资源简介 (共31张PPT) 相似模型微专题6模型一 “A”字模型模型名称 正A型模型特征 两个三角形满足有一个公共角∠A，且有一组对应边DE∥BC（或满足一组同位角∠1＝∠2），则△ADE∽△ABC.此模型称为“正A型”模型分析 已知：∠1＝∠2（或间接给出DE∥BC）.结论：△ADE∽△ABC图示模型练习1. （2025眉山）如图，在4×3的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，则△OAB与△OCD的周长之比是（ B ）A. 2∶1 B. 1∶2 C. 4∶1 D. 1∶4第1题图B2. （2025云南）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且DE∥BC. 若 ＝ ，则 ＝（ A ）A. B. C. D.第2题图A模型演变1模型名称 反A型（斜A型）模型特征 两个三角形满足有一个公共角∠A，且对应边DE与BC不平行，若∠1＝∠2，则△ADE∽△ABC.此模型称为“反A型”，也叫“斜A型”模型分析 已知：∠1＝∠2.结论：△ADE∽△ABC图示模型练习3. 如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A，D为圆心，大于 AD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AC，AB于点E，F，则AE的长度为（ A ）A. B. 3 C. 2 D.A模型演变2模型名称 反A型（斜A型）模型特征模型分析 已知：∠1＝∠2.结论：△ADE∽△ABC模型练习 4. 如图，在△ABC中，点D为线段AB的中点，AE＝3EC，延长DE交BC的延长线于点F，则 为（ A ）A. 2∶1 B. 3∶1 C. 3∶2 D. 4∶3A模型演变3模型名称 反A共边型（母子型）模型特征模型分析 已知：∠1＝∠2.结论：①△ADE∽△ABC；②AC2＝AE·AB模型练习5. 如图，AC，AD，CE是正五边形ABCDE的对角线，AD与CE相交于点F. 下列结论：①CF平分∠ACD；②AF＝2DF；③四边形ABCF是菱形；④AB2＝AD·EF. 其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）①③④ 模型名称 双垂模型（母子型或射影定理型）模型特征模型分析 已知：AC⊥BC，CD⊥AB.结论：①△ACD∽△ABC；②AC2＝AD·AB；③△BCD∽△BAC；④BC2＝BD·BA；⑤△ACD∽△CBD；⑥CD2＝AD·BD模型特例6. （2024德阳）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，点F为BC的中点，连接AF与BD相交于点E，连接CE并延长交AB于点G. 求证：（1）△BEF∽△BCO.证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AC⊥BD. 又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形.∴AB＝AC. ∵点F为BC的中点，∴AF⊥BC. ∴∠BOC＝∠BFE＝90°.又∵∠EBF＝∠CBO，∴△BEF∽△BCO.（2）△BEG≌△AEG.证明：（2）∵BO⊥AC，AF⊥BC，∴CG⊥AB.∴∠BGE＝∠AGE＝90°.∵AC＝BC，∴BG＝AG.又∵EG＝EG，∴△BEG≌△AEG（SAS）.模型二 “8”字模型模型名称 正8字型模型特征 两个三角形满足有一组对顶角，且有一组对应边DE∥BC（或满足一组内错角∠1＝∠2），则△ADE∽△ABC.此模型称为“正8字型”模型分析 已知：∠1＝∠2（或间接给出DE∥BC）.结论：△ADE∽△ABC图示模型练习 7. （2025内江）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动地体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂OA＝150 cm，阻力臂OB＝50 cm，BD＝20 cm，则AC的长度是（ B ）A. 80 cm B. 60 cmC. 50 cm D. 40 cmB【解析】∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴AC∥BD，易证△AOC∽△BOD，∴ ＝ .∵OA＝150 cm，OB＝50 cm，BD＝20cm，∴ ＝ ，∴AC＝60，∴AC的长为60 cm.故选B.8. （2024资阳）（1）【观察发现】如图1，在△ABC中，点D在边BC上，若∠BAD＝∠C，求证：AB2＝BD·BC.解：（1）证明：∵∠BAD＝∠C，∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA.∴ ＝ ，即AB2＝BD·BC.（2）【灵活运用】如图2，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D为边BC的中点，CA＝CD＝2，点E在边AB上，连接AD，DE，若∠AED＝∠CAD，求BE的长.解：（2）如图1，过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G，则∠AFC＝∠AGD＝90°.∴CF∥DG. 又∠BAC＝60°，∴CF＝AC× sin 60°＝2× ＝ ，AF＝AC× cos60°＝2× ＝1.∵D为BC的中点，∴BD＝CD＝ BC＝2.∵CF∥DG，∴△BDG∽△BCF.∴ ＝ ＝ ＝ ，即DG＝ CF＝ .∴BG＝ ＝ ＝ .∴BF＝2BG＝ .∴AB＝AF＋BF＝1＋ .∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA.∵∠AED＝∠CAD，∴∠AED＝∠CDA.∵∠AED＋∠BED＝∠CDA＋∠ADB＝180°，∴∠BED＝∠ADB.∵∠DBE＝∠ABD，∴△BDE∽△BAD.∴ ＝ ，即 ＝ .解得BE＝ .（3）【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，AB＝5，点E，F分别在边AD，CD上，∠ABC＝2∠EBF，延长AD，BF相交于点G，若BE＝4，DG＝6，求FG的长.解：（3）如图2，连接BD.∵四边形ABCD为菱形，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，AD＝AB＝BC＝5，AD∥BC.∵∠ABC＝2∠EBF，∴∠ABD＝∠CBD＝∠EBF. ∴∠EBF－∠DBF＝∠CBD－∠DBF，即∠DBE＝∠CBF.∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠G. ∴∠DBE＝∠G.∵∠DEB＝∠BEG，∴△BED∽△GEB. ∴ ＝ .∵DG＝6，∴EG＝DE＋6.∴ ＝ .解得DE＝2（负值舍去）.∴EG＝2＋6＝8，AE＝AD－DE＝3.∵AE2＋BE2＝32＋42＝52＝AB2，∴△ABE为直角三角形，且∠AEB＝90°.∴∠BEG＝180°－90°＝90°.∴在Rt△BEG中，由勾股定理，得BG＝＝ ＝4 .∴BF＝BG－FG＝4 －FG.∵AD∥BC，∴△DFG∽△CFB.∴ ＝ ，即 ＝ .解得FG＝ .模型演变模型名称 反8字型（斜8字型或蝴蝶模型）模型特征 两个三角形满足有一组对顶角，且对应边DE与BC不平行，若∠1＝∠2，则△ADE∽△ABC.此模型称为“反8字型”，也称为“斜8字型”或“蝴蝶模型”模型分析 已知：∠1＝∠2.结论：①△ADE∽△ABC；②AD·AC＝AB·AE图示模型练习 9. （2025遂宁）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，结合尺规作图痕迹提供的信息，可得线段AQ的长为（ A ）A. 2 B. 2 C. 6 D.A【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，∴AC＝＝12.由题意得，BG平分∠ABC，即∠CBG＝∠ABG. 设BG，AC交于点M，作MN⊥AB于点N，如图，则CM＝MN，设CM＝MN＝x.∵S△ABC＝S△MBC＋S△ABM，∴ BC AC＝ BC CM＋AB MN，即5×12＝5x＋13x，解得x＝ ，即CM＝ ，则BM＝＝ ，由作图痕迹可知，AQ⊥BH，∴∠AQB＝∠C＝90°.∵∠CBG＝∠ABG，∴△ABQ∽△MBC，∴ ＝ ，即 ＝ ，解得AQ＝2 .故选A.模型三 模型并联模型名称 A8模型模型特征 双“A”和双“8”模型分析 已知：AB∥CD∥EF.结论： ＋ ＝图示模型练习10. 如图，点D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则S△BDE∶S△CDE＝ .1∶4 11. 如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AD和BC表示起固定作用的两根钢筋，AD与BC的交点为点M. 已知AB＝10 m，CD＝15 m，求点M离地面的高度MH.解：∵AB∥CD，∴△ABM∽△DCM.∴ ＝ ＝ ＝ .∴ ＝ .∵MH∥AB，∴△MDH∽△ADB.∴ ＝ ＝ ，即 ＝ .解得MH＝6.答：点M离地面的高度MH为6 m.(共25张PPT)特殊三角形第18讲考情分析 特殊三角形是每年中考的必考知识点之一，各个题型均有出现，常考知识点有勾股定理、三角函数、面积计算、特殊直角三角形的三边比例关系、斜边上的中线等.常和旋转、轴对称、平移等图形变换相结合，考查数形结合、分类讨论、逻辑推理等能力.考点1 特殊三角形中的相关计算例1 如图1，在△ABC中，AB＝BC＝ ，∠BAC＝30°.图1（1）AC的长度为 ，S△ABC＝ ；3 图2（2）如图2，分别以点A，C为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则△ADC是 三角形，S△ADC＝ ；等边 （3）如图3，连接DB，交AC于点N，△ABD是 三角形，S△ABD＝ ，BD＝ 2 ，AN＝ ；（4）图3中，S四边形ABCD＝ ；（5）如图4，若点M是BD的中点，连接AM，则AM＝ ；（6）图4中，与△ABC全等的三角形是 .直角 2 3 △AMD 图3图4名师点拨 掌握特殊三角形的性质是解题的关键.本题中每一问的解决方法不唯一，可尝试用多种方法解决问题，比较分析各方法的优势与劣势，最终熟练运用等腰三角形和直角三角形的性质解决问题.跟踪训练 （2024重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D. 若BC＝2，则AD的长为 .2 【解析】根据等腰三角形两个底角相等，可求出∠ABC＝∠C＝72°.根据角平分线的性质，可求出∠CBD＝∠ABD＝36°.∴∠A＝∠ABD＝36°，∠BDC＝∠C＝72°.∴AD＝BD＝BC＝2.故答案为2.变式训练 （2025广西）如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD＝ ，则AD＝ －1 .－1 考点2 特殊三角形中的图形变换——落在特殊位置例2（2021河南）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1.第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在A'处，如图2；第二步，将纸片沿CA'折叠，点D落在D'处，如图3.当点D'恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段A'D'的长为 .或2－ 图1 图2 图3【解析】①当点D′恰好落在直角三角形纸片的AB边上时，设A′C交AB边于点E，如图1.根据题意，得△ADC≌△A′DC≌△A′D′C，A′C垂直平分线段DD′.则∠D′A′C＝∠DA′C＝∠A＝60°，A′C＝AC＝1.∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，∴BC＝ AC＝ ，AB＝2AC＝2.由等面积法，可得斜高CE＝ .∴A′E＝1－ .在Rt△A′D′E中，∵ cos ∠D′A′E＝ ，∴A′D′＝2A′E＝2－ .图1②当点D′恰好落在直角三角形纸片的BC边上时，如图2.根据题意，得△ADC≌△A′DC≌△A′D′C，∠ACD＝∠A′CD＝∠A′CD′＝∠ACB＝30°.则∠D′A′C＝∠DA′C＝∠A＝60°，A′C＝AC＝1.∵∠D′A′C＝60°，∠A′CD′＝30°，∴∠A′D′C＝90°.∴A′D′＝ A′C＝ ×1＝ .综上，线段A′D′的长为 或 2－ .故答案为 或2－ .图2名师点拨 本题考查了三角形的面积公式、等面积法、勾股定理、三角函数、垂直平分线的性质、折叠的性质、分类讨论等.由于点D'的位置不确定，故需分类讨论，可借助直角三角形纸片探索具体的折叠，也可利用“折叠的过程中，对应点连线的垂直平分线是折痕所在直线”找到两次的折痕.画出符合题意的图形，找到其中关联的线段和角，在直角三角形中利用勾股定理或三角函数即可解决问题.跟踪训练 如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8 cm，折叠该三角形纸片，若AC边完全落在另一条边上，则折痕的长为 cm.