资源简介

河北省石家庄第十二中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试卷
1．（2025八上·石家庄月考）下列各组图形中，属于全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·石家庄月考）在代数式，，，，中，分式的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2025八上·石家庄月考）以下命题的逆命题为真命题的是（　　）
A．邻补角相等 B．同旁内角互补，两直线平行
C．若 ，则 D．若 ，则
4．（2025八上·石家庄月考）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八上·石家庄月考）将分式方程 化为整式方程，正确的是（　　）
A．x﹣2=3 B．x+2=3
C．x﹣2=3（x﹣2） D．x+2=3（x﹣2）
6．（2025八上·石家庄月考）如图的两个三角形全等，则的度数为（　　）
A．50° B．58° C．60° D．62°
7．（2025八上·石家庄月考）若，则□中的数是（　　）
A．－1 B．－2 C．－3 D．任意实数
8．（2025八上·石家庄月考）用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，可得，进一步得到．上述作图中判定全等三角形的依据是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八上·石家庄月考）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八上·石家庄月考）已知分式 （，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（　　）
x的取值
分式的值 无意义
A． B． C． D．
11．（2025八上·石家庄月考）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
12．（2025八上·石家庄月考）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动（　　）时，．
A．2 B．6 C．2或6 D．2或5
13．（2025八上·石家庄月考）分式方程的解为　 　．
14．（2025八上·石家庄月考）如图，已知，，，则的长是　 　．
15．（2025八上·石家庄月考）振兴中学数学兴趣小组为测量校内攀岩墙的高度，设计了如下方案：首先找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合，记录直杆与地面的夹角，然后使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，直到，标记此时直杆的底端点，最后测得，则攀岩墙的高度　 　．
16．（2025八上·石家庄月考）小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是、，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前出发，求小明和小刚两人的速度．设小明的速度是，根据题意可列方程为　 　．
17．（2025八上·石家庄月考）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为　 　．
18．（2025八上·石家庄月考）计算：
（1）；
（2）；
19．（2025八上·石家庄月考）如图，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
20．（2025八上·石家庄月考）已知关于x的分式方程．
（1）当时，甲同学的解题过程如下：
解：（第一步）去分母，得：， （第二步）去括号，得：， （第三步）合并同类项，得：， （第四步）系数化为1，得：， （第五步）检验：当时，，所以是增根， （第六步）所以原分式方程无解．
甲同学从第__________步开始出现错误，请你写出正确的解法；
（2）若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求m的值．
21．（2025八上·石家庄月考）小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且，，测得．
（1）求证：；
（2）若，，求池塘的长度．
22．（2025八上·石家庄月考）下面是按一定规律排列的一列等式：
①；②；③；④
（1）根据上面等式的规律补全等式：；
（2）用含（为正整数）的式子表示上述第个等式：______；
（3）请证明（2）中等式的正确性；
（4）根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果：
．
23．（2025八上·石家庄月考）野生木耳是本市著名特产之一．某土特产专卖店经销A，B两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所示：
品牌 A B
进货（元/袋）
销售（元/袋） 80 100
（1）第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同，求的值．
（2）第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进A，B两种品牌共180袋，销售时A、B两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于3600元．
24．（2025八上·石家庄月考）实践与探究
点和线是最基本的图形，点、线运动带来的动态几何问题是常见的热点题型之一．解这类题目要“以静制动”，把动态问题变为静态问题来解．一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变．
为了培养学生的数学思维与探究能力，在数学实践与探究课上，王老师让同学们以“图形的运动”为主题开展数学学习活动．
在中，，，点D是直线上的一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接．
（1）操作发现
①当点D在线段上时，如图1．请你直接写出与的位置关系 ▲ ；
②请写出线段、、的数量关系，并进行证明．
（2）猜想论证
当点D在直线上运动时，如图2，点D在射线上．请写出线段、、的数量关系　 　；
（3）拓展延伸
如图3，点D在射线上．若，，请求出的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】全等图形的概念
【解析】【解答】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；
B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；
C、两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意；
D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；
故选：C．
【分析】
根据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形叫做全等形）逐项需分析选项中的图形是否满足形状和大小完全相同即可。
2．【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：
，分母为a（含字母），是分式；
，分母为2（常数），不是分式；
，分母为π（常数），不是分式；
，分母为x+y（含字母），是分式；
分母为6+x（含字母），是分式。
故分式有：，，，共3个；
故选：C．
【分析】
根据分式的定义，形如（均为整式且中含有字母），对每个代数式进行判断是否为分式即可。
3．【答案】D
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、邻补角相等的逆命题是：互补的两个角相等，是假命题，不符合题意；
B、同旁内角互补，两直线平行的逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，符合题意；
C. 若a=b，则 的逆命题为若 ，则a=b，此逆命题为假命题，故不符合题意；
D. 若a>0，b>0，则 的逆命题为若 ，则a>0，b>0，此逆命题为假命题，故不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据命题的定义对每个选项一一判断即可。
4．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、，错误；
B、，错误；
C、，正确；
D、，错误.
