资源简介

2025-2026学年度第一学期北京市第十五中学九年级数学
期中试卷
本试卷共两部分，共28道题，满分100分.考试时间120分钟.
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1.二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
2.下面的图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别.随机从袋子中摸出3个球，下列事件中是必然事件的是（ ）
A.3个球都是白球 B.至少有1个照球
C.3个球都是黑球 D.有1个白球2个黑球
4.若将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
5.自2022年冬奥会以后，冰雪运动的热度持续.某地滑雪场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人.设该地滑雪场游客人数的周平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.在平面直角坐标系中，若点，在抛物线上，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在等腰中，，将绕点逆时针旋转（）得到，当点的对应点落在上时，连接.则的度数是（ ）
A.30° B.45° C.55° D.75°
8.如图，抛物线经过点.下面有四个结论：①；②；③；④关于的不等式的解集为.其中所有正确结论的序号是（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D.②③④
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______.
10.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______.
11.已知是关于的方程的一个根，则______.
12.若二次函数，当时随的增大而增大，写出一个满足题意的的值______.
13.如图，在等边中，，为的中点，将绕点旋转后得到，那么线段的长度为______.
14.如图，以点为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为110°，连接，那么______°.
15.如图，在平面直角坐标系中，可以看作是将绕某个点旋转而得到，则这个点的坐标是______.
16.如图，是的直径，为上一点，且，为圆上一动点，为的中点，连接，若的半径为2，则长的最大值是______.
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17.解方程：.
18.已知：如图，为锐角三角形，，.
求作：线段，使得点在直线上，且.
作法：①以点为圆心，长为半径画圆，交直线于，两点；
②连接.
线段就是所求作的线段.
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明.
证明：，
_____.
，
点在上.
又点，都在上，
（______）（填推理依据）.
.
19.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分.如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，，求的半径.
20.已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，.
（1）画出和关于原点成中心对称的，并写出点的坐标：
（2）画出将绕点按顺时针旋转90°所得的.
21.如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转60°，得到线段，连接，.
（1）求证：；
（2）连接，若，求的度数.
22.已知二次函数.
（1）将化成的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；
（3）当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围.
23.二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，是专属中国人的独特时间美学，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.如图，小文购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放在桌面上.
（1）小文从中随机抽取一张，抽出的邮票恰好是“大暑”的概率是_____；
（2）若印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同图案的邮票分别用，，，来表示，小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求小文抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率.
24.已知关于的方程.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个根比另一个根大3，求的值.
25.小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式.在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线.如图1和图2分别建立平面直角坐标系.
通过测量得到球距离台面高度（单位：）与球距离发球器出口的水平距离（单位：）的相关数据，如下表所示：
表1直发式
（） 0 2 4 6 8 10 16 20 …
（） 3.84 3.96 4 3.96 3.64 2.56 1.44 …
表2间发式
（） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 …
（） 3.36 1.68 0.84 0 1.40 2.40 3 3.20 3 ….
根据以上信息，回答问题：
（1）表格中______，______；
（2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；
（3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，则______（填“”“”或“”）.
26.在平面直角坐标系中，点，是抛物线上的两个不同点.
（1）当时，有，求的值：
（2）若，当时，都有，求的取值范围.
27.在中，于点，，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连接.
（1）如图1，当时，补全图形，并求的长；
（2）如图2，取的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明.
28.在平面直角坐标系中，对于和点（不与点重合）给出如下定义：若边，上分别存在点，点，使得点与点关于直线对称，则称点为的“翻折点”.
（1）已知，，
①若点与点重合，点与点重合，直接写出的“翻折点”的坐标；
②是线段上一动点，当是的“翻折点”时，求长的取值范围；
（2）直线与轴，轴分别交于，两点，若存在以直线为对称轴，且斜边长为2的等腰直角三角形，使得该三角形边上任意一点都为的“翻折点”，直接写出的取值范围.

展开更多......

收起↑