【解析】分两种情形：①当AC边落在AB边上时（如图1），折痕是AD. ②当AC边落在CB边上时（如图2），折痕为CF，过点F作FG⊥BC于点G，FH⊥AC于点H，则四边形FGCH是正方形.设CG＝x cm.分别利用面积法求解即可.3 或 图1 图2考点3 特殊三角形中的图形变换——特殊图形的存在性例3 （2025河南）定义：有两个内角的差为90°的三角形叫作“反直角三角形”.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，则BP的长为 .或【解析】∵AB＝AC＝5，∴∠B＝∠C，∵∠APC＝∠B＋∠BAP，∴∠APC＞∠B，∴∠APC＞∠C，若△APC为“反直角三角形”，可分四种情况讨论：①当∠APC－∠C＝90°时，过点A作AD⊥BC于点D，如图1.∵AB＝AC＝5，BC＝8，∴BD＝CD＝ BC＝4，∴AD＝ ＝3，∵∠B＝∠C，∴∠APC－∠B＝∠BAP＝90°，∵∠B＝∠B，∠ADB＝∠PAB＝90°，∴△ADB∽△PAB，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴BP＝ ； ②当∠APC－∠CAP＝90°时，过点A作AD⊥BC于点D，过点P作PM⊥BC交AC于点M，如图2.∴∠APC－∠APM＝∠CPM＝90°，∴∠CAP＝∠APM，∴AM＝PM，∵PM⊥BC，AD⊥BC，∴PM∥AD，∴△CMP∽△CAD∴ ＝ ＝ ，设CP＝x，则BP＝8－x，∴ ＝ ＝ ，∴PM＝ x，CM＝ x，∴AC＝AM＋CM＝PM＋CM＝ x＋ x＝5，∴x＝ ，∴BP＝8－ ＝ ；③当∠CAP＝∠C＋90°时，∵ sin C＝ ＝ ， sin 30°＝ ，且 ＞2，∴∠C＞30°，∴∠BAC＜120°，若∠CAP＝∠C＋90°，则∠CAP＞120°，即∠CAP＞∠BAC，∴此情况不存在；④当∠CAP＝∠APC＋90°时，∵当点P与点B重合时，∠APC最小，此时∠APC＝∠B＞30°，同③可证，此情况不存在.综上所述，BP的长为 或 .名师点拨 本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，理解“反直角三角形”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键.例4（2022河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ. 当∠ADQ＝90°时，AQ的长为 .或 【解析】如图所示. ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，∴AB＝ AC＝4.∵点D为AB的中点，∴CD＝AD＝ AB＝2，∠ADC＝90°.∵∠ADQ＝90°，∴点C，D，Q在同一条直线上.由旋转，得CQ＝CP＝CQ′＝1.分两种情况：①当点Q在CD上时，在Rt△ADQ中，DQ＝CD－CQ＝1，∴AQ＝ ＝ ＝ ；②当点Q在DC的延长线上时，在Rt△ADQ′中，DQ′＝CD＋CQ′＝3，∴AQ′＝ ＝ ＝ .综上所述，当∠ADQ＝90°时，AQ的长为 或 .故答案为 或 .名师点拨 本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上中线的性质、旋转的性质和分类讨论思想.旋转中存在着隐形圆，即隐藏着相等的线段，画出符合题意的图形，然后观察其中线段的关系是解决此问题的关键.跟踪训练 （2025平顶山一模）如图，在△ABC中，已知AB＝6，BC＝4，D是AC的中点，DE⊥AC交AB于点E，连接EC. 当△BCE是以BC为底的等腰三角形时，边AC的长为 ；当△BCE是以CE为底的等腰三角形时，边AC的长为 .2 如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A，B分别在两条射线OM，ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是 .1＋ 名师点拨 取AB的中点D，连接OD及DC，根据三角形的三边关系得到OC小于等于OD＋DC，所以只有当O，D，C三点共线时，OC取得最大值，最大值为OD＋CD，由等边三角形的边长为2，根据D为AB的中点，得到BD为1，根据三线合一得到CD⊥AB，在直角三角形BCD中，根据勾股定理求出CD的长，在直角三角形AOB中，OD为斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OD等于AB的一半，由AB的长求出OD的长，进而求出DC＋OD，即为OC的最大值.素养落地 几何直观、逻辑推理(共14张PPT)常见的全等模型微专题2模型一 平移型两个完全重合的三角形平移平移平移模型应用1. （2025河南模拟）如图，在△ACD和△CBE中，CD＝BE，若C是线段AB的中点，则下列不能使△ACD和△CBE全等的条件是（ B ）A. ∠ACD＝∠ABE B. ∠CAD＝∠BCEC. AD＝CE D. CD∥BEB2. （2025苏州）如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE.（1）求证：△DAC≌△ECB；解：（1）证明：∵CD∥BE，∴∠DCA＝∠B.∵C是线段AB的中点，∴AC＝CB.在△DAC和△ECB中，∴△DAC≌△ECB（ASA）.（2）连接DE，若AB＝16，求DE的长.解：（2）∵AB＝16，∴AC＝CB＝ AB＝8.由（1）可知，△DAC≌△ECB，∴CD＝BE，又∵CD∥BE，∴四边形BCDE是平行四边形.∴DE＝BC＝8.模型二 轴对称型两个完全重合的三角形轴对称平移两个完全重 合的三角形 模型应用3. 如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（ D ）A. ∠A＝∠D B. ∠AFB＝∠DECC. AB＝DC D. AF＝DED4. （2025内江）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC＝DF，∠A＝∠D，AB∥DE.（1）求证：△ABC≌△DEF；解：（1）证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠E.在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（AAS）.（2）若BF＝4，FC＝3，求BE的长.解：（2）由（1）可知△ABC≌△DEF，∴BC＝EF. ∴BF＋CF＝EC＋CF.∴BF＝EC.∵BF＝4，∴EC＝4.∵FC＝3，∴BE＝BF＋FC＋EC＝4＋3＋4＝11.模型三 旋转型两个完全重合的三角形旋转旋转旋转模型应用5. （2024牡丹江）如图，△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D，E，F三点共线，请添加一个条件 ，使得AE＝CE. （只添一种情况即可）DE＝EF或AD＝CF（答案不唯一） 6. （2025河北）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD.（1）求证：△ABC≌△AFD；证明：（1）∵AC，BD相交于点E，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∴∠ACB＝∠ADF.∵∠BAF＝∠EAD，∴∠BAF－∠CAF＝∠EAD－∠CAF.∴∠BAC＝∠FAD.在△ABC和△AFD中，∴△ABC≌△AFD（ASA）.（2）若BE＝FE，求证：AC⊥BD.证明：（2）由（1）得△ABC≌△AFD，∴AB＝AF.∵BE＝FE，∴AC⊥BF，即AC⊥BD.7. （2024长沙）如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE.（1）求证：△ABC≌△ADE；解：（1）证明：在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE（SAS）.(共27张PPT)锐角三角函数及其应用第21讲考情分析 本课时考点在近十年河南中考中均以解答题（第18，19或20题位置）的形式呈现，取材现实生活，2019～2022年呈现以河南文化建筑为背景的趋势，分值为9分.涉及角度多为一个特殊角和一个非特殊角（共考查8次）.考查的模型有“背对背”模型（10年3考）、“母子”模型（10年7考）等.考点1 俯角、仰角问题例1 （2022河南）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑.某数学小组想测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15 m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°.已知测角仪的高度为1.5 m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度.（结果精确到1 m，参考数据： sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67）解：如图，延长EF交DC于点H.由题意，得∠DHF＝90°，EF＝AB＝15 m，CH＝BF＝AE＝1.5 m.设DH＝x m.在Rt△DFH中，∠DFH＝45°，∴FH＝DH＝x m.在Rt△DHE中，∠DEH＝34°，∴tan 34°＝ ＝ .∴EH＝ .∵EF＝EH－FH＝15，即 －x＝15.解得x≈30.5.∴DC＝DH＋CH≈30.5＋1.5＝32（m）.∴拂云阁DC的高度约为32 m.答：拂云阁DC的高度约为32 m.名师点拨 审题、分析题意，将已知量和未知量弄清楚，明确题目中的一些名词术语的含义，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等.若所给三角形是直角三角形，确定合适的边角关系进行计算；若不是直角三角形，可尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形问题进行解决.此外，在测量问题中往往会涉及测角仪等与计算无关的数据，在求建筑物的高度时不要忽略这些数据.跟踪训练 （2024河南）如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置.当点B高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大视角.图1 图2（1）请仅就图2的情形证明∠APB＞∠ADB；解：（1）证明：如图，设AD与圆交于点M，连接BM，则∠AMB＝∠APB.∵∠AMB＞∠ADB，∴∠APB＞∠ADB.图2（2）经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角∠APE为60°，点P到塑像的水平距离PH为6 m，求塑像AB的高（结果精确到0.1 m，参考数据： ≈1.73）.解：（2）∵∠APH＝60°，PH＝6 m，∴在Rt△APH中，AH＝PH·tan∠APH＝PH·tan 60°＝6× ＝6 （m）.∵∠APB＝30°，∴∠BPH＝∠APH－∠APB＝60°－30°＝30°.∴在Rt△BPH中，BH＝PH·tan∠BPH＝PH·tan 30°＝6× ＝2 （m）.∴AB＝AH－BH＝6 －2 ＝4 ≈4×1.73≈6.9（m）.答：塑像AB的高约为6.9 m.考点2 方位角问题例2 （2025长沙）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上.为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D. 经测量，得知景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上.已知AB＝800 m.（1）求∠ACB的度数；解：（1）如图，由题意可得∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM.∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°.∴∠ACB＝∠BCM－∠ACM＝60°－30°＝30°.（2）求景点C与景点D之间的距离.（结果保留根号）解：（2）∵∠CBE＝60°，∴∠CBM＝90°－∠CBE＝90°－60°＝30°.由（1）得∠ACB＝30°.∴∠ABC＝∠ACB＝30°.又∵AB＝800 m，∴AB＝AC＝800 m.在Rt△ACM中， sin ∠ACM＝ ， cos ∠ACM＝ ，∴AM＝AC· sin ∠ACM＝800× ＝400（m），CM＝AC· cos ∠ACM＝800× ＝400 （m）.∴BM＝BA＋AM＝800＋400＝1 200（m）.∵∠BDM＝45°，BM⊥DM，∴DM＝BM＝1 200 m.∴DC＝DM－CM＝（1 200－400 ）m.∴景点C与景点D之间的距离为（1 200－400 ）m.名师点拨 本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题.用好已知条件中的边和角，判断出AC＝AB，再解直角三角形是解题的关键.欲求CD，需先求DM与CM，因此需要先解Rt△ACM，Rt△BDM.跟踪训练 人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B两处养殖场捕捞海产品.