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(共25张PPT)
第23讲　特殊的平行四边行　
正方形
第三节
考点1　正方形的性质
例1（2024陕西）如图，已知正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为（　B　）
B
A. 2 B. 3 C. D.
【解析】由正方形CEFG和正方形ABCD，AB＝6，CE＝2，得AD∥GF. 所以△ADH∽△FGH. 所以DH∶HG＝AD∶GF＝6∶2＝3∶1.由DG＝6－2＝4，可得DH＝4÷（1＋3）×3＝3.故选B.
名师点拨
　　本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质.解题的关键
是熟练掌握相似三角形的性质.
跟踪训练　（2025北京朝阳区二模）如图，正方形ABCD的边长为
2，E为BC边上的一点，以AE为边作矩形AEFG，使GF经过点D，
则矩形AEFG的面积为 .
【解析】如图，连接DE. ∵四边形AEFG是矩形， ∴AE⊥EF，
∴S△ADE＝ AE EF，∵S矩形AEFG＝AE EF，
∴S矩形AEFG＝2S△ADE.
同理可得S正方形ABCD＝2S△ADE，
∴S矩形AEFG＝S正方形ABCD＝2×2＝4，
故答案为4.
4　
考点2　正方形的判定
例2 如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，请添加一个条
件 ，使四边形ABCD是正方形.（填一个
即可）
名师点拨
　　本题考查了正方形的性质与判定，矩形的性质.虽然是一道半开放
题，但熟练掌握正方形的判定方法是写出正确答案的关键.
AB＝BC（答案不唯一）　
跟踪训练 　（2024广西）如图，在边长为5的正方形ABCD中，E，
F，G，H分别为各边的中点.连接AG，BH，CE，DF，交点分别为
M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为（　C　）
A. 1 B. 2 C. 5 D. 10
C
【解析】由正方形的边长为5，得CD＝5，CF＝ .由勾股定理，得DF
＝ .由题意，得△DQG∽△DCF. ∴DQ∶QG＝DC∶CF＝2∶1，即DQ＝2QG＝ .∵E，F，G，H分别为各边的中点.∴DQ＝PQ＝
.∴四边形MNPQ的面积为（ ）2＝5.故选C.
考点3　正方形中的图形变换
例3 如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点
M落在边AD上（点M不与点A，D重合），点C落在点N处，MN与
CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连接BM.
（1）求证：∠AMB＝∠BMP；
解：（1）证明：由翻折和正方形的性质，可得∠EMP＝∠EBC＝
90°，EM＝EB.
∴∠EMB＝∠EBM.
∴∠EMP－∠EMB＝∠EBC－∠EBM，
即∠BMP＝∠MBC.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC.
∴∠AMB＝∠MBC.
∴∠AMB＝∠BMP.
（2）若DP＝1，求MD的长.
解：（2）如图，延长MN，BC交于点Q.
∵AD∥BC，
∴△DMP∽△CQP.
又∵DP＝1，正方形ABCD的边长为3，
∴CP＝2.
∴ ＝ ＝ ＝ .
∴QC＝2MD，QP＝2MP.
设MD＝x，则QC＝2x.
∴BQ＝3＋2x.
∵∠BMP＝∠MBC，即∠BMQ＝
∠MBQ，
∴MQ＝BQ＝3＋2x.
∴MP＝ MQ＝ .
在Rt△DMP中，MD2＋DP2＝MP2，
∴x2＋12＝ .
解得x1＝0（舍），x2＝ .
∴MD＝ .
名师点拨
　　本题主要考查了正方形的折叠问题、相似三角形的性质与判定、等
腰三角形的性质与判定、勾股定理等.正确作出辅助线构造相似三角形
是解题的关键.
跟踪训练　（2024德阳）在一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张
边长为4的正方形纸片ABCD，他在边AB和AD上分别取点E和点M，
使AE＝BE，AM＝1，又在线段MD上任取一点N（点N可与端点重
合），再将△EAN沿NE所在直线折叠得到△EA1N，随后连接DA1，
小王同学通过多次实践得到以下结论：
①当点N在线段MD上运动时，点A1在以E为圆心的圆弧上运动；
②当DA1达到最大值时，点A1到直线AD的距离达到最大；
你认为小王同学得到的结论正确的个数是 .
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C　
③DA1的最小值为2 －2；
④DA1达到最小值时，MN＝5－ .
