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浙江省宁波市慈溪市实验中学2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷
1．（2025九上·慈溪月考） 对于二次函数 的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上
B．顶点坐标是(-1，4)
C．图象与y轴交点的坐标是(0，4)
D．图象在x轴上截得的线段长度是4
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：根据y=-(x-1)2+4得顶点坐标是(1，4)，
a=-1<0.
∴抛物线开口向下；
故A，B错误；
令x=0，得y=-1+4=3，
∴图象与y轴交点的坐标是(0，3)；
故C错误；
令y=0，得-(x-1)2+4=0，
解得x1=3，x2=-1，
∴x1-x2=3-(-1)=4.
故D正确，
故答案为：D .
【分析】根据y=-(x-1)2+4得顶点坐标是(1，4)，a=-1<0，判定抛物线开口向下；令x=0，得y=-1+4=3，图象与y轴交点的坐标是(0，3)；令y=0，得-(x-1)2+4=0，求得交点坐标，后计算距离解答即可.
2．（2025九上·慈溪月考）下列说法正确的是（　　）
A．“煮熟的鸭子飞了”是随机事件
B．两个负数相乘，积是正数是不可能事件
C．射击运动员射击一次，命中10环是必然事件
D．“掷一次骰子，向上一面的点数是3”是随机事件
【答案】D
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、“煮熟的鸭子飞了”是不可能事件，故本选项说法错误，不符合题意；
B、两个负数相乘，积是正数是必然事件，故本选项说法错误，不符合题意；
C、射击运动员射击一次，命中10环是随机事件故本选项说法错误，不符合题意；
D、“掷一次骰子，向上一面的点数是3”是随机事件，说法正确，符合题意；
故答案为：D .
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可求解.
3．（2025九上·慈溪月考） 如图，小丽从点 A 出发，沿坡度为 的坡道向上走了 120 米到达点 B，则她沿垂直方向升高了(　　)
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
【答案】D
【知识点】正弦的概念；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知：在Rt△ABC中，AB=120米，∠A=10°，
∵
∴BC=AB·sinA=120sin10°(米)，
故答案为：D .
【分析】根据正弦的定义计算，得到答案.
4．（2025九上·慈溪月考） 如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C，D 在半圆 O 上. 若 ，则 的度数为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵AB是半圆O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠A=90°-∠ABC=90°-55°=35°
∵∠BDC+∠A=180°.
∴∠BDC=180°-35°=145°
故答案为： B.
【分析】先根据圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，则利用互余计算出∠A的度数，然后根据圆内接四边形的性质计算出∠BDC的度数.
5．（2025九上·慈溪月考） 如图，在 的正方形网格中，点 A，B，C 都在格点上，则 的值是（　　）
A． B． C． D．2
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题；在网格中求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：根据网格可得，，，
∴AC2+BC2=20+5=25，AB2=25，
∴AC2+BC2=AB2
∴△ABC是直角三角形
∴，
故答案为：D .
【分析】先根据勾股定理的逆定理，证明△ABC是直角三角形，进而根据正切的定义即可求解.
6．（2025九上·慈溪月考） 如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为(2，1)，则点D的坐标为（　　）
A．(4，2) B．(4，6) C．(6，3) D．(6，2)
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵CD=3AB，
∴△COD与△AOB的位似比为3：1，
∵点坐标为(2，1)，
∴点D的坐标为(6，3)
故答案为：C .
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案.
7．（2025九上·慈溪月考） 如图是平放在地上的油漆桶横截面，已知油漆桶的直径为26cm，油漆面宽AB为24cm，则现在油漆桶中油漆的最大深长为（　　）
A．6.5cm B．8cm C．10cm D．10.5cm
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过O点作垂直于AB的半径OC，交AB于点D，连接OA，如下图，
∵油漆桶的直径为26cm，
∴OA=13cm
∵OD⊥AB，AB=24cm，
∴AD=BD=12cm，
∴
∴油漆桶中油漆的最大深长为CD=OC-OD=13-5=8cm
故答案为：B .
【分析】先求出OA的长，再由垂径定理求出AD的长，根据勾股定理求出OD的长，然后用OC-OD即可求出结果.
8．（2025九上·慈溪月考） 如果三点 ， 和 在抛物线 的图象上，那么 ， 和 之间的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵y=-x2+6x+c=-(x-3)2+9+c
∴图象的开口向下，对称轴是直线x=3，
∴当x>3时，y随x的增大而减小，
∴P1(1，y1)关于对称轴的对称点为(5，y1)，
∵3<4<5，
∴y1故答案为：C .
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x=3，根据x>3时，y随x的增大而减小，即可得出答案.