经测量，A养殖场在灯塔C的南偏西60°方向，B养殖场在灯塔C的南偏东45°方向，且在A的正东方向，AC＝3600米.（1）求B养殖场与灯塔C的距离（结果精确到个位）；解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，AC＝3 600米，cos 60°＝ ， sin 60°＝ ，∴AD＝3 600× ＝1 800 （米），CD＝ ×3 600＝1 800（米）.在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，∴∠B＝45°＝∠BCD.∴BD＝CD＝1 800（米）.∴BC＝ ＝1 800 ≈1800×1.414≈2 545（米）.答：B养殖场与灯塔C的距离约为2 545米.（2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处.（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）解：（2）由（1）知，AB＝AD＋BD＝1 800 ＋1 800≈1 800×1.732＋1 800≈4 917.6（米）.∵600×9＝5 400（米），5 400米＞4 917.6米，∴甲组能在9分钟内到达B处.考点3 其他实际应用问题例3 （2024苏州）图1是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知AB＝10 cm，BC＝20 cm，AD＝50 cm.图2 图3图1（1）如图2，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）.解：（1）如图1，过点C作CE⊥AD，垂足为点E.由题意，得AB＝CE＝10 cm，BC＝AE＝20 cm.∵AD＝50 cm，∴ED＝AD－AE＝50－20＝30（cm）.∴在Rt△CED中，CD＝ ＝ ＝10 （cm）.答：可伸缩支撑杆CD的长度为10 cm.图1图1（2）如图3，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且tan α＝ （α为锐角）时，求可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）.图3解：（2）如图2，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，交AD'于点G.由题意，得AB＝FG＝10 cm，AG＝BF，∠AGD＝90°.∴在Rt△ADG中，tan α＝ ＝ .∴设DG＝3x cm，则AG＝4x cm.∴AD＝ ＝＝5x（cm）.∵AD＝50 cm，∴5x＝50，即x＝10.图2图2∴AG＝40 cm，DG＝30 cm.∴DF＝DG＋FG＝30＋10＝40（cm）.∴BF＝AG＝40 cm.∵BC＝20 cm，∴CF＝BF－BC＝40－20＝20（cm）.∴在Rt△CFD中，CD＝ ＝＝20 （cm）.答：可伸缩支撑杆CD的长度为20 cm.名师点拨 本题考查了解直角三角形的应用.根据题目的已知条件和问题（求线段CD的长）并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.本题中没有给出角度，因此在构造的直角三角形中只能先求出另外两条边，然后利用勾股定理求出CD. （1）在图1中，过点C作CE⊥AD，可构造直角三角形，在Rt△CED中，先求出CE，DE的长，然后利用勾股定理进行计算即可；（2）在图2中，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，可构造直角三角形，在Rt△CFD中，先求出CF和DF的长，然后利用勾股定理进行计算即可.跟踪训练 （2025上海）某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段AB）的竖直高度2.7米，某人（线段CD）身高为1.8米，扫描仪测得∠A＝53°，那么该人与扫描仪的水平距离为 米.（参考数据： sin 53°≈0.8， cos53°≈0.6，tan 53°≈1.33，精确到0.1米）1.2 （2024黄石模拟）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒.问题设置：图1把筒车抽象为一个半径为r的☉O. 如图2，OM始终垂直于水平面，设筒车的半径为2米.当t＝0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM＝30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处.图1 图2问题解决：（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；解：（1）由于筒车每旋转一周用时120秒，∴每秒转过360°÷120＝3°.∴∠BOM＝360°－3°×95－30°＝45°.（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离.（结果精确到0.1米.参考数据： ≈1.414， ≈1.732）解：（2）如图，过点B，A分别作OM的垂线，垂足分别为点C，D.∵在Rt△AOD中，∠AOD＝30°，OA＝2米，∴OD＝ OA＝ （米）.∵在Rt△BOC中，∠BOC＝45°，OB＝2米，∴OC＝ OB＝ （米）.∴CD＝OD－OC＝ － ≈0.3（米）.答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离约为0.3米.素养落地 抽象能力、模型观念、应用意识(共34张PPT)对角互补模型微专题3 对角互补型：顾名思义，在四边形或者构成的几何图形中，相对位置的两个角互补，即和为180°.常见的有90°，90°和120°，60°等情况.通过旋转或者作垂线，构造出全等三角形或者相似三角形，将不规则的四边形转换成三角形或者正方形、矩形等，利用特殊三角形或矩形、正方形的性质解决问题.模型概述模型一 含90°的对角互补模型——全等型条件：∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.思路分析：方法1：过角平分线上的直角顶点C，向另一个直角∠AOB的两边作垂线，垂足分别为M，N.方法2：以角平分线上的直角顶点为旋转中心，将直线CO逆时针旋转90°，使得CO'⊥CO.模型 方法1：作垂线 方法2：旋转 结论①CD＝CE；②OD＋OE＝ OC；③S△COD＋S△COE＝ OC2①CD＝CE；②OE－OD＝ OC；③S△COE－S△COD＝ OC2模型 方法1：作垂线 方法2：旋转 结论分析 易证△CMD≌△CNE，四边形CMON是正方形 易证△COD≌△CO'E，△COO'是等腰直角三角形 注意：分类讨论时请注意类比思想的运用模型应用1. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC. 点D为BC边的中点，E为AB边上一动点（不与点A，B重合），以点D为直角顶点、以射线DE为一边作∠MDN＝90°，另一条边DN与边AC交于点F. 下列结论中正确的结论是（ C ）①BE＝AF； ②△DEF是等腰直角三角形；C③无论点E，F的位置如何，总有EF＝DF＋CF成立； ④四边形AEDF的面积随着点E，F的位置不同发生变化.A. ①③ B. ②③C. ①② D. ①②③④2. 马老师在带领同学们学习《正方形的性质与判定》这一课时，给出如下问题：如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，正方形A'B'C'O与正方形ABCD的边长相等.在正方形A'B'C'O绕点O旋转的过程中，OA'与AB相交于点M，OC'与BC相交于点N，探究两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有什么关系.（1）小亮第一个举手回答“两个正方形重叠部分的面积是正方形ABCD面积的 ”. 图1 图2（2）马老师鼓励同学们编一道拓展题，小颖编了这样一道题：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC，若AC＝6，求四边形ABCD的面积.请你帮小颖解答这道题.解：（2）如图，过点A作AE⊥AC，交CD的延长线于点E.∵AE⊥AC，∴∠EAC＝90°.∵∠DAB＝90°，∴∠DAE＝∠BAC.∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠ADC＋∠B＝180°.∵∠EDA＋∠ADC＝180°，∴∠EDA＝∠B.在△ABC与△ADE中，∴△ABC≌△ADE（ASA）.∴AC＝AE. ∵AC＝6，∴AE＝6.∴S△AEC＝ ×6×6＝18.∴S四边形ABCD＝18.3. （2024郑州四十七中三模）综合与实践【问题背景】某研究学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形ABCD，中，若∠A＋∠C＝180°或∠B＋∠D＝180°，我们把这种四边形称为“对补四边形”.那么“对补四边形”都有哪些特殊的性质呢？该学习小组根据研究矩形、菱形、正方形的经验，进行了如下探究.【初步认识】该学习小组先对“对补四边形”的角进行探究.（1）如图1，四边形ABCD是“对补四边形”，若∠A ∶∠B ∶∠C＝4∶3∶2，则∠D＝ .解：（1）90° 猜想1：CD＝CB；猜想2：∠BCD90° 【观察猜想】该学习小组在探究“对补四边形”的边和对角线时，发现“对补四边形”的边和对角线都有着特殊的性质，并提出了下列两个猜想.猜想1：如图2，四边形ABCD是“对补四边形”，若对角线AC平分∠DAB，则CD和CB的数量关系是 ；猜想2：如图3，四边形ABCD是“对补四边形”，若AB＝AD，连接CA，则CA平分 .CD＝CB ∠BCD 【推理验证】（2）请你从上述猜想中任选一个，补全后给出证明.解：（2）选择猜想1，证明：如图1，过点C分别作CE⊥AD于点E，CF⊥AB的延长线于点F.∵AC平分∠DAB，CE⊥AD，CF⊥AB，∴CE＝CF，∠CED＝∠CFB＝90°.图1 图2∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴∠ABC＋∠D＝180°.∵∠ABC＋∠CBF＝180°，∴∠D＝∠CBF.∴△CDE≌△CBF（AAS）.∴CD＝CB.选择猜想2，证明：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，作AF⊥CD的延长线于点F.∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF.又∵AB＝AD，∠AEB＝∠AFD＝90°，∴△ABE≌△ADF（AAS）.∴AF＝AE，BE＝DF.∵AE⊥BC，AF⊥CF，AE＝AF，∴AC平分∠DCB.图2【解决问题】（3）某乡村准备开发一个红色旅游景区，如图4，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝120°，∠D＝60°，AB＋BC＝10，且2≤BC≤5，则旅游景区的最大面积是 .【解析】如图3，连接AC，将△ABC绕点A旋转，使AB与AD重合，得△ADM，24 图3易得C，D，M三点共线.过点A作AN⊥CD于点N，设BC＝x，且2≤x≤5，则AB＝AD＝10－x，DM＝x，∠ADM＝∠B＝120°，AM＝AC. 所以四边形ABCD的面积等于△ACM的面积.利用解直角三角形，可得DN＝5－ x，AN＝ （10－x），CN＝5＋ x，CM＝2CN＝10＋x.进而可得S△ACM＝ CM AN＝ ×（10＋x）× （10－x）＝－ x2＋25 .运用二次函数的性质，并结合2≤x≤5，可得当x＝2时，旅游景区的面积最大，为24 .模型二 含120°的对角互补模型——全等型条件：∠AOB＝120°，∠DCE＝60°，OC平分∠AOB.思路分析：方法1：过点C向∠AOB的两边作垂线，垂足分别为M，N.方法2：以点C为旋转中心，将直线CO逆时针旋转60°，得∠OCO'＝60°.模型 方法1：作垂线 方法2：旋转 结论①CD＝CE；②OD＋OE＝OC；③S△COD＋S△COE＝ OC2①CD＝CE；②OE－OD＝OC；③S△COE－S△COD＝ OC2模型 方法1：作垂线 方法2：旋转 结论分析 易证△CMD≌△CNE，四边形CMON由两个全等的直角三角形组成 易证△COD≌△CO'E，△COO'是等边三角形 总结：变的是背景，不变的是方法，学会举一反三模型应用4. 如图所示，∠MAN＝60°，AP平分∠MAN，点B是射线AP上的一个定点，点C在直线AN上运动，连接BC，将∠ABC（0°＜∠ABC＜120°）的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E.图1（1）如图1所示，当点C在射线AN上时，①请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论；②请探究线段AC，AD和BE之间的数量关系，写出结论并证明.解：（1）①结论：BC＝BD②结论：AD＋AC＝ BE.如图，作BG⊥AM于点G，BH⊥AN于点H.∴BG＝BH.∵∠ABE＝120°，∠BAE＝30°，∴∠BEA＝∠BAE＝30°.∴BA＝BE.