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湘教版数学八年级上册 5.2 勾股定理及逆定理 第一课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．在下列四组数中，属于勾股数的是（　　）
A． B．
C．3，5，7 D．5，12，13
2．在中，，、、所对边的长分别为a、b、c，若，，那么的值是（　　）
A．2 B．6 C．20 D．36
3．（2024八上·沐川期末）如图，在中，，，点A恰好落在数轴上表示的点上，以原点O为圆心，的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023八上·清新期末）如图，在三角形中，已知，，，则的大小有可能是（　　）
A．7 B．4 C．6 D．5
5．（2024八上·顺德期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八上·福田开学考）直角三角形两条边长分别是6和8，则这个直角三角形的第三边长　 　．
7． 在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若c=10 cm，a：b=3：4，则△ABC 的周长为　 　
8．（2024八上·成都期中）如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和．已知，且，则的值为　 　．
9．（2024八上·顺德期中）如图，阴影部分的长方形面积是　 　．
10．（2024八上·惠城期中）如图，在中，是高，则　 　．
11．（2024八上·福田期中）直角三角形的两直角边均扩大到原来的3倍，则斜边扩大到原来的　 　倍．
12．（2023八上·婺城月考）如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积．
13．（2023八上·银川期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以1米/秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的）
二、能力提升
14．（2025八上·杭州期末）将两个直角三角形摆放如图，其中，则长为（　　）
A． B． C． D．
15．（河南省周口市郸城县名校联考2024-2025学年第一学期1月期末考试八年级数学试题 ）上图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．
16． 在△ABC中，AB=AC=17，BC=16，则△ABC的面积为(　　)
A．60 B．80 C．100 D．120
17．（2025八上·拱墅期末）一个直角三角形，若三边的平方和为200，则斜边长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
18．（2025八上·贵州期末）以单位1为边长画一个正方形，以顶点A为圆心、对角线长为半径画弧，与数轴的交点为C（点C在点B左侧），设点C在数轴上表示的数是a，则点A在数轴上表示的数是（　　）
A． B． C． D．
19．（2025八上·淳安期末）如图（）是一把折叠椅实物图，支架与交于点，．如图（）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），椅面与地面水平线平行，，，，那么折叠后椅子比完全打开时高（　　）．
A． B． C． D．
20．（2025八上·鄞州月考）已知P为等边 内一点， 则 　 　.
21．（2024八上·苏州期中）如图，在中，，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC的延长线于点E．若，，则EC的长为　 　．
22． 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE∥BC，CE平分∠DCB，BC=12，AC=16，则DE的长是　 　.
23．（2025八上·宁海期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是　 　．
24．（2019八上·宁化月考）如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要　 　cm．
25．（2025八上·义乌月考）已知：如图，AD、BC相交于点O，AB=CD，AD=CB.
（1）求证：△ABD≌△CDB.
（2）若OB =4，BD=6时，求△OBD中 BD边上的高.
三、拓展创新
26．（2025八上·深圳月考）
（1）秋千在平衡位置时，下端A距地面，当秋千荡到的位置时，下端距平衡时的水平距离为，距地面，求秋千的长度．
（2）如图，已知一块四边形的草地ABCD，其中，，，，，求这块草地的面积．
27．（2023八上·南海月考）如图1，在中，，直角边在射线上，直角顶点C与射线端点O重合，，，且满足．
（1）写出a，b的值；
（2）如图2，向右匀速移动，在移动的过程中的形状大小不变，且边在射线上匀速向右运动，移动的速度为2个单位/秒，移动的时间为t秒，连接．
①若为等腰三角形，求t的值；
②在移动的过程中，能否使为直角三角形？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
B、1，，不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
C、，故不是勾股数，不符合题意；
D、，故是勾股数，符合题意；
故答案为：D．
【分析】凡是能构成一个直角三角形三边的一组正整数，就是勾股数，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意，为直角三角形，，因此边c为斜边，a、b为直角边，
由勾股定理得：，
代入已知条件，，
得：，
因此，的值为6，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理“直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方”列式代值计算即可.
3．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵中，，，，
∴，
又∵，
∴，
又∵点P在原点的左边，
∴点P表示的数为，
故答案为：A．
【分析】
根据及实数与数轴的关系：任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数，因而先依据勾股定理即可得到的长，进而得出的长，即可得到点P所表示的数，解答即可．
4．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在中，，
则，
记得AB=5.
