；利
用函数图象与坐标轴的交点或两个函数图象的交点，数形结合，判断不
等式的解集.
考点1　一次函数的图象与性质
例1　（2025长春）已知点A（－3，y1），B（3，y2）在同一正比例
函数y＝kx（k＜0）的图象上，则下列结论正确的是（　A　）
A. y1＝－y2 B. y1＝y2 C. y2＞0 D. y1＜0
名师点拨
　　本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征.熟知正比例函数
的图象和性质是解题的关键.
A
A. 3 B. 2 C. 1 D. －1
变式训练　（2025东营）一次函数y＝kx＋2（k≠0）的函数值y随x
的增大而减小，当x＝－1时，y的值可以是（　A　）
A
考点2　一次函数解析式的确定
例2 （2025陕西）在平面直角坐标系中，过点（1，0），（0，2）的直
线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是
（　B　）
A. （1，－3） B. （1，3）
C. （－3，2） D. （3，2）
名师点拨
　　本题主要考查了一次函数图象的平移.
B
跟踪训练（2024山西）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其
体长y（cm）与尾长x（cm）成一次函数关系，部分数据如下表所示，
则y与x之间的关系式为（　A　）
尾长（cm） 6 8 10
体长y（cm） 45.5 60.5 75.5
A. y＝7.5x＋0.5 B. y＝7.5x－0.5
C. y＝15x D. y＝15x＋45.5
A
【解析】根据题意，可设y＝kx＋b，则由表格，可得
解得 ∴y与x之间的关系式为y＝7.5x＋
0.5.故选A.
变式训练　（2024凉山）如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过A
（3，6），B（0，3）两点，交x轴于点C，则△AOC的面积为 .
【解析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y＝x＋3，再求出点C坐标
（－3，0），根据三角形面积公式，求得S△AOC＝ ×3×6＝9.故答案为9.
9　
考点3　一次函数与不等式、方程组的关系
例3　 （2024广东）已知不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，则一次函数
y＝kx＋b的图象大致是（　B　）
B
A B C D
【解析】由不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，可得出一次函数y＝kx＋
b的与x轴交点的横坐标是2；然后再判断出函数图象从左向右是上升趋
势，从而得出k＞0.故选B.
名师点拨
　　本题主要考查一次函数与一元一次不等式的关系.正确理解函数图
象的意义，并借助数形结合思想是解题的关键.
例4 （2024内蒙古）已知点P（x，y）在直线y＝－ x＋4上，坐标
（x，y）是二元一次方程5x－6y＝33的解，则点P的位置在
（　D　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
D
　　本题考查了一次函数与二元一次方程、两直线的交点与二元一次方
程组的关系.点P（x，y）在直线y＝－ x＋4上，也就是说坐标
（x，y）是方程y＝－ x＋4的解，又因为坐标（x，y）是二元一次
方程5x－6y＝33的解，所以坐标（x，y）是二元一次方程组
的解，通过解方程组即可求出点P的坐标，进而判断
坐标的位置.
名师点拨
跟踪训练　（2024扬州）如图，已知一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图
象分别与x，y轴交于A，B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方
程kx＋b＝0的解为 .
x＝－2　
(2025北京)在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b（k≠0）的图象
经过点（1，3）和（2，5）.
（1）求k，b的值.
解：（1）∵在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b（k≠0）的图
象经过点（1，3）和（2，5），
∴ 解得
（2）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既小
于函数y＝kx＋b的值，也小于函数y＝x＋k的值，直接写出m的取值
范围.
解：（2）2≤m≤3.
【解析】由（1）可得函数y＝kx＋b（k≠0）的解析式为y＝2x＋1，
函数y＝x＋k的解析式为y＝x＋2.①当mx＜2x＋1时，则（m－2）
x＜1；　②当mx＜x＋2时，则（m－1）x＜2.∵当x＜1时，对于x
的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既小于函数y＝kx＋b的值，
也小于函数y＝x＋k的值，∴m－2≥0，且m－1≥0，∴m≥2.可分
两种情况讨论：①当m＝2，x＜1时，2x＜2x＋1和x＜2恒成立，故
m＝2符合题意；②当m＞2时，则x＜ 且x＜ .当 ≥
时，则 ≥1，解不等式 ≥ ，得m≤3，∴2＜m≤3；当 ＜ 时，则 ≥1，解不等式 ＜ ，得m＞3，解不等式 ≥1，得m≤3，此时不符合题意.综上所述，2≤m≤3.