故答案为：C.
【分析】分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，根据分式的基本性质逐一判断即可得出答案.
5．【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：x+2=3（x-2），
故选D.
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵两个三角形全等，∠1是边a和b的夹角，
∴.
故答案为：C．
【分析】根据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行计算即可．
7．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：由等式的性质可得，
，
，
当时，上式，
当时，分式无意义，
所以．
故选：B．
【分析】
将等式右侧的分式移项至等号左侧，根据同分母分式的的减法法则进行计算即可求得□中的数．
8．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作一个角等于已知角的作法可知，，，，
在和中，
，
∴，
故选：A
【分析】
由作法可知，OD=O'D'，OC=O'C'，DC=D'C'，在△ODC和△O'D'C'中，三边OD=O'D'，OC=O'C'，DC=D'C'分别对应相等，所以判定依据是SSS。
9．【答案】C
【知识点】三角形的面积；平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：平移距离为，
，
由平移的性质可知，
，
，
，
两个直角三角形可以重叠在一起，
，
，
．
故选：C．
【分析】
先根据平移的性质得出，结合已知，利用线段的和差可得，然后根据梯形的面积公式可得：，再通过面积的等量代换（两个三角形面积相等，重叠部分相同，故阴影面积等于梯形面积），即可得出。
10．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的值；解分式方程
【解析】【解答】解：∵时，原分式无意义，
∴，解得：，B选项正确，不符合题意；
∴此分式为，
∵当时，原分式值为0，
∴，解得：， A选项正确，不符合题意；
由上分析，原分式为，
当时，原分式值为，D选项正确，不符合题意；
当时，解得：，
经检验，是原分式方程的解，C选项错误，符合题意；
故选：C．
【分析】
根据分式无意义的条件（分母为0）、分式值为0的条件（分子为0且分母不为0）、值为1的条件，结合表格中x与分式值的对应关系，依次求解m、n、a、b的值，再对比选项判断错误结论。
11．【答案】D
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：解，得：，
∵分式方程的解为非负数，且，
∴且，
∴且；
故选：D．
【分析】
先把m当作常数求出分式方程的解，然后根据其解为非负数，结合分式有意义的条件，得到关于的不等式组，进行求解即可．
12．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵为边上的高，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点E在射线上移动时，如图所示：
∴，
∴点E的运动时间为；
当点E在射线上移动时，如图所示：
∴，
∴点E的运动时间为；
故选：D．
【分析】
先根据已知条件利用AAS证明△CEF≌△ACB，进而根据全等三角形的对应边相等可得出CE=AC=7cm，然后分情况进行讨论：①当点E在射线上移动时，BE=CE+BC=10cm，即可求出E移动了5s；②当点E在射线CB上移动时，CE=AC-BC=4cm，即可求出E移动了．
13．【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】
解：去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
检：当时，，
∴是原方程的解，
故答案为：．
【分析】将分式方程两边去分母转化为整式方程，解方程后检验解是否使分母为零即可得到答案。
14．【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵且，
∴，
∵，
∴，
故答案为：4．
【分析】
根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，先确定AC与AB的数量关系，再通过线段的和差关系计算EC的长度。
15．【答案】7
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形的内角和公式求出∠MDC，进而结合已知条件利用SAS证得△ANB≌△DMC，然后根据全等三角形的对应边相等即可得出结果。
16．【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得，小刚骑自行车的速度是：，
∵若二人同时到达，则小明需提前出发，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据“时间=路程÷速度”分别表示出小明和小刚的时间，结合“二人同时到达，小明需提前4分钟出发（即小刚的总时间等于小明的时间减4分钟）”，这一条件进而列出分式方程即可；
17．【答案】6
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】