∵BG⊥AE，∴AG＝GE，且EG＝BE· cos 30°＝ BE.∵BG＝BH，BD＝BC，∴Rt△BGD≌Rt△BHC. ∴DG＝CH.∵AB＝AB，BG＝BH，∴Rt△ABG≌Rt△ABH.∴AG＝AH.∴AD＋AC＝AG＋DG＋AH－CH＝2AG＝ BE.∴AD＋AC＝ BE.（2）如图2所示，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB＝4，AC＝ ，请直接写出线段AD的长.解：（2）AD＝5图25. 【探究】（1）已知△ABC和△ADE都是等边三角形.①如图1，当点D在线段BC上时，连接CE，请探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说明理由；②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接CE，请再次探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说明理由.解：（1）①CE＋CD＝CA. 理由如下：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，AD＝AE＝DE，∠BAC＝∠DAE＝60°.∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC.∴∠BAD＝∠CAE.∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴CE＝BD.∵BD＋CD＝BC，∴CE＋CD＝CA.②CA＋CD＝CE. 理由如下：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，AD＝AE＝DE，∠BAC＝∠DAE＝60°.∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC.∴∠BAD＝∠CAE.∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴CE＝BD.∵CB＋CD＝BD，∴CA＋CD＝CE.【运用】（2）如图3，在等边三角形ABC中，AB＝6，点E在AC上，CE＝2 ，点D是直线BC上的动点，连接DE，以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF，连接CF. 当△CEF为直角三角形时，请直接写出BD的长.解：（2）6－ 或6＋2【解析】过点E作EH∥AB，交BC于点H，则△EHC为等边三角形.①当点D在点H的左侧时，如图1，此时∠ECF＝120°，不符合题意.②当点D在点H的右侧，且在线段CH上时，如图2，此时∠ECF＝60°，∠FEC＝∠DEH＜∠HEC＝60°，此时只有∠CFE有可能为90°.当∠CFE＝90°时，∠EDH＝90°，∴ED⊥CH. ∵CH＝CE＝2 ，∴CD＝ CH＝ .又∵AB＝6，∴BD＝6－ .图1 图2 图3③当点D在点H的右侧，且在HC的延长线上时，如图3，此时只有∠CEF有可能为90°.∵∠DEF＝60°，∴∠CED＝30°.∵∠ECH＝60°，∴∠EDC＝∠CED＝30°.∴CD＝CE＝2 .∴BD＝6＋2 .综上所述，BD的长为6－ 或6＋2 .图3模型迁移：含90°的对角互补模型——相似型条件：∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝α.模型 分析旋转 易证△COD∽△CO'E作垂线 易证△CMD∽△CNE结论 CE＝CD·tan α模型应用6. （2025西安模拟）《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步.一问勾中容方几何？”其大意为：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，四边形CDEF是Rt△ABC的内接正方形，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，则正方形的边长是（ A ）A. B. 4 C. D.A7. 综合与实践（1）【问题发现】在学习了“特殊平行四边形”后，某兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形ABCD中，E为对角线AC上一动点，过点C作垂直于AC的射线CG，点F在射线CG上，且∠EBF＝90°，连接EF. 通过观察图形，直接写出BE与BF的数量关系： .BE＝BF （2）【类比探究】该兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究.如图2，已知矩形ABCD中，AB＝20，AD＝10，E为对角线AC上一动点，过点C作垂直于AC的射线CG，点F在射线CG上，且∠EBF＝90°，连接EF. 请判断线段AE与CF的数量关系，并说明理由.解：（2）AE＝2CF. 理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AD＝BC＝10，AB＝CD＝20.∴ ＝ ＝2.∵∠EBF＝90°，∴∠ABC＝∠EBF＝90°.∴∠ABE＋∠EBC＝∠EBC＋∠CBF＝90°.∴∠ABE＝∠CBF.∵AC⊥CG，∴∠ECF＝90°.∴∠BCF＋∠BCE＝∠BCE＋∠BAE＝90°.∴∠BCF＝∠BAE.∴△ABE∽△CBF.∴ ＝ ＝2.∴AE＝2CF.（3）【拓展应用】在（2）的条件下，点E在对角线AC上运动，当四边形BECF为轴对称图形时，请直接写出线段BF的长： .或2 【解析】分以下两种情况讨论：①当四边形BECF关于EF所在直线对称时，如图1所示.设此时EF⊥BC，且交于点H. ∴∠BHF＝∠ABC＝90°.∵∠ACB＋∠BCF＝∠BFH＋∠FBC＝90°，∠FBC＝∠BCF，∴∠ACB＝∠BFH. ∴△BHF∽△ABC. ∴ ＝ .∵AB＝20，BC＝10，∴AC＝10 .∵BH＝ BC＝5，∴ ＝ .∴BF＝ .图1(共26张PPT)半角模型微专题4模型概述 半角模型：指在题目中出现了两个共顶点的角，其中小角等于大角的一半，故称其为半角模型.常见的有60°含30°，90°含45°，120°含60°等特殊角之间的半角模型.在此模型背景下，通过旋转或者截取线段构造全等三角形，可以解决线段和差的关系问题.在此主要介绍90°含45°的半角模型.模型一 以正方形为背景的90°含45°半角模型条件：正方形ABCD中，点E在BC边上，点F在CD边上，∠EAF＝45°.思路分析：方法1：将△ADF顺时针旋转90°得到△ABF'，易证∠ABF'＋∠ABE＝180°，于是可证△AEF'≌△AEF. （注意：旋转后需证明三点共线，即中间点处的角度为180°）方法2： 在CB的延长线上截取BF'，使得BF'＝DF，连接AF'，易证△ABF'≌△ADF，于是可证△AEF'≌△AEF. （常用方法）模型 构造全等 结论①EF＝DF＋BE；②CE＋CF＋EF＝2AB；③FA平分∠DFE，EA平分∠BEF条件：正方形ABCD中，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，∠EAF＝45°.思路分析：方法1：将△ABE逆时针旋转90°，得到△ADG，易证AB与AD重合，点D，G，F三点共线，于是可证△AEF≌△AGF.方法2：在DC上截取DG，使得DG＝BE，连接AG，易证△ABE≌△ADG，于是可证△AEF≌△AGF.模型 构造全等 结论①EF＝DF－BE；②FA平分∠DFE模型应用1. 如图，正方形ABCD 的边长为4，点E，F分别在AB，AD边上，若CE＝2 ，且∠ECF＝45°，则CF的长为（ A ）A. B. C. 2 D.A2. （2024河南一模）综合与实践【问题情境】数学实践课上，同学们以“角的旋转”为主题开展活动探究.小智同学首先制作了一个正方形纸片ABCD，然后将等腰直角三角板AEF的锐角顶点和正方形的顶点A重合，当三角板AEF绕着正方形的顶点A顺时针旋转α（0≤α＜90°）时，直线AE，AF分别交射线DB，DC于点M，N，探究线段AM和AN的数量关系：【特例猜想】（1）如图1，小智发现，当三角板旋转到点N和点D重合时，线段AM和AN的数量关系为 .解：（1）AN＝ AMAN＝ AM 证明如下：如图，连接AC.由题意知，∠BAC＝∠MAN＝45°.∴∠BAM＝∠CAN.∵∠ABM＝∠ACN＝45°，∴△ABM∽△ACN.∴ ＝ ＝ ，即AN＝ AM.【数学思考】（2）小智认为根据特殊情形可以归纳出一般结论：线段AM和AN的数量关系恒成立.小智的结论是否正确？若正确，请你仅就图2的情形进行证明；若不正确，请说明理由.解：（2）正确.【拓展探究】（3）在△AEF的旋转过程中，当正方形ABCD的边长为6，△ABM的面积也为6时，请直接写出△ADN的面积.解：（3）6或30【解析】由题意知，应分为两种情况讨论：①当点M在线段BD上时，如图2，过点M作MG⊥AB于点G. ∵S△ABM＝ AB MG＝6，∴MG＝2.∴BG＝2.∴AG＝4.∴AM＝2 .∵AN＝ AM，∴AN＝2 .在Rt△AND中，AD＝6，∴DN＝ ＝2.∴S△ADN＝ ×2×6＝6. 图2 图3②当点M在DB的延长线上时，如图3，过点M作MG⊥AB，交AB的延长线于点G.∵正方形ABCD的边长为6，△ABM的面积为6，∴MG＝2.∴BG＝2.∴AG＝8.∴AM＝2 .∵AN＝ AM，∴AN＝2 .在Rt△AND中，AD＝6，∴DN＝ ＝10.∴S△ADN＝×10×6＝30.综上所述，△ADN的面积为6或30.模型二 以等腰直角三角形为背景的90°含45°半角模型条件：等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上（或CB的延长线上），∠DAE＝45°.思路分析：方法1：将△ACE绕点A顺时针旋转90°得到△ABE'，连接DE'，易证∠ABE'＋∠ABD＝90°，于是可证△ADE'≌△ADE.方法2：过点B作BE'⊥BC，使得BE'＝EC，连接AE'，DE'，易证△ABE'≌△AEC，于是可证△ADE'≌△ADE. （常用方法）模型 构造全等 结论点D在BC上 BD2＋CE2＝DE2点D在CB的延长线上 BD2＋CE2＝DE2模型应用3. 如图，E，F是等腰直角三角形ABC的斜边BC上的两动点，∠EAF＝45°，CD⊥BC，且CD＝BE.（1）求证：△ABE≌△ACD；证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∠B＝∠ACB＝45°.∵CD⊥BC，∴∠BCD＝90°.∴∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝45°＝∠B.在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（SAS）.（2）求证：EF2＝BE2＋CF2.证明：（2）由（1）知，△ABE≌△ACD.∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD.∵∠BAC＝90°，∴∠EAD＝∠CAE＋∠CAD＝∠CAE＋∠BAE＝∠BAC＝90°.∵∠EAF＝45°，∴∠DAF＝∠DAE－∠EAF＝45°＝∠EAF.∵AF＝AF，∴△AEF≌△ADF（SAS）.∴DF＝EF.在Rt△DCF中，根据勾股定理，可得DF2＝CF2＋CD2.∵CD＝BE，∴EF2＝BE2＋CF2.4. （2024乐山）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导同学们解决了以下问题：【问题情境】如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，且∠DAE＝45°，BD＝3，CE＝4，求DE的长.解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD'，连接ED'.由旋转的特征，得∠BAD＝∠CAD'，∠B＝∠ACD'，AD＝AD'，BD＝CD'.图1 图2∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠EAC＝45°.∵∠BAD＝∠CAD'，∴∠CAD'＋∠EAC＝45°，即∠EAD'＝45°.∴∠DAE＝∠D'AE.在△ADE和△AD'E中，AD＝AD'，∠DAE＝∠D'AE，AE＝AE，∴① .∴DE＝D'E.又∵∠ECD'＝∠ECA＋∠ACD'＝∠ECA＋∠B＝90°，∴在Rt△ECD'中，② .∵CD'＝BD＝3，CE＝4，∴DE＝D'E＝③ .【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填： ；“②”处应填： ；“③”处应填： .刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变.△ADE≌△AD'E EC2＋CD'2＝ED'2 5 【知识迁移】如图3，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连接AE，AF，分别与对角线BD交于M，N两点.探究BM，MN，DN之间的数量关系并证明.图3 图4 图5解：【知识迁移】DN2＋BM2＝MN2.理由如下：如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADF'，过点D作DH⊥BD交边AF'于点H，连接NH. 