素养落地　数形结合、抽象能力、运算能力(共30张PPT)
二次函数的综合问题
第14讲
考情分析
　　1. 二次函数图象与性质的应用是河南中考的常考内容，考查二次
函数的增减性、对称性、最值，并与平移变换，方程等结合出题.河南
中考近10年考查了3次.
2. 由二次函数图象与线段的交点个数、封闭图形中的整点个数，
求参数的取值范围问题，近年来在全国各地的中考中频繁出现，如2023
年北京第26题，2023年绍兴第23题，2022年北京第26题，2021年北京第
26题，2021年河南第22题，2021年吉林第26题都有考查，多以解答题的
形式出现，也有省份以选择题的形式出现.属于中等难度，分值10分.
类型一　二次函数性质的应用
名师点拨
　　1. 根据题意求出抛物线的表达式、顶点坐标、对称轴等.
2. 画出函数图象的示意图，特别要注意抛物线的开口方向，当开
口方向不确定时要分类讨论.
3. 结合图象的性质，数形结合分析问题.
例1（2025河南）在二次函数y＝ax2＋bx－2中，x与y的几组对应值如
下表所示.
x … －2 0 1 …
y … －2 －2 1 …
（1）求二次函数的表达式.
解：（1）把点（1，1），（－2，－2）代入得
解得
∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－2.
（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出
二次函数的图象.
解：（2）y＝x2＋2x－2＝（x＋1）2－3，
∴二次函数图象的顶点坐标为（－1，－3），对称轴为直线x＝－1.
∴点（1，1）关于直线x＝－1的对称点为（－3，1）.
画出的函数图象，如图.
（3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图
象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值.
解：（3）n的值为1＋ 或4－ .
【解析】根据题意得，平移后的抛物线解析式为y＝（x＋1－n）2－
3，∴平移后的抛物线的对称轴为直线x＝n－1.①当平移后抛物线的对
称轴在直线x＝ 左侧时，此时最小值为－3，n－1＜ ，即n＜ ，当
x＝3时，函数取得最大值，最大值为（3＋1－n）2－3＝n2－8n＋
13，∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，∴n2－8n＋13－（－
3）＝5，解得n＝4－ 或4＋ （舍去）.②当平移后抛物线对称轴
在直线x＝ 右侧时，此时最小值为－3，n－1＞ ，即n＞ ，当x＝0
时，函数取得最大值，最大值为（1－n）2－3＝n2－2n－2，∵图象对
应的函数最大值与最小值的差为5，∴n2－2n－2－（－3）＝5，解得
n＝1＋ 或1－ （舍去）.综上所述，n的值为1＋ 或4－ .
跟踪训练　（2025驻马店驿城区模拟）如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3
与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知抛物线的对称轴为直线x
＝－1，且OA＝OC.
（1）求抛物线的解析式.
图1 备用图
解：（1）由题得，当x＝0时，y＝3，
即C（0，3）.
∴OC＝OA＝3.
则A（－3，0）.
∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，A，B两点关于直线x＝－1对称，
∴B（1，0）.
设抛物线的解析式为y＝a（x＋3）（x－1），
将点C（0，3）代入得，a＝－1，
∴抛物线的解析式为y＝－（x＋3）（x－1）＝－x2－2x＋3.
（2）已知点P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，且点P在
对称轴左侧，点Q在对称轴右侧，若满足x1＋x2＞－2，请比较y1与y2
的大小.
解：（2）∵x1＋x2＞－2，
∴－1－x1＜x2－（－1），
即点P比点Q距离对称轴更近.
由（1）得，a＝－1＜0，抛物线开口向下，有最大值，
∴y1＞y2.