【解析】由折叠，可得A1E＝AE＝BE＝2，则点A1到点E的距离恒为
2，即可判断①正确；如图，连接DE，由勾股定理，可得在Rt△ADE
中，DE＝ ＝2 ，由DA1＋A1E≥DE，即可判断③正
确；DA1达到最小值时，点A1在线段DE上，此时△A1DN∽△ADE，
所以 ＝ ，从而求得DN＝5－ ，
所以MN＝AD－DN－AM＝ －2，
即可判断④错误；下面讨论②：如图，
过点A1作A1G⊥AD与
点G，作A1P⊥AB于点P.
在△A1DE中，DE＝2 ，A1E＝AE＝2，∴A1D随着∠DEA1的增大
而增大，∵∠DEA1＝∠NEA1－∠NED＝∠NEA－∠NED＝∠NEA
－（∠AED－∠NEA）＝2∠NEA－∠AED，∴当∠NEA最大时，
∠DEA1有最大值，A1G有最大值，此时，点N与点D重合，∵∠A＝
90°，∴四边形AGA1P是矩形，∴A1G＝AP＝AE＋EP，当A1D取
得最大值时，∠AEN＝∠A1EN也是最大值，∵∠A1EP＝180°－
∠AEN－∠A1EN＝180°－2∠AEN，∴∠A1EP有最小值，∴在
Rt△A1EP中，EP＝A1E cos ∠A1EP有最大值，即A1G＝AP＝AE
＋EP有最大值，∴当DA1达到最大值时，点A1到AD的距离达到最大，
故②正确.故选C.
考点4　正方形中的“十字型”
例4 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，CD上的点，且
AE⊥BF，垂足为点G.
（1）求证：AE＝BF；
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°.
∴∠BAE＋∠AEB＝90°.
∵AE⊥BF，垂足为点G，∴∠CBF＋∠AEB＝90°.
∴∠BAE＝∠CBF.
在△ABE与△BCF中，
∴△ABE≌△BCF（ASA）.
∴AE＝BF.
（2）若BE＝ ，AG＝2，求正方形的边长.
解：（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝90°.
∵AE⊥BF，∴∠BGE＝∠ABE＝90°.
∵∠BEG＝∠AEB，
∴△BGE∽△ABE.
∴ ＝ ，即BE2＝EG·AE.
设EG＝x，则AE＝AG＋EG＝2＋x.
∴（ ）2＝x·（2＋x）.
解得x1＝1，x2＝－3（不合题意舍去）.
∴AE＝3.
∴AB＝ ＝ ＝ .
∴正方形的边长为 .
跟踪训练　如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，
AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G.
（1）求证：矩形ABCD为正方形；
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°.∵DE⊥AF，∴∠AGD＝90°.
∴∠BAF＋∠DAF＝90°，∠ADE＋∠DAF＝90°.
∴∠BAF＝∠ADE.
在△ABF和△DAE中， ∴△ABF≌△DAE（AAS）.
∴AB＝AD. ∴矩形ABCD是正方形.
（2）若AE∶EB＝2∶1，△AEG的面积为4，则四边形BEGF的面积
是 .
9　
变式训练　【感知】
如图1，在正方形ABCD中，点E为边AB上一点（点E不与点A，B重
合），连接DE，过点A作AF⊥DE，交BC于点F，易证：DE＝AF.
（不需要证明）
【探究】
如图2，在正方形ABCD中，点E，
F分别为边AB，CD上的点（点
E，F不与正方形的顶点重合），
连接EF，作EF的垂线分别交边AD，BC于点G，H，垂足为点O.
若E为AB的中点，DF＝1，AB＝4，求GH的长.
解：【探究】如图，分别过点A，D作AN∥GH，DM∥EF，分别交
BC，AB于点N，M.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∠DAB＝∠B＝90°.
∴四边形DMEF是平行四边形.∴ME＝DF＝1，DM＝EF.
∵AN∥GH，GH⊥EF，
∴DM⊥GH.
同理，可得四边形AGHN是平行四边形.
∴GH＝AN.
∵DM∥EF，GH⊥EF，
∴AN⊥DM. ∴∠DAN＋∠ADM＝90°.
∵∠DAN＋∠BAN＝90°，∴∠ADM＝∠BAN.
在△ADM和△BAN中，
∴△ADM≌△BAN（ASA）.
∴DM＝AN. ∴EF＝GH.
∴DM＝GH.
∵点E为AB的中点，∴AE＝ AB＝2.
∴AM＝AE－ME＝2－1＝1.
∴DM＝ ＝ ＝ .
∴GH＝ .
【应用】
如图3，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，BE＝
CF，BF，AE相交于点G. 若AB＝3，图中阴影部分的面积与正方形
ABCD的面积之比为2∶3，则△ABG的面积为 ，△ABG的周长
为 .