解：如图，作交延长线于点．
∵，，，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
故答案为：6
【分析】要解决此问题，需通过构造辅助线，利用全等三角形的性质将△BCD的面积与BC的长度建立联系。过点D作DE⊥BC交BC延长线于点E，根据已知条件利用AAS可证明△ABS≌△CED，进而根据全等三角形的对应边相等得到，然后利用三角形的面积公式可得即可求出BC=6。
18．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算
【解析】【分析】
（1）根据“两个分式相乘，用分子的积作为分式的分子，分母的积作为分式的分母”进行计算，再进行约分即可求解；
（2）首先处理括号内的减法，然后将除法转换为乘法，最后约分后得到最简结果。
（1）解：；
（2）解：
．
19．【答案】（1）证明：因为，
所以，
在和中，
，
，
（全等三角形对应边相等）；
（2）解：由（1）可知：
∴∠A=∠D，
∵，，
∴∠ECD=180°-∠E-∠D=180°-∠E-∠A=180°-35°-25°=120°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据易得，结合，，即可证明（SAS），则；
（2）根据（1）可知，再根据全等三角形的性质可得，结合 ，和三角形的内角和定理可知．
20．【答案】（1）解：一
正确的解法：
去分母，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
检验：当时，，
所以是原分式方程的解；
（2）解：去分母，得：，
∵原方程有增根，
∴，即，
把代入整式方程得，
解得，
∴原方程有增根时，．
【知识点】解分式方程；分式方程的增根；已知分式方程的解求参数
【解析】【分析】
(1) 当m=1时，甲同学在去分母时未正确处理分母符号，导致方程错误；根据解分式方程的步骤进行求解即可；
(2) 把原分式方程化为整式方程，根据方程有增根求得 增根为x=2，代入整式方程求解m的值。
（1）解：甲同学从第一步开始出现错误，
正确的解法：
去分母，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
检验：当时，，
所以是原分式方程的解；
（2）解：去分母，得：，
∵原方程有增根，
∴，即，
把代入整式方程得，
解得，
∴原方程有增根时，．
21．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴池塘的长为．
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得，根据全等三角形判定得证；
（2）结合（1）的结论，根据全等三角形对应边相等得，从而得的值，进而可求出的长.
（1）解：∵，
∴，
∵在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴池塘的长为．
22．【答案】（1）解：∵等式左边被减数的分母为，则减数的分母为：，等式右边分母为，∴等式为：，
故答案为：；
（2）解：根据给出的等式，发现规律：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是，
∴第个等式为：，
故答案为：
（3）证明：左边
，
∴左边右边，
∴原等式成立
（4）解：
．
【知识点】分式的加减法；探索数与式的规律
【解析】【分析】
（1）观察所给的等式，可以发现等式左边被减数的分母与等式序号相关，减数的分母是被减数分母加3，减数与被减数的分子都是1，等式右边分母是左边两个分母相乘，分子是3。据此规律即可求解；
（2）观察等式左边，被减数的分母依次是1，2，3，4， ，所以第n个等式中被减数的分母为n；减数的分母比被减数分母大3，即为n+3；分子都是1。等式右边分母是左边两个分母n与n+3的乘积，分子是3。因此，第n个等式为；
（3）将等式左边的式子通分并化简，再与等式右边的式子进行比较即可；
（4）结合（2）的结论，将分式的和转化为连续项的差，利用抵消法简化计算。
（1）解：∵等式左边被减数的分母为，则减数的分母为：，等式右边分母为，
∴等式为：，
故答案为：；；
（2）根据给出的等式，发现规律：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是，
∴第个等式为：，
故答案为：；
（3）证明：左边
，
∴左边右边，
∴原等式成立；
（4）解：
．
23．【答案】（1）解：由题意可得：，
解得：．
经检验：是原方程的解．
答：x的值为60．
（2）解：设购进B为m袋，A为袋，由题意可得：
，
解得：．
答：至少购进B品牌100袋．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）根据“数量 = 总价÷单价”分别表示出A、B品牌的购进数量，结合“两种品牌所购得的数量相同”这一条件进而列出分式方程求解即可；
（2）设购进B为m袋，A为（180-m）袋，根据“利润=（售价 - 进价）×数量”表示出总利润，结合“利润不低于3600元”的条件建立一元一次不等式，然后解一元一次不等式即可．
（1）解：由题意可得：，解得：．
经检验：是原方程的解．
答：x的值为60．
（2）解：设购进B为m袋，A为袋，由题意可得：
，
解得：．
答：至少购进B品牌100袋．
24．【答案】（1）解：①；
②，证明如下：
，
，
，
．
（2）
（3）解：如图，连接，
∵，，
，