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理直接列出算式求出AB的长即可.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，本选项结论正确，故A不符合题意；
B、∵，本选项结论正确，故B不符合题意；
C、∵，本选项结论错误，故C符合题意；
D、∵
∴，
∴是直角三角形，且，本选项结论正确，故D不符合题意；
故答案为：C．
根据勾股定理：直角三角形的三边长、、满足；根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长、、满足，那么这个三角形就是直角三角形；逐一判断即可解答.
6．【答案】2或10
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：当8为斜边时，第三条边为
当6和8为直角边时，第三边为
故答案为：2或10
【分析】根据直角三角形性质分类讨论，结合勾股定理即可求出答案.
7．【答案】24 cm
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解： 已知a：b=3：4，设a=3k，b=4k，
由勾股定理得：a2+b2=c2，
即(3k)2+(4k)2=102，
解得：k=2(舍负解)，
则a=3k=3×2=6cm， b=4k=4×2=8cm，
∴△ABC 的周长为=a+b+c=6+8+10=24cm，
故答案为：24 cm.
【分析】 结合题意，根据勾股定理及已知边长比，设未知数求解各边长度，进而计算周长即可.
8．【答案】100
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：，，
，
，，
，
，
故答案为：100．
【分析】根据， 求出的长，再根据勾股定理求出，从而可得到的值 ．
9．【答案】51
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理可得：直角三角形的斜边长2=，可得直角三角形的斜边长=17cm.
即阴影长方形的长为，
阴影部分的长方形面积是，
故答案为：．
【分析】
先根据勾股定理求出阴影长方形的长为，即可解答．
10．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
．
∴
故答案为：．
【分析】
根据三角形内角和定理求出，在直角三角形中得出，根据直角三角形的性质计算即可．
11．【答案】3
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设直角三角形直角边为a、b，斜边为c，则a2+b2=c2；
扩大3倍后，直角三角形直角边为3a、3b，则根据勾股定理知斜边为
=3c．即直角三角形两直角边都扩大到原来的3倍，
则斜边扩大到原来的3倍．
故答案为：3．
【分析】本题考查勾股定理.设直角三角形直角边为a、b，斜边为c，利用勾股定理可得：a2+b2=c2
；扩大3倍后，直角三角形直角边为3a、3b，利用勾股定理可求出扩大后的斜边，据此可求出答案.
12．【答案】解：，，，
，
，
又，，，
，
是直角三角形，
四边形的面积为：
．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得AB，再根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据四边形面积=，结合三角形面积即可求出答案.
13．【答案】解：在中：
，米，米，
（米），
此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，
（米），
（米），
（米），
答：船向岸边移动了9米．
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】根据勾股定理可得AB=15，由题意可得CD=10，再根据勾股定理可得AD，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，
∵
∴
∵，
∴
在和中，
∴
∴
∴
在中，根据勾股定理可得，
∴
解得：（负值舍去）
故选：B．
【分析】过点作于点，证明得出，在中，根据勾股定理建立方程，即可求解．
15．【答案】D
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵小正方形面积为7，
∴，
∴
又∵，
∴
∴得，
∴，
∴大正方形的面积为，
∴大正方形的边长为．
故答案为：D．
【分析】根据小正方形面积为7得，结合，得出，再根据大正方形的面积等于边长的平方并结合勾股定理即可求解．
16．【答案】D
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】 解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
由于△ABC是等腰三角形，D为BC的中点，
∴BD=DC=BC=8，
在直角三角形ABD中，应用勾股定理得：
AD2+BD2=AB2，
即AD2+82=172，
解得：AD==15，
∴S△ABC=×BC×AD=×16×15=8×15=120，
故答案为：D.
【分析】 根据题意已知等腰三角形的两边AB和AC均为17，底边BC为16，可通过作底边的高，将三角形分为两个直角三角形，利用勾股定理求高，进而计算面积即可.
17．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，
根据勾股定理得：a2+b2=c2，
∵a2+b2+c2=200，∴2c2=200，
∴c2=100，∴c=10.
故答案为：C.