由旋转，得AE＝AF'，BE＝DF'，∠BAE＝∠DAF'.由题意，得EF＋EC＋FC＝DC＋BC＝DF＋FC＋EC＋BE.∴EF＝DF＋BE＝DF＋DF'＝F'F.∴△AEF≌AF'F（SSS）.∴∠EAF＝∠F'AF.又∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ABD＝∠ADB＝45°.∵DH⊥BD，∴∠ADH＝∠HDB－∠ADB＝45°.∴△ABM≌△ADH（ASA）.∴AM＝AH，BM＝DH.又∵∠MAN＝∠HAN，AN＝AN，∴△AMN≌△AHN（SAS）.∴MN＝HN.在Rt△HND中，DN2＋DH2＝HN2，∴DN2＋BM2＝MN2.【拓展应用】如图4，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°.探究BE，EF，DF之间的数量关系： （直接写出结论，不必证明）.EF2＝2BE2＋2DF2 图4【问题再探】如图5，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D，E在边AC上，且∠DBE＝45°.设AD＝x，CE＝y，求y与x之间的函数关系式.图5最后，刘老师总结到：希望同学们在今后的数学学习中，学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界.解：【问题再探】如图2，将△BEC绕点B逆时针旋转90°得到△BE'C'，连接E'D，过点E作EG⊥BC，垂足为点G，过点E'作EG'⊥BC'，垂足为点G'，过点E'作E'F∥BA，过点D作DF∥BC，交AB于点H，E'F，DF交于点F.由旋转，可得BE＝BE'，∠CBE＝∠C'BE'，EG＝E'G'，BG＝BG'.∵∠ABC＝90°，∠DBE＝45°，∴∠CBE＋∠DBA＝45°.∴∠C'BE'＋∠DBA＝45°，即∠DBE'＝45°.∴△EBD≌△E'BD（SAS）.∴DE＝DE'.∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝ ＝5.又∵AD＝x，CE＝y，∴DE'＝DE＝5－x－y.∵DF∥BC，∴∠ADH＝∠C，∠AHD＝∠ABC＝90°.∴△AHD∽△ABC.∴ ＝ ＝ ＝ ，即AH＝ x，HD＝ x.∴HB＝AB－AH＝4－ x.同理，可得EG＝ y，GC＝ y.∴E'G'＝ y，BG'＝BG＝3－ y.∵E'G'⊥AB，∠ABC＝90°，∴E'G'∥BC∥FD.又∵E'F∥AB，∠FHG'＝∠AHD＝90°，(共22张PPT)全等三角形第19讲三角形判定定理的运用思路分析已知两边分别相等 找⑨ →运用SAS找⑩ →运用SSS找 →运用HL已知两角分别相等 找 →运用ASA找 →运用AAS两边的夹角 第三边 直角 两角的夹边 任意一角的对边 已知一角一边分别相等 找角的另一边→运用 找边的另一个邻角→运用 找边的对角（非邻角）→运用 SAS ASA AAS 考情分析 全等三角形是证明线段相等和角相等的一种重要方法，全等三角形的性质与判定在河南中考题中单独出现较少，往往在综合性的题目中出现，常在简答题中与圆的相关知识结合进行考查，在类比探究问题中与相似、四边形等知识相结合进行综合考查.对于全等三角形的判定问题，常与实际应用相结合，审清题意，找出条件成为解决问题的关键点.考点1 全等三角形的性质例1 如图，△ABC≌△DEC，点A和点D，点B和点E分别是对应点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（ B ）A. 30° B. 25° C. 35° D. 65°B名师点拨 本题主要考查了全等三角形的对应角相等，结合直角三角形的两锐角互余即可解决问题.跟踪训练 如图，在4×4的正方形网格中，∠α＋∠β＝ °.45 跟踪训练A. 80° B. 90° C. 100° D. 110°变式训练变式训练 （2025厦门模拟）如图，已知△CAD≌△CBE. 若∠A＝20°，∠C＝60°，则∠CEB的度数为（ C ）C考点2 全等三角形的判定例2 （2021河南）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务. 小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线.图1 图2简述理由如下：由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线.小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下：如图2，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线.……图1 图2任务：（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是 .（填序号）①SSS ②SAS ③AAS ④ASA ⑤HL（2）小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由.⑤ 解：（2）射线OP是∠AOB的平分线.理由如下：如题图2，∵OC＝OD，∠DOE＝∠COF，OE＝OF，∴△DOE≌△COF（SAS）.∴∠PEC＝∠PFD.∵∠CPE＝∠DPF，CE＝DF，∴△CPE≌△DPF（AAS）.∴PE＝PF.∵OE＝OF，∠PEO＝∠PFO，PE＝PF，∴△OPE≌△OPF（SAS）.∴∠POE＝∠POF，即∠POA＝∠POB.∴射线OP是∠AOB的平分线.跟踪训练 （2025山西）如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝DO. 测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是（ B ）A. SSS B. SAS C. ASA D. HLB跟踪训练变式训练 （2024南充）如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E.变式训练（1）求证：△BDE≌△CDA；证明：（1）∵点D为BC边的中点，∴BD＝CD.∵BE∥AC，∴∠EBD＝∠C，∠E＝∠CAD.在△BDE和△CDA中，∴△BDE≌△CDA（AAS）.（2）若AD⊥BC，求证：BA＝BE.证明：（2）∵点D为BC边的中点，AD⊥BC，∴AD所在直线为线段BC的垂直平分线.∴BA＝CA.由（1）可知，△BDE≌△CDA，∴BE＝CA.∴BA＝BE.变式训练1. （2024遂宁）如图1，△ABC与△A1B1C1满足∠A＝∠A1，AC＝A1C1，BC＝B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在线段BC上，且BE＝CD，则图中共有“伪全等三角形”（ D ）图1 图2A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对D【解析】由题意知，满足两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形是“伪全等三角形”.在△ABC中，通过全等可以证明AD＝AE.∴△ABD和△ABE，△ABD和△ACD，△ACD和△ACE，△ABE和△ACE，共4对“伪全等三角形”.故选D.图1名师点拨 本题考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质及等腰三角形的性质.熟知三角形全等的判定与性质及理解“伪全等三角形”的定义是解题的关键.素养落地 抽象能力、几何直观、推理能力、应用意识2. 王老师布置的作业中有这么一道题：如图，在△ABC中，D为BC的中点，若AC＝3，AD＝4，则AB的长不可能是（ ）A. 5 B. 7 C. 8 D. 9甲同学认为AB，AC，AD这条三边不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误；乙同学认为可以从中点D出发，构造辅助线，利用全等的知识解决；丙同学认为没必要借助全等三角形的知识，只需构造一个特殊四边形，就可以解决.关于三位同学的思考过程，你认为正确的是（ D ）A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 乙和丙D【解析】如图1所示，延长AD到E，使得AD＝ED＝4.∵D是BC的中点，∴BD＝CD. 在△ABD和△ECD中，∴△ABD≌△ECD（SAS）.∴AB＝EC.∵AE－AC＜EC＜AE＋AC，∴5＜EC＜11，即5＜AB＜11.如图2所示，取AB的中点F，连接DF. ∵D，F分别为BC，AB的中点，图2∴DF是△ABC的中位线，AB＝2AF.∴DF＝ AC＝ .∵AD－DF＜AF＜AD＋DF，∴ ＜AF＜ .∴5＜AB＜11.∴甲的说法错误，乙和丙的说法正确.故选D.图1图2名师点拨 本题主要考查了全等三角形的性质与判定、三角形中位线定理、三角形三边的关系.正确作出辅助线是解题的难点和关键点.素养落地 阅读理解、逻辑推理(共16张PPT)三角形及其性质第17讲考情分析 三角形是中考中的必考知识，常考知识点有三角形的概念、内角和、稳定性、分类及外角，三角形三边关系及三角形中的4条重要线段.常以填空题或者作为简答题中的某一小问出现.考点1 三角形的基本性质例1 （2025连云港）下列长度（单位：cm）的3根小木棒能搭成三角形的是（ B ）BA. 1，2，3 B. 2，3，4C. 3，5，8 D. 4，5，10名师点拨 本题考查了三角形三边的关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.跟踪训练 如图，x的值可能是（ D ）DA. 11 B. 12C. 13 D. 14例2 一张三角形纸片如图所示，已知∠B＋∠C＝α，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记∠1＋∠2＝β，则下列选项正确的是（ A ）A. α＝β B. α＞β C.α＜β D. 无法比较α和β的大小名师点拨 本题考查了三角形的内角和定理，根据“三角形的内角和是180°”，可得∠1＋∠2＝∠B＋∠C＝180°－∠A，从而得α＝β.A跟踪训练 （2025郑州模拟）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，点D在AC上，延长EA交CB的延长线于点F，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠C＝30°，∠E＝45°，则∠F的度数是（ B ）A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°B考点2 三角形中的重要线段例3 （2025河南模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE是BC边上的中线，AD＝8，S△ABC＝48，则BE的长为 .名师点拨6 本题考查的是三角形的中线和高.先根据三角形面积公式求出BC，再根据三角形的中线的概念求出BE.跟踪训练 如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN，交BC于点D，交AC于点P，连接AD.（1）若∠B＝70°，∠BAC＝80°，则∠ADP的度数为 ；（2）若AC＝8，CD＝5，则△ACD的周长是 ；60° 18 （3）若AD是BC边上的中线，AC＝10，AB＝6，则△ACD的周长与△ABD的周长之差是 ；（4）若∠BAC＝90°，点D为BC边上的中点，AB ＝6，∠B＝60°，则DP＝ ，∠PDC＝ ；（5）若AB＝BD，AB＝6，∠C＝30°，则△ACD的面积为 .4 3 60° 9 1. 如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条BD固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的数学根据是（ D ）A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短C. 同角的余角相等 D. 三角形具有稳定性名师点拨D 本题考查了三角形稳定性的实际应用.能够正确区分两点确定一条直线，两点之间，线段最短，三角形具有稳定性是解决本题的关键.素养落地 几何直观、数学抽象2. （2025林州模拟）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行.若斜面的坡角α＝30°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（ C ）A. 150° B. 130° C. 120° D. 70°C名师点拨 本题考查了三角形的内角和定理.关键是能由∠α＝30°推出∠2＝∠1＝180°－90°－∠α＝60°，再结合物理学知识“摩擦力F2的方向与斜面平行”，得∠β＝180°－∠2.3. （2024达州）如图，在△ABC中，AE1，BE1分别是内角∠CAB，外角∠CBD的三等分线，且∠E1AD＝ ∠CAB，∠E1BD＝∠CBD；在△ABE1中，AE2，BE2分别是内角∠E1AB，外角∠E1BD的三等分线，且∠E2AD＝ ∠E1AB，∠E2BD＝ ∠E1BD……以此规律作下去，若∠C＝m°，则∠En＝ 度.m 【解析】在△ABC中，∠E1＝∠E1BD－∠E1AD＝ ∠CBD－∠CAB＝ ∠C，在△ABE1中，∠E2＝ ∠E1＝2∠C. 