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(共14张PPT)
二次根式
第4讲
考情分析
　　本课时在中考中基本上占3分，常考知识点有二次根式的概念、二
次根式的运算（10年8考）及二次根式的估算.本课时知识点一般不单独
考查，常融入到其他知识中考查：一是融入整式的运算中，常为选择题
或填空题；二是融入整式或分式的化简求值中，作为确定取值代入二次
根式进行运算，多为解答题；三是融入实数的运算中（近4年4考），这
是这几年考查的主流形式.2025年河南中考第一次单独考查二次根式有
意义的条件.
考点1　二次根式有意义的条件
例1 （2025河南）请写出一个使 在实数范围内有意义的x的
值： .
名师点拨
3（答案不唯一）　
　　本题考查了二次根式有意义的条件，近10年河南省第一次考查此类
问题.解决此类问题的关键是明确二次根式有意义的条件.对二次根式有
意义的条件单独考查时，只需考虑被开方数是非负数；与其他知识综合
考查时，要综合考虑其他条件，例如与分式结合时，还要满足分式有意
义的条件：分母不等于零.
跟踪训练　（2025北京）若 在实数范围内有意义，则实数x的
取值范围是 .
变式训练　（2025凉山）若式子 在实数范围内有意义，则m的取
值范围是 .
x≥1　
m≥1　
考点2　二次根式的运算
例2 （2025河南）计算： ＋（π－1）0－ × .
解：原式＝2＋1－3
＝0.
名师点拨
　　本题考查了开立方运算、零指数幂的性质和二次根式的乘法运算.
先根据开立方运算求出 ＝2，接着根据零指数幂的性质（任何非0数
的0次幂都等于1）求出（π－1）0＝1，再根据二次根式积的运算法则
（ × ＝ ，a≥0，b≥0）求出 × ＝ ， 化简得到
3，最后把三项的结果通过加减混合计算即可得到最终结果.
跟踪训练　（2025陕西）计算： × ＋｜－2｜－（π－3）0.
解：原式＝ ＋2－1
＝6＋2－1
＝7.
考点3　二次根式的估值
例3 已知实数a＝ －1，则a在数轴上对应的点可能是（　C　）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
C
名师点拨
　　本题考查了二次根式的估值，主要是估算二次根式的整数部分.解
决此类题的关键是利用两端逼近的方法，找到二次根式的值位于哪两个
相邻整数之间，进而确定二次根式的整数部分的值.可熟记常见的二次
根式的值，例如： ≈1.414， ≈1.732， ≈2.236，…
变式训练　（2025烟台）实数3 的整数部分为 .
【解析】∵3 ＝ ，4＜ ＜5，∴4＜3 ＜5.∴实数3 的整
数部分为4.故答案为4.
4　
如图，每个小方格的边长为1，点A，B都在格点上，若BC＝ ，
则AC的长为（　B　）
B
A. B. C. 2 D. 3
名师点拨
　　本题考查了二次根式的运算与勾股定理的综合.题目不是直接给出
需要计算的二次根式，而是以方格纸为背景，通过构造直角三角形，利
用二次根式的运算求出线段的长.
素养落地　数形结合、转化思想、数学建模
变式训练
（2024乐山）已知1＜x＜2，化简 ＋｜x－2｜的结果
为（　B　）
A. －1 B. 1 C. 2x－3 D. 3－2x
【解析】∵1＜x＜2，∴ ＋｜x－2｜＝x－1＋2－x＝1.
故选B.
B(共20张PPT)
分式
第3讲
考情分析
　　本课时在中考中基本上占3～8分，常考知识点有分式有意义的条件
和分式的化简求值（10年9考，2017年没考）.2020年（含）之前对分式
有意义的条件的考查都是融入到分式的化简求值中考查，2020年后分式
有意义的条件和分式的化简就变为单独考查了，其中分式有意义的条
件，近4年1考（2021年第11题），分式的化简，近4年4考.
考点1　分式有意义及值为零的条件
例1 （2021河南）若代数式 有意义，则实数x的取值范围
是 .