由旋转的性质得：，
，即，
在和中，
，
，
，，
，即，
则的面积为．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【解答】解：（1）①∵在中，，，
，，
由旋转的性质得：，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：由旋转的性质得：，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
（1）①由等腰直角三角形性质和旋转的性质可得∠ACD=∠BCE，又CA=CB，CD=CE，根据SAS可证△ACD≌△BCE，则∠CBE=∠CAD=45°，∠ABC=45°，所以∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°，即AB⊥EB；②由全等得：EB=AD，结合线段和差：AB=BD+AD，由此即可得；
（2）因为∠ACB=90°，CA=CB，∠DCE=90°，所以∠ACD=∠BCE，又CA=CB，CD=CE，根据SAS可证△ACD≌△BCE，则AD=BE，因为BD=AB+AD，所以BD=AB+EB；
（3）连接AE，DE，因为AB=5，BD=7，所以AD=BD-AB=7-5=2，再证出△CBE≌△CAD，根据全等三角形的性质可得BE=AD=2，然后证出BE⊥BD，利用三角形的面积公式求解即可得．
（1）解：①∵在中，，，
，，
由旋转的性质得：，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：；
②，证明如下：
，
，
，
．
（2）解：由旋转的性质得：，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
（3）解：如图，连接，
∵，，
，
由旋转的性质得：，
，即，
在和中，
，
，
，，
，即，
则的面积为．
1 / 1河北省石家庄第十二中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试卷
1．（2025八上·石家庄月考）下列各组图形中，属于全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】全等图形的概念
【解析】【解答】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；
B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；
C、两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意；
D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；
故选：C．
【分析】
根据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形叫做全等形）逐项需分析选项中的图形是否满足形状和大小完全相同即可。
2．（2025八上·石家庄月考）在代数式，，，，中，分式的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：
，分母为a（含字母），是分式；
，分母为2（常数），不是分式；
，分母为π（常数），不是分式；
，分母为x+y（含字母），是分式；
分母为6+x（含字母），是分式。
故分式有：，，，共3个；
故选：C．
【分析】
根据分式的定义，形如（均为整式且中含有字母），对每个代数式进行判断是否为分式即可。
3．（2025八上·石家庄月考）以下命题的逆命题为真命题的是（　　）
A．邻补角相等 B．同旁内角互补，两直线平行
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、邻补角相等的逆命题是：互补的两个角相等，是假命题，不符合题意；
B、同旁内角互补，两直线平行的逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，符合题意；
C. 若a=b，则 的逆命题为若 ，则a=b，此逆命题为假命题，故不符合题意；
D. 若a>0，b>0，则 的逆命题为若 ，则a>0，b>0，此逆命题为假命题，故不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据命题的定义对每个选项一一判断即可。
4．（2025八上·石家庄月考）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、，错误；
B、，错误；
C、，正确；
D、，错误.
故答案为：C.
【分析】分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，根据分式的基本性质逐一判断即可得出答案.
5．（2025八上·石家庄月考）将分式方程 化为整式方程，正确的是（　　）
A．x﹣2=3 B．x+2=3
C．x﹣2=3（x﹣2） D．x+2=3（x﹣2）
【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：x+2=3（x-2），
故选D.
6．（2025八上·石家庄月考）如图的两个三角形全等，则的度数为（　　）
A．50° B．58° C．60° D．62°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵两个三角形全等，∠1是边a和b的夹角，
∴.