9．（2025九上·慈溪月考） 如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形ABCD和小正方形EFGH，连接BD交CH于点P. 若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；“赵爽弦图”模型；求正切值
【解析】【解答】解：由题意， 设△BGC的边长BC=c，CG=b，BG=a，
∴小正方形EFGH的边长FG=a-b，
∵BP=BC，BG⊥PC，
∴CG=GP=b.
∴HP=a-2b.
∵DE//BG，
∴，
∴，
∴b2+2ab-a2=0，
∴，
∴（负根不合题意，舍去）
∴tan∠CBG=，
故答案为：A .
【分析】设BC=c，CG=b，BG=a，利用正方形性质、平行线分线段成比例及一元二次方程的解法，求出∠CBG的对边与邻边的长度关系，进而计算正切值.
10．（2025九上·慈溪月考） 在 中，，，D 为 AB 中点，点 E 在线段 CD 上，满足 ，连接 AE 并延长交 BC 于点 F，当 面积最大时，线段 CF 等于（　　）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，延长ED至点G，使ED=GD，
∵D为AB中点，
∴BD=AD.
∵∠BDG=∠ADE，ED=GD，
∴△BDG △ADE(SAS)，
∴∠G=∠AED=∠FEC
∴EF//BG，
∴△CFE∽△CBG
∴
∵CE=2DE，ED=GD
∴CE=DE+DG=EG，
即，
∴，
∴点F是BC的中点，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴BD=AD=CD
∴点C在以点D为圆心，CD为半径的圆上，如图，
当CD⊥AB时，CD取到最大值，即此时△ABC的面积最大，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
∴BC=AC
即△ABC为等腰直角三角形，
∵，BC2+AC2=AB2，
∴
∴
故答案为：B .
【分析】延长ED至点G，使ED=GD，证明△BDG △ADE(SAS)，进而推出△CFE∽△CBG，即可得到点F是BC的中点，再根据直角三角形的性质可知点C在以点D为圆心，CD为半径的圆上，当CD⊥AB时，CD取到最大值，即此时△ABC面积最大，然后根据弧、弦、圆心角的关系可知BC=AC，最后利用勾股定理即可解答.
11．（2025九上·慈溪月考）在一个不透明的口袋中，有若干个红球和白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率0.75，若白球有3个，则红球有　 　个.
【答案】9
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：设红球有x个，
∵白球有3个，
∴口袋中有（x+3）个球，
∵从中任意摸出一个球，摸到红球的概率0.75，
∴=0.75，
解得：x=9（个）．
【分析】设红球有x个，再根据概率公式求解即可．
12．（2025九上·慈溪月考） 已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设该扇形的半径为r，
∵一个扇形的圆心角为60°，其弧长为，
∴
∴r=1
∴该扇形的面积为
故答案为： .
【分析】设该扇形的半径为r，由弧长公式求出r=1，再由扇形面积公式计算即可得解.
13．（2025九上·慈溪月考） 已知二次函数 ，当自变量 取值范围 时， 的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∵当x=1时，y=-4，
当x=4时，y=(x-1)2-4=5，
∴当0≤x≤4时，函数y的取值范围是-4≤y≤5，
故答案为：-4≤y≤5 .
【分析】先求出二次函数的顶点坐标确定最小值，再计算区间端点的函数值确定最大值，从而得到y的取值范围.
14．（2025九上·慈溪月考） 如图，在正五边形 ABCDE 内，以 AB 为边作等边 ，再以点 A 为圆心，AE 长为半径画弧. 若 AB=3，则图中阴影部分的面积是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；多边形内角与外角；扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：在正五边形ABCDE中，，
∵△ABF是等边三角形，
∴∠FAB=60°，
∴∠EAF=48°
∴
故答案为： .
【分析】首先求得正五边形的内角的度数，然后求得扇形的圆心角的度数，利用扇形的面积公式求得阴影部分的面积即可.
15．（2025九上·慈溪月考） 如图，网格图中每个小正方形的面积都为1. 经过网格点A的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为3，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；求正弦值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，在图中标注C，D，
设NC=x，
∵AD//NB
∴∠MAD=∠ANC，
∵∠MDA=∠ACN，
∴△ANC∽△MAD
∵AC=AD=1
∴
∵△BMN的面积为3，网格图中每个小正方形的面积都为1，
∴S△AMD+S△ANC=3-1=2，
∴，
即
∴
解得，(舍去)，
∵AN2=AC2+NC2
，
∴
∴
故答案为：.
【分析】设NC=x，证明△ANC∽△MAD，可求得，根据△BMN的面积为3，得到S△AMD+S△ANC=2，求得，解方程得到，根据勾股定理求得，最后得到sin∠MNB的值.
