资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
因式分解 章末能力综合试题
2025-2026学年初中数学人教版（2024）八年级上册
一、单选题
1．下列各组代数式中，没有公因式的是( )
A．ax+y和x+y B．2x和4y C．a-b和b-a D．-x2+xy和y-x
2．将下列各式因式分解，结果中不含因式a-1的是（ ）
A． B． C． D．
3．分解因式的结果是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为( )
A．0 B．1 C．5 D．12
6．多项式可分解因式为，那么等于（　　）
A． B． C． D．
7．下列各式不是因式的是（ ）
A． B． C． D．
8．若k为任意整数，则的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
9．小贤在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式□中“□”的部分，若该二项式能分解因式，则“□”不可能是（ ）
A．a B． C． D．
10．已知M＝3x2－x＋3，N＝2x2＋3x－1，则M、N的大小关系是（ ）
A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N
二、填空题
11．在多项式中，各项的公因式是 ．
12．因式分解：
13．在○处填入一个整式，使关于的多项式可以因式分解，则○可以为 ．（写出一个即可）
14．已知，满足等式，则 ．
15．已知实数a，b，满足，，则的值为 ．
16．已知，则的值等于 ．
17．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且．观察图形，可以得到代数式可以因式分解为 ．
18．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是： 写出一个即可．
三、解答题
19．（1）计算：
（2）计算：
（3）分解因式：；
（4）分解因式：．
20．下面是小冉同学对多项式进行因式分解的过程：
解：原式第一步
第二步
…
(1)第一步横线上的多项式是 ，用到的乘法公式是 ．（写出用字母，表示的乘法公式）
(2)补全解题过程．
21．已知，求证：a，b，c三个数中至少有两个相等．
22．请利用多项式的乘法验代数恒等式：，并根据此结论解答下列问题：
（1）计算：；
（2）因式分解：；
（3）已知，，求的值．
23．已知两互不相等的正整数a，b满足，求的值．
24．下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程．
解：设 ，则
原式
，
，
，
(1)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．
(2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
25．某校数学社团的小亮、小颖两个同学利用分组分解法进行的因式分解：
小亮：
=
=
=
小颖：
=
．
请你在他们解法的启发下，解决下面问题；
(1)因式分解；
(2)因式分解；
(3)已知a，b，c是的三边，且满足，判断的形状并说明理由．
26．阅读、理解、应用．
例：计算：
解：设，则原式．
请你利用上述方法解答下列问题：
(1)计算：；
(2)若，，请比较M，N的大小；
(3)计算：
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A B C D A B B A
1．A
【分析】找公因式即一要找系数的最大公约数，二要找相同字母或相同因式的最低次幂．
【详解】A．两个没有公因式，正确；
B．显然有系数的最大公约数是2，故错误；
C．只需把b﹣a=﹣（a﹣b），两个代数式有公因式，故错误；
D．﹣x2+xy=x（y﹣x），显然有公因式y﹣x，故错误．
故选A．
【点睛】本题考查了公因式的确定，掌握找公因式的正确方法，注意互为相反数的式子，只需改变符号即可变成公因式．
2．B
【分析】分别利用平方差和完全平方公式、提公因式法分解因式得到结果，即可作出判断．
【详解】A、，含因式()，不符合题意；
B、，不含因式()，符合题意；
C、，含因式()，不符合题意；
D、，含因式()，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
3．A
【分析】直接找出公因式 2xy，进而提取得出答案．
【详解】
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
4．B
【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，根据平方差公式的结构特点逐项分析即可，熟练掌握是解此题的关键．
【详解】解：A、是平方和的性质，不能因式分解，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、，不能用平方差公式分解，故该选项不符合题意；
D、，不能用平方差公式分解，故该选项不符合题意；
故选：B．
5．C
【分析】由x＝3y+5可得x-3y=5，由x2﹣7xy+9y2＝24可得(x-3y)2-xy=24，把x-3y=5代入可求出xy=1，把x2y﹣3xy2转化成xy(x-3y)的形式，把x-3y=5，xy=1代入即可得答案.
【详解】∵x＝3y+5，
∴x-3y=5，
∵x2﹣7xy+9y2＝24，
∴(x-3y)2-xy=24，
∴xy=1，
∴x2y﹣3xy2= xy(x-3y)=5，
故选C.
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握乘法公式，并灵活运用整体思想是解题关键.