故答案为：C．
【分析】根据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行计算即可．
7．（2025八上·石家庄月考）若，则□中的数是（　　）
A．－1 B．－2 C．－3 D．任意实数
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：由等式的性质可得，
，
，
当时，上式，
当时，分式无意义，
所以．
故选：B．
【分析】
将等式右侧的分式移项至等号左侧，根据同分母分式的的减法法则进行计算即可求得□中的数．
8．（2025八上·石家庄月考）用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，可得，进一步得到．上述作图中判定全等三角形的依据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作一个角等于已知角的作法可知，，，，
在和中，
，
∴，
故选：A
【分析】
由作法可知，OD=O'D'，OC=O'C'，DC=D'C'，在△ODC和△O'D'C'中，三边OD=O'D'，OC=O'C'，DC=D'C'分别对应相等，所以判定依据是SSS。
9．（2025八上·石家庄月考）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：平移距离为，
，
由平移的性质可知，
，
，
，
两个直角三角形可以重叠在一起，
，
，
．
故选：C．
【分析】
先根据平移的性质得出，结合已知，利用线段的和差可得，然后根据梯形的面积公式可得：，再通过面积的等量代换（两个三角形面积相等，重叠部分相同，故阴影面积等于梯形面积），即可得出。
10．（2025八上·石家庄月考）已知分式 （，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（　　）
x的取值
分式的值 无意义
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的值；解分式方程
【解析】【解答】解：∵时，原分式无意义，
∴，解得：，B选项正确，不符合题意；
∴此分式为，
∵当时，原分式值为0，
∴，解得：， A选项正确，不符合题意；
由上分析，原分式为，
当时，原分式值为，D选项正确，不符合题意；
当时，解得：，
经检验，是原分式方程的解，C选项错误，符合题意；
故选：C．
【分析】
根据分式无意义的条件（分母为0）、分式值为0的条件（分子为0且分母不为0）、值为1的条件，结合表格中x与分式值的对应关系，依次求解m、n、a、b的值，再对比选项判断错误结论。
11．（2025八上·石家庄月考）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：解，得：，
∵分式方程的解为非负数，且，
∴且，
∴且；
故选：D．
【分析】
先把m当作常数求出分式方程的解，然后根据其解为非负数，结合分式有意义的条件，得到关于的不等式组，进行求解即可．
12．（2025八上·石家庄月考）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动（　　）时，．
A．2 B．6 C．2或6 D．2或5
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵为边上的高，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点E在射线上移动时，如图所示：
∴，
∴点E的运动时间为；
当点E在射线上移动时，如图所示：
∴，
∴点E的运动时间为；
故选：D．
【分析】
先根据已知条件利用AAS证明△CEF≌△ACB，进而根据全等三角形的对应边相等可得出CE=AC=7cm，然后分情况进行讨论：①当点E在射线上移动时，BE=CE+BC=10cm，即可求出E移动了5s；②当点E在射线CB上移动时，CE=AC-BC=4cm，即可求出E移动了．
13．（2025八上·石家庄月考）分式方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】
解：去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
检：当时，，
∴是原方程的解，
故答案为：．
【分析】将分式方程两边去分母转化为整式方程，解方程后检验解是否使分母为零即可得到答案。
14．（2025八上·石家庄月考）如图，已知，，，则的长是　 　．
【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵且，
∴，
∵，
∴，
故答案为：4．
【分析】
根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，先确定AC与AB的数量关系，再通过线段的和差关系计算EC的长度。
15．（2025八上·石家庄月考）振兴中学数学兴趣小组为测量校内攀岩墙的高度，设计了如下方案：首先找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合，记录直杆与地面的夹角，然后使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，直到，标记此时直杆的底端点，最后测得，则攀岩墙的高度　 　．