图1 备用图
（3）将抛物线平移，使得其顶点P落在直线y＝x－1上，设平移后的
抛物线与y轴的交点为D，求点D的纵坐标yD的取值范围.
解：（3）设平移后顶点P（p，p－1），则平移后抛物线解析式为y＝
－（x－p）2＋p－1，
∵平移后的抛物线与y轴的交点为D，
令x＝0，则点D的纵坐标yD＝－p2＋p－1＝－（p2－p）－1＝－
－ ，
∵对于任意p都有 ≥0，
∴－ － ≤－ .
∴点D的纵坐标yD≤－ .
类型二　 二次函数的交点和整点问题
名师点拨
　　1. 抛物线与直线的交点问题的解决方法是联立两个解析式得到一
元二次方程组，再根据一元二次方程组判断.
　　2. 抛物线与线段的交点问题的解决方法：①当抛物线的解析式确
定，线段含有参数时，将线段的一端固定，另一端运动，利用动点的横
坐标与动点的纵坐标代入抛物线的解析式所得的函数值进行大小比较求
解；②当抛物线含有参数时，首先要从关系式上分析其图象的对称轴、
开口方向、顶点坐标及与坐标轴的交点，因为二次项系数a的符号决定
开口方向，所以当二次项系数含参时，一定要分类讨论，然后数形结
合，通过画函数图象的示意图，找到特定时刻下图象的临界位置，特别
需要考虑图象的端点、顶点的情况，发现问题的突破口.
　　3.已知区域内整点的个数，求待定系数取值范围的一般步骤：①准
确作图；②确定待定系数的意义，明确图象的变化趋势；③明确整点所
在区域，注意特殊点、临界点.总之，画图、数形结合及分类讨论是解
决此类题的常用方法.
例2 （2021河南）如图，抛物线y＝x2＋mx与直线y＝－x＋b相交于
点A（2，0）和点B.
（1）求m和b的值.
解：（1）将点A的坐标代入抛物线的表达式，得0＝4＋2m.解得m＝－2.
将点A的坐标代入直线的表达式，
得0＝－2＋b.解得b＝2.
故m＝－2，b＝2.
（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2＋mx＞－x＋b的解集.
解：（2）由（1）知，直线和抛物线的表达式分别为y＝－x＋2，y＝
x2－2x.
联立上述两个函数的表达式，并解得
（不合题意的值已舍去）
∴点B的坐标为（－1，3）.
结合图象，不等式 x2＋mx＞－x＋b 的解集为x＜－1或x＞2.
（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到
点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标
xM的取值范围.
解：（3）－1≤xM＜2 或 xM＝3
跟踪训练（2025河北）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋
bx＋c经过点A（0，3），B（6，3），顶点为P. 抛物线y＝a（x－
3）2＋d（a＜0）经过点C . 两条抛物线在第一象限内的部分分
别记为L1，L2.
（1）求b，c的值及点P的坐标.
解：（1）由题意，得
解得b＝6，c＝3.
∴y＝－x2＋6x＋3 ＝－（x－3）2＋12.
∴P（3，12）.
（2）点D在L1上，到x轴的距离为 .判断L2能否经过点D，若能，
求a的值；若不能，请说明理由.
解：（2）∵点D在L1上，到x轴的距离为 ，
∴yD＝ .
∴当y＝ 时， ＝－x2＋6x＋3，
解得x＝ 或x＝ .
∴D 或 .
∵抛物线y＝a（x－3）2＋d（a＜0）经过点C ，对称轴为直
线x＝3，
∴L2经过点C 和 .
∴L2不能经过点D.
（3）直线AE：y＝kx＋n（k＞0）交L1于点E，点M在线段AE上，
且点M的横坐标是点E横坐标的一半.
①若点E与点P重合，点M恰好落在L2上，求a的值；
解：（3）①∵A（0，3），P（3，12），
当点E，P重合时，则点E（3，12），
∵M是AE的中点，
∴M .
∵点M 恰好落在L2上，L2经过点C ，
∴ 解得a＝－ .
∴
②若点M为直线AE与L2的唯一公共点，请直接写出k的值.
②k＝6－ .
