资源简介 浙江省杭州钱江外国语教育集团2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试题1．（2025八上·杭州期中）在以下节水、节能、绿色食品、回收四个标志中，是轴对称图形的是( )A． B． C． D．【答案】B【知识点】轴对称图形【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故答案为：B .【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可.2．（2025八上·杭州期中）下列长度（单位：cm）的三条线段能组成三角形的是（ ）A．5，5，13 B．1，2，3 C．5，7，12 D．11，12，13【答案】D【知识点】三角形三边关系【解析】【解答】解：A、5+5＜13，不能组成三角形，故本选项错误；B、1+2＝3，不能组成三角形，故本选项错误；C、5+7＝12，不能组成三角形，故本选项错误；D、11+12＞13，能组成三角形，故本选项正确.故答案为：D.【分析】根据三角形三边关系定理“三角形任意两边之和大于第三边”，故只要找出较小两条线段的和大于第三条线段即可判断得出答案.3．（2025八上·杭州期中）用不等式表示：“a与b的 的和为正数”，正确的是 ( )A． B． C． D．【答案】A【知识点】列不等式【解析】【解答】解：由题意得，故答案为：A .【分析】根据正数大于0列不等式即可.4．（2025八上·杭州期中）下列命题是真命题的是( )A．两个等边三角形一定全等 B．全等三角形的面积一定相等C．形状相同的两个三角形全等 D．面积相等的两个三角形全等【答案】B【知识点】三角形全等及其性质；全等三角形的概念【解析】【解答】解：∵全等三角形大小形状完全相同，∴全等三角形的面积一定相等，故B是真命题；A：两个等边三角形不一定全等，如边长分别为2和3的等边三角形，故为假命题；C：形状相同的三角形相似但不一定全等，故为假命题；D：面积相等的三角形不一定全等，如底和高不同的三角形，故为假命题；故答案为：B .【分析】根据全等三角形的定义和性质，判断各选项的正确性.5．（2025八上·杭州期中） 已知3a>-6b，则下列不等式一定成立的是( )A．a+1>-2b-1 B．-a【答案】A【知识点】不等式的性质【解析】【解答】解：∵3a>-6b，∴a>-2b，∴a+1>-2b+1，又-2b+1>-2b-1，∴a+1>-2b-1，故答案为：A.【分析】先将不等式两边都除以3得a>-2b，再两边都加上1知a+1>-2b+1，结合-2b+1>-2b-1利用不等式的同向传递性可得答案.6．（2025八上·杭州期中）如图所示，三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合的三角形，那么这两个三角形完全重合的依据是（ ）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【答案】D【知识点】三角形全等的判定-ASA【解析】【解答】解：由图可知，三角形两角及夹边还存在，∴根据可以根据三角形两角及夹边作出图形，所以，依据是ASA.故答案为：D.【分析】图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可.7．（2025八上·杭州期中） 如图， 在△ABC中， AB=AC，∠B=50°， P是边AB上的一个动点(不与顶点A，B重合)，则∠BPC的度数可能是 ( )A．50° B．80° C．100° D．130°【答案】C【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=50°，∴∠B=∠ACB=50°∴∠A=180°-50°×2=80°∵∠BPC=∠A+∠ACP∴∠BPC>∠A，∴∠BPC>80°∵∠B=50°∴∠BPC<180°-50°=130°则∠BPC的值可能是100°.故答案为：C .【分析】根据等边对等角可得∠B=∠ACB=50°，再根据三角形内角和计算出∠A的度数，然后根据三角形内角与外角的关系可得∠BPC>∠A，再因为∠B=50°，所以∠BPC<180°-50°=130°，进而可得答案.8．（2025八上·杭州期中）如图，△ABC中，ACA． B．C． D．【答案】C【知识点】线段垂直平分线的判定【解析】【解答】解：∵PB+PC=BC，而PA+PC=BC.