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17.2 用公式法分解因式 闯关练 2025-2026学年
初中数学人教版（2024）八年级上册
一、单选题
1．下列各式能用公式法因式分解的是（ ）．
A． B． C． D．
2．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
3．对多项式分解因式，正确的选项是（ ）
A． B． C． D．
4．下列能用平方差公式因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
5．若多项式能直接用完全平方公式进行因式分解，则“”所代表的单项式不可以是（ ）
A． B． C． D．
6．下列因式分解正确的是( )
A． B．
C． D．
7．因式分解的结果为（ ）
A． B． C． D．
8．因式分解：（ ）
A． B．
C． D．
9．下列算式中，计算结果为的是（ ）
A． B．
C． D．
10．若多项式可因式分解为，则b的值为（ ）
A． B．3 C． D．54
11．下列算式计算结果为的是（　　）
A． B．
C． D．
12．下列式子中，属于的因式的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．因式分解：＝ ．
14．分解因式： ．
15．分解因式：
16．因式分解： ．
17．若x是自然数，和都是完全平方数，那么 ．
18．若，．则 ．
三、解答题
19．把下列各式因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．已知，求．
21．已知为正整数，求证：能被24整除．
22．已知是完全平方式，求m的值．
23．已知关于的多项式，当时，完成下列各题．
(1)求多项式；
(2)①若，求多项式的值；
②若，求多项式的值．
24．对于一个正整数，若能写成：（为正整数），且（其中为自然数），则称为“幸运整数”．例如：当时，，则，所以12是“幸运数”．
(1)求三位数中最大的“幸运整数”；
(2)如果两个“幸运整数”的差是72，求这两个“幸运整数”．
25．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：（）．
(1)分解因式：；
(2)若，都是正整数且满足，求的值；
(3)若，为实数且满足，整式，求整式的最小值。
26．【阅读材料】因式分解：．
解：将“”看成整体，令，
则原式．
再将“”还原，原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
【问题解决】
(1)因式分解：；
(2)证明：若为正整数，则的值一定是某个整数的平方．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B D D B D C C C
题号 11 12
答案 A C
1．A
【分析】利用完全平方公式和平方差公式对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、，故本选项正确；
B、x2+2xy-y2 一、三项不符合完全平方公式，不能用公式法进行因式分解，故本选项错误；
C、x2+xy-y2中间乘积项不是两底数积的2倍，不能用公式法进行因式分解，故本选项错误；
D、-x2-y2不符合平方差公式，不能用公式法进行因式分解，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了公式法分解因式，能用完全平方公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，熟记公式结构是求解的关键．
2．C
【分析】根据完全平方公式的特点判断即可；
【详解】不能用完全平方公式，故A不符合题意；
不能用完全平方公式，故B不符合题意；
，能用完全平方公式，故C符合题意；
不能用完全平方公式，故D不符合题意；
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了因式分解公式法的判断，准确判断是解题的关键．
3．B
【分析】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，关键是在分解因式时首先要考虑提取公因式，再考虑公式法进行分解，首先提取公因式，然后再利用平方差进行二次分解．
【详解】解：，
故选：B．
4．D
【分析】此题主要考查了平方差公式，关键是熟练掌握平方差公式分解因式的多项式的特点．根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行判断即可．
【详解】解：A、是与1的和，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；
B、共有三项，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；
C、两项的符号不相反，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；
D、符合平方差公式特点，能用平方差公式进行分解，故此选项正确；
故选：D．
5．D
【分析】本题考查完全平方式分解因式，根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍在中间，进行判断即可．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，无法用完全平方公式进行因式分解，符合题意；
故选D．
6．B
【分析】本题主要考查了因式分解，解决问题的关键是掌握提公因式法和公式法的方法．依据因式分解的定义以及提公因式法和公式法，即可得到正确结论．
【详解】解：A、，属于整式的乘法，不是因式分解，故选项A不符合题意；
B、，因式分解正确，故选项B符合题意；
C、，右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，故选项C不符合题意；
D、，等式不成立，故选项D不符合题意；
故选：B．
7．D
【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可．
【详解】分解：原式，