16．（2025九上·慈溪月考）四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AC，过点B作BF⊥AC于点F，
∴∠DEO=∠BFO=90°，
∵∠DOE=∠BOF，
∴△DOE∽△BOF，
∴
∴OF=2OE，
设OE=x，则OF=2x，EF=OE+OF=3x，
∵AB=4，AD=2，
∴
∴
∴Rt△AED∽Rt△ABF，
∴.
∴AF=2AE，
∴AE=EF=3x，
∴AO=3x+x=4x，
∵点O是AC的中点，
∴CO=AO=4x，则CE=4x+x=5x，
在Rt△CDE中，
∴
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2即
解之：（取正值）
∴.
故答案为：
【分析】过点D作DE⊥AC，过点B作BF⊥AC于点F，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△DOE∽△BOF，利用相似三角形的对应边成比例可证得OF=2OE，设OE=x，可表示出OF、EF的长；利用已知可推出，利用HL可证得Rt△AED∽Rt△ABF，利用相似三角形的性质可得到AF=2AE，可表示出AE、AO、CO、CE的长；在Rt△CDE中，利用解直角三角形可表示出DE的长，在Rt△ADE中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，再根据AC=8x，代入计算可求出AC的长.
17．（2025九上·慈溪月考）计算：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；绝对值的概念与意义；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)先分别化简二次根式、计算特殊角的三角函数值、进行乘方运算、处理绝对值，再将化简后的结果进行加减运算；
(2)先分别化简二次根式、计算特殊角的三角函数值、进行乘方运算、处理绝对值，再将化简后的结果进行加减运算。
18．（2025九上·慈溪月考）一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同．
（1） 将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是　 　；
（2） 将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球标号均小于3的结果有2种，
∴两次摸到的球标号均小于3的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：(1)解：∵一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同，
∴将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是；
故答案为：.
【分析】(1)直接由概率公式求解即可；
(2)先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可.
19．（2025九上·慈溪月考）如图是的正方形网格，已知，请按下列要求完成作图(要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论)
（1） 在图中，仅用无刻度直尺在线段AC上找一点M，使得；
（2） 在图中，以为公共角，仅用无刻度直尺在线段 AB 、 BC 上分别找一点P、Q，使与相似但不全等.
【答案】（1）解：如图，取格点E、F，连接EF，EF与AC交于点M，
设正方形网格的边长为1，则，，
，
，
，
点M 为所求作；
（2）解：如图，取格点G、Q，连接AG、GQ，GQ与AB的交点为点P，
则四边形AGQC是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴与不全等，
∴点P和点Q为所求作.
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)取格点E、F，连接EF，EF与AC于点M，利用相似三角形的判定和性质证明即可；
(2)取格点G、Q，连接AG、GQ，GQ与AB的交点为点P，根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质证明即可.
20．（2025九上·慈溪月考）某校科技活动小组利用信息技术模拟火箭运行过程如图所示：在以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴的平面直角坐标系内，火箭的运行路径包括一、二两级运行路线：火箭第一级运行路径形为抛物线，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级，火箭第二级沿直线运行.
（1） 求两段路径所在函数解析式；
（2） 火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离.
【答案】（1）解：火箭第二级的引发点的高度为3.6 km，
抛物线和直线经过点，
，，
解得，，
函数解析式分别为：，；
（2）解：；
最大值，
当时，则，
解得，，
又当时，则.
解得，
这两个位置之间的距离9.6 km.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出函数解析式；
(2)根据二次函数的性质进行解答即可.
21．（2025九上·慈溪月考）如图，四边形 ABCD为 的内接四边形，连接 AC，BD 交于点 E.若 ，.
（1） 求 的大小（用含 的代数式表示）.
（2） 若 ，，求 AB的长.
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
.
（2）解：由（1）得，，
，
，
.
，
，
在中， ，
设，则，
，
，
解得：或(舍去负值)，
∵， ，
∴在中， ，
∴设， 则，
∴，
∵，
∴，
解得： .
∴.
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质；已知正切值求边长；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据直角三角形的性质求出∠ABD，根据圆周角定理得到∠CBD=∠CAD=α，进而求出∠ABC；
(2)证明∠ABC=∠ACB，得到AB=AC，得到5x=4x+3，求出x，进而求出AB.
22．（2025九上·慈溪月考）现有一台红外线理疗灯（如图1所示），该设备的主体由底座AB、立柱BC、伸缩杆CD和灯臂DE组成，A、B、C三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图. AC垂直于AF，AF与水平线l平行，CD与l的夹角为，DE与l的夹角为. 经测量：AB为12cm，BC为26cm，DE为30cm，，.