【解析】∵直线AE：y＝kx＋n（k＞0）交L1于点E，A（0，3），∴n＝3，∴直线AE的解析式为y＝kx＋3.∵y＝a（x－3）2＋d（a＜0）经过点C（ ，2），∴2＝ a＋d，∴d＝2－ a，
∴y＝a（x－3）2＋2－ a＝ax2－6ax＋ a＋2.联立
得ax2－kx－6ax＋ －1＝0.∴x1＋x2
＝ ，则E .∵点M的横坐标是点E横坐标的
一半，∴M ，即M.
将E代入y＝－x2＋6x＋3，∴ ＋3＝－ ＋6×
＋3①，整理得，6a2k＋ak2＝－k2－6ak，∵k≠0，则6a2＋ak＝－k
－6a，整理得，（a＋1）k＝－6a（a＋1），则a＝－1或k＝－6a，
∵点M为直线AE与L2的唯一公共点，∴Δ＝（k＋6a）2－
4×a× ＝0②.当a＝－1时，代入②，解得
或 当k＝6＋ 时，交点不在第一象限，不符合题意，
∴k＝6－ .当k＝－6a时，代入②，解得a＝0，不符合题意.综上
所述，k＝6－ .
例3 （2024乐山）在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都
为整数的点为“完美点”.抛物线y＝ax2－2ax＋2a（a为常数，且a
＞0）与y轴交于点A.
（1）若a＝1，求抛物线的顶点坐标.
解：（1）当a＝1时，抛物线为y＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1.
∴抛物线的顶点坐标（1，1）.
（2）若线段OA（含端点）上的“完美点”的个数大于3且小于6，求a
的取值范围.
解：（2）当x＝0时，y＝2a，即抛物线与y轴的交点A的坐标为（0，2a）.
∵线段OA上的“完美点”的个数大于3且小于6，即“完美点”的个数
为4或5，而a＞0，
∴当“完美点”的个数为4时，这4个“完美点”的坐标分别为（0，
0），（0，1），（0，2），（0，3）；当“完美点”的个数为5时，这
5个“完美点”的坐标分别为（0，0），（0，1），（0，2），（0，
3），（0，4）.
∴3≤2a＜5.
∴a的取值范围是 ≤a＜ .
（3）若抛物线与直线y＝x交于M，N两点，且线段MN与抛物线围成
的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围.
解：（3）如图，易知抛物线的顶点坐标为（1，a），且过点P（2，
2a），Q（3，5a），R（4，10a）.显然，“完美点”（1，1），
（2，2），（3，3）符合题意.
图1 图2
下面讨论抛物线经过点（2，1），（3，2）时的两种情况：①当抛物线
经过点（2，1）时，解得a＝ ，此时，P（2，1），Q ，R
（4，5），如图1所示，满足题意的“完美点”有（1，1），（2，
1），（2，2），（3，3），共4个；②当抛物线经过点（3，2）时，解得a＝ ，此时，P ，Q（3，2），R（4，4），如图2所示，满足题意的“完美点”有（1，1），（2，1），（2，2），（3，2），（3，3），（4，4），共6个.∴a的取值范围是 ＜a≤ .
图1 图2(共23张PPT)
平面直角坐标系及
函数的基本知识
第9讲
考情分析
　　本课时在中考中基本上占3～6分，常考知识点有点的坐标（10年8
考）和函数图象的分析与判断（10年8考）.点的坐标主要考查平面内点
的坐标特征，结合图形的旋转、平移、轴对称及坐标系中点的规律求点
的坐标，多以选择题的形式呈现，属中等难度问题.函数图象的分析与
判断的考查方式有两种：一是几何图形中动点问题的函数图象的分析或
判断；二是跨学科融合背景下的函数图象分析，这是近几年考查的新动
向、新题型，2024年和2025年均以此方式考查.