∴PA=PB.∴点P在AB的垂直平分线上，即点P为 AB 的垂直平分线与BC 的交点故答案为：C .【分析】由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在AB的垂直平分线上，进而得出结论.9．（2025八上·杭州期中） 在△ABC中， ∠BAC=90°， 点D在边BC上， AD=BD，以下说法正确的是( )A．若AB=AD，则3AB=2BCB．若AB=AD， 则∠C=45°C．若∠B=2∠C， 则D．若∠B=2∠C， 则BC=2AB【答案】D【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：A、∵AB=AD，AD=BD，∴AD=BD=AB∴△ABD是等边三角形∴∠B=60°∵∠BAC=90°，∴∠C=90°- 60°= 30°.∴2AB=BC，故该选项不符合题意；B、∵AB=AD， AD=BD，∴AD=BD=AB，∴△ABD是等边三角形∴∠B=60°∵∠BAC=90°∴∠C=90°-60°= 30°，故该选项不符合题意；C、∵∠BAC=90°，∠B=2∠C.∴∠B=60°，∠C=30°∴BC=2AB，∵AD=BD∴△ABD是等边三角形∴BD=AB=CD∴S△ABD=S△ACD，故该选项不符合题意；D、∵∠BAC=90°，∠B=2∠C，∴∠B=60°，∠C=30°，∴BC=2AB，故该选项符合题意；故答案为：D .【分析】根据AB=AD，证明△ABD是等边三角形，得出∠C=30°，从而可判断选项A、B；根据∠B=2∠C，得出∠C=30°，从而根据含30°角的直角三角形性质可判断选项C、D.10．（2025八上·杭州期中） 如图， 点E在△DBC边DB上， 点A在△DBC内部， ∠DAE=∠BAC=90°， AD=AE，AB=AC，给出下列结论，其中一定正确的所有序号是( )①BD=CE； ②BE=DE； ③BD⊥CE； ④∠ECB+∠ABD=45°A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③【答案】C【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系【解析】【解答】解：∵∠DAE=∠BAC=90°，∴∠DAE+∠EAB=∠BAC+∠EAB，∴∠DAB=∠EAC，∵AD=AE，AB=AC，∴△DAB △EAC(SAS)∴BD=CE，故正确；∴∠ABD=∠ECA，∵∠BAC=90°，AB=AC∴∠ABC=∠ACB=45°∴∠ABD+∠ECB=∠ECA+∠ECB=∠ACB=45°，故④正确；∵∠EBC+∠ECB=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°，∴∠CEB=90°∴CE⊥BD，故③正确；无法判断BE=DE，故②错误；∴正确的是①③④，故答案为：C .【分析】利用“SAS”证明△DAB △EAC，然后根据性质即可判断①结论；利用全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质，即可判断④结论；利用全等三角形的性质进行等角替换，即可判断③结论；无法判断②结论.11．（2025八上·杭州期中）请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题： .【答案】两个角相等三角形是等腰三角形【知识点】等腰三角形的判定与性质；逆定理【解析】【解答】解：∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个底角相等三角形是等腰三角形”故答案为：两个角相等三角形是等腰三角形 .【分析】先确定原命题的题设和结论，再将题设和结论互换位置，即可得到原命题的逆命题.12．（2025八上·杭州期中）关于x的不等式10-5x≥0的最大正整数解是 .【答案】2【知识点】一元一次不等式的特殊解【解析】【解答】解：解不等式10-5x≥0，移项，得：-5x≥-10，两边同时除以-5，不等号方向改变，得：x≤2，因此，不等式的解集为x≤2，最大正整数解为：2，故答案为：2 .【分析】先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到最大正整数解.13．