（1） 填空：　 　，　 　；
（2） 已知点E到AF的距离EM为50cm时，该设备使用效果最佳，求此时伸缩杆CD的长度.（参考数据：，，，）
【答案】（1）64；53
（2）解：过点D作，过点E作，如图所示：
四边形 EGHN为矩形，
同理得：四边形CAMN为矩形，
，
，
，
，
，
，
【知识点】三角形外角的概念及性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：(1)如图，延长AC交DG于G点，延长ME交DG于H点，
∴∠CGD=90°，∠EHD=90°
∵∠BCD=154°
∴∠1=∠BCD-∠CGD=154°-90°=64°
∵∠CDE=63°
∴∠2=180°-∠1-∠CDE=180°-64°-63°=53°，
故答案为：64，53.
【分析】(1)根据题意，由∠BCD=154°，利用三角形的外角的性质，可求得∠1的度数，利用平角的定义，可得到∠2的度数；
(2)在Rt△EDH中，利用EH=DE·cos∠HED求得EH的长，得到MH的长，即可知AG，结合已知条件，得到CG长，在Rt△CGD中，利用三角数求得CD长即可.
23．（2025九上·慈溪月考）已知二次函数 ( 为常数).
（1） 若点 在该函数图象上，则 　 　 ；
（2） 证明：该二次函数的图象与 轴有两个不同的公共点；
（3） 若该函数图象上有两个点 、，当 时，直接写出 的取值范围.
【答案】（1）2
（2）证明：由题可知，
，
，
，
该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点；
（3）解：或.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：(1)将(2，-1)代入，
得：，
解得m=2，
故答案为：2.
(3)的对称轴为直线，∵二次项系数，
∴二次函数图象开口向上，
，
∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
∴，
即，
∴或.
故答案为：或.
【分析】(1)将(2，-1)代入解关于m的方程即可；
(2)通过判别式判断二次函数图象与x轴交点情况；
(3)根据二次函数的对称轴和单调性，确定p的取值范围.
24．（2025九上·慈溪月考）如图，已知内接于，，过点A作于点D，延长AD交于点E，在AD上截取DF=DE，连结CF.
（1） 求证：.
（2） 若，求的值.
（3） 在BC上取一点H，使得，连接AH，若，的面积为10，求AC和OH的长.
【答案】（1）证明：设，
，
，
，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接CE，
，DE = DF，
垂直平分EF，
，，
，
，
，
，，
∵，
∴，且，
∴点B，F在线段AC的垂直平分线上，
如图所示，连接BF并延长交于AC于点G，
∴，，，
∴，
在中，设，则，，
，
；
（3）解：由 (2) 可得，，
如图所示，过点 H 作 于点 K，
，
，
，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在Rt△ABG中，，，
∴，
设，则，
在Rt△ABD中，，
在中，，
，即，
解得，，即，
，
在Rt中，，
，
，
，
，
，
在Rt中，，
∵，
如图所示，连接OH，过点O作于点M，
∴，
∴，，，
∴，
∴，即，
解得，.
在中，.
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】(1)设∠CAD=α，根据直角三角形两锐角互余可得∠ACD=90°-α ，根据等腰三角形的性质可得∠BAC=∠BCA=90°-α，再根据三角形内角和定理可得∠ABC=2α，由此即可求解；
(2)根据题意可得BC垂直平分EF，由，可得∠ABC=∠AEC，∠FAC=∠FCA=α，所以可得点B，F在线段AC的垂值平分线上，如图所示，连接EF并延长交于AC于点G，可得，在Rt△ABG中，设AG=CG=x(x>0)，则AC=2AG=2x，BG=2x ，根据勾股定理可求出，由此即可求解；
(3)由(2)可得，AF=CF=CE=CH，如图所示，过点H作HK⊥AC于点K，可证△AFG △HCK(AAS)，得到HK=AG=CG，根据S△AHC=10，AB=10，可求出，则，在Rt△ABG中，根据勾股定理可得，设CD=y，则BD=10-y，由股定可得AB2-BD2=AC2-CD2，可求出CD=2，在Rt△ABD 中，AD=6，所以有，可求出，在Rt△CDE中，运用勾股定理可得，由此求出，如图所示，连接OH，可得BM=5，，再根据三角形相似的判定可得△BOM∽△BCG，求出，在Rt△OMH中，根据勾股定理可得，由此即可求解.