　
＋3　(共20张PPT)
第23讲　特殊的平行四边行　
矩　形
第二节
考点1　矩形的性质
例1 （2025漯河模拟）如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O. 若
OC＝5，则BD的长为（　C　）
A. 2.5 B. 5 C. 10 D. 12.5
C
跟踪训练　如图1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
AB＝6.
（1）若BC＝8，则BO的长为 ；
（2）若AO＝6，则∠ABD＝ ，BD＝ ，矩形的周长
是 ；
5　
60°　
12　
12＋12 　
图1 图2
（3）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若ED＝3BE，则AE
＝ 　3 　，AD＝ 　6 　.
3 　
6 　
变式训练　如图，点O是矩形ABCD的对角线AC，BD的交点，AE平
分∠BAD，∠AOD＝120°，则∠AEO的度数为（　C　）
A. 15° B. 25° C. 30° D. 35°
C
考点2　矩形的判定
例2 （2025平顶山一模）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于
点O. 添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的为（　D　）
A. AB⊥BC B. AC＝BD
C. ∠BAD＋∠BCD＝180° D. CD＝AD
名师点拨
　　本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定，理解平行四边形
的性质，熟练掌握矩形的判定是解决问题的关键.
D
跟踪训练　如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分
别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C，D. 求证：四边形
ACBD是矩形.
证明：∵CD∥MN，∴∠OCB＝∠CBM.
∵BC平分∠ABM，∴∠OBC＝∠CBM.
∴∠OCB＝∠OBC. ∴OC＝OB.
同理可得OB＝OD.
∵O为AB的中点，
∴OA＝OB∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵CD＝OC＋OD，AB＝OA＋OB，∴AB＝CD.
∴四边形ACBD是矩形（对角线互相平分且相等的四边形是矩形）.
变式训练　（2025湖北模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B
＝90°，O是AB边的中点，∠AOD＝∠BOC. 求证：四边形ABCD
是矩形.
解：∵O是AB边的中点，
∴OA＝OB.
在△AOD和△BOC中，
∴△AOD≌△BOC（ASA）.∴DA＝CB.
∵∠A＝∠B＝90°，∴∠A＋∠B＝180°.
∴DA∥CB. ∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形.
考点3　矩形背景中线段长度的计算
例3 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，对角线AC，BD相交
于点O，点P是AD上一动点（不与点A，D重合），过点P作AC和
BD的垂线，垂足分别为点E，F，则PE＋PF的值是（　A　）
A. B. C. D. 3
A
名师点拨
　　题中点P是动点，但是答案中PE＋PF的值却是定值，说明点P在
运动范围内任意一点答案都不变，那么我们可以考虑方法1：用特殊位
置的方法来求解，比如，点P在AD的中点处；方法2：用等面积法，过
点A构造△AOD中OD边上的高，则可表示△AOD的面积，连接PO，
也可以利用S△POD＋S△POA表示△AOD的面积，利用等面积法构造方程
可发现PE＋PF的值等于点A到BO的距离.
跟踪训练　（2025内江）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，
点E，F分别是边AD，CD上的动点，连接BE，EF，点G为BE的中
点，点H为EF的中点，连接GH，则GH的最大值是 .
5　
考点4　矩形背景中图形的变换与动点问题
例4（2024苏州）如图，矩形ABCD中，AB＝ ，BC＝1，动点E，
F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向
终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l
的垂线，垂足为点G，则AG的最大值为（　D　）
D
A. B. C. 2 D. 1
【解析】因为点E，F在运动过程中始终有AE＝CF，则借助矩形的中
心对称性，可以证明EF始终经过矩形对角线的交点（记为O）.由勾股
定理，可得AC＝2.所以AO＝CO＝1.由AG⊥EF，根据“垂线段最
短”，可得AG≤AO＝1.所以当点G与点O重合时，AG有最大值，为
1.故选D.
名师点拨
　　本题考查了矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质及圆
的有关知识.根据题意发现EF始终经过矩形的中心（对角线的交点）是
解题的关键.
跟踪训练　如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点H是AC的中
点，沿对角线AC把矩形剪开得到两个三角形，固定△ABC不动，将
△ACD沿AC方向平移（点A'始终在线段AC上），得到△A'C'D'，连接
HD'，设平移的距离为x，则当HD'的长度最小时，x的值为（　C　）
C
A. B. C. D.
跟踪训练
【解析】根据勾股定理，得AC＝ ＝ ＝10.所以
AH＝ AC＝5.所以A′H＝5－x.当HD′⊥AC时，HD′的长度最小.根
据平移的性质，得A′D′＝AD＝6，D′C′＝AB＝8，A′C′＝AC＝10.