6．D
【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，利用单项式乘以多项式，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
∴M为：，
故选：D．
7．A
【分析】题目主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，将原式分解因式，判断即可．
【详解】解：原式．
∴，，是原多项式的因式，不是的因式，
故选A．
8．B
【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式．
【详解】解：
，
能被3整除，
∴的值总能被3整除，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式．
9．B
【分析】直接利用公式法以及提公因式法分解因式得出答案．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、不能分解因式，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，熟练掌握公式法和提公因式法分解因式是解题的关键．
10．A
【分析】用M与N作差，然后进行判断即可．
【详解】解：M=3x2-x+3，N=2x2+3x-1，
∵M-N=(3x2-x+3)-(2x2+3x-1)
=3x2-x+3-2x2-3x+1
=x2-4x+4
=(x-2)2≥0，
∴M≥N．
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解答题的关键．
11．
【分析】各项都含有的因式称为公因式，根据定义解答．
【详解】解：多项式中，各项的公因式是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了公因式的定义，正确掌握确定公因式的方法：取相同数字的最大公约数，取相同字母的最小指数，是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了分解因式，掌握分解因式的方法是关键；先提公因式a，然后根据平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
13．2x
【分析】可根据完全平方公式或提公因数法分解因式求解即可．
【详解】解：∵，
∴○可以为2x、－2x、2x－1等，答案不唯一，
故答案为：2x．
【点睛】本题考查因式分解，熟记常用公式，掌握因式分解的方法是解答的关键．
14．
【分析】本题主要考查了平方和算术平方根的非负性、幂的乘方的逆用，利用完全平方公式因式分解，有理数乘方运算，由，得，故有，，由，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴
，
故答案为：．
15．42
【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．
【详解】
．
故答案为：42．
【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点．
16．2025
【分析】本题考查了求代数式的值，根据得出，然后整体代入计算即可．
【详解】解∶∵，
∴，
∴
，
故答案为∶．
17．
【分析】本题主要考查因式分解与几何图形，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据图形面积可进行求解．
【详解】解：由图形可知：；
故答案为．
18．或或
【分析】把所求的代数式分解因式后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后整体代入即可．
【详解】解：，
当，时，；；，
用上述方法产生的密码是：或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，读懂题目信息，正确进行因式分解是解题的关键，还考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
19．（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）根据多项式乘以单项式，利用多项式的每一项分别与单项式相乘，再把积相加进行计算即可；
（2）首先计算小括号，再合并化简中括号里面，最后计算除法即可．
（3）原式提取公因式即可；
（4）原式利用平方差公式 分解即可．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式，
．
（3）原式；
（4）原式．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算和提公因式法与公式法的综合运用，关键是掌握计算顺序：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算．
20．(1)；
(2)
【分析】本题考查整式的混合运算，因式分解—提公因式法，
（1）先利用完全平分方公式和平方差公式将原式展开，再进行合并；
（2）根据（1）的结果直接提公因式即可；
先将原式整理再进行因式分解是解题的关键．
【详解】（1）解：原式第一步
第二步
…
∴第一步横线上的多项式是，用到的乘法公式是，
故答案为：；；
（2）因式分解的完整过程如下：
解：原式
．
21．见解析
【分析】本题考查了因式分解的应用．首先把原式进一步整理，因式分解得出，由此得出答案即可．
【详解】证明：∵
，
∴或或，
∴或或，
因此a，b，c三个数当中至少有两个数相等．
22．验证过程见详解；（1）；（2）；（3）－18
【分析】利用乘法分配律进行展开计算即可验证恒等式；
（1）根据题中的恒等式计算即可；
（2）逆用题中的恒等式分解即可；
（3）已知等式利用完全平方公式展开，计算求出的值，原式分解后代入计算即可求出值．
【详解】解：
＝
＝；
（1）原式＝；
（2）原式＝；
（3），即：，
∵ ，
∴＝10，
∴原式＝＝－18．
【点睛】本题考查多项式乘法、完全平方公式、因式分解，解题的关键是灵活运用题目中的信息．
23．672
【分析】此题考查因式分解的应用，先根据完全平方公式及平方差公式分解因式，即可得到答案
【详解】解：由条件得
∴，
∵为互不相等的正整数，
∴和为整数，且，
若，则，不合题意，故，
∵，
∴只能是，
解得，符合题意.
∴.
24．(1)不彻底；
(2)，见解析
【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的常用方法是解题的关键．
（1）满足完全平方公式，因此还可以因式分解；
（2）设，整理后再根据完全平方公式把原式进行分解即可．
【详解】（1）解：该同学因式分解的结果不彻底；
原式
，
故答案为：不彻底，；
（2）解：设 ，则
原式
．
25．(1)；
(2)；
(3)为等腰三角形．
【分析】（1）运用分组分解法直接作答即可；
（2）运用分组分解法直接作答即可；
（3）运用分组分解法判断出a=c，进而得到结论．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∵a，b，c是的三边，
∴，
∴为等腰三角形．
【点睛】本题考查因式分解的应用，能够灵活运用分组分解法进行因式分解是解答本题的关键．
26．(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）仿照例题的思路，设，则，，然后进行计算即可；
（2）仿照例题的思路分别计算出M，N的值，然后进行比较即可；
（3）仿照例题的思路，设，然后进行计算即可．
【详解】（1）设，
则原式；
（2）设，
则，，
∵，
∴；
（3）设，
则原式．
【点睛】本题考查了平方差公式，单项式乘多项式，规律型 数字的变化类，理解例题的解题思路是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