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高2025级高一上学期半期考试
数学
注意事项：
答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
2．考生必须保持答题卡的整洁。
第I卷 选择题（58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ▲ ）
A． B．
C． D．
2．下列四组集合中表示同一集合的为（ ▲ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
3．若，则（ ▲ ）
A． B．1 C．或1 D．或2
4．若，则满足条件的集合的个数有（ ▲ ）
A．7个 B．8个 C．15个 D．16个
5．已知集合，集合，则如图中的阴影部分表示（ ▲ ）
A． B． C． D．
6．某校利用课外活动时间开展了羽毛球、乒乓球、篮球培训课．甲班共52名学生，每人至少报了上述培训课中的一门．已知报羽毛球、乒乓球、篮球培训课的人数分别为30，25，20，其中既报了羽毛球培训课又报了乒乓球培训课的有13人，既报了羽毛球培训课又报了篮球培训课的有8人，既报了乒乓球培训课又报了篮球培训课的有5人，则同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是（ ▲ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ▲ ）
A． B． C． D．
8．关于x的方程的两根分别在区间和内，则实数a的取值范围是（ ▲ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知，若q是的充分不必要条件，则q可以是（ ▲ ）
A． B． C． D．
10．已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确的结论是（ ▲ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．.
11．设，称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，.若，则（ ▲ ）
A．
B．函数的值域为
C．若，则
D．点集所表示的平面区域的面积是4
第II卷 非选择题（92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．命题“”的否定是 .
13．若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是 .
14．函数是定义在上的奇函数，，当时，，不等式的解集为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知集合，集合.
(1)当时，求；
(2)若，求实数m的取值范围.
16．（15分）
已知
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)解不等式．
17．（15分）
（1）若不等式的解集为，求的取值范围；
（2）解关于的不等式.
18．（17分）
某厂家拟定在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（k为常数）．如果不举行促销活动，该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入将为10万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元（再投入费用不包含促销费用），厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的倍．
(1)求k的值；
(2)将2023年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；
(3)该厂家2023年约投入多少万元促销费用时，获得的利润最大，最大利润是多少？（，结果保留1位小数）．
19．（17分）
已知定义在上的函数满足以下条件：
①对任意实数，恒有；
②当时，的值域为；
③.
(1)求，的值；
(2)时，求的值域，判断并证明在上的单调性；
(3)求不等式的解集.
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数学参考答案
一．单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A D B C C B AC ACD
题号 11
答案 ABD
二．多选题
题号 9 10 11
答案 AC ACD ABD
三．填空题
12． 13． 14．
15．解：（1）当时，，·················································2分
则.····································································5分
（2）因为，所以，···························································7分
当时，，解得；························································9分
当时，于是有，···············································12分
所以实数m的取值范围为.·······················································13分
16．解：（1）因为，，
所以，因为，················································2分
所以，···································································3分
（2）当时，，又，所以，······································5分
当时，，又，···············································6分
所以，故，····························································8分
综上，的值为或2 ·································································9分
（3）当时，，所以，················································11分
当时，，所以，··············································13分
综上，原不等式的解集为.·····················································15分
17．解：（1）根据题意，
当，即时，解集不是，不符合题意； ································2分
当，即时，因为的解集为R，·
所以的解集为R，·················································3分
所以，························································5分
即，
故时，或，所以.
故的取值范围为：···························································7分
（2）因为，
所以，····························································8分
当，即时，得，解集为；·······································9分
当，即时，，
，
解集为或；·····························································11分
当，即时，，
，
解集为．·································································13分
综上所述：当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为或.····················································15分
18．解：（1）由已知，当时，，
∴，解得：，···································································3分
（2）由（1）知，
故
，
化简得：．··························································8分
（3），········································10分
∵，∴，即，则，··························13分
当且仅当即时等号成立，·············································15分
此时，，································16分
答：当促销费用约为3.7万元时，利润最大为19.7万元．·······································17分
19．解：（1）令，则，·······································2分
解得或.····································································3分
时，令
有，与题干信息不符，故.··································4分
令.······················································5分
（2）当时，，则
令，有·····························6分
化简得：，
因为，所以，
所以当时，的值域为，
所以当时，，
则
由于，则，则·······················9分
，故在上单调递增；···················································10分
（3）由于
，由于，···········································12分
.
，
化简得，·······························································14分
令，则，································································15分
解得：，即.··································································16分
又因为在上单调递减，所以.
所以不等式的解集.···············································17分
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