名师点拨
　　本题考查了分式有意义的条件.只要理解分式有意义的条件（分母
不能为零），然后计算即可.分式有意义的条件要和分式无意义及分式
的值为零的条件区分开，特别是分式的值为零，既要满足分母不等于
零，使分式有意义，又要满足分子等于零，不能漏条件.
x≠1　
变式训练　（2025贵州）若分式 的值为0，则实数x的值为（　A　）
A. 2 B. 0 C. －2 D. －3
A
考点2　分式的化简及求值
例2 （2025河南）化简 － 的结果是（　A　）
A
A. x＋1 B. x C. x－1 D. x－2
名师点拨
　　本题考查了分式的化简.解答这类问题时，要注意以下几点：①当
分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分或通分；②整
式和分式进行运算时，可以把整式看成是分母为1的分式；③分式的混
合运算，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；④运
算的结果要化成最简形式，分子、分母中有公因式的要进行约分.
跟踪训练　（2024河南）化简：
÷ .
解：原式＝ ÷
＝ ·
＝a＋2.
下面是小锐同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务.
　 －
＝ － 第一步
＝ － 第二步
＝ － 第三步
＝ 第四步
＝ 第五步
＝－ . 第六步
任务一：填空：
①以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是
；
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是
.
三　
分
式的基本性质　
五　
括号前是“－”
号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号　
任务二：请从出现错误的步骤开始继续进行该分式的化简.
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时
还需注意的事项给其他同学提一条建议.
解：原式＝
＝－ .
约分、通分时应根据分式的基本性质进行变形（答案不唯一，写出一条
即可）.
名师点拨
　　本题是分式化简的创新考法，要求考生对每一步的算理要理解透
彻，并能准确表述.本课时的常考点有：依据分式的基本性质约分、通
分，去括号法则，移项法则等.
素养落地　数学运算、归纳总结
跟踪训练　（2024乐山）先化简，再求值： － ，其中x＝3.
小乐同学的计算过程如下：
解： －
＝ － ①
＝ － ②
＝ ③
＝ ④
＝ . ⑤
当x＝3时，原式＝1.
（1）小乐同学的解答过程中，第 步开始出现了错误；
③　
（2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程.
解： －
＝ －
＝ －
＝
＝
＝ .
∴当x＝3时，原式＝ .
变式训练　化简（ ＋ ）· .下面是甲、乙两同学的部分运算
过程：
（1）甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 .
（填序号）
①等式的基本性质；
②分式的基本性质；
③乘法分配律；
④乘法交换律.
②　
③　
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程.
解：选择甲同学的解法：
原式＝[＋ ]· ＝ ·
＝ ·
＝2x.
选择乙同学的解法：
原式＝ · ＋ ·
＝ · ＋ ·
＝x－1＋x＋1
＝2x.（任选一种即可）(共21张PPT)
整式与因式分解
第2讲
考情分析
　　本课时在中考中基本上占3～8分，常考知识点有整式的运算和整式
的化简求值.其中整式的运算是高频考点（10年7考），多以选择题的形
式呈现，要求对整式的运算法则、幂的运算法则、乘法公式及因式分解
等非常熟练；整式的化简求值近10年仅2017年和2023年在第16题进行考
查，频次低于对整式的运算的考查，难度低于分式的化简求值.近两年
命题改革，也有了对列代数式（2025年第13题）、同类项（2024年第11
题）等知识的考查，难度均不大，但得分率并不高，这一变化同样引导
着我们在复习备考时不能只看往年考没考，而要看课标要求没要求.
考点1　列代数式及代数式求值
例1 （2023河南）某校计划给每个年级配发n套劳动工具，则3个年级共
需配发 套劳动工具.
名师点拨
　　本题考查了列代数式，近10年河南省第一次考查此类问题.解题的
关键是读懂题意，用含n的代数式表示3个年级劳动工具的套数.
3n　
跟踪训练　（2025山西）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电
商新产业，提高了农民收入.某农户通过网上销售传统手工艺品布老
虎，利润由原来的每个20元增加到80元.该农户通过网上售出a个布老
虎，则他的利润增加了 元.（用含a的代数式表示）
变式训练　（2025长春）已知x2＋2x＝4，则代数式7－x2－2x的值
为 .
60a　
3　
考点2　整式的运算
例2　（2024河南）计算（ ）3的结果是（　D　）
A. a5 B. a6 C. aa＋3 D. a3a
名师点拨
　　本题主要考查了有理数的乘方.解题的关键是熟练掌握乘方的意义
和幂的乘方法则.先根据乘方的意义把括号内的乘法写成乘方的形式，
然后根据幂的乘方法则进行计算即可.