1 / 1浙江省宁波市慈溪市实验中学2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷
1．（2025九上·慈溪月考） 对于二次函数 的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上
B．顶点坐标是(-1，4)
C．图象与y轴交点的坐标是(0，4)
D．图象在x轴上截得的线段长度是4
2．（2025九上·慈溪月考）下列说法正确的是（　　）
A．“煮熟的鸭子飞了”是随机事件
B．两个负数相乘，积是正数是不可能事件
C．射击运动员射击一次，命中10环是必然事件
D．“掷一次骰子，向上一面的点数是3”是随机事件
3．（2025九上·慈溪月考） 如图，小丽从点 A 出发，沿坡度为 的坡道向上走了 120 米到达点 B，则她沿垂直方向升高了(　　)
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
4．（2025九上·慈溪月考） 如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C，D 在半圆 O 上. 若 ，则 的度数为 （　　）
A． B． C． D．
5．（2025九上·慈溪月考） 如图，在 的正方形网格中，点 A，B，C 都在格点上，则 的值是（　　）
A． B． C． D．2
6．（2025九上·慈溪月考） 如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为(2，1)，则点D的坐标为（　　）
A．(4，2) B．(4，6) C．(6，3) D．(6，2)
7．（2025九上·慈溪月考） 如图是平放在地上的油漆桶横截面，已知油漆桶的直径为26cm，油漆面宽AB为24cm，则现在油漆桶中油漆的最大深长为（　　）
A．6.5cm B．8cm C．10cm D．10.5cm
8．（2025九上·慈溪月考） 如果三点 ， 和 在抛物线 的图象上，那么 ， 和 之间的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九上·慈溪月考） 如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形ABCD和小正方形EFGH，连接BD交CH于点P. 若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九上·慈溪月考） 在 中，，，D 为 AB 中点，点 E 在线段 CD 上，满足 ，连接 AE 并延长交 BC 于点 F，当 面积最大时，线段 CF 等于（　　）
A． B．2 C． D．4
11．（2025九上·慈溪月考）在一个不透明的口袋中，有若干个红球和白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率0.75，若白球有3个，则红球有　 　个.
12．（2025九上·慈溪月考） 已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为　 　．
13．（2025九上·慈溪月考） 已知二次函数 ，当自变量 取值范围 时， 的取值范围是　 　．
14．（2025九上·慈溪月考） 如图，在正五边形 ABCDE 内，以 AB 为边作等边 ，再以点 A 为圆心，AE 长为半径画弧. 若 AB=3，则图中阴影部分的面积是　 　．
15．（2025九上·慈溪月考） 如图，网格图中每个小正方形的面积都为1. 经过网格点A的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为3，则的值为　 　．
16．（2025九上·慈溪月考）四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为　 　．
17．（2025九上·慈溪月考）计算：
（1） ；
（2） .
18．（2025九上·慈溪月考）一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同．
（1） 将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是　 　；
（2） 将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
19．（2025九上·慈溪月考）如图是的正方形网格，已知，请按下列要求完成作图(要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论)
（1） 在图中，仅用无刻度直尺在线段AC上找一点M，使得；
（2） 在图中，以为公共角，仅用无刻度直尺在线段 AB 、 BC 上分别找一点P、Q，使与相似但不全等.
20．（2025九上·慈溪月考）某校科技活动小组利用信息技术模拟火箭运行过程如图所示：在以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴的平面直角坐标系内，火箭的运行路径包括一、二两级运行路线：火箭第一级运行路径形为抛物线，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级，火箭第二级沿直线运行.
（1） 求两段路径所在函数解析式；
（2） 火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离.
21．（2025九上·慈溪月考）如图，四边形 ABCD为 的内接四边形，连接 AC，BD 交于点 E.若 ，.
（1） 求 的大小（用含 的代数式表示）.
（2） 若 ，，求 AB的长.
22．（2025九上·慈溪月考）现有一台红外线理疗灯（如图1所示），该设备的主体由底座AB、立柱BC、伸缩杆CD和灯臂DE组成，A、B、C三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图. AC垂直于AF，AF与水平线l平行，CD与l的夹角为，DE与l的夹角为. 经测量：AB为12cm，BC为26cm，DE为30cm，，.
（1） 填空：　 　，　 　；
（2） 已知点E到AF的距离EM为50cm时，该设备使用效果最佳，求此时伸缩杆CD的长度.（参考数据：，，，）
23．（2025九上·慈溪月考）已知二次函数 ( 为常数).
（1） 若点 在该函数图象上，则 　 　 ；
（2） 证明：该二次函数的图象与 轴有两个不同的公共点；
（3） 若该函数图象上有两个点 、，当 时，直接写出 的取值范围.