考点1　平面直角坐标系中点的坐标
例1（2022河南）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形
ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P. 将△OAP绕
点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2 022次旋转结束时，点A的坐
标为（　B　）
B
A. （ ，－1） B. （－1，－ ）
C. （－ ，－1） D. （1， ）
【解析】∵边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，∴OA
＝AB＝2，∠BAO＝60°.∵AB∥x轴，∴∠APO＝90°.∴∠AOP
＝30°.∴AP＝1，OP＝ .∴A（1， ）.如图，将△OAP绕点O
顺时针旋转，每次旋转90°，可得点A2与D重合.由360°÷90°＝4可
知，每4次为一个循环.∵2 022÷4＝505……2，∴点A2 022与点A2重
合.∵点A2与点A关于原点O对称，∴A2（－1，－ ）.∴第2 022次
旋转结束时，点A的坐标为（－1，－ ）.故选B.
名师点拨
　　本题主要考查了正六边形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三
角形的性质等知识.根据旋转的性质确定每4次为一个循环是解题的关
键.由正六边形的性质，可得A（1， ），再由360°÷90°＝4，可
得每4次为一个循环，由2 022÷4＝505……2，可得点A2 022与点A2重
合，求出点A2的坐标可得答案.
跟踪训练　（2025内江）对于正整数x，规定函数f（x）＝
在平面直角坐标系中，将点（m，n）中的m，n
分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中
m，n均为正整数）.例如，点（8，5）经过第1次运算得到点（4，
16），经过第2次运算得到点（2，8），经过第3次运算得到点（1，
4），经过有限次运算后，必进入循环圈.按上述规定，将点（2，1）经
过第2 025次运算后得到的点坐标是（　A　）
A
A. （2，1） B. （4，2）
C. （1，2） D. （1，4）
【解析】初始点：（2，1）（第0次运算）.经过第1次运算后得到点
（1，4）.经过第2次运算后得到点（4，2）.经过第3次运算后得到点
（2，1），与初始点相同，即三次一循环，2 025÷3＝675.∴第2 025次
运算后对应点与第3次运算后的点相同，即（2，1）.故选A.
考点2　函数图象的分析与判断
例2 （2025河南）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在
一定条件下，它会随车速的变化而变化.研究发现，某款轮胎的摩擦系
数μ与车速v（km/h）之间的函数关系如图所示.下列说法中错误的是
（　C　）
A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9
B. 当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60 km/h
D. 若车速从25 km/h增大到60 km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04
C
跟踪训练　（2025成都）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时
间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在
同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间之间的关系.下列
说法正确的是（　C　）
C
A. 小明家到体育馆的距离为2 km
B. 小明在体育馆锻炼的时间为45 min
C. 小明家到书店的距离为1 km
D. 小明从书店到家步行的时间为40 min
例3　（2025齐齐哈尔）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝
4，动点E从点A出发沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止，过
点E作AD的垂线l，在点E运动的过程中，垂线l扫过菱形（即阴影部
分）的面积为y，点E运动的路程为x（x＞0）.下列图象能反映y与x
之间的函数关系的是（　A　）
A
A B C D
【解析】①当点E在AB上时，如图1.∵∠A＝60°，l⊥AD，
∴∠AEF＝30°，∴AF＝ AE＝ x，EF＝＝ x，∴y＝ AF EF＝ x x＝ x2，∴此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项.②当点E在BC上且l与线段AD相交时，作BH⊥AD，如图2，∵∠A＝60°，BH⊥AD，∴∠ABH＝30°，∴AH＝ AB＝2，BH＝ ＝2 ，∴y＝S△ABH＋S矩形BEFH＝ ×2×2
＋2 （x－4）＝2 x－6 ，∴此时图象为直线的一部分.　
③当点E在BC上且l与线段CD相交时，如图3，∵∠C＝∠A＝60°，
l⊥BC，CE＝AB＋BC－x＝8－x，∴EF＝CE tan 60°＝ （8－x），∴S△CEF＝ CE EF＝ （8－x） （8－x）＝ （8－x）2，∴y＝S菱形ABCD－S△CEF＝AD BH－ （8－x）2＝4×2 － （8－x）2＝－ x2＋8 x－24 ，∴此时图象为开口向下的抛物线的一部分，排除B选项.故选A.
名师点拨
　　本题考查了动点问题的函数图象的判断.函数图象是典型的数形结
合，图象包含的信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的
实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力.