D
跟踪训练　（2022河南）下列运算正确的是（　D　）
A. 2 － ＝2 B. （a＋1）2＝a2＋1
C. （a2）2＝a5 D. 2a2·a＝2a3
变式训练　（2025山西）下列运算正确的是（　B　）
A. 2a＋3b＝5ab B. m2·m4＝m6
C. （a－b）2＝a2－b2 D. ＝6m6
D
B
考点3　整式的化简及求值
例3 （2025河南）化简：（x＋1）2－x（x＋2）.
解：原式＝x2＋2x＋1－x2－2x
＝1.
名师点拨
　　在用公式法进行整式运算的过程中，要将积的形式变成和的形式，
这时就会出现变号和去括号这两个易错点，一些同学在运算的过程中会
把括号直接忽略，如果原来括号前恰好是负号，就会导致除第一项外后
边项的符号都出错，要特别注意.
跟踪训练　（2025兰州）计算：（a＋2）（a－2）＋
a（3－a）.
解：原式＝a2－4＋3a－a2
＝3a－4.
变式训练　（2025浙江）化简求值：x（5－x）＋x2＋3，其中x＝2.
解：原式＝5x－x2＋x2＋3
＝5x＋3.
当x＝2时，原式＝5×2＋3＝13.
考点4　整式的规律探索
例4 （2025河南）观察2x，4x2，6x3，8x4，…，根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为 .
名师点拨
　　本题主要考查了对单项式的规律探索.近10年河南省第一次考查此
类问题.解题的关键是根据题目所给出的单项式发现一般规律，用含n
的代数式表示第n个式子.
2nxn　
变式训练　（2025陕西）生活中常按图1的方式砌墙，小华模仿这样的
方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图2，第1个图案用了3个矩
形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形……则第10个图案
需要用矩形的个数为 .
21　
【解析】第1个图案中矩形的个数为1＋2＝3；第2个图案中矩形的个数
为1＋2×2＝5；第3个图案中矩形的个数为1＋2×3＝7……第n个图案
中矩形的个数为1＋2n，即可算出第10个图案中矩形的个数为1＋2×10
＝21.故答案为21.
现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示（a＞
1）.某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如图2和
图3所示，其面积分别为S1，S2.
（1）请用含a的式子分别表示S1，S2，当a＝2时，求S1＋S2的值；
解：（1）由图可知，S1＝（a＋2）（a＋1）＝a2＋3a＋2，
S2＝（5a＋1）×1＝5a＋1.
当a＝2时，S1＋S2＝4＋6＋2＋10＋1＝23.
（2）比较S1与S2的大小，并说明理由.
解：（2）S1＞S2.理由如下：
由（1）可知，S1－S2＝a2＋3a＋2－5a－1＝a2－2a＋1＝（a－1）2.
又∵a＞1，∴（a－1）2＞0.
∴S1＞S2.
名师点拨
　　本题考查了多项式乘多项式.解题的关键是列出代数式表示几何图
形的面积.表示面积有两种思路：一种是整体法，分别表示出图2和图3
中两个矩形的长和宽，然后利用矩形的面积公式“长×宽”列出式子，
最后化简即可；另一种是拆分法，分别把图2和图3拆分成若干张甲、
乙、丙三种卡片，进而确定面积.
素养落地　运算能力、几何直观、应用意识
跟踪训练　对于任何实数，我们规定 ＝ad－bc，按照这个规
定请你计算：当x2－3x＋1＝0时， 的值为 .
1　(共20张PPT)
实 数
第1讲
、、
考情分析
　　本课时在中考中基本上占6～10分，常考知识点有实数的相关概
念、科学记数法和实数的运算.实数的相关概念（10年10考），其中绝
对值（10年2考）、相反数（10年5考）、实数的大小比较（10年2
考）、数轴（10年1考）等相关概念在第1题循环考查，数轴上的点表示
的数近些年来第一次考查，体现了命题方向的变化，在复习备考时不能
只看往年考没考，而要看课标要求没要求；
科学记数法考查的频次比较高（10年9考），主要考查较大数（万、亿、
万亿）的科学记数法（10年6考），较小数的科学记数法考查的较少
（10年3考）；实数的运算是每年必考内容（10年10考），在2021年之
前主要在第11题考查，2021年（含）之后都在第16题考查，体现了考查
方式的多样性.
