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2025-2026学年广东省肇庆一中初中部九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（　　）
A. B. C. y=2x D. y=x+1
2.若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则（　　）
A. k＜2 B. k=2 C. k＞2 D. k＜0
3.解一元二次方程x2-6x-4=0，配方后正确的是（　　）
A. （x+3）2=13 B. （x-3）2=5 C. （x-3）2=4 D. （x-3）2=13
4.已知实数a、b满足3a=2b,则的值为（　　）
A. B. C. 6 D.
5.一元二次方程x2+2x-3=0根的情况是（　　）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
6.如图，在四边形ABCD中，已知∠B=∠ACD，那么补充下列条件后不能判定△ABC和△ACD相似的是（　　）
A. CA平分∠BAD
B. ∠BCA=∠D
C.
D.
7.已知点A（1，y1），B（3，y2）都在反比例函数的图象上，那么（　　）
A. y1＜y2 B. y2＜y1 C. y1=y2 D. 无法确定
8.如图，学校课外生物小组的试验田的形状是长为36m、宽为22m的矩形，为了方便管理，要在中间开辟两横一纵共三条等宽的小路，小路与试验田的各边垂直或平行，要使种植面积为700m2，则小路的宽为多少米？若设小路的宽为x m,根据题意可列方程（　　）
A. （36-x）（22-x）=700 B. （36-x）（22-2x）=700
C. （36+x）（22+2x）=700 D. （36-2x）（22-x）=700
9.如图，在平行四边形ABCD中，E为AB上一点，AC与DE相交于点F，且AE：CD=1：3，若C△AEF=3，则C△FCD为（　　）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 27
10.如图，点A，B分别在反比例函数y=（x＞0），y=（x＜0）的图象上．若OA⊥OB，=2，则a的值为（　　）
A. -4
B. 4
C. -2
D. 2
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.一元二次方程x2﹣9＝0的解是 ．
12.若线段a,b,c,d是成比例线段，且a=2cm,b=4cm,c=3cm,则d= cm.
13.反比例函数y=的图象经过点（2，-1），则k的值为______．
14.如图，如果l1∥l2∥l3，AB=2，BC=4，DE=3，则DF= .
15.已知x1，x2是一元二次方程x2+2x-6=0的两根，则x1+x2的值是 .
16.若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为______．
17.校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图，AB=10cm,点P为AB的黄金分割点（AP＞PB），那么AP的长度为 .
18.如图，已知D是△ABC的BC边延长线上的一点，BC=3CD，DF交AC边于E点，且AE=2EC.则的值为 .
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.解方程：x2-4x+2=0．
四、解答题：本题共7小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题6分)
如图，在△ABC中，点D在AC边上，点E在AB边上，∠ADE=∠B，AC=6，AD=4，AB=10.求AE的长.
21.(本小题6分)
如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A（1，4）、点B（-4，n）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△OAB的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．
22.(本小题6分)
已知关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程有一个根为0，求另一个根.
23.(本小题6分)
如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB=6，BC=4，求DF的长．

24.(本小题6分)
某超市今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时，一月份销售128件.二、三月该商品销售量持续走高，在售价不变的前提下，三月份的销售量达到200件.设二、三这两个月的月平均增长率不变.
（1）求二、三这两个月的月平均增长率.
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利1250元？
25.(本小题6分)
某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和矩形的性质时，做了如下探究：在矩形ABCD中，点E在CD上，BC=3，AB=4，DE=1.
【观察与猜想】（1）如图1，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，求证：AE=EF；
【类比探究】（2）如图2，点P在矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合），连接PE，过点E作EF⊥PE，交BC于点F，连接PF.求证：△PDE∽△ECF；
【拓展延伸】（3）如图3，点P在矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合），连接PE，过点E作EF⊥PE，交AB于点F，连接PF，且△PEF的面积是2.16，求AP的长.
26.(本小题6分)
Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y=（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，1），与AB边交于点E（2，n）.
（1）求反比例函数的解析式和n值；
（2）当=时，求直线AB的解析式；
（3）设P是线段AB边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，以B、C、P为顶点的三角形与△EDB相似？若存在，请直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】x1=3，x2=-3
12.【答案】6
13.【答案】-2
14.【答案】9
15.【答案】-2
16.【答案】3：2
17.【答案】（5-5）cm
18.【答案】
19.【答案】解：x2-4x+2=0
x2-4x=-2
x2-4x+4=-2+4
（x-2）2=2，
则x-2=±，
解得：x1=2+，x2=2-．
20.【答案】AE=2.4．
21.【答案】解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y=，一次函数y=x+b，
得k=1×4，1+b=4，
解得k=4，b=3，
所以反比例函数的解析式是y=，一次函数解析式是y=x+3；
（2）如图，设直线y=x+3与y轴的交点为C，
当x=-4时，y=-1，
∴B（-4，-1），
当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×3×1+×3×4=；
（3）∵B（-4，-1），A（1，4），
∴根据图象可知：当x＞1或-4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．
22.【答案】m≤1；
另一个根为2
23.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B=90°，
∴∠DAF=∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=∠B=90°，
∴△ABE∽△DFA；
（2）解：∵E是BC的中点，BC=4，
∴BE=2，
∵AB=6，
∴AE=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，
∵△ABE∽△DFA，
∴，
∴．
24.【答案】25%；
10元
25.【答案】见解析过程 见解析过程 3-
26.【答案】解：（1）∵D（4，1）、E（2，n）在反比例函数y=的图象上，
∴4=k，2n=k，
∴k=4，n=2，
∴反比例函数的解析式为y=；
（2）如图1，过点E作EH⊥BC，垂足为H．
在Rt△BEH中，tan∠BEH=tan∠A==，
∵D（4，1），E（2，2），
EH=4-2=2，
∴BH=1．
∴B（4，3）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，代入B（4，3）、E（2，2），
得，解得：，
因此直线AB的函数解析式为：y=x+1；
（3）存在，
如图2，作EF⊥BC于F，PH⊥BC于H，
当△BED∽△BPC时，，
∴=，
∵BF=1，
∴BH=，
∴CH=，可得=x+1，x=1，
点P的坐标为（1，）；
如图3，当△BED∽△BCP时，=，
∵EF=2，BF=1，由勾股定理，BE=，
∴=，
∴BP=，
∴，BF=1，BH=，
∴CH=，可得=x+1，x=，
点P的坐标为（，），
点P的坐标为（1，）；（，）．
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