（2025八上·杭州期中）如图，已知AD=BC，还需要一个条件 ，根据“SAS”可直接证明出△ABC≌△BAD.【答案】∠DAB=∠CBA【知识点】三角形全等的判定-SAS【解析】【解答】解：需添加的条件是∠DAB=∠CBA；∵AD=BC，∠DAB=∠CBA，AB=BA，∴△ABC≌△BAD(SAS)故答案为：∠DAB=∠CBA .【分析】要使△ABC≌△BAD，已知AD=BC，AB=AB，具备了两组边对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可.14．（2025八上·杭州期中）如图， AD是△ABC的角平分线， ∠C=90°， CD=5cm， 点P在AB上， 连接DP， 则DP 的最小值为 cm.【答案】3【知识点】角平分线的性质【解析】【解答】解：作DP⊥AB于P'，∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DP'⊥AB，∴DP'=DC=3cm，则DP'的最小值为3cm，故答案为：3 .【分析】作DP⊥AB于P'，根据角平分线的性质及垂线段最短，即可得到答案.15．（2025八上·杭州期中）已知△ABC中， AC=BC， ∠C=Rt∠. 如图， 将△ABC进行折叠， 使点A落在线段BC上(包括点B和点G)设点A 的落点为D，折痕为EF，当△DEF 是等腰三角形时，∠DEF= °.【答案】67.5或90或45【知识点】等腰三角形的判定；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质；分类讨论【解析】【解答】解：∵将△ABC进行折叠，使点A落在线段BC上(包括点B和点C)，设点A的落点为D，折痕为EF，当△DEF是等腰三角形时，∴点D可能的位置分类如下：①当A点与D点(C点)重合时，∵AC=BC，∠C=90°∴∠A=∠B=45°∵将△ABC进行折叠，使点A落在线段BC上(包括点B和点C)设点A的落点为D，折痕为EF，∴AE=ED，，∠EDF=∠A=45°∴∠AFE=∠DFE=45°，∴EF=DE，此时△EDF是等腰三角形，且∠DEF=90°，②如图2，当A点与B点(D点)重合时，C点与点重合，∵AC=BC，AF=DF，∠ACB=90°∴CF=DF，∠EFD=90°，△EDF是等腰角形，∴∠DEF=45°：③如图3，当ED=FD时，△EDF是等腰三角形，∵AC=BC，∠C=90°∴∠A=∠D=45°∴综上所述，∠DEF=67.5°或90°或45°故答案为：67.5或90或45 .【分析】根据等腰三角形的判定可以得出，存在不同的边之间相等，有EF=DF，DE=FD，EF=ED，然后利用三角形内角和定理即可得出答案.16．（2025八上·杭州期中）如图， 在四边形ABCD中， ∠BAD=132°、∠B=∠D=90°， 在BC、CD上分别取一点M、N， 使△AMN的周长最小， 则∠AMN+∠ANM= °.【答案】100【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：如图，延长AB到A'使得BA'=AB，延长AD到A"使得DA"=AD，连接A'A"与BC、CD分别交于点M、N，∵A、A'关于BC对称，A、A"关于CD对称，∴AM=A'M，AN=A"N，此时△AMN的周长最小值等于AA"的长，∵BA=BA'，NA=NA"∴∠A'=∠MAB，∠A"=∠NAD∵∠AMN=∠A'+∠MAB=2 ∠A'， ∠ANM= ∠A''+ ∠NAD=2 ∠A".∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A'')∵∠BAD=130°∴∠A'+∠A"=180°-∠BAD=50°∴∠AMN+∠ANM=2×50°=100°故答案为：100.【分析】延长AB到A'使得BA'=AB，延长AD到A"使得DA"=AD，连接A'A"与BC、CD分别交于点MN，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A”)即可解决.17．（2025八上·杭州期中） 解不等式（1）7x-2≥5x+2；（2）【答案】（1）解：7x-2≥5x+27x-5x≥2+2，2x≥4，x≥2；（2）解：3(x+3)-(5x-1)<6，3x+9-5x+1<63x-5x<6-9-1，-2x<-4，x>2【知识点】解一元一次不等式【解析】【分析】(1)解一元一次不等式，需依次进行移项、合并同类项、系数化为1；(2)解一元一次不等式，需依次进行去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.18．