【分析】设出直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，利用勾股定理得a2+b2=c2，再由三边的平方和为200，得a2+b2+c2=200，根据两式即可求出斜边的长．
18．【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：由图可知正方形的边长为1，
∴正方形的对角线长为：，
∵顶点A为圆心、对角线长为半径画弧，
，
∴点表示的数是，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理求出正方形的对角线长为，即可得到，解题即可．
19．【答案】D
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，则，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即折叠后椅子比完全打开时高，
故答案为：．
【分析】先得到和是等边三角形，即可得到， 过点作于点， 然后利用勾股定理得到完全打开时的高度，解题即可．
20．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：将绕点A逆时针旋转60°得，连接PQ。
∴PQ=AQ=AP=1，
∴为等边三角形
∴
∴
在中，由勾股定理可知
【分析】首先利用旋转构造相等角，相等线段AP=AQ，结合旋转角60°易得为等边三角形，从而可证是直角三角形，利用勾股定理可求。
21．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵的垂直平分线交于点D，交的延长线于点E，
∴，
∵，，，
∴，
设，则，
在中，
，即，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出，在Rt△ABC中，由勾股定理算出，设，则，在Rt△ACE中，利用勾股定理建立方程求解即可．
22．【答案】10
【知识点】平行线的性质；勾股定理；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=16，BC=12，
根据勾股定理，AB=AC2+BC2=162+122===20，
∴AB=20。
∵ CD是Rt△ABC斜边AB的中线，
∴CD=AB=x20=10.
∵ DE∥B，
∴ ∠E= ∠BCE.
∵ CE平分∠DCB，
∴∠BCE=∠DCE.
∴∠E=∠DCE，
∴CD=DE=10，即DE的长为10.
故填：10.
【分析】先根据勾股定理，求出AB的长；再利用直角三角形的中线定理，求出中线的长；接着运用角平线的性质和平行线的性质，通过等量代换，求出∠E=∠DCE；最后利用等角对等边，即可得出答案.
23．【答案】47
【知识点】勾股数；勾股树模型
【解析】【解答】设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
，
，
，
即最大正方形E的面积为：．
故答案为：47．
【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形E的边长为x，y，z，利用勾股定理可求出最大正方形E的面积.
24．【答案】10
【知识点】几何体的展开图；两点之间线段最短；勾股定理
【解析】【解答】解：将长方体展开，连接A、B′，
∵AA′=1+3+1+3=8（cm），A′B′=6cm，
根据两点之间线段最短，AB′= =10cm．
故答案为10．
【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
25．【答案】（1）证明：∵ AB=CD，AD=CB，BD=DB，
∴ △ABD≌△CDB.
（2）解：如图，过点O作OE⊥BD于点E，
∵△ABD≌△CDB，
∴∠CBD=∠ADB，
∴OB=OD，
∴BE=DE=3，
∴.

【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据SSS证明三角形全等即可；
（2）过点O作OE⊥BD于点E，根据全等三角形的对应角相等得到∠CBD=∠ADB，即可得到OB=OD，然后根据勾股定理求出OE长即可.
26．【答案】（1）解：设OA=xm，则OA1=xm，OB=x-(1.4-0.6)=(x-0.8)m
在Rt△OBA1中，由勾股定理可得OB2+A1B2=OA12
∴(x-0.8)2+2.42=x2
解得：x=4
∴秋千OA的长度为4m
（2）解：连接AC
∵∠B=90°，AB=20m，BC=15m
∴
∵AC=25m，CD=7m，AD=24m
∴AD2+DC2=AC2
∴△ACD为直角三角形，且∠ADC=90°
∴
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）设OA=xm，则OA1=xm，OB=x-(1.4-0.6)=(x-0.8)m，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（2）连接AC，根据勾股定理可得AC，再根据勾股定理逆定理可得△ACD为直角三角形，且∠ADC=90°，再根据，结合三角形面积即可求出答案.
27．【答案】（1）解：，
（2）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，，
当时，，
解得或（舍去）；
当时，，
解得；
当时，，
解得（舍去）．
综上所述，或；
②能，理由如下：
∵，点C在上，，
∴只能是
∴，
即，
解得
∴在移动的过程中，能使为直角三角形，此时．
【知识点】勾股定理；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：（1）∵，，且
∴，，
∴，；
【分析】（1）根据算术平方根及绝对值的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都为零，可求出a、b的值；
（2）①首先根据勾股定理算出AB的长，然后根据路程等于速度乘以时间，用含t的式子表示出OC、OA、OB，分OB=AB、AB=AO、OB=OA三种情况，分别建立方程，求解即可；
②首先判断出只能∠OBA=90°，然后根据勾股定理列出方程，解方程即可得出答案.