同理，可求得∠E3＝3∠C，…，∠En＝ n∠C. 所以∠En＝ m°.故答案为 m.名师点拨 本题考查了三角形的外角和不相邻两内角的关系，即三角形的外角等于不相邻的两个内角的和.熟练运用等式性质进行推理，发现规律是解题的关键.素养落地 几何直观、推理能力、运算能力(共25张PPT)“手拉手”模型微专题7 组成平行“A”字型的两个三角形绕公共顶点旋转形成的图形，我们通常称之为“手拉手”模型.此模型具有“一转成双”的性质，而且在旋转的过程中存在一些特殊时刻能够形成特殊图形（如：三点共线等），常与全等、相似、解三角形、勾股定理、四点共圆等知识综合在一起，多在河南中考（10年6考）类比探究题中考查.模型概述模型一 全等型“手拉手”模型特征 模型分类 图示 常用结论共顶点、等线段、顶角相等 等腰三 角形 已知：DA＝EA，BA＝CA，∠BAC＝∠DAE＝α.结论：①△BAD≌△CAE（SAS）；②拉手线BD＝CE；③拉手线BD和CE所在直线的夹角∠DPC与α相等或互补等边三 角形等腰直角三角形模型特征 模型分类 图示 常用结论共顶点、等线段、顶角相等 正方形已知：正方形ABCD和正方形CEFG.结论：①△BCG≌△DCE（SAS）；②拉手线BG＝DE；③拉手线BG和DE所在直线的夹角∠BPE＝90°（BG⊥DE）模型练习1. 如图，把△ABC以点A为旋转中心，逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（ A ）A. ∠CAE＝∠BED B. AB＝AEC. ∠ACE＝∠ADE D. CE＝BDA2. （2025湖北模拟）如图，∠A＝∠D，BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，点E在AB上.求证：∠BCE＝∠AED.证明：∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACD＋∠ACE.∴∠ACB＝∠DCE.在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（AAS）.∴∠B＝∠DEC.∵∠AEC＝∠AED＋∠DEC＝∠BCE＋∠B，∴∠BCE＝∠AED.3. 综合与实践课上，某小组对含60°角的菱形进行了探究.在边长为8的菱形ABCD中，∠B＝60°，作∠MAN＝∠B，AM，AN分别交边BC，CD于点M，N.（1）【感知】如图1所示，若点M是边BC的中点，李华经过探索发现了线段AM与AN之间的数量关系，请你直接写出这个关系为 ；AM＝AN （2）【探究】如图2所示，当点M为边BC上任意一点时，请问（1）中的结论是否仍然成立，说明理由；解：（2）AM＝AN仍然成立.理由如下：如图，连接AC.∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝60°，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D＝60°.∴△ABC和△ADC都是等边三角形.∴AB＝AC，∠B＝∠ACD＝∠BAC＝60°.∴∠BAM＋∠MAC＝60°.∵∠MAC＋∠CAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN.∴△BAM≌△CAN（ASA）.∴AM＝AN.（3）【应用】在BC边上取一点M，连接AM，在菱形内部作∠MAN＝60°，AN交CD于点N，当AM＝7时，请直接写出线段BM的长.解：（3）3或5【解析】过点A作AE⊥BC于点E. 易求BE＝4，AE＝＝ ＝4 .在Rt△AME中，可求得ME＝ ＝＝1.当点M在点E的左侧时，BM＝BE－ME＝4－1＝3；当点M在点E的右侧时，BM＝BE＋ME＝4＋1＝5.故答案为3或5.模型二 相似型“手拉手”模型特征 模型分类 图示 常用结论共顶点，对应边成比例，顶角相等 两个全等的非等腰三角形已知：△ABC≌△ADE（△ABC∽△ADE），AB≠AC，∠BAC＝α.结论：①△BAD∽△CAE；② ＝ ＝ ；③拉手线BD和CE所在直线的夹角∠DPC与α相等或互补两个相似的非等腰三角形模型特征 模型分类 图示 常用结论共顶点，对应边成比例，顶角相等 两个相似的矩形已知：矩形ABCD∽矩形FECG.结论：①△BCE∽△DCG；② ＝ ＝ ；③拉手线BE和DG所在直线的夹角∠BPD＝90°（BE⊥DG）模型练习4. 如图1，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE，DC和BC的中点，连接FG，FH. 易证：FH＝ FG.若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，如图2；若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，如图3；其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系.写出你的猜想，并利用图2或图3进行证明.解：如图1，FH＝ FG.证明：连接AH，CE，AF.∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，F，H分别是DE，BC的中点，∴AH⊥BC，AF⊥DE，AH＝CH＝ BC，AF＝EF＝ DE.∴∠CAH＝∠EAF＝45°.∴∠HAF＝∠EAC， ＝ ＝ .∴△AHF∽△ACE.∴ ＝ ＝ ，即CE＝FH.∵点F，G分别是DE，DC的中点，∴CE＝2FG.∴FH＝ FG.（方法二：如图2，FH＝FG.证明：连接AH，CE，AF.∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，∴∠AED＝∠ADE＝∠ACB＝∠B＝30°.∵点F，H分别是DE，BC的中点，∴AH⊥BC，AF⊥DE，∠CAH＝∠EAF＝ ×120°＝60°.∴∠HAF＝∠EAC， ＝ ＝ .∴△AHF∽△ACE.∴ ＝ ＝ ，即CE＝2FH.∵点F，G分别是DE，DC的中点，∴CE＝2FG. ∴FH＝FG. ）5. （2024辉县二模）（1）【问题发现】如图1，在△ACB和△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，连接AD，BE，则AD，BE的数量关系是 ，AD，BE所在直线相交所成夹角的度数为 .AD＝BE 90° （2）【类比探究】如图2，在△ACB和△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝30°，连接AD，BE，请判断AD，BE的数量关系及AD，BE所在直线相交所成夹角的度数，并说明理由.解：（2）AD＝ BE，90°.理由如下：如图1，延长AD交EB于点F，交BC于点G. 在Rt△ACB和Rt△DCE中，∠CAB＝30°，∠CDE＝30°，∴AC＝ BC，CD＝ CE. ∴ ＝ ＝ .∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE. ∴△ACD∽△BCE. ∴ ＝ ＝ ，∠CAD＝∠CBE. 又∠AGC＝∠BGF，∴∠BFG＝∠ACG＝90°，即AD，BE所在直线相交所成夹角的度数为90°.（3）【拓展延伸】在（2）的条件下，将△DCE绕点C在平面内旋转.若CE＝1，CB＝2，请直接写出当直线DE经过点B时，BE的长.解：（3） － 或 ＋【解析】当点B在线段DE的延长线上时，过点C作CF⊥DE于点F.在Rt△CDE中，可以求出CF＝ ，EF＝ .当DE经过点B时，不难发现∠BFC＝90°，在Rt△CBF中，可以求出BF＝ ＝＝ .所以BE＝BF－EF＝ － .同理，可得当点B在线段ED的延长线上时，可求得BE＝BF＋EF＝ ＋ .模型三 补形（构造“手拉手”）如果图中没有共顶点的相似三角形时，可以通过“补形”构造“手拉手”模型.构造方法 图示 结论已知AO＝BO（两只大手），找出第三只手CO，顺时针构造DO，使得∠COD＝∠AOB，此时DO＝CO△AOC≌△BOD；△AOB∽△COD已知AO＝BO（两只大手），找出第三只手CO，逆时针构造DO，使得∠COD＝∠AOB，此时DO＝CO△AOD≌△BOC；△AOB∽△DOC模型练习6. （2025洛阳三模）如图，在 ABCD中，∠C＝120°，AB＝6，AD＝9，点E在AD上，点F在CD上，AE＝3，∠BEF＝120°，则CF的长是（ C ）A. 2 B. 3 C. 4 D.C7. 在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2 ，点M，N分别为AB，CD的中点，点P为线段MN上一动点，以线段BP为边，在BP的左侧作等边三角形BPQ，连接QM，则QM的最小值为 . 【解析】如图，由题意可知，当点P与点M重合时，以BP为边在其左侧作等边三角形BMQ1，当BP等于BA时，作等边三角形BPA， 此时Q和A重合，当P运动到点N时，以BP为边作等边三角形BNQ2，∴点P在线段MN上运动时，以BP为边的等边三角形BPQ的顶点Q的轨迹是线段Q1Q2，当MQ⊥Q1Q2时，QM的值最小.∵四边形ABCD是矩形， AB＝2， AD＝2 ， 点M是AB边的中点，∴AM＝BM＝1.∵△BMQ1是等边三角形，∴MQ1＝AM＝BM＝1，∠BMQ1＝60°.∴∠Q1MA＝120°.又∵MQ⊥Q1Q2，∴∠Q1MQ＝ ∠Q1MA＝60°.∴MQ＝ MQ1＝ .故答案为 .8. （2024泰安）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，点D，E分别在AB，CB上，DB＝EB，连接AE，CD，取AE中点F，连接BF.（1）求证：CD＝2BF，CD⊥BF.解：（1）证明：在△ABE和△CBD中，∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBD，BE＝BD，∴△ABE≌△CBD（SAS）.∴AE＝CD，∠BAE＝∠BCD.∵F是AE的中点，∴AE＝2BF. ∴CD＝2BF. ∵BF＝ AE＝AF，∴∠FAB＝∠FBA.∴∠FBA＝∠BCD. ∵∠FBA＋∠FBC＝90°，∴∠FBC＋∠BCD＝90°.∴BF⊥CD.（2）将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置.①请直接写出BF与CD的位置关系： ；②求证：CD＝2BF.解：（2）①BF⊥CDBF⊥CD (共24张PPT)相似三角形第20讲考情分析 本课时在中考中基本上占3～13分，常考知识点有平行线分线段成比例、相似三角形的性质与判定、相似三角形的应用（10年10考）.相似三角形的性质与判定常用于解决图形中的边角关系及比值问题，是解决几何问题的重要手段.它们在试卷中很少单独考查，一般会关联坐标、网格、平行线、特殊四边形等知识，也常与图形的折叠、平移及旋转等变换相结合出现在类比探究问题中.考点1 线段成比例例1 （2025驻马店三模）若 ＝ ，则 ＝ .名师点拨 本题考查比例的性质，根据 ＝ ，得到m＝2n，整体代入法进行求值即可.跟踪训练 若 ＝ ，则 ＝（ C ）A. B. C. D. C考点2 平行线分线段成比例例2 （2025河南模拟）如图，已知∠ADE＝∠B，AD＝4，BD＝6，AC＝16，则EC的长为（ A ）A. 9.6 B. 6.4 C. 4.8 D. 3.2A名师点拨本题考查平行线的判定、平行线分线段成比例.关键在于找对“对应线段”，对应的线段都在被截直线上，从“ ＝ ， ＝ ，＝ ”（如图）中选取合适的关系，借助比例的思想求线段长.跟踪训练 如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则 的值为（ D ）DA. 2 B. 1 C. D.考点3 相似三角形的判定例3 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝4，CD＝1，BC＝4.在边BC上取一点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与以C，D，P为顶点的三角形相似，甲认为这样的点P只存在1个，乙认为这样的点P存在不止1个，则（ B ）BA. 甲的说法正确B. 乙的说法正确C. 甲、乙的说法都正确D. 甲、乙的说法都不正确名师点拨 本题主要考查了相似三角形的判定.解决此类问题时，要注意：题中若出现“∽”符号，则题中对应顶点已呈对应关系；若文字性地说两个三角形相似，则需根据对应顶点的对应关系进行分类讨论.掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，并注意方程思想的应用.跟踪训练 如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且AE⊥EF. 求证：△ABE∽△ECF.证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°.∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°.∴∠AEB＋∠CEF＝90°，∠CEF＋∠EFC＝90°.∴∠AEB＝∠EFC.∵∠B＝∠C，∴△ABE∽△ECF.考点4 相似三角形的判定与性质及其应用例4（2024河南）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB，交BC于点F. 