【答案】7
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形的内角和公式求出∠MDC，进而结合已知条件利用SAS证得△ANB≌△DMC，然后根据全等三角形的对应边相等即可得出结果。
16．（2025八上·石家庄月考）小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是、，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前出发，求小明和小刚两人的速度．设小明的速度是，根据题意可列方程为　 　．
【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得，小刚骑自行车的速度是：，
∵若二人同时到达，则小明需提前出发，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据“时间=路程÷速度”分别表示出小明和小刚的时间，结合“二人同时到达，小明需提前4分钟出发（即小刚的总时间等于小明的时间减4分钟）”，这一条件进而列出分式方程即可；
17．（2025八上·石家庄月考）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为　 　．
【答案】6
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】
解：如图，作交延长线于点．
∵，，，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
故答案为：6
【分析】要解决此问题，需通过构造辅助线，利用全等三角形的性质将△BCD的面积与BC的长度建立联系。过点D作DE⊥BC交BC延长线于点E，根据已知条件利用AAS可证明△ABS≌△CED，进而根据全等三角形的对应边相等得到，然后利用三角形的面积公式可得即可求出BC=6。
18．（2025八上·石家庄月考）计算：
（1）；
（2）；
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算
【解析】【分析】
（1）根据“两个分式相乘，用分子的积作为分式的分子，分母的积作为分式的分母”进行计算，再进行约分即可求解；
（2）首先处理括号内的减法，然后将除法转换为乘法，最后约分后得到最简结果。
（1）解：；
（2）解：
．
19．（2025八上·石家庄月考）如图，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：因为，
所以，
在和中，
，
，
（全等三角形对应边相等）；
（2）解：由（1）可知：
∴∠A=∠D，
∵，，
∴∠ECD=180°-∠E-∠D=180°-∠E-∠A=180°-35°-25°=120°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据易得，结合，，即可证明（SAS），则；
（2）根据（1）可知，再根据全等三角形的性质可得，结合 ，和三角形的内角和定理可知．
20．（2025八上·石家庄月考）已知关于x的分式方程．
（1）当时，甲同学的解题过程如下：
解：（第一步）去分母，得：， （第二步）去括号，得：， （第三步）合并同类项，得：， （第四步）系数化为1，得：， （第五步）检验：当时，，所以是增根， （第六步）所以原分式方程无解．
甲同学从第__________步开始出现错误，请你写出正确的解法；
（2）若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求m的值．
【答案】（1）解：一
正确的解法：
去分母，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
检验：当时，，
所以是原分式方程的解；
（2）解：去分母，得：，
∵原方程有增根，
∴，即，
把代入整式方程得，
解得，
∴原方程有增根时，．
【知识点】解分式方程；分式方程的增根；已知分式方程的解求参数
【解析】【分析】
(1) 当m=1时，甲同学在去分母时未正确处理分母符号，导致方程错误；根据解分式方程的步骤进行求解即可；
(2) 把原分式方程化为整式方程，根据方程有增根求得 增根为x=2，代入整式方程求解m的值。
（1）解：甲同学从第一步开始出现错误，
正确的解法：
去分母，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
检验：当时，，
所以是原分式方程的解；
（2）解：去分母，得：，
∵原方程有增根，
∴，即，
把代入整式方程得，
解得，
∴原方程有增根时，．
21．（2025八上·石家庄月考）小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且，，测得．
（1）求证：；
（2）若，，求池塘的长度．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴池塘的长为．
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得，根据全等三角形判定得证；
（2）结合（1）的结论，根据全等三角形对应边相等得，从而得的值，进而可求出的长.