跟踪训练　（2024安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝
4，BC＝2，BD是边AC上的高.点E，F分别在边AB，BC上（不与
端点重合），且DE⊥DF. 设AE＝x，四边形DEBF的面积为y，则y
关于x的函数图象为（　A　）
A
A B C D
【解析】过D作DH⊥AB于点H，由题意，得AC＝ ＝
2 ，BD＝ ＝ .∴CD＝ ＝ ，AD＝AC－
CD＝ .故DH＝ ＝ .∴S△ADE＝ AE DH＝ x× ＝ x，
S△BDE＝ BE DH＝ （4－x）× ＝ － x.由题意，得
△BDE∽△CDF. ∴ ＝2＝ .故S△CDF＝ S△BDE＝ ＝ － x.∴y＝S△ABC－S△ADE－S△CDF＝4－ x－ ＝－ x＋ .故选A.
(2025 威海)某广场计划用如图1所示的A，B两种瓷砖铺成如图2所示的
图案.第一行第一列瓷砖的位置记为（1，1），其右边瓷砖的位置记为
（2，1），其上面瓷砖的位置记为（1，2），按照这样的规律，下列说
法正确的是（　B　）
B
A. （2 024，2 025）位置是B种瓷砖
B. （2 025，2 025）位置是B种瓷砖
C. （2 026，2 026）位置是A种瓷砖
D. （2 025，2 026）位置是B种瓷砖
【解析】　观察图2，可得A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数），
（双数，单数）；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数），（双数，双
数）.∴（2 025，2 025）位置是B种瓷砖.故选B.
名师点拨
　　本题考查了图案的变化规律，发现变化规律是解题关键.
素养落地　数形结合、逻辑推理
跟踪训练　（2025眉山）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为
公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若OA＝1，∠OAB＝
90°，则点G的坐标为 .
　
【解析】∵图案是用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺
的图案，∴∠AOB＝ ＝30°，∵OA＝1，∠OAB＝90°，∴AB
＝OA tan 30°＝ ，OB＝2AB＝ ，∵∠BOC＝30°，∴OC＝
＝ × ，同理，OD＝ ＝ ×2，依次类推，
OG＝ ×5＝ × ＝ ，则点G的坐标为 .(共32张PPT)
一次函数的应用
第11讲
考情分析
　　本课时在中考中基本上占3～12分，常考知识点是一次函数的应用.
以实际问题为背景，利用一次函数的图象和性质，进行解答，每年必
考，考查的方式一般有：1.一次函数图象型问题，由函数图象得到正确
信息，充分利用函数的性质来解决问题，是中考的必考题型，多以解答
题的形式命题.2.方案选取型问题，是中考的重点考查内容，由函数图
象得到正确信息，把已知量代入解析式得到未知量，再根据结果进行选
取，以解答题的形式命题，10年3考，分值9分.3.方案设计型问题，是
中考的重点考查内容，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结
合实际，设计最优方案，以解答题的形式命题，10年5考，分值9分.
考点1　一次函数图象型问题
例1（2025黑龙江）一条公路上依次有A，B，C三地，一辆轿车从A
地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地
出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）.
两车同时出发，轿车比货车晚 h到达终点，两车均按各自速度匀速行
驶.如图是轿车和货车距各自出发地的
距离y（单位：km）与轿车的行驶时
间x（单位：h）之间的函数图象，结
合图象回答下列问题：
（1）图中a的值是 ，b的值是 .
解：（1）300，2.
300　
2　
（2）在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单
位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的函数关系式.
解：（2）∵轿车比货车晚 h到达终点，
∴货车到达C地所用时间为3－ ＝ （h）.
∴N（ ，0）.
∵货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地，
∴M（ ，120）.
设y＝kx＋b（k≠0），
∴ 解得
∴y＝－90x＋240（ ≤x≤ ）.
（3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距40 km.
解：（3）轿车出发 h或 h或 h时与货车相距40 km.