所以HD′＝ ＝ ＝ .进而可求得x＝ .故选C.
变式训练　（2025郑州一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标
为 ，点C为x轴正半轴上一动点，以OA，OC为边作矩形
OABC，点E为线段AB延长线上的一点，且BE＝ AB，D为OB的中
点，连接DE交BC于点F，连接CD，当△CDF为等腰三角形时，点B
的坐标为 .
（3 ，6）或（6 ，6）　
【解析】∵点A的坐标为（0，6），四边形OABC为矩形，∴OA＝BC＝6，AB∥OC，取BC的中点G，连接DG，则CG＝BG＝ BC＝3，∵D为OB的中点，G为BC的中点，∴DG为△OCB的中位线，∴DG∥OC，DG＝ OC＝ AB，∵BE＝ AB，∴DG＝BE，
变式训练
∵DG∥OC，AB∥OC，∴DG∥BE，∴∠E＝∠GDF，在△BEF和△GDF中， ∴△BEF ≌△GDF（AAS），∴BF＝GF＝ BG＝ ，∴CF＝CG＋GF＝3＋ ＝ ，由图可得DF＜DC，故分两种情况讨论：当CD＝CF＝ 时，如图1，OB＝2CD＝9，∴AB＝ ＝ ＝3 ，∴B（3 ，6）；
当DF＝CF＝ 时，如图2，DG＝ ＝ ＝3 ，
∴AB＝OC＝2DG＝2×3 ＝6 ∴B（6 ，6）.综上可知，点B
的坐标为（3 ，6）或（6 ，6）.
1. 如图，图1是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成
图3，若图3中∠CFE＝108°，则图1中的∠DEF的度数是 .
24°　
名师点拨
　　本题考查了图形的翻折变换以及平行线的性质.纸条中隐含矩形的
性质，矩形中隐含平行线，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它
属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变.
素养落地　应用意识、几何直观(共26张PPT)
　
多边行及平行四边形
第22讲
考情分析
　　平行四边形的性质与判定河南中考近10年10考，选择、填空、简答
题皆有涉及.常考知识点有：1.利用对边平行和对角线互相平分的性
质，在三角形中，结合中位线、勾股定理、内角和与外角等计算线段长
或角度；2.以平行四边形为背景，利用边和角的性质结合旋转、折叠、
平移等变换进行证明或计算；3.以圆或者二次函数为背景，结合动点问
题对特殊四边形的存在条件进行判断与计算等.
考点1　多边形的相关性质
例1 （2025眉山）如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB，DE分别
交于点M，N，则∠1＋∠2的度数为（　C　）
C
A. 216° B. 180°
C. 144° D. 120°
名师点拨
　　本题主要考查了多边形的内角和和正多边形的每个内角的度数
计算.
跟踪训练　（2024遂宁）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为1 080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（　C　）
A. 36° B. 40° C. 45° D. 60°
变式训练　（2025南充）如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图
形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（　B　）
C
B
A. 12 B. 8 C. 16 D. 12
考点2　平行四边形的性质
例2（2025安徽）在如图所示的 ABCD中，E，G分别为边AD，BC
的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不与端点重合），且满
足AF＝CH，则下列为定值的是（　C　）
A. 四边形EFGH的周长 B. ∠EFG的大小
C. 四边形EFGH的面积 D. 线段FH的长
C
【解析】连接EG，在 ABCD中，E，G分别为AD，BC中点，
∵AD∥BC且AD＝BC，AE＝ AD，BG＝ BC，∴AE∥BG且AE
＝BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB∥EG，同理
EG∥CD，且EG＝AB＝CD.
∴四边形DCGE是平行四边形，则△GEF与△GEH的面积分别为
ABGE与 EGCD面积的一半，四边形EFGH的面积＝ S△GEF＋
S△GEH，∴四边形EFGH的面积始终为 ABCD面积的一半，是定值.
选项A：EF，FG等边长随F，H移动变化，周长不定，错误.选项B：
∠EFG随F位置改变，错误.选项D：FH长度随F，H移动改变，错
误.综上，四边形EFGH的面积是定值，故选C.
名师点拨
　　本题考查了平行四边形的性质.利用平行四边形的性质一一判断即
可解决问题.
跟踪训练　已知在 ABCD中，点E为对角线AC上一点.