（1）解：∵，
∴，
∵在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴池塘的长为．
22．（2025八上·石家庄月考）下面是按一定规律排列的一列等式：
①；②；③；④
（1）根据上面等式的规律补全等式：；
（2）用含（为正整数）的式子表示上述第个等式：______；
（3）请证明（2）中等式的正确性；
（4）根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果：
．
【答案】（1）解：∵等式左边被减数的分母为，则减数的分母为：，等式右边分母为，∴等式为：，
故答案为：；
（2）解：根据给出的等式，发现规律：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是，
∴第个等式为：，
故答案为：
（3）证明：左边
，
∴左边右边，
∴原等式成立
（4）解：
．
【知识点】分式的加减法；探索数与式的规律
【解析】【分析】
（1）观察所给的等式，可以发现等式左边被减数的分母与等式序号相关，减数的分母是被减数分母加3，减数与被减数的分子都是1，等式右边分母是左边两个分母相乘，分子是3。据此规律即可求解；
（2）观察等式左边，被减数的分母依次是1，2，3，4， ，所以第n个等式中被减数的分母为n；减数的分母比被减数分母大3，即为n+3；分子都是1。等式右边分母是左边两个分母n与n+3的乘积，分子是3。因此，第n个等式为；
（3）将等式左边的式子通分并化简，再与等式右边的式子进行比较即可；
（4）结合（2）的结论，将分式的和转化为连续项的差，利用抵消法简化计算。
（1）解：∵等式左边被减数的分母为，则减数的分母为：，等式右边分母为，
∴等式为：，
故答案为：；；
（2）根据给出的等式，发现规律：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是，
∴第个等式为：，
故答案为：；
（3）证明：左边
，
∴左边右边，
∴原等式成立；
（4）解：
．
23．（2025八上·石家庄月考）野生木耳是本市著名特产之一．某土特产专卖店经销A，B两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所示：
品牌 A B
进货（元/袋）
销售（元/袋） 80 100
（1）第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同，求的值．
（2）第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进A，B两种品牌共180袋，销售时A、B两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于3600元．
【答案】（1）解：由题意可得：，
解得：．
经检验：是原方程的解．
答：x的值为60．
（2）解：设购进B为m袋，A为袋，由题意可得：
，
解得：．
答：至少购进B品牌100袋．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）根据“数量 = 总价÷单价”分别表示出A、B品牌的购进数量，结合“两种品牌所购得的数量相同”这一条件进而列出分式方程求解即可；
（2）设购进B为m袋，A为（180-m）袋，根据“利润=（售价 - 进价）×数量”表示出总利润，结合“利润不低于3600元”的条件建立一元一次不等式，然后解一元一次不等式即可．
（1）解：由题意可得：，解得：．
经检验：是原方程的解．
答：x的值为60．
（2）解：设购进B为m袋，A为袋，由题意可得：
，
解得：．
答：至少购进B品牌100袋．
24．（2025八上·石家庄月考）实践与探究
点和线是最基本的图形，点、线运动带来的动态几何问题是常见的热点题型之一．解这类题目要“以静制动”，把动态问题变为静态问题来解．一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变．
为了培养学生的数学思维与探究能力，在数学实践与探究课上，王老师让同学们以“图形的运动”为主题开展数学学习活动．
在中，，，点D是直线上的一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接．
（1）操作发现
①当点D在线段上时，如图1．请你直接写出与的位置关系 ▲ ；
②请写出线段、、的数量关系，并进行证明．
（2）猜想论证
当点D在直线上运动时，如图2，点D在射线上．请写出线段、、的数量关系　 　；
（3）拓展延伸
如图3，点D在射线上．若，，请求出的面积．
【答案】（1）解：①；
②，证明如下：
，
，
，
．
（2）
（3）解：如图，连接，
∵，，
，
由旋转的性质得：，
，即，
在和中，
，
，
，，
，即，
则的面积为．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【解答】解：（1）①∵在中，，，
，，
由旋转的性质得：，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：由旋转的性质得：，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
（1）①由等腰直角三角形性质和旋转的性质可得∠ACD=∠BCE，又CA=CB，CD=CE，根据SAS可证△ACD≌△BCE，则∠CBE=∠CAD=45°，∠ABC=45°，所以∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°，即AB⊥EB；②由全等得：EB=AD，结合线段和差：AB=BD+AD，由此即可得；
（2）因为∠ACB=90°，CA=CB，∠DCE=90°，所以∠ACD=∠BCE，又CA=CB，CD=CE，根据SAS可证△ACD≌△BCE，则AD=BE，因为BD=AB+AD，所以BD=AB+EB；
（3）连接AE，DE，因为AB=5，BD=7，所以AD=BD-AB=7-5=2，再证出△CBE≌△CAD，根据全等三角形的性质可得BE=AD=2，然后证出BE⊥BD，利用三角形的面积公式求解即可得．
（1）解：①∵在中，，，
，，
由旋转的性质得：，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：；
②，证明如下：
，
，
，
．
（2）解：由旋转的性质得：，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
（3）解：如图，连接，
∵，，
，
由旋转的性质得：，
，即，
在和中，
，
，
，，
，即，
则的面积为．
1 / 1

展开更多......

收起↑