【解析】由图象及（2）可知，轿车的速度为120 km/h，货车的速度为
120÷ ＝90 km/h，∴当轿车到达B地之前，两车相距40 km时，120x
＋90x＋40＝300，解得x＝ .当轿车在B地停留期间，货车离B地40
km时，40÷90＝ h，则x＝ ＋ ＝ ＜2，符合题意.当货车到达C地
时，此时轿车离点C的距离为120× ＝40 km，恰好满足题意，此时x
＝ .综上，轿车出发 h或 h或 h时与货车相距40 km.
名师点拨
　　本题考查了一次函数的实际应用.解决此类问题需结合题意分析图
象，明确x，y表示的意义，理解图象上拐点的意义，从图象中准确获
取信息是解题的关键.本题中的x表示两车的行驶时间，y表示两车距各
自出发地的距离.点（1.5，180）表示轿车从A地出发抵达B地，点
（b，180）表示轿车从B地出发，点M表示货车从C地抵达B地，点
N表示货车抵达C地，点（3，a）表示轿车抵达C地.①由点（1.5，
180）可知，轿车1.5 h行驶180 km，因此轿车的速度为120 km/h.②由
点（1.5，180）和点M可知，A，C两地相距300 km，即a＝300.③由
轿车匀速行驶和B，C两地相距120 km可知，b＝2.④由轿车比货车晚
h到达终点可知，点N（ ，0）.得到以上四条信息后，利用行程问题
中时间、速度、路程之间的关系，各类问题就迎刃而解了.
跟踪训练　（2025天津）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线
上，书店离家0.6 km，公园离家1.8 km.小华从家出发，先匀速步行了
6 min到书店，在书店停留了12 min，之后匀速步行了12 min到公园，
在公园停留25 min后，再用15 min匀速跑步返回家.下面图中x表示小华
离家的时间，y表示小华离家的距离.图象反映了这个过程中小华离家
的距离与时间之间的对应关系.
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
小华离家的时间/min 1 6 18 50
小华离家的距离/km 0.6
0.1　
0.6　
1.8　
②填空：
小华从公园返回家的速度为 km/min；
③当0≤x≤30时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解
析式.
解：（1）①0.1，0.6，1.8.
0.12　
②0.12.
③y＝
（2）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以0.05 km/min的
速度散步直接到公园.在从家到公园的过程中，对于同一个x的值，小
华离家的距离为y1，小华的妈妈离家的距离为y2，当y1＜y2时，求x的
取值范围.（直接写出结果即可）
解：（2）当y1＜y2时，12＜x＜24.
考点2　方案选取型问题
例2 （2020河南）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活
动，活动方案如下.
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠.
设某学生暑期健身x（次），按照方案一所
需费用为y1（元），且y1＝k1x＋b；按照方
案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x.其函
数图象如图所示.
（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义.
解：（1）∵y1＝k1x＋b的图象过点（0，30）和点（10，180），
∴ 解得
k1的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元，
b的实际意义是：每张学生暑期专享卡的价格为30元.
（2）求打折前的每次健身费用和k2的值.
解：（2）打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元）.
∴k2＝25×0.8＝20.
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案
所需费用更少？说明理由.
解：（3）解法一：选择方案一所需费用更少.理由如下：
由（1）知，y1＝15x＋30.
由（2）知，y2＝20x.
当y1＝y2时，即15x＋30＝20x.
解得x＝6.
∴结合题中函数图象可知，小华暑期前往该俱乐部健身8次，选择方案
一所需费用更少.
解法二：选择方案一所需费用更少.理由如下：
由（1）知，y1＝15x＋30.
由（2）知，y2＝20x.
当x＝8时，y1＝15×8＋30＝150，y2＝20×8＝160.
∵150＜160，
∴y1＜y2.
∴选择方案一所需费用更少.
名师点拨
　　本题考查了一次函数应用的方案选取问题，分析图象，利用待定系
数法求出解析式.利用方程与不等式或结合函数图象进行选取.
跟踪训练　（2025黑龙江）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号
“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相.
第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”
奖励在活动中表现优秀的学生.已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共
需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元.
（1）购买1个“蜀宝”和1个“锦仔”分别需要多少元？
解：（1）设购买1个“蜀宝”和1个“锦仔”分别需要x元和y元，由题
意，得
解得
答：购买1个“蜀宝”和1个“锦仔”分别需要88元和68元.