（2025八上·杭州期中）已知， 如图， 四边形ABCD， ∠A=∠B=Rt∠（1）用直尺和圆规，在线段AB上找一点E，使得EC=ED，连接EC，ED (不写作法，保留作图痕迹)：（2）在(1) 的图形中， 若∠DEC=90°， 且AD=2， BC=5， 求AB的长.【答案】（1）解：作CD的中垂线交AB于点E，（2）解：由知(1)EC=ED，又∵∠A=∠B=90°，∠DEC=90°，∴∠ADE=90°-∠AED=∠BEC∴△ADE △BEC(AAS)，∴AD=BE，AE=BC∵AD=2，BC=5∴BE=AD=2，AE=BC=5∴AB=AE+BE=5+2=7【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应边的关系【解析】【分析】(1)在线段AB上的一点E到C，D的距离相等，即EC=ED，由垂直平分线的性质可知，点E在线段CD的垂直平分线上；(2)由三角形全等可得AD=BE，AE=BC，根据AB=AE+BE，即可求解.19．（2025八上·杭州期中） 如图， △ABC中， AB=AC， BG， CF分别是AC， AB边上的高线. 求证：BG=CF.【答案】证明：∵BG，CF分别是AC，AB边上的高线∴∠AGB=∠AFC=90°在△AGB和△AFC中，∴△AGB≌△AFC( AAS )，∴BG=CF.【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；三角形的高【解析】【分析】由三角形高的定义得出∠AGB=∠AFC=90°，再根据AAS证明△AGB≌△AFC，根据全等三角形对应边相等即可得出结论.20．（2025八上·杭州期中）如图，∠B=∠C， AD是底边BC上的高线， DE∥AB交AC于点E. 求证：△ADE是等腰三角形.【答案】证明：∵△ABC是等腰三角形，∠B=∠C，∴AB=AC，又∵AD是底边BC上的高，∴∠BAD=∠DAC，∵DE//AB，∴∠ADE=∠BAD∴∠ADE=∠DAC∴AE=ED，∴△ADE是等腰三角形【知识点】等腰三角形的判定与性质；两直线平行，内错角相等；三角形的高【解析】【分析】根据△ABC是等腰三角形和AD是底边BC上的高，得到∠BAD=∠DAC，再利用两直线平行内错角相等得到∠ADE=∠BAD，从而得到∠ADE=∠DAC，所以AE=ED，即可得证.21．（2025八上·杭州期中）已知关于x的不等式 mx-3>2x+m.（1）若它的解集是 求m的取值范围.（2）若它的解集与不等式2x-1>3-x的解集相同，求m的值.【答案】（1）解：mx-3>2x+mmx-2x>m+3(m-2)x>m+3∵它的解集是∴m-2<0，解得m<2；（2）解：2x-1>3-x，解得：，∵它的解集是∴，且m-2>0解得m=17【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的含参问题【解析】【分析】(1)首先移项可得mx-2x>m+3，合并同类项可得(m-2)x>m+3，再两边同时除以m-2，当m-2>0时，可得；(2)首先解不等式2x-1>3-x，可得解集，再解(m-2)x>m+3，再两边同时除以m-2，当m-2>0时，可得进而得到方程，再解方程即可.22．（2025八上·杭州期中）如图，点E在边BC上，∠1=∠2，∠C=∠AED，BC=DE（1）求证：AB=AD（2）若∠C=70°，求∠BED的度数。【答案】（1）证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB，即∠CAB=∠EAD，在△ACB和△DAE中，，∴△ACB≌△AED（AAS），∴AB=AD.（2）解：∵△ACB≌△AED，∴∠AED=∠C=70°，AE=AC，∴∠AEC=∠C=70°，∴∠BED=180°-∠AEC-∠AED=180°-70°-70°=40°.【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质【解析】【分析】（1）由∠1=∠2可得∠CAB=∠EAD，然后利用角角边定理可证△ACB和△DAE全等，则对应边AB和AD相等.