（1）∵，，且
∴，，
∴，；
（2）①∵，，
∴，
∵，
∴，，
当时，，
解得或（舍去）；
当时，，
解得；
当时，，
解得（舍去）．
综上所述，或；
②能．
∵，点C在上，，
∴只能是
∴，
即，解得
∴在移动的过程中，能使为直角三角形，此时．
1 / 1湘教版数学八年级上册 5.2 勾股定理及逆定理 第一课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．在下列四组数中，属于勾股数的是（　　）
A． B．
C．3，5，7 D．5，12，13
【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
B、1，，不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
C、，故不是勾股数，不符合题意；
D、，故是勾股数，符合题意；
故答案为：D．
【分析】凡是能构成一个直角三角形三边的一组正整数，就是勾股数，据此逐一判断得出答案.
2．在中，，、、所对边的长分别为a、b、c，若，，那么的值是（　　）
A．2 B．6 C．20 D．36
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意，为直角三角形，，因此边c为斜边，a、b为直角边，
由勾股定理得：，
代入已知条件，，
得：，
因此，的值为6，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理“直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方”列式代值计算即可.
3．（2024八上·沐川期末）如图，在中，，，点A恰好落在数轴上表示的点上，以原点O为圆心，的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵中，，，，
∴，
又∵，
∴，
又∵点P在原点的左边，
∴点P表示的数为，
故答案为：A．
【分析】
根据及实数与数轴的关系：任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数，因而先依据勾股定理即可得到的长，进而得出的长，即可得到点P所表示的数，解答即可．
4．（2023八上·清新期末）如图，在三角形中，已知，，，则的大小有可能是（　　）
A．7 B．4 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在中，，
则，
记得AB=5.
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理直接列出算式求出AB的长即可.
5．（2024八上·顺德期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，本选项结论正确，故A不符合题意；
B、∵，本选项结论正确，故B不符合题意；
C、∵，本选项结论错误，故C符合题意；
D、∵
∴，
∴是直角三角形，且，本选项结论正确，故D不符合题意；
故答案为：C．
根据勾股定理：直角三角形的三边长、、满足；根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长、、满足，那么这个三角形就是直角三角形；逐一判断即可解答.
6．（2025八上·福田开学考）直角三角形两条边长分别是6和8，则这个直角三角形的第三边长　 　．
【答案】2或10
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：当8为斜边时，第三条边为
当6和8为直角边时，第三边为
故答案为：2或10
【分析】根据直角三角形性质分类讨论，结合勾股定理即可求出答案.
7． 在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若c=10 cm，a：b=3：4，则△ABC 的周长为　 　
【答案】24 cm
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解： 已知a：b=3：4，设a=3k，b=4k，
由勾股定理得：a2+b2=c2，
即(3k)2+(4k)2=102，
解得：k=2(舍负解)，
则a=3k=3×2=6cm， b=4k=4×2=8cm，
∴△ABC 的周长为=a+b+c=6+8+10=24cm，
故答案为：24 cm.
【分析】 结合题意，根据勾股定理及已知边长比，设未知数求解各边长度，进而计算周长即可.
8．（2024八上·成都期中）如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和．已知，且，则的值为　 　．
【答案】100
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：，，
，
，，
，
，
故答案为：100．
【分析】根据， 求出的长，再根据勾股定理求出，从而可得到的值 ．
9．（2024八上·顺德期中）如图，阴影部分的长方形面积是　 　．
【答案】51
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理可得：直角三角形的斜边长2=，可得直角三角形的斜边长=17cm.
即阴影长方形的长为，
阴影部分的长方形面积是，
故答案为：．
【分析】
先根据勾股定理求出阴影长方形的长为，即可解答．
10．（2024八上·惠城期中）如图，在中，是高，则　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
．
∴
故答案为：．
【分析】
根据三角形内角和定理求出，在直角三角形中得出，根据直角三角形的性质计算即可．
11．（2024八上·福田期中）直角三角形的两直角边均扩大到原来的3倍，则斜边扩大到原来的　 　倍．
【答案】3
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设直角三角形直角边为a、b，斜边为c，则a2+b2=c2；
扩大3倍后，直角三角形直角边为3a、3b，则根据勾股定理知斜边为
=3c．即直角三角形两直角边都扩大到原来的3倍，
则斜边扩大到原来的3倍．
故答案为：3．
【分析】本题考查勾股定理.设直角三角形直角边为a、b，斜边为c，利用勾股定理可得：a2+b2=c2
；扩大3倍后，直角三角形直角边为3a、3b，利用勾股定理可求出扩大后的斜边，据此可求出答案.