（1）如图1，当BE⊥AC时，若∠1＝30°，AB＝4，AC＝6，则平行
四边形ABCD的面积为 ；
12　
（2）如图2，当BE⊥BC时，点E经过AC的中点，若∠2＝60°，AC
＝6，则另一条对角线的长度为 ；
（3）如图3，若点E是CD边上一点，当BE平分∠ABC，且CE＝3
时，AD＝ ；
（4）如图4，BE平分∠ABC，交AD延长线与点F，若AD＝3，AB
＝5，则DF＝ .
3　
3　
2　
考点3　平行四边形的判定
例3 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上.
（1）当点E，F分别是AD，BC的中点时，求证：四边形AFCE是平
行四边形；
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC.
∵点E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝ AD，CF＝ BC.
∴AE＝CF.
∴四边形AFCE是平行四边形.
（2）当AF，CE分别是∠BAD和∠BCD的平分线时，求证：四边形
AFCE是平行四边形；
证明：（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB ＝∠BCD，AD∥BC.
∴∠AFB＝∠DAF.
∵AF，CE分别是∠BAD和∠BCD的平分线，
∴∠DAF＝ ∠DAB，∠ECF＝ ∠BCD.
∴∠EAF＝∠ECF. ∴∠AFB＝∠ECF.
∴AF∥EC.
∴四边形AFCE是平行四边形.
（3）当EF恰好经过AC的中点O时，求证：四边形AFCE是平行四边形.
证明：（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC. ∴AE∥CF.
∴∠DAC＝∠BCA.
∵EF恰好经过AC的中点O，∴OA＝OC.
∵∠EOA＝∠FOC，
∴△AOE≌∠COF（ASA）.
∴AE＝CF.
∴四边形AFCE是平行四边形.
名师点拨
　　本题主要考查了平行四边形的判定.掌握平行四边形的判定方法即
可解决问题，注意格式的书写，不要跳步.
跟踪训练　（2025安阳模拟）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件中不能判定这个四边形是平行四边形的是（　B　）
B
A. ∠ABD＝∠BDC，∠ACB＝∠CAD
B. AB＝BC，AD＝CD
C. AB＝CD，∠BAC＝∠ACD
D. AO＝CO，BO＝DO
变式训练　（2025河北一模）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解
答过程：
已知：如图，在四边形ABCD中，BD垂直平分AC，过点A作
MA⊥AC，以D为顶点，在AD的左侧作
∠ADN＝∠BCD，DN交AM于点E.
求证：四边形ABDE是平行四边形.
证明：∵BD垂直平分AC，
∴AD＝CD，AB＝BC.
又∵BD＝BD，
∴△ADB≌△CDB（① 　　　　）.
∴∠DAB＝∠DCB.
∵∠BCD＝∠ADE，∴∠ADE＝∠DAB.
∴② 　　　　.
∵AE⊥AC，BD⊥AC. ∴AE∥BD.
∴四边形ABDE是平行四边形.
若以上解答过程正确，则①，②应分别为（　B　）
A. SAS，DE＝AB B. SSS，DE∥AB
C. SAS，DE∥AB D. SSS，DE＝AB
B
考点4　平行四边形中的图形变换与动点问题
例4 如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处.
若∠1＝56°，∠2＝42°，则∠A的度数为（　C　）
A. 108° B. 109°
C. 110° D. 111°
C
名师点拨
　　本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角以
及三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行四边形和折叠的性质是
解题的关键.
跟踪训练　（2025信阳三模）如图，在 ABCD中，∠C＝120°，AB
＝8，BC＝10，E为边CD的中点，F为边AD上的一个动点，将
△DEF沿EF翻折得到△D'EF，连接AD'，BD'，
则点C到AB的距离为 　5 　，
△ABD'面积的最小值为 　20 －16　.
5 　
20 －16　
名师点拨
　　先确定点D'是以E为圆心，CD为直径的圆周上一点，过点E作EH⊥AB交直线AB于点H，交☉E于点G，过点D'作D'M⊥AB于点
M，连接EM，推出△ABD'的面积等于4D'M，再求出D'M的最小值即
可解决问题.
变式训练　（教材练习改编）如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB
＝3 cm，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，此时
△CDE恰好为等边三角形，则AD＝ ，重叠部分的周长
为 　（6＋3 ） cm　，面积为 　 cm2　.
6 cm　
（6＋3 ） cm　
cm2　
考点5　平行四边形与函数图象相结合问题
例5（2024绥化）如图，已知点A（－7，0），B（x，10），C（－
17，y），在 ABCO中，它的对角线OB与反比例函数y＝ （k≠0）
的图象相交于点D，且OD∶OB＝1∶4，则k＝ .