若AB＝4，则EF的长为（ B ）A. B. 1 C. D. 2B【解析】利用平行四边形的性质、线段中点的定义，可得CE＝ AC.证明△CEF∽△CAB，利用相似三角形的性质，可得 ＝ ，即 ＝ .所以EF＝1.故选B.名师点拨 本题考查了相似三角形的判定与性质，并涉及平行四边形的性质以及三角形的中位线.跟踪训练 如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点.若点E在边AC上，且 ＝ ，则AE的长为 .【解析】在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，图1∴AC＝2BC＝4，AB＝2 ，∠C＝60°.∵点D是AB的中点，∴AD＝ .∵ ＝ ，∴DE＝1.①如图1，当∠ADE＝90°时，∵∠ADE＝∠ABC， ＝ ，∴△ADE∽△ABC，∴ ＝ ＝ ，∴AE＝2；1或2 图2②如图2，当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH，∵点D是AB中点，点H是AC的中点，∴DH∥BC，DH＝ BC＝1，∴∠AHD＝∠C＝60°，DH＝DE＝1，∴∠DEH＝60°，∴∠ADE＝∠A＝30°，∴AE＝DE＝1.故AE的长为1或2.变式训练 （2025河南）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（ B ）BA. B. 1 C. D.例5 （2025河南）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心.某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下.活动主题 测量纪念碑的高度实物图和测量示意图活动主题 测量纪念碑的高度测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上测量数据 DE＝2.1 m，DF＝2.1 m，DM＝1 m，MN＝1.2 m备注 点F，M，D，C在同一水平线上根据以上信息，解决下列问题：（1）由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD＝CA，请说明理由；解：（1）∵太阳光下，纪念碑顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，∴ ＝ .∵标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，即DE＝DF，∴CD＝CA.（2）求纪念碑AB的高度；解：（2）如图，设BN与DE的交点为H，则四边形BCDH和MNHD是矩形.∵DE＝2.1 m，DF＝2.1 m，DM＝1 m，MN＝1.2 m，∴CD＝BH，BC＝DH＝MN＝1.2 m，NH＝DM＝1 m.∴EH＝DE－DH＝0.9 m.设AB＝x m，则AC＝AB＋BC＝（1.2＋x）m.∴BH＝CD＝（1.2＋x）m，BN＝BH＋NH＝（2.2＋x）m.∵EH∥AB，∴△NEH∽△NAB. ∴ ＝ .∴ ＝ ，解得x＝19.8.答：纪念碑AB的高度为19.8 m.（3）小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5 m.查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64 m.请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）.解：（3）纪念碑的实际高度为19.64 m，小红求出纪念碑AB的高度约为18.5 m，（2）中求出的纪念碑AB的高度为19.8 m，则小红的结果误差较大.误差较大的原因可能是：纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C的位置无法正确定位，使得CD的长存在误差，影响计算结果.名师点拨 本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键.跟踪训练 （2025河南省实验中学二模）如图，点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1.若直尺宽BD＝1 cm，则AD的长为（ C ）CA. cm B. 1 cmC. cm D. cm如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则（1）AB与CD是否垂直？ （填“是”或“否”）；是 （2）AE＝ . 名师点拨（1）证明△ACG≌△CFD，推出∠CAG＝∠FCD，证明∠CEA＝90°，即可得到结论；（2）利用勾股定理求得AB的长，证明△AEC∽△BED，利用相似三角形的性质列式计算即可求解.素养落地 数学应用、数学建模(共22张PPT)线段、角、相交线和平行线第16讲考情分析 线段、角是平面图形中的基本元素，是必考知识点，其中线段的中点、角的平分线考查的频次较高，往往都是融入到几何图形的性质与判定中综合考查.相交线与平行线考查的频次比较高（10年8考），多以选择题或填空题的形式呈现，与角的和差运算、角平分线、三角形内角和等知识结合起来考查，2024年平行线与方位角结合考查，属于第一次，也是中考命题稳中有变的导向.考点1 线段的相关概念例1 已知点A，B，P在同一条直线上，给出下列等式：①AP＝BP；②BP＝ AB；③AB＝2AP；④AP＋PB＝AB. 能判断点P是线段AB的中点的有（ A ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个A名师点拨 对于图形问题，题目中如果没有图，可根据题意画出图形，结合图形，紧扣定义便能解决问题，也可以利用逆推的思路来画出图形，然后判断选项是否符合题意.对于判断类的题目，建议做出判断后在试卷上做标记，比如①是正确答案，就在①上画“√”，在错误的答案上画“×”，这样便于后期检查，也能降低出错的概率.跟踪训练 已知线段MN，点P是直线MN上的一点，MN＝10 cm，NP＝6 cm，点E是线段MP的中点，则线段ME的长为（ C ）A. 2 cm B. 4 cmC. 2 cm或8 cm D. 4 cm或8 cmC例2 对于以下两个生活现象的解释，正确的是（ C ）CA. 两个现象均可用两点之间线段最短来解释B. 现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释C. 现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释D. 现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释名师点拨 本题主要区分“两点之间，线段最短”“两点确定一条直线”“垂线段最短”的用法，准确区分它们之间的作用即可解决本题.变式训练 （2025上海交大附中一模）其同学用两枚钉子就把校运动会团体总分第一名的奖状挂在墙上，请你用数学知识来解释原理： .两点确定一条直线 考点2 利用相交线的性质求角度例3 （2022河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O. 若∠1＝54°，则∠2的度数为（ B ）BA. 26° B. 36°C. 44° D. 54°名师点拨 本题考查了垂直的定义、平角的定义.正确掌握相关定义是解题关键.跟踪训练 （2023河南）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝80°，∠2＝30°，则∠AOE的度数为（ B ）A. 30° B. 50° C. 60° D. 80°B跟踪训练变式训练 如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥CD于点O，∠1＝40°，则∠AOD的度数为 °.变式训练50 考点3 利用平行线的性质求角度例4 （2024河南）如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，则∠1的度数为（ B ）BA. 60° B. 50°C. 40° D. 30°名师点拨 本题主要考查了平行线的性质和内错角的识别.既考查了同学们是否能准确记忆同位角、内错角、同旁内角等概念；又考查了同学们数形结合的能力.在掌握概念的基础上，能够准确与图形一一对应就能解决此类问题.跟踪训练 （2025河北）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC＝70°，则∠BAD的度数为（ C ）CA. 70° B. 100°C. 110° D. 130°变式训练 （2025甘肃）如图1，三根木条a，b，c相交成∠1＝80°，∠2＝110°，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（ A ）A. 30° B. 40° C. 60° D. 80°A1. （2025扬州）如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G. 若∠ABE＝130°，∠CDF＝150°，则∠EGF的度数是（ C ）A. 60° B. 70° C. 80° D. 90°C 本题考查了对顶角、同旁内角的判断.熟悉它们的特征是解题的关键.素养落地 逻辑推理、几何直观、应用意识、创新意识名师点拨2. （2025广安）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气中时，会发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，a，b为两条平行的光线，∠1＝45°，则∠2的度数为 .45° 本题以物理中光的折射为背景，考查了平行线的性质和角度的计算.了解物理知识，熟记平行线的三条性质就可以解决此类问题.素养落地 逻辑推理、几何直观、应用意识、创新意识名师点拨(共21张PPT)“一线三等角”模型微专题8模型概述 “一线三等角”模型是指有三个等角的顶点在同一条直线上的相似模型，也叫“K字”模型.三个等角可以是锐角、钝角或直角.特别地，当三个等角为直角时也称为“一线三垂直”模型或“三垂”模型.模型一 “一线三等角”模型——锐角、钝角模型特征 图示 模型分析同侧型（当点C在线段BD上时） 锐角已知：∠B＝∠ACE＝∠D＝α.结论：①△ABC∽△CDE；②全等型：若AC＝CE，则△ABC≌△CDE；③若直线AB与直线DE相交于点F，则当α＜90°时，∠BFD＝180°－2α，则当α＞90°时，∠BFD＝2α－180°钝角模型特征 图示 模型分析穿越型（当点C在线段BD的延长线上时） 锐角已知：∠1＝∠2＝∠3＝α.结论：①△ABC∽△CDE；②全等型：若AC＝CE，则△ABC≌△CDE；③若直线AB与直线DE相交于点F，则当α＜90°时，∠BFD＝180°－2α，当α＞90°时，∠BFD＝2α－180°钝角模型练习1. （2025陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为（ C ）A. 10 B. 8 C. 5 D. 4C2. 如图，点D是等边三角形ABC的边AB上一点，且AD∶DB＝1∶2，现将△ABC折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，点E，F分别在边AC，BC上，则CE ∶CF的值为 . 模型特例模型特征 若C为BD的中点，连接AE锐角钝角模型分析 已知：∠B＝∠ACE＝∠D＝α.结论：△ABC∽△CDE∽△ACE模型练习3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上.（1）求证：△BDE∽△CEF；证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠BDE＝180°－∠B－∠DEB，∠CEF＝180°－∠DEF－∠DEB，又∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF.∴△BDE∽△CEF.（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.证明：（2）由（1）知， ＝ .∵点E是BC的中点，∴BE＝CE.∴ ＝ .∵∠DEF＝∠B＝∠C，∴△DEF∽△ECF.∴∠DFE＝∠CFE.∴FE平分∠DFC.模型二 “一线三垂直”模型全等型 相似型 模型分析同侧型已知：∠1＝∠2＝∠3＝∠DBE＝90°.结论：①相似型：△ABD∽△CEB；②全等型：若BD＝BE，则△ABD≌△CEB穿越型模型应用 “一线三垂直”模型常应用于正方形、矩形、平面直角坐标系、圆等与直角有关的图形中.解题时若遇“一线三直角”可直接应用此模型，若遇“一线两直角”或“一直角”，则考虑补形构造此模型模型练习4. （2024内蒙古）如图，点A（0，－2），B（1，0），将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC＝90°，BC＝2AB，则点D的坐标是 .（4，－4） 【解析】如图，过点D作DE⊥y轴于点E. 因为A（0，－2），B（1，0），所以OA＝2，OB＝1.利用平移的性质和矩形的判定定理，可得四边形ABCD是矩形.