12．（2023八上·婺城月考）如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积．
【答案】解：，，，
，
，
又，，，
，
是直角三角形，
四边形的面积为：
．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得AB，再根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据四边形面积=，结合三角形面积即可求出答案.
13．（2023八上·银川期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以1米/秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的）
【答案】解：在中：
，米，米，
（米），
此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，
（米），
（米），
（米），
答：船向岸边移动了9米．
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】根据勾股定理可得AB=15，由题意可得CD=10，再根据勾股定理可得AD，再根据边之间的关系即可求出答案.
二、能力提升
14．（2025八上·杭州期末）将两个直角三角形摆放如图，其中，则长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，
∵
∴
∵，
∴
在和中，
∴
∴
∴
在中，根据勾股定理可得，
∴
解得：（负值舍去）
故选：B．
【分析】过点作于点，证明得出，在中，根据勾股定理建立方程，即可求解．
15．（河南省周口市郸城县名校联考2024-2025学年第一学期1月期末考试八年级数学试题 ）上图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵小正方形面积为7，
∴，
∴
又∵，
∴
∴得，
∴，
∴大正方形的面积为，
∴大正方形的边长为．
故答案为：D．
【分析】根据小正方形面积为7得，结合，得出，再根据大正方形的面积等于边长的平方并结合勾股定理即可求解．
16． 在△ABC中，AB=AC=17，BC=16，则△ABC的面积为(　　)
A．60 B．80 C．100 D．120
【答案】D
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】 解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
由于△ABC是等腰三角形，D为BC的中点，
∴BD=DC=BC=8，
在直角三角形ABD中，应用勾股定理得：
AD2+BD2=AB2，
即AD2+82=172，
解得：AD==15，
∴S△ABC=×BC×AD=×16×15=8×15=120，
故答案为：D.
【分析】 根据题意已知等腰三角形的两边AB和AC均为17，底边BC为16，可通过作底边的高，将三角形分为两个直角三角形，利用勾股定理求高，进而计算面积即可.
17．（2025八上·拱墅期末）一个直角三角形，若三边的平方和为200，则斜边长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，
根据勾股定理得：a2+b2=c2，
∵a2+b2+c2=200，∴2c2=200，
∴c2=100，∴c=10.
故答案为：C.
【分析】设出直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，利用勾股定理得a2+b2=c2，再由三边的平方和为200，得a2+b2+c2=200，根据两式即可求出斜边的长．
18．（2025八上·贵州期末）以单位1为边长画一个正方形，以顶点A为圆心、对角线长为半径画弧，与数轴的交点为C（点C在点B左侧），设点C在数轴上表示的数是a，则点A在数轴上表示的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：由图可知正方形的边长为1，
∴正方形的对角线长为：，
∵顶点A为圆心、对角线长为半径画弧，
，
∴点表示的数是，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理求出正方形的对角线长为，即可得到，解题即可．
19．（2025八上·淳安期末）如图（）是一把折叠椅实物图，支架与交于点，．如图（）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），椅面与地面水平线平行，，，，那么折叠后椅子比完全打开时高（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，则，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即折叠后椅子比完全打开时高，
故答案为：．
【分析】先得到和是等边三角形，即可得到， 过点作于点， 然后利用勾股定理得到完全打开时的高度，解题即可．
20．（2025八上·鄞州月考）已知P为等边 内一点， 则 　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：将绕点A逆时针旋转60°得，连接PQ。
∴PQ=AQ=AP=1，
∴为等边三角形
∴
∴
在中，由勾股定理可知
【分析】首先利用旋转构造相等角，相等线段AP=AQ，结合旋转角60°易得为等边三角形，从而可证是直角三角形，利用勾股定理可求。
21．（2024八上·苏州期中）如图，在中，，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC的延长线于点E．若，，则EC的长为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵的垂直平分线交于点D，交的延长线于点E，
∴，
∵，，，
∴，
设，则，
在中，
，即，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出，在Rt△ABC中，由勾股定理算出，设，则，在Rt△ACE中，利用勾股定理建立方程求解即可．
22． 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE∥BC，CE平分∠DCB，BC=12，AC=16，则DE的长是　 　.
【答案】10
【知识点】平行线的性质；勾股定理；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=16，BC=12，
根据勾股定理，AB=AC2+BC2=162+122===20，
∴AB=20。
∵ CD是Rt△ABC斜边AB的中线，
∴CD=AB=x20=10.
∵ DE∥B，
∴ ∠E= ∠BCE.
∵ CE平分∠DCB，
∴∠BCE=∠DCE.