－15　
【解析】根据平行四边形的性质及点的坐标关系，可得点B坐标为（－24，10）.根据位似坐标的特征及OD∶OB＝1∶4，可得点D的坐标为D .所以k＝－ ×6＝－15.故答案为－15.　
名师点拨
　　分别过点B，C，D向x轴作垂线，垂足分别为点E，F，G，则
由题意及平行四边形的性质，可求得点B的坐标.由辅助线的作法可
知，△ODG∽△OBE，由OD∶OB＝1∶4，可求得点D的坐标，由点D在
反比例函数的图象上，可求得k的值.
跟踪训练　（2025商丘二模）如图，在 ABCD中，点P沿A→B→C
方向从点A运动到点C. 设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2
是点P运动时y随x变化的关系图象，则点Q的横坐标b等于（　C　）
C
A. B. C. D. 5
1. 已知：如图所示，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点.
求证：DE∥BC，且DE＝ BC.
证明：延长DE到点F，使
EF＝DE，连接FC，DC，AF.
∵AE＝EC，
∴四边形ADCF是平行四边形.
接着以下是排序错误的证明过程：
①∴DF∥BC，DF＝BC；
②∴CF∥AD，CF＝AD，即CF∥BD，CF＝BD；
③∴四边形DBCF是平行四边形；
④∴DE∥BC，且DE＝ BC.
则正确的证明顺序应是（　C　）
A. ①→③→②→④ B. ①→③→④→②
C. ②→③→①→④ D. ②→③→④→①
C
名师点拨
　　本题考查了平行四边形的性质与判定，难度不大.
素养落地　推理能力、模型观念
2. （课后习题改编）如图，某村有一个四边形池塘，它的四个顶点
A，B，C，D处均有一棵大树，村里准备开挖池塘建鱼塘.想使池塘
的面积扩大一倍，又想保持大树在池塘边不动，并要求扩建后的池塘成
平行四边形的形状，请你设计出所要求的平行四边形.
解：如图所示.
名师点拨
　　把地扩大成平行四边形，而且面积要为原来的二倍.就可连接对角
线AC，BD交于点O，过点A作BD的平行线，过点C作BD的平行
线，过点B作AC的平行线，过点D作AC的平行线，四条平行线依次交
于M，N，G，H四点，则可得四边形AODH，AOBM，BOCN，
OCGD均为平行四边形.由全等就可证明扩大后的面积是原来的二倍.
素养落地　推理能力、应用意识(共17张PPT)
河南10年折叠——选填压轴
微专题9
考情分析
　　图形的变换在河南中考中近10年10考，本专题主要分析中考第15
题.在第15题中，常以三角形或者四边形为背景，结合图形变换，产生
动态变化，以动点正好落在某处，存在某种特殊状态为切入点，考查轴
对称、旋转、平移等图形变换的性质，特殊三角形的边、角、边角关
系、相似、全等等知识点，其中结合题意画出图形是考查点之一，也是
解决问题的关键一步.
常用知识点 常用模型 计算常用方法
1.旋转的性质：旋转前后线段的长度不变（隐形圆）. 2.折叠/轴对称的性质： （1）对应点的连线被
对称轴垂直平分→对称轴是对应点连线的垂直平分线； （2）折叠前后两个图形全等，对应边相等，对应角相等（隐藏角平分线） 一线三垂直直角三角形时； 两圆一线等腰三角形时 1.勾股定理——在直角三角形中，表示出三角形的三边关系建立方程模型，解方程即可得.
2.相似——找到相似三角形的对应边，利用对应边成比例建立方程模型，解方程即可；也可借助三角函数找到对应边建立方程
类型一 动点正好落在某特定位置
1. （2025河南）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E
在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上
的点F处，则CF的长为（　D　）
A. 2 B. 6－3
C. 2 D. 6 －6
D
2. （2019河南）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边
BC上，且BE＝ a.连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B'
落在矩形ABCD的边上，则a的值为 .
第2题图
或 　
3. （2016河南）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射
线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B'处，
过点B'作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N. 当点B'为线段MN
的三等分点时，BE的长为 .
第3题图
或 　
名师点拨
　　由题意知，需进行分类讨论，画出对应的图形，结合题意标出题中
对应的线段、角等；在折叠的过程中，当直角顶点落在直线上时，易出
现一线三垂直模型，由相似构造方程，解方程即可.
4. （2017河南B卷）如图，在等边三角形ABC中，AB＝2 cm，点
M为边BC的中点，点N为边AB上的任意一点（不与点A，B重合），
若点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边上，则
BN的长为 cm.