24．（2025九上·慈溪月考）如图，已知内接于，，过点A作于点D，延长AD交于点E，在AD上截取DF=DE，连结CF.
（1） 求证：.
（2） 若，求的值.
（3） 在BC上取一点H，使得，连接AH，若，的面积为10，求AC和OH的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：根据y=-(x-1)2+4得顶点坐标是(1，4)，
a=-1<0.
∴抛物线开口向下；
故A，B错误；
令x=0，得y=-1+4=3，
∴图象与y轴交点的坐标是(0，3)；
故C错误；
令y=0，得-(x-1)2+4=0，
解得x1=3，x2=-1，
∴x1-x2=3-(-1)=4.
故D正确，
故答案为：D .
【分析】根据y=-(x-1)2+4得顶点坐标是(1，4)，a=-1<0，判定抛物线开口向下；令x=0，得y=-1+4=3，图象与y轴交点的坐标是(0，3)；令y=0，得-(x-1)2+4=0，求得交点坐标，后计算距离解答即可.
2．【答案】D
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、“煮熟的鸭子飞了”是不可能事件，故本选项说法错误，不符合题意；
B、两个负数相乘，积是正数是必然事件，故本选项说法错误，不符合题意；
C、射击运动员射击一次，命中10环是随机事件故本选项说法错误，不符合题意；
D、“掷一次骰子，向上一面的点数是3”是随机事件，说法正确，符合题意；
故答案为：D .
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可求解.
3．【答案】D
【知识点】正弦的概念；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知：在Rt△ABC中，AB=120米，∠A=10°，
∵
∴BC=AB·sinA=120sin10°(米)，
故答案为：D .
【分析】根据正弦的定义计算，得到答案.
4．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵AB是半圆O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠A=90°-∠ABC=90°-55°=35°
∵∠BDC+∠A=180°.
∴∠BDC=180°-35°=145°
故答案为： B.
【分析】先根据圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，则利用互余计算出∠A的度数，然后根据圆内接四边形的性质计算出∠BDC的度数.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题；在网格中求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：根据网格可得，，，
∴AC2+BC2=20+5=25，AB2=25，
∴AC2+BC2=AB2
∴△ABC是直角三角形
∴，
故答案为：D .
【分析】先根据勾股定理的逆定理，证明△ABC是直角三角形，进而根据正切的定义即可求解.
6．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵CD=3AB，
∴△COD与△AOB的位似比为3：1，
∵点坐标为(2，1)，
∴点D的坐标为(6，3)
故答案为：C .
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过O点作垂直于AB的半径OC，交AB于点D，连接OA，如下图，
∵油漆桶的直径为26cm，
∴OA=13cm
∵OD⊥AB，AB=24cm，
∴AD=BD=12cm，
∴
∴油漆桶中油漆的最大深长为CD=OC-OD=13-5=8cm
故答案为：B .
【分析】先求出OA的长，再由垂径定理求出AD的长，根据勾股定理求出OD的长，然后用OC-OD即可求出结果.
8．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵y=-x2+6x+c=-(x-3)2+9+c
∴图象的开口向下，对称轴是直线x=3，
∴当x>3时，y随x的增大而减小，
∴P1(1，y1)关于对称轴的对称点为(5，y1)，
∵3<4<5，
∴y1故答案为：C .
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x=3，根据x>3时，y随x的增大而减小，即可得出答案.
9．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；“赵爽弦图”模型；求正切值
【解析】【解答】解：由题意， 设△BGC的边长BC=c，CG=b，BG=a，
∴小正方形EFGH的边长FG=a-b，
∵BP=BC，BG⊥PC，
∴CG=GP=b.
∴HP=a-2b.
∵DE//BG，
∴，
∴，
∴b2+2ab-a2=0，
∴，
∴（负根不合题意，舍去）
∴tan∠CBG=，
故答案为：A .
【分析】设BC=c，CG=b，BG=a，利用正方形性质、平行线分线段成比例及一元二次方程的解法，求出∠CBG的对边与邻边的长度关系，进而计算正切值.
10．【答案】B
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，延长ED至点G，使ED=GD，
∵D为AB中点，
∴BD=AD.
∵∠BDG=∠ADE，ED=GD，
∴△BDG △ADE(SAS)，
∴∠G=∠AED=∠FEC
∴EF//BG，
∴△CFE∽△CBG
∴
∵CE=2DE，ED=GD
∴CE=DE+DG=EG，
即，
∴，
∴点F是BC的中点，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴BD=AD=CD
∴点C在以点D为圆心，CD为半径的圆上，如图，
当CD⊥AB时，CD取到最大值，即此时△ABC的面积最大，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
∴BC=AC
即△ABC为等腰直角三角形，
∵，BC2+AC2=AB2，
∴
∴
故答案为：B .