∴∠E=∠DCE，
∴CD=DE=10，即DE的长为10.
故填：10.
【分析】先根据勾股定理，求出AB的长；再利用直角三角形的中线定理，求出中线的长；接着运用角平线的性质和平行线的性质，通过等量代换，求出∠E=∠DCE；最后利用等角对等边，即可得出答案.
23．（2025八上·宁海期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是　 　．
【答案】47
【知识点】勾股数；勾股树模型
【解析】【解答】设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
，
，
，
即最大正方形E的面积为：．
故答案为：47．
【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形E的边长为x，y，z，利用勾股定理可求出最大正方形E的面积.
24．（2019八上·宁化月考）如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要　 　cm．
【答案】10
【知识点】几何体的展开图；两点之间线段最短；勾股定理
【解析】【解答】解：将长方体展开，连接A、B′，
∵AA′=1+3+1+3=8（cm），A′B′=6cm，
根据两点之间线段最短，AB′= =10cm．
故答案为10．
【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
25．（2025八上·义乌月考）已知：如图，AD、BC相交于点O，AB=CD，AD=CB.
（1）求证：△ABD≌△CDB.
（2）若OB =4，BD=6时，求△OBD中 BD边上的高.
【答案】（1）证明：∵ AB=CD，AD=CB，BD=DB，
∴ △ABD≌△CDB.
（2）解：如图，过点O作OE⊥BD于点E，
∵△ABD≌△CDB，
∴∠CBD=∠ADB，
∴OB=OD，
∴BE=DE=3，
∴.

【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据SSS证明三角形全等即可；
（2）过点O作OE⊥BD于点E，根据全等三角形的对应角相等得到∠CBD=∠ADB，即可得到OB=OD，然后根据勾股定理求出OE长即可.
三、拓展创新
26．（2025八上·深圳月考）
（1）秋千在平衡位置时，下端A距地面，当秋千荡到的位置时，下端距平衡时的水平距离为，距地面，求秋千的长度．
（2）如图，已知一块四边形的草地ABCD，其中，，，，，求这块草地的面积．
【答案】（1）解：设OA=xm，则OA1=xm，OB=x-(1.4-0.6)=(x-0.8)m
在Rt△OBA1中，由勾股定理可得OB2+A1B2=OA12
∴(x-0.8)2+2.42=x2
解得：x=4
∴秋千OA的长度为4m
（2）解：连接AC
∵∠B=90°，AB=20m，BC=15m
∴
∵AC=25m，CD=7m，AD=24m
∴AD2+DC2=AC2
∴△ACD为直角三角形，且∠ADC=90°
∴
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）设OA=xm，则OA1=xm，OB=x-(1.4-0.6)=(x-0.8)m，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（2）连接AC，根据勾股定理可得AC，再根据勾股定理逆定理可得△ACD为直角三角形，且∠ADC=90°，再根据，结合三角形面积即可求出答案.
27．（2023八上·南海月考）如图1，在中，，直角边在射线上，直角顶点C与射线端点O重合，，，且满足．
（1）写出a，b的值；
（2）如图2，向右匀速移动，在移动的过程中的形状大小不变，且边在射线上匀速向右运动，移动的速度为2个单位/秒，移动的时间为t秒，连接．
①若为等腰三角形，求t的值；
②在移动的过程中，能否使为直角三角形？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
【答案】（1）解：，
（2）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，，
当时，，
解得或（舍去）；
当时，，
解得；
当时，，
解得（舍去）．
综上所述，或；
②能，理由如下：
∵，点C在上，，
∴只能是
∴，
即，
解得
∴在移动的过程中，能使为直角三角形，此时．
【知识点】勾股定理；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：（1）∵，，且
∴，，
∴，；
【分析】（1）根据算术平方根及绝对值的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都为零，可求出a、b的值；
（2）①首先根据勾股定理算出AB的长，然后根据路程等于速度乘以时间，用含t的式子表示出OC、OA、OB，分OB=AB、AB=AO、OB=OA三种情况，分别建立方程，求解即可；
②首先判断出只能∠OBA=90°，然后根据勾股定理列出方程，解方程即可得出答案.
（1）∵，，且
∴，，
∴，；
（2）①∵，，
∴，
∵，
∴，，
当时，，
解得或（舍去）；
当时，，
解得；
当时，，
解得（舍去）．
综上所述，或；
②能．
∵，点C在上，，
∴只能是
∴，
即，解得
∴在移动的过程中，能使为直角三角形，此时．
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