或 　
名师点拨
　　本题思路雷同于2021年第15题.首先我们分析应该存在两种情况，
在对应的边上任意点个点假设为点B'的位置，由折叠的性质，“对称轴
垂直平分对应点的连线”找到对称轴的位置，也可得到垂直这个特殊位
置关系，综合利用所学三角形或四边形的性质即可解决问题.
5. （2023河南）在矩形ABCD中，点M为对角线BD的中点，点N在边
AD上，且AN＝AB＝1.当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角
形时，AD的长为 .
【解析】以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形
时，有两种情况：①如图1，当∠MND＝90°时，则MN⊥AD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴MN∥AB，∵点M为对角线BD的中点，∴AN＝DN，∵AN＝AB＝1，∴AD＝2AN＝2；
2或1＋ 　
类型二 直角三角形的存在
图1
②如图2，当∠NMD＝90°时，则MN⊥BD，∵点M为对角线BD
的中点，∴BM＝DM，∴MN垂直平分BD，∴BN＝DN，∵∠A＝
90°，AB＝AN＝1，∴BN＝ AB＝ ，∴AD＝AN＋DN＝1＋
.综上所述，AD的长为2或1＋ .故答案为2或1＋ .
图2
6. （2018河南）如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点
B为边AN上一动点，连接BC，△A'BC与△ABC关于BC所在直线对
称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A'B所在直线于点F，连接A'E. 当△A'EF为直角三角形时，AB的长为 .
4 或4
第6题图
7. （2017河南）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC
＝ ＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线
折叠∠B，使点B的对应点B'始终落在边AC上，若△MB'C为直角三角
形，则BM的长为 .
第7题图
或1　
8. （2015河南B卷）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，点P为
AC上一动点，过点P作EF⊥AC交AD于点E，交AB于点F，将
△AEF沿EF折叠，使点A落在对角线AC上的点A'处，当△A'CD为直
角三角形时，AP的长为 .
第8题图
2或 　
9. （2016河南B卷）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E
为BC边上一个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点
A落在点P处，当点P在矩形ABCD的外部时，连接PC，PD. 若
△DPC为直角三角形，则BE的长为 .
第9题图
3或 　
10. （2015河南）如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，
AE＝3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF
折叠，点B落在B'处.若△CDB'恰为等腰三角形，则DB'的长为
.
16或
4 　
类型三 等腰三角形的存在
名师点拨
　　在折叠的过程中隐含着旋转，可以借助圆规找到点B'的运动轨迹，
当△CDB'为等腰三角形时，由于腰不确定，所以要进行分类讨论，可
以利用圆规进行简单的判断，但是不要执着于作规范的图，找到点B'的
位置时，标出已知各线段的长度，存在未知量就看能否构造方程.(共19张PPT)
第23讲　特殊的平行四边行　
菱　形
第一节
考情分析
　　本课时知识点在中考中是必考知识点，在三大题型中都有体
现，常考知识点有：1.以菱形、矩形、正方形为背景，与三角形、
函数、圆等结合，利用其性质结合三角函数、全等或相似等求线段
的长、角度或点的坐标；2.通过添加条件判定图形是特殊的平行四
边形，或者在平行线、圆等背景下，探究特殊平行四边形的存在性
问题；3.以特殊的平行四边形为背景，结合旋转、平移、轴对称等
图形变换，探究运动中某图形的变化规律，或在变化过程中某特殊
情况存在时线段的长或点的坐标.
考点1　菱形的性质
例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OP⊥AB
于点P，若AB＝10，AC＝16，则OP的长为（　D　）
A. 2 B. C. D.
D
名师点拨
　　本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，关键是由三角
形的面积公式（等面积法）得到 AB×OP＝ AO×OB. 先由菱形的
性质推出AC⊥BD，AO＝ AC＝8，进而用勾股定理求出OB＝6，再
用等面积法得到10×OP＝8×6，即可求出OP的长.
跟踪训练　如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝10.
（1）菱形的周长为 ；
（2）若∠ABC＝2∠BAD，则∠BAD＝ ，
BD＝ ，AC＝ ；
（3）若BD＝12，则菱形ABCD的面积为 ，
DF＝ .
40　
60°　
10　
10 　
96　
9.6　
变式训练　（2022河南）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点.若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（　C　）
A. 6 B. 12 C. 24 D. 48
C
考点2　菱形的判定
例2 （2025黑龙江）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点
O，请添加一个条件： ，使 ABCD为
菱形.
AC⊥BD（答案不唯一）　
跟踪训练　（2024扬州）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一
起，得到四边形ABCD.