【分析】延长ED至点G，使ED=GD，证明△BDG △ADE(SAS)，进而推出△CFE∽△CBG，即可得到点F是BC的中点，再根据直角三角形的性质可知点C在以点D为圆心，CD为半径的圆上，当CD⊥AB时，CD取到最大值，即此时△ABC面积最大，然后根据弧、弦、圆心角的关系可知BC=AC，最后利用勾股定理即可解答.
11．【答案】9
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：设红球有x个，
∵白球有3个，
∴口袋中有（x+3）个球，
∵从中任意摸出一个球，摸到红球的概率0.75，
∴=0.75，
解得：x=9（个）．
【分析】设红球有x个，再根据概率公式求解即可．
12．【答案】
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设该扇形的半径为r，
∵一个扇形的圆心角为60°，其弧长为，
∴
∴r=1
∴该扇形的面积为
故答案为： .
【分析】设该扇形的半径为r，由弧长公式求出r=1，再由扇形面积公式计算即可得解.
13．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∵当x=1时，y=-4，
当x=4时，y=(x-1)2-4=5，
∴当0≤x≤4时，函数y的取值范围是-4≤y≤5，
故答案为：-4≤y≤5 .
【分析】先求出二次函数的顶点坐标确定最小值，再计算区间端点的函数值确定最大值，从而得到y的取值范围.
14．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；多边形内角与外角；扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：在正五边形ABCDE中，，
∵△ABF是等边三角形，
∴∠FAB=60°，
∴∠EAF=48°
∴
故答案为： .
【分析】首先求得正五边形的内角的度数，然后求得扇形的圆心角的度数，利用扇形的面积公式求得阴影部分的面积即可.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；求正弦值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，在图中标注C，D，
设NC=x，
∵AD//NB
∴∠MAD=∠ANC，
∵∠MDA=∠ACN，
∴△ANC∽△MAD
∵AC=AD=1
∴
∵△BMN的面积为3，网格图中每个小正方形的面积都为1，
∴S△AMD+S△ANC=3-1=2，
∴，
即
∴
解得，(舍去)，
∵AN2=AC2+NC2
，
∴
∴
故答案为：.
【分析】设NC=x，证明△ANC∽△MAD，可求得，根据△BMN的面积为3，得到S△AMD+S△ANC=2，求得，解方程得到，根据勾股定理求得，最后得到sin∠MNB的值.
16．【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AC，过点B作BF⊥AC于点F，
∴∠DEO=∠BFO=90°，
∵∠DOE=∠BOF，
∴△DOE∽△BOF，
∴
∴OF=2OE，
设OE=x，则OF=2x，EF=OE+OF=3x，
∵AB=4，AD=2，
∴
∴
∴Rt△AED∽Rt△ABF，
∴.
∴AF=2AE，
∴AE=EF=3x，
∴AO=3x+x=4x，
∵点O是AC的中点，
∴CO=AO=4x，则CE=4x+x=5x，
在Rt△CDE中，
∴
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2即
解之：（取正值）
∴.
故答案为：
【分析】过点D作DE⊥AC，过点B作BF⊥AC于点F，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△DOE∽△BOF，利用相似三角形的对应边成比例可证得OF=2OE，设OE=x，可表示出OF、EF的长；利用已知可推出，利用HL可证得Rt△AED∽Rt△ABF，利用相似三角形的性质可得到AF=2AE，可表示出AE、AO、CO、CE的长；在Rt△CDE中，利用解直角三角形可表示出DE的长，在Rt△ADE中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，再根据AC=8x，代入计算可求出AC的长.
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；绝对值的概念与意义；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)先分别化简二次根式、计算特殊角的三角函数值、进行乘方运算、处理绝对值，再将化简后的结果进行加减运算；
(2)先分别化简二次根式、计算特殊角的三角函数值、进行乘方运算、处理绝对值，再将化简后的结果进行加减运算。
18．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球标号均小于3的结果有2种，
∴两次摸到的球标号均小于3的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：(1)解：∵一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同，
∴将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是；
故答案为：.
【分析】(1)直接由概率公式求解即可；
(2)先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可.
19．【答案】（1）解：如图，取格点E、F，连接EF，EF与AC交于点M，
设正方形网格的边长为1，则，，
，
，
，
点M 为所求作；
（2）解：如图，取格点G、Q，连接AG、GQ，GQ与AB的交点为点P，
则四边形AGQC是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴与不全等，
∴点P和点Q为所求作.