考点1　实数的相关概念
例1 （2025河南）在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作＋4
个，那么该队失3个球记作（　B　）
A. ＋3个 B. －3个 C. ＋4个 D. －4个
名师点拨
　　本题考查了用正数和负数表示具有相反意义的量，其中一个量用正
数表示，其相反意义的量就用负数表示.解题的关键是理解正负
数的意义，知道进球和失球表示的意义相反进而作答.
B
跟踪训练 （2024山西）中国空间站位于距离地面约400 km的太空环境
中.由于没有大气层的保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高
于零上150 ℃，其背阳面温度可低于零下100 ℃.若零上150 ℃记作＋
150 ℃，则零下100 ℃记作（　B　）
A. ＋100 ℃ B. －100 ℃
C. ＋50℃ D. －50 ℃
B
例2 （2022河南）－ 的相反数是（　A　）
A. B. 2 C. －2 D. －
A
名师点拨
　　解决此类题的关键是清楚相反数的定义和特征.从定义的角度，只
有符号不同的两个数叫作相反数，－ 与 只有符号不同.从相反数的特
征，互为相反数的两数之和为0，－ ＋ ＝0.注意相反数与倒数的区
别，倒数是分子、分母交换位置，不改变符号，相反数是只改变符号.
变式训练　请写出一对相反数： .
－1和1 （答案不唯一）　
例3 （2021河南）－2的绝对值是（　A　）
A. 2 B. －2 C. D. －
名师点拨
　　解决此类题的关键是清楚绝对值的定义和性质.从定义的角度，在
数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫作这个数的绝对值，所以一
个数的绝对值是非负数.从绝对值的性质，
由｜a｜＝ 可得负数的绝对
值等于它的相反数，即｜－2｜＝－（－2）＝2.
A
变式训练　（2024福建）下列实数中，无理数是（　D　）
A. －3 B. 0 C. D.
D
考点2　实数的大小比较
例4　（2023河南）下列各数中，最小的数是（　A　）
A. －1 B. 0 C. 1 D.
名师点拨
A
　　解决实数大小比较的问题，关键是清楚实数的大小比较规律，数轴
上右边的数大于左边的数，即正数大于0和负数，0大于负数.其中负数
比较大小时，常用绝对值法，绝对值大的反而小.
跟踪训练　（2025苏州）下列实数中，比2小的数是（　D　）
A. 5 B. 4 C. 3 D. －1
D
考点3　科学记数法
例5 （2025河南）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自
由电子定向移动的平均速度大约只有0.000 074 m/s，比蜗牛爬行的速度
还慢.数据“0.000 074”用科学记数法表示为（　C　）
C
A. 0.74×10－4 B. 7.4×10－4
C. 7.4×10－5 D. 74×10－6
名师点拨
　　科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤｜a｜＜10，n为整数.
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对
值与小数点移动的位数相同.当原数的绝对值≥10时，n是正整数；当
原数的绝对值＜1时，n是负整数.
跟踪训练　（2024河南）据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达
5 784亿元.数据“5 784亿”用科学记数法表示为（　C　）
A. 5 784×108 B. 5.784×1010
C. 5.784×1011 D. 0.578 4×1012
C
变式训练　（2025武汉）在中学化学中1 mol的物质粒子数通常表示为
NA（阿伏伽德罗常数），它的数值约为6 020万亿亿.将数据“6 020万
亿亿”用科学记数法表示是（　A　）
A. 6.02×1023 B. 6.02×1025
C. 6.02×1012 D. 6.02×1010
A
考点4　实数的运算
例6 （2023河南）计算：｜－3｜－ ＋5－1.
解：原式＝3－3＋
＝ .
跟踪训练　（2025山西）计算： ×6－32＋（－8＋4）.
解：原式＝ ×6－9－4
＝3－9－4
＝－10.
（2024河南）如图，数轴上点P表示的数是（　A　）
A
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
名师点拨
　　本题考查了数轴.数轴上的点与实数是一一对应的，也就是所有的
实数都可以用数轴上的点表示，数轴上的点表示的数不是有理数就是无
理数.一般取右方向为正方向，原点表示0，正半轴上的点表示正数，负
半轴上的点表示负数.
素养落地　数形结合、应用意识
跟踪训练　（2025贵州）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所
示，则a与b的大小关系是a b.（填“＞”“＜”或“＝”）
＜　

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