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2025~2026学年度第一学期期中学情检测
九年级数学
（时间：120分钟 分值：150分）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题纸相应位置上）
1.下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2.已知的半径为，若，则点与的位置关系是（ ）
A.点在外 B.点在上 C.点在内 D.不能确定
3.若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A.1 B.4 C. D.
4.如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为2的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点，，则图中的长为（ ）
A. B. C. D.
5.以为中心点的量角器与直角三角板如图所示摆放，直角顶点在零刻度线所在直线上，且量角器与三角板只有一个公共点，，则的度数是（ ）
A.50° B.45° C.35° D.40°
6.如图，，分别是的直径和弦，于点，连接，.若，，则的长是（ ）
A. B.4 C. D.
7.如图，是的直径，圆上的点与点，分布在直径的两侧，，则（ ）
A.60° B.50° C.45° D.40°
8.图1是一个地铁站入口的双翼闸机.如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的与的长都为，且与闸机侧立面夹角.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
图1 图2
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）
9.如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________.
10.甲，乙两名射击手的50次测试的平均成绩都是八环，方差分别是，，则成绩比较稳定的是__________.（填“甲”或“乙”）.
11.若是一元二次方程的一个实数根，则代数式________.
12.如图，、是的切线，切于点，的周长为12，则_________.
13.如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为_________.
14.北京奥运会的主会场“鸟巢”让人记忆深刻.在鸟巢设计的最后阶段，经过了两次优化，鸟巢的结构用钢量从5.4万吨减少到4.2万吨.若设平均每次用钢量降低的百分率为，根据题意，可得方程________.
15.如图，在中，是直径，是弦，延长、相交于点，且，，则_________°.
16.对于实数，定义一种新运算“☆”如下：☆，例如4☆，则关于的方程1☆的根为_________.
17.如图，正的边长为2，为坐标原点，点在轴上，点在第二象限.沿轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得，则翻滚100次后中点经过的路径长为________.
18.在中，若为边的中点，则必有：成立.依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，，点在以半径为4的上运动，则的最小值为__________.
三、解答题（本大题共有10小题，共96分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，画图或作图痕迹用黑色签字笔加粗加黑）
19.（本题满分8分）解下列方程：
（1）； （2）.
20.（本题满分8分）已知关于的一元二次方程有，两个实数根.
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数，满足？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
21.（本题满分8分）射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）：
甲：8，8，7，8，9
乙：5，9，7，10，9
教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表：
选手 平均数 众数 中位数 方差
甲 8 8 0.4
乙 9 3.2
根据以上信息，请解答下面的问题：
（1）_____，_____，_____；
（2）教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？
（3）若选手乙再射击第6次，命中的成绩是8环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会_________（填“变大”、“变小”或“不变”）.
22.（本题满分8分）如图是一个由小正方形构成的8x8的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，经过，，三个格点，请你使用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹；
图1 图2
（1）在图1中的上找一点，使得；
（2）在图2中的上找一点，使得点为的中点.
23.（本题满分10分）如图，是直径，点在上，在的延长线上取一点，连接，使.
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积.
24.（本题满分10分）奔赴苍穹，逐梦九天，2024年十月三十日神舟十九号成功发射，开创了中国航天的新里程.某航模商店为了弘扬中国航天精神，特推出神舟系列航空模型，已知该模型平均每天可售出100个，每个可盈利20元，为了扩大销售增加盈利，并且尽可能让顾客得到实惠，该店决定准备适当降价，经过测算发现每个模型的售价每降低
1元，平均每天可多售出10个.
（1）若设每个模型降价元，平均每天可售出________个；
（2）要使该模型平均每天销售利润达2160元，每个模型应降价多少元？
25.（本题满分10分）【项目学习】把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法.配方法在今后的学习中有着广泛的应用.
例如：求的最小值.
解：，，，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1.
图1 图2 图3
【问题解决】
（1）当为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？
（2）如图1是一组邻边长分别为7，的长方形，其面积为；图2是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由；
（3）如图3，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个1米宽的小门，设长为米，当为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？
26.（本题满分10分）如果关于的一元二次方程有两个小数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”例如：方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”.
（1）请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
（2）已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值.
27.（本题满分12分）定义：我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖圆，其中，能完全覆盖平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆.
例如：如图1，线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆；
图1 图2 图3
图4 图5
【初步思考】
（1）边长为的正方形的最小覆盖圆的半径是________；
（2）如图2，边长为的两个正方形并列在一起，则其最小覆盖圆的半径是_____；
（3）如图3，有3个三角形，分别是：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形，它们的最小覆盖圆正好是该三角形的外接圆的是_________（只填序号）；
【深入研究】
（4）如图4，在平面直角坐标系中，已知点、，点是轴正半轴上的一个动点，当时，求的最小覆盖圆的半径以及点的坐标.
【生活应用】
（5）某地有四个村庄，，，（其位置如图5所示），现拟建一个网络信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），经过工程人员测量得到及图中相关各角度等数据，四边形区域最小覆盖圆的半径为_____.
28.（本题满分12分）图（1）是一把“形”尺，图（2）是该尺内侧的示意图，已知边，边，，.
算一算
将该尺摆放在一些圆上，测量并计算圆的半径.
（1）如图（3），点，，，恰好都在圆上，则_________；
（2）如图（4），该尺的边与圆相切于点，且点在该尺上的读数为，点在圆上，则_____；
（3）如图（5），该尺的边与圆有两个公共点，，它们在该尺上的读数分别为，，边与圆也有两个公共点，其中一个公共点在该尺上的读数为，求的值.
想一想
（4）若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），一定可以通过测量并计算出该圆的半径吗？如果可以，说明理由；如果不一定可以，请直接写出可计算出的的最小值和最大值.

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