易证△ABO∽△DAE. 所以 ＝ ＝ ＝ .所以DE＝2OA＝4，AE＝2OB＝2.所以OE＝OA＋AE＝4，所以D（4，－4）.故答案为（4，－4）.5. （2024重庆）如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋转90°得到FE，连接CF，并延长与AB的延长线交于点G，则 的值为（ A ）A. B. C. D.A【解析】如图，过点F作FH⊥DC，交DC延长线于点H. 易证明△ADE≌△EHF. 进而得到DE＝CH＝HF. 所以∠FCH＝45°.所以∠G＝45°.设CH＝HF＝DE＝x，正方形的边长为y，则CE＝y－x，CF＝ x，CG＝ y.所以FG＝CG－CF＝ y－ x.所以＝ .故选A.6. （2025宜宾二模）如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE，求证：BD＝AB＋DE.证明：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，∠A＋∠ACB＝90°.∵AC⊥CE，∴∠ACE＝90°.∴∠ACB＋∠ECD＝90°.∴∠A＝∠ECD.在△ABC和△CDE中，∴△ABC≌△CDE（AAS）.∴AB＝CD.∵BC＝DE，∴BD＝CD＋BC＝AB＋DE.综合练习 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上.点A的坐标为（m，2）.连接OA，OB，AB，若OA＝AB，∠OAB＝90°，则k的值为 .2 －2 【解析】如图，过点A作x轴的平行线交y轴于点M，过点B作y轴的平行线交MA的延长线于点N.∵∠MOA＋∠MAO＝90°，∠NAB＋∠MAO＝90°，∴∠MOA＝∠NAB. ∵∠AMO＝∠ANB＝90°，AO＝AB，∴△AMO≌△BNA（AAS）.∴AM＝NB＝m，MO＝AN＝2.∵A（m，2），∴B（m＋2，2－m）.∵点A，B都在反比例函数的图象上，∴2m＝（m＋2）（2－m）.解得m1＝－1＋ ，m2＝－1－ （舍去）.∴点A的坐标为（－1＋ ，2）.∴k＝xy＝2（ －1）＝2 －2.故答案为2 －2.8. （2024烟台）在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线BC上任意一点，连接AD. 将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED，连接BE.【尝试发现】（1）如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为 ；BE＝ CD 【类比探究】（2）当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明；解：（2）补全的图形如图所示，BE＝ CD. 理由如下：过点E作EM⊥BC于点M.由旋转，得AD＝DE，∠ADE＝90°.∴∠ADC＋∠EDM＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠DME，∠ADC＋∠CAD＝90°.∴∠CAD＝∠EDM.∴△ACD≌△DME（AAS）.∴CD＝ME，AC＝DM.∵AC＝BC，∴DM＝BC.∴DM－CM＝BC－CM，即CD＝BM.∴EM＝BM.∵EM⊥CB，∴BE＝ EM＝ CD.【联系拓广】（3）若AC＝BC＝1，CD＝2，请直接写出 sin ∠ECD的值.解：（3） 或【解析】①如图2，当点D在CB的延长线上时，过点E作EM⊥CB的延长线于点M，同（2），可得△DME≌△ACD，∴DM＝AC＝1，ME＝CD＝2，∴CM＝CD＋DM＝3，∴CE＝＝ ，∴ sin ∠ECD＝ ＝ ＝ ；图2(共27张PPT) 与中点有关的模型微专题5模型概念遇中点联想常见辅助线的作法1. 中点或平行＋中点→中位线的性质.2. 一般三角形＋中点→考虑倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形.3. 等腰三角形＋底边中点→考虑连接顶点用“三线合一”.4. 直角三角形＋斜边中点→考虑连接直角顶点构造斜边上的中线.5. 垂直＋中点→垂直平分线的性质.6. 坐标系中两点＋中点→中点坐标公式.模型一 中点或平行＋中点，中位线的性质已知：在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点或点D为AB的中点，DE∥BC或【模型结论】DE是△ABC的中位线，DE∥BC，且DE＝ BC，△ADE∽△ABC模型练习1. （2024巴中）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点，AC＝4.若 ABCD的周长为12，则△COE的周长为（ B ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 8第1题图B【解析】由平行四边形的性质，得AB＝CD，BC＝AD，OC＝OA＝ AC＝2.因为点E是BC的中点，所以CE＝BE＝ BC，OE＝ AB.所以CE＋OE＝ （BC＋AB）＝3.所以CE＋OE＋OC＝5.故选B.2. （2025河南二模）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F. 若AB＝6，BC＝4，则EF的长是（ A ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4第2题图A3. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D是AB的中点，过点D作BC的平行线，交AC于点E，作BC的垂线，交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（ A ）A. 2 B. 5 C. 4 D. 10A模型二 一般三角形＋中点，考虑倍长中线或类中线构造全等三角形倍长中线 倍长类中线已知：在△ABC中，点D为BC边上的中点，连接AD 已知：在△ABC中，点D为BC边上的中点，点E是AB边上一点，连接DE辅助线2：过B作 BE∥AC，交AD 的延长线于点E 辅助线2：过C作CF∥AB，交ED的延长线于点F倍长中线 倍长类中线【模型结论】 △ADC≌△EDB（SAS）； BE＝AC 【模型结论】△CDF≌△BDE（SAS）；CF＝BE模型练习4. 如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝20，则BC边上的中线AD的取值范围是 .4＜AD＜16 5. 如图，已知AB＝24，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，AD＝10，BC＝20.若点E是CD的中点，则AE的长是 .13 【解析】如图，过C作CM⊥DA，交DA的延长线于点M，作CN∥AE，交AM于点N，则四边形ABCM是矩形.∴AM＝BC＝20，CM＝AB＝24.∵点E为CD的中点，∴点A为DN的中点.∴AN＝AD＝10.∴MN＝AM－AN＝10.在Rt△CMN中，由勾股定理，可得CN＝26.∴AE＝ CN＝13.故答案为13.6. （2024南阳一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，点E在直线BC上（点E不与点B，C重合），连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线AC于点F，连接EF.（1）如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段EF与BE的数量关系；解：（1）EF＝BE【解析】利用线段的垂直平分线的性质，可得EF＝BE.（2）如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段AF，EF，BE之间的数量关系，并说明理由；解：（2）AF2＋BE2＝EF2.理由如下：如图，过点A作AJ⊥AC，交ED的延长线于点J，连接FJ.∵AJ⊥AC，EC⊥AC，∴AJ∥BE. ∴∠AJD＝∠BED.在△AJD和△BED中，∴△AJD △BED（AAS）.∴AJ＝BE，DJ＝DE.∵DF⊥EJ.∴FJ＝EF.∵∠FAJ＝90°，∴AF2＋AJ2＝FJ2，即AF2＋BE2＝EF2.（3）若AC＝5，BC＝3，EC＝1，请直接写出线段AF的长.解：（3） 或1【解析】设AF＝x，则CF＝5－x.分两种情形：如图2，当点E在线段BC上时，利用EF2＝AF2＋BE2＝CF2＋CE2构造方程，可求得AF＝ ；如图3，当点E在线段BC的延长线上时，利用EF2＝AF2＋BE2＝CF2＋CE2构造方程，可求得AF＝1.故答案为 或1.图2 图3模型三 等腰三角形＋底边中点，考虑连接顶点用“三线合一”已知：在等腰三角形ABC中，点D是底边BC的中点【模型结论】AB＝AC，AD平分∠BAC，AD⊥BC，S△ABD＝S△ACD（知二推二）模型练习7. 如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC边的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（ C ）A. ＋1 B. ＋3 C. ＋1 D. 4C8. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为BC的中点，DE⊥AC于点E，则DE的长度为 .第8题图 9. 如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，点F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为 .第9题图8 模型四 直角三角形＋斜边中点，考虑连接直角顶点构造斜边上的中线已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点【模型结论】CD＝DB＝AD＝ AB，△ACD和△BCD是等腰三角形（“直角＋中点”等腰必出现）模型练习10. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF，BF，若∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（ B ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5第10题图B11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝ BC，若AB＝10，则EF的长为 .第11题图5 模型五 垂直＋中点，垂直平分线的性质已知：在△ABC中，ED垂直平分BC【模型结论】BE＝EC，∠EBC＝∠ECD，DE平分∠BEC模型练习12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，线段AB的垂直平分线MN交BC边于点N，垂足为点M. 若BN＝6，CN＝4，则MN的长为 . 【解析】如图，连接AN，过点N作NE⊥AC于点E，设AB＝2x，则AC＝2x，根据等角的余弦列式可得CE和AE的长，利用勾股定理列方程可得x的值，最后根据勾股定理计算可得MN的长.13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，线段AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则DE的长为（ B ）A. B. C. D.B【解析】设CE＝x，如图，连接AE，由线段垂直平分线的性质可知，AE＝BE＝BC＋CE，在Rt△ACE中，利用勾股定理即可求出CE的长度，再在Rt△BDE中求出DE即可.14. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AC边的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上的动点，则△CDM周长的最小值为（ B ）A. 16 B. 17 C. 18 D. 19B模型六 坐标系中两点＋中点，中点坐标公式已知：在平面直角坐标系中，A（xA，yA），B（xB，yB），点M为线段AB的中点【模型结论】中点坐标公式M模型练习15. 已知点A（－3，0），B（5，4），点P是线段AB的中点，P与Q关于x轴对称，则点Q的坐标是 .16. 已知在平面直角坐标系中，点P是线段AB的中点，点A（a－1，1），点B（7，a）.若点P在x轴上，则点A的坐标为 （ A ）A. （－2，1） B. （0，1）C. （7，－1） D.（1，－2） A 展开更多...... 收起↑ 资源列表 微专题2 常见的全等模型.pptx 微专题3 对角互补模型.pptx 微专题4 半角模型.pptx 微专题5 与中点有关的模型.pptx 微专题6 相似模型.pptx 微专题7 “手拉手”模型.pptx 微专题8 “一线三等角”模型.pptx 第16讲 线段、角、相交线和平行线.pptx 第17讲 三角形及其性质.pptx 第18讲 特殊三角形.pptx 第19讲 全等三角形.pptx 第20讲 相似三角形.pptx 第21讲 锐角三角函数及其应用.pptx
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