图1
（1）试判断四边形的ABCD的形状，并说明理由；
解：（1）四边形ABCD是菱形.理由如下：
如图1，过点C作CH⊥AB，垂足为点H，CG⊥AD，垂足为点G.
∵两个纸条为宽度相等的矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，CH＝CG.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵S ABCD＝AB·CH＝AD·CG，
∴AB＝AD.
∴四边形ABCD是菱形.
（2）已知矩形纸条的宽度为2 cm，将矩形纸条旋转至如图2所示的位置
时，四边形ABCD的面积为8 cm2，求此时直线AD，CD所夹锐角∠1
的度数.
解：（2）如图2，过点A作AM⊥CD，垂足为点M.
∵S菱形ABCD＝CD·AM＝8 cm2，且AM＝2 cm，
∴CD＝4 cm.
∴AD＝CD＝4 cm.
∴在Rt△ADM中， sin ∠1＝ ＝ .
∴∠1＝30°.
图2
考点3　菱形背景中线段长度的计算
例3 （2025河南模拟）如图，在菱形ABCD中，CE⊥BD于点E，F为
AD边的中点，连接EF，若菱形ABCD的周长为20，则线段EF的长为
（　C　）
A. 5 B. 4 C. D. 2
C
名师点拨
　　本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，熟知菱形的两条对
角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角是解题的关键.本题先
根据菱形的性质得出AB＝BC＝CD＝AD＝5，根据等腰三角形三线合
一的性质得出E是BD的中点，然后根据三角形的中位线定理求解即可.
跟踪训练　（2024黑龙江）如图，在菱形ABCD中，点O是BD的中
点，AM⊥BC，垂足为点M，AM交BD于点N，OM＝2，BD＝8，
则MN的长为（　C　）
A. B. C. D.
C
【解析】连接AC，先由菱形的性质，可得对角线AC与BD交于点O，
AC⊥BD，OA＝OC. 由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得OM
＝OA＝OC＝2.利用勾股定理，可以求出菱形的边长为2 .进而利用
等面积法，可以求出AM＝ .接下来易证△AON∽△BOC. 所以
＝ ，即 ＝ .所以AN＝ .所以MN＝AM－AN＝ － ＝
.故选C.
考点4　菱形背景中图形的变换与动点问题
例4 如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC，BD相交于
点O，点M在线段AC上，且AM＝2，点P为线段BD上的一个动点，
则MP＋ PB的最小值是 　4 　.
名师点拨
4 　
　　根据学习的“将军饮马”模型，求线段和的最小值，当定点在动点
两侧，三点共线时即为最小值时的状态，题目中出现 PB，则需要将
PB转化成某条线段，题目中易得∠OBC＝30°，则想到30°角所对的
直角边是斜边的一半，于是辅助线即可得到，根据“将军饮马”模型即
可得到答案.
跟踪训练 （2024长沙）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝
30°，点E是BC边上的动点，连接AE，DE，过点A作AF⊥DE于点
F. 设DE＝x，AF＝y，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量
x的取值范围）（　C　）
A. y＝ B. y＝ C. y＝ D. y＝
C
【解析】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H. 在菱形ABCD
中，AB＝6，AB∥CD，AB＝CD＝AD＝6，AD∥BC，∴∠DCH
＝∠B＝30°，∠ADF＝∠DEH. ∴DH＝ CD＝3.∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠EHD＝90°.∴△ADF∽△DEH. ∴ ＝ ，即 ＝ .
y＝ .故选C.
例5如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中
点，点N是AB边上一动点，
将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则线段A'C长
度的最小值是 .
2 －2　
【解析】如图，在点N的运动过程中，点A′在以点M为圆心，MA的
长为半径的圆上，∴MA′是定值.∴A′C长度取最小值时，即为点A′
在MC上时.过点M作MF⊥DC于点F，在边长为4的菱形ABCD中，
∠A＝60°，M为AD中点，∴MD＝2，∠FDM＝60°，
∴∠FMD＝30°，∴FD＝ MD＝1，
∴FM＝DM× cos 30°＝ ，
∴MC＝ ＝2 ，
∴A′C＝MC－MA′＝2 －2.
故答案为2 －2.
名师点拨
　　本题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A'
点位置是解题关键.根据题意，在N的运动过程中A'在以M为圆心、
AD为直径的圆上的弧 上运动，当A'C取最小值时，由两点之间线段
最短知此时M，A'，C三点共线，得出A'的位置，进而利用锐角三角函
数求出A'C的长即可.

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