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)取格点E、F，连接EF，EF与AC于点M，利用相似三角形的判定和性质证明即可；
(2)取格点G、Q，连接AG、GQ，GQ与AB的交点为点P，根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质证明即可.
20．【答案】（1）解：火箭第二级的引发点的高度为3.6 km，
抛物线和直线经过点，
，，
解得，，
函数解析式分别为：，；
（2）解：；
最大值，
当时，则，
解得，，
又当时，则.
解得，
这两个位置之间的距离9.6 km.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出函数解析式；
(2)根据二次函数的性质进行解答即可.
21．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
.
（2）解：由（1）得，，
，
，
.
，
，
在中， ，
设，则，
，
，
解得：或(舍去负值)，
∵， ，
∴在中， ，
∴设， 则，
∴，
∵，
∴，
解得： .
∴.
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质；已知正切值求边长；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据直角三角形的性质求出∠ABD，根据圆周角定理得到∠CBD=∠CAD=α，进而求出∠ABC；
(2)证明∠ABC=∠ACB，得到AB=AC，得到5x=4x+3，求出x，进而求出AB.
22．【答案】（1）64；53
（2）解：过点D作，过点E作，如图所示：
四边形 EGHN为矩形，
同理得：四边形CAMN为矩形，
，
，
，
，
，
，
【知识点】三角形外角的概念及性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：(1)如图，延长AC交DG于G点，延长ME交DG于H点，
∴∠CGD=90°，∠EHD=90°
∵∠BCD=154°
∴∠1=∠BCD-∠CGD=154°-90°=64°
∵∠CDE=63°
∴∠2=180°-∠1-∠CDE=180°-64°-63°=53°，
故答案为：64，53.
【分析】(1)根据题意，由∠BCD=154°，利用三角形的外角的性质，可求得∠1的度数，利用平角的定义，可得到∠2的度数；
(2)在Rt△EDH中，利用EH=DE·cos∠HED求得EH的长，得到MH的长，即可知AG，结合已知条件，得到CG长，在Rt△CGD中，利用三角数求得CD长即可.
23．【答案】（1）2
（2）证明：由题可知，
，
，
，
该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点；
（3）解：或.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：(1)将(2，-1)代入，
得：，
解得m=2，
故答案为：2.
(3)的对称轴为直线，∵二次项系数，
∴二次函数图象开口向上，
，
∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
∴，
即，
∴或.
故答案为：或.
【分析】(1)将(2，-1)代入解关于m的方程即可；
(2)通过判别式判断二次函数图象与x轴交点情况；
(3)根据二次函数的对称轴和单调性，确定p的取值范围.
24．【答案】（1）证明：设，
，
，
，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接CE，
，DE = DF，
垂直平分EF，
，，
，
，
，
，，
∵，
∴，且，
∴点B，F在线段AC的垂直平分线上，
如图所示，连接BF并延长交于AC于点G，
∴，，，
∴，
在中，设，则，，
，
；
（3）解：由 (2) 可得，，
如图所示，过点 H 作 于点 K，
，
，
，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在Rt△ABG中，，，
∴，
设，则，
在Rt△ABD中，，
在中，，
，即，
解得，，即，
，
在Rt中，，
，
，
，
，
，
在Rt中，，
∵，
如图所示，连接OH，过点O作于点M，
∴，
∴，，，
∴，
∴，即，
解得，.
在中，.
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】(1)设∠CAD=α，根据直角三角形两锐角互余可得∠ACD=90°-α ，根据等腰三角形的性质可得∠BAC=∠BCA=90°-α，再根据三角形内角和定理可得∠ABC=2α，由此即可求解；
(2)根据题意可得BC垂直平分EF，由，可得∠ABC=∠AEC，∠FAC=∠FCA=α，所以可得点B，F在线段AC的垂值平分线上，如图所示，连接EF并延长交于AC于点G，可得，在Rt△ABG中，设AG=CG=x(x>0)，则AC=2AG=2x，BG=2x ，根据勾股定理可求出，由此即可求解；
(3)由(2)可得，AF=CF=CE=CH，如图所示，过点H作HK⊥AC于点K，可证△AFG △HCK(AAS)，得到HK=AG=CG，根据S△AHC=10，AB=10，可求出，则，在Rt△ABG中，根据勾股定理可得，设CD=y，则BD=10-y，由股定可得AB2-BD2=AC2-CD2，可求出CD=2，在Rt△ABD 中，AD=6，所以有，可求出，在Rt△CDE中，运用勾股定理可得，由此求出，如图所示，连接OH，可得BM=5，，再根据三角形相似的判定可得△BOM∽△BCG，求出，在Rt△OMH中，根据勾股定理可得，由此即可求解.
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