故选：D．
8．C
【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可．
【详解】．
故选：C．
9．C
【分析】本题考查了因式分解，将多项式分解为两个一次因式的乘积，需找到两个数满足和为1（一次项系数）、积为（常数项），通过分析确定这两个数为4和，从而分解为．
【详解】解：，
故选：C．
10．C
【分析】本题考查了因式分解的恒等性质，熟练掌握性质是解题的关键，将展开，根据对应系数相等即可求出答案．
【详解】解：由题意可得：
∴，
故答案为：C．
11．A
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题的关键．
运用十字相乘法进行因式分解即可．
【详解】解：
故选：A．
12．C
【分析】本题考查多项式的因式分解及因式的概念，解题的关键是判断每个选项能否整除给定的多项式．
通过对多项式进行分组分解因式，再判断各选项是否为其因式．
【详解】
由此可知是的因式，而都不是它的因式．
故选：C．
13．
【分析】此题考查了因式分解的十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
利用十字相乘法分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查完全平方公式在因式分解中的应用，解题的关键是识别式子符合完全平方公式的形式．
观察式子，看是否符合完全平方公式的结构，若符合，直接运用公式分解．
【详解】符合完全平方公式的形式，可分解为．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了利用分组分解法进行因式分解；先把前两项、后两项结合，前两项利用平方差公式分解因式，则可提取公因式，即可分解因式．
【详解】解：
；
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了提取公因式法，公式法分解因式，掌握提取公因式公式法是关键．
根据题意，先提取公因式，再运用平方差公式计算即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
17．1836 或108
【分析】本题考查了平方差公式因式分解的应用，先设，（其中a、b是自然数），则，由于是自然数，可得或，求出a、b，进而即可求出x的值．
【详解】解：设，（其中a、b是自然数），
则，
∴，
由，
∴当时，解得：；
当时，解得：；
∴或，
∴1836 或108，
故答案为：1836 或108．
18．0
【分析】本题考查代数式求值、利用完全平方公式和平方差公式因式分解，熟记公式，利用整体代入思想求解是解答的关键．
根据完全平方公式以及平方差公式将进行因式分解，再整体代入求值即可．
【详解】∵
∴
∴
∵
∴．
故答案为：0．
19．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）利用完全平方公式因式分解即可；
（2）利用完全平方公式因式分解即可；
（3）利用完全平方公式因式分解即可；
（4）先去括号，再利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
（4）解：．
20．
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键．
将所求的代数式利用提公因式法和公式法进行因式分解，然后代入求值即可．
【详解】解：
．
21．见解析
【分析】本题考查因式分解的应用，利用平方差公式因式分解计算即可．
【详解】证明：
．
∵为正整数，
∴和是连续的正整数，
∴和中一定有一个是偶数，
∴一定是24的倍数，
∴能被24整除．
22．
【分析】利用完全平方公式化简即可求出m的值．
【详解】解：∵4x2+mx+9是完全平方式，
∴m=±2×2×3=±12，
【点睛】本题考查完全平方式，解题的关键是熟练运用完全平方公式．
23．(1)
(2)①3；②
【分析】本题考查了整式的混合运算，零指数幂，因式分解，正确计算是解题的关键．
（1）将变形为，再利用整式的混合运算法则计算即可；
（2）①根据零指数幂得到，求出，再代入求值；②利用因式分解将变形为，然后把化为，再整体代入求值．
【详解】（1）解：∵，
∴
（2）解：①∵，
∴，
解得：，
∴；
②∵，
∴，
∴．
24．(1)903；
(2)84和12．
【分析】本题考查的是整式乘法、因式分解的应用，熟练掌握其应用方法是解题的关键．
（1）根据题意，先求得，计算知当时，，当时，，即可得出结果；
（2）由（1）知：“幸运整数”可表示为（为自然数），则当时得到两个“幸运整数”为3 ，由题意可知：，即，根据m， n为自然数，可得，将其代入计算即可．
【详解】（1）解：，
．
为自然数，
当时，，
当时，，
三位数中最大的“幸运整数”是903；
（2）解：由（1）知：“幸运整数”可表示为（为自然数），
则时得到两个“幸运整数”为：，
由题意：．
，
，
．
为自然数，
∴或，
解方程组得：或（舍去），
．
．
这两个“幸运整数”分别为84和12．
25．(1)
(2)或
(3)的最小值是
【分析】本题考查了分组分解法进行因式分解，熟练掌握运用提公因式法以及公式法进行因式分解是解题的关键．
（1）先分组，再运用提公因式法进行因式分解；
（2）先将变形为，即，然后再解决本题．
（3）先将变形为，再代入，然后进行变形，得到，最后根据非负数的性质得出的最小值．
【详解】（1）解：
（2）解：∵
∴
∴
∴
，都是正整数
，且、都是整数，
或 或 或
解得或其他两种不符合，为正整数，舍去
故：或；
（3）由得代入
，
∵，
∴，
∴的最小值是．
26．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
（1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将B还原即可；
（2）设，则原式化为，即，再将C还原求解即可．
【详解】（1）解：设，
则原式，
将“”还原，原式．
（2）证明：原式．
设，则原式．
将“”还原，原式．
为正整数，
为正整数，
的值一定是某个整数的平方．
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