（2）若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2 160元又
不多于2 200元，有哪几种购买方案？
解：（2）设购买“蜀宝”m个，则购买“锦仔”（30－m）个.
∴2 160≤88m＋68（30－m）≤2 200，
解得6≤m≤8.
又∵m为整数，
∴m＝6，7，8，30－m＝24，23，22.
∴共有3种方案：
方案一：购买“蜀宝”6个，购买“锦仔”24个；
方案二：购买“蜀宝”7个，购买“锦仔”23个；
方案三：购买“蜀宝”8个，购买“锦仔”22个.
（3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的
资金最少？最少资金是多少元？
解：（3）由题意，得W＝88m＋68（30－m）＝20m＋2 040，
∴W随着m的增大而增大，
∴当m＝6时，即方案一需要的资金最少，最少资金是20×6＋2 040＝
2 160（元）.
答：方案一需要的资金最少，最少资金是2 160元.
考点3　方案设计型问题
例3 （2025河南）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省
西部山区出产的甲、乙两种苹果.已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售
价之和为440元，4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元.
（1）求甲、乙两种苹果每箱的售价.
解：（1）设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为x元，y元，
则 解得
答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为100元，80元.
（2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果
的箱数不超过甲种苹果的箱数.求该公司最少需花费多少元.
解：（2）设购买甲种苹果a箱，购买乙种苹果（12－a）箱，则12－
a≤a，解得a≥6.
设该公司需花费w元，则w＝100a＋80（12－a）＝20a＋960.
∵20＞0，
∴w随a的增大而增大.
∴当a＝6时，w有最小值为20×6＋960＝1 080，
即该公司最少需花费1 080元.
名师点拨
　　本题考查了二元一次方程和一次函数的应用.解题的关键是读懂题
意，寻找题目中的等量关系，列方程及函数关系式.
跟踪训练　（2022河南）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课
程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来.
某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜
苗开展种植活动.据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的
倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆.
解：（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元.
根据题意，得 ＝ ＋3.
解得x＝20.
经检验，x＝20是原方程的解.
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元.
（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格.
（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元.学校决定在菜苗基地购买
A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数.菜苗
基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠.求本次购买最少花费多少钱.解：（2）设购买A种
菜苗m捆，则购买B种菜苗（100－m）捆.
解：（2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗（100－m）捆.
∵A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，
∴m≤100－m.
解得m≤50.
设本次购买花费w元.
∴w＝20×0.9m＋30×0.9（100－m）＝－9m＋2 700.
∵－9＜0，
∴w随m的增大而减小.
∴m＝50时，w取最小值，且最小值为－9×50＋2 700＝2 250（元）.
答：本次购买最少花费2 250元.
【综合与实践】有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头
称起天地良心”，某兴趣小组将利用物理学中的杠杆原理制作简易杆
秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下
列方案设计中的任务.
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理
推导得：（m0＋m）·l＝M·（a＋y），其中秤盘质量为m0克，重物
质量为m克，秤砣质量为M克，秤纽
与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零
刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻
线的水平距离为y厘米.
【方案设计】目标：设计简易杆秤.设定m0＝10，M＝50，最大可称重
物质量为1 000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米.
任务一：确定l和a的值.
（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a
的方程；
解：（1）由题意，得m＝0，y＝0.
∵m0＝10，M＝50，∴10l＝50a.
∴l＝5a.
（2）当秤盘放入质量为1 000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，
杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
解：（2）由题意，得m＝1 000，y＝50.
∴（10＋1 000）l＝50（a＋50）.
化简，得101l－5a＝250.
（3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值.
任务二：确定刻线的位置.
解：（3）由（1）（2），可得
解得
（4）根据任务一，求y关于m的函数解析式；
解：（4）由（3）可知，l＝2.5，a＝0.5.
∴2.5（10＋m）＝50（0.5＋y）.
∴y＝ m.
（5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻
线间的距离.
解：（5）相邻刻线间的距离为5厘米
素养落地　模型观念、应用意识、创新意识

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