（2）由全等三角形的性质可得∠AED=∠C=70°，AE=AC，于是等腰三角形的性质可得∠AEC等于70°，最后利用补角的性质即可计算∠BED的度数.23．（2025八上·杭州期中）如图， 在△ABC中， AB=AC， D为直线BC上一动点(不与点B，C重合)，在AD的右侧作△ACE， 使得AE=AD， ∠DAE=∠BAC， 连接CE.（1） 当D在线段BC上时，①求证： △BAD≌△CAE.②当CE∥AB时， 求∠ABC的度数.（2）当CE∥AB时， 若△ABD中最小角为26°， 求∠ADB的度数.【答案】（1）解：①∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC∴∠DAB=∠EAC，在△ABD和△ACE中，∴△BAD≌△CAE(SAS)②∵△BAD≌△CAE∴∠ABD=∠ACE.∵CE//AB，∴∠ACE=∠BAC∵AB=AC，∴∠ABD=∠ACB∴∠ACB=∠ABC=∠BAC∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，∴∠ABC=60°（2）解：由(1)知，当CE//AB时，则有∠ABC=∠ACE=∠BAC=60°∴△ABC为等边三角形，①如图1，当点D在线段BC上时，此时∠BAD=26°∠ADB=180°-∠BAD-∠B=180°-26°-60°=94°②如图2，当点D在BC的延长线上时，此时∠ADB=26°③如图3，当点D在CB的延长线上，且BD此时∠BAD=26°，∠ADB=60°-26°=34°，④如图4，当点D在CB的延长线上，且BD≥AB时，此时∠ADB=26°，综上所述，满足条件的∠ADB的度数为26°或34°或94°.【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；分类讨论【解析】【分析】(1)①根据SAS即可证明；②利用等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ACB，再根据全等三角形的性质得到∠ABD=∠ACE，进而证明∠ACB=∠ABC=∠BAC，再根据三角形内角和求出结论；(2)分点D在线段BC上、当点D在CB的延长线上、点D在BC的延长线上的情形，并根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可.24．（2025八上·杭州期中）（1） 如图1， 点 P 是∠AOB的内部任意一点， 垂足分别是M、N， D是OP 的中点.①若MD=5， 则 DN= ▲②求证： ∠MDN=2∠MON.（2） 如图2， 若P是∠AOB的外部任意一点，1 垂足分别是M、N，D是OP的中点.问∠MDN与∠MON 有何数量关系，并说明理由.【答案】（1）解：①5②∵PM⊥OA，∴∠OMP=90°在Rt△OMP中，D是OP的中点∴，∴∠DMO=∠DOM∴∠MDP=2∠MOP，同理可知，∠NDP=2∠NOP∴∠MDN=∠MDP+∠NDP=2∠MON（2）解：∠MDN=2∠MON，理由如下：∵PM⊥OA，∴∠OMP=90°在Rt△OMP中，D是OP的中点∴，∴∠DMO=∠DOM∴∠MDP=2∠MOP同理可知，∠NDP=2∠NOP∴∠MDN=∠NDP-∠MDP=2∠MON【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：(1)①∵D是OP的中点，∴故答案为：5.【分析】(1)①根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解；②根据等腰三角形的性质得到∠DMO=∠DOM，同理得到∠NDP=2∠NOP，结合图形计算，证明结论；(2)仿照(1)的证明方法解答即可.1 / 1浙江省杭州钱江外国语教育集团2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试题1．（2025八上·杭州期中）在以下节水、节能、绿色食品、回收四个标志中，是轴对称图形的是( )A． B． C． D．2．（2025八上·杭州期中）下列长度（单位：cm）的三条线段能组成三角形的是（ ）A．5，5，13 B．1，2，3 C．5，7，12 D．11，12，133．（2025八上·杭州期中）用不等式表示：“a与b的 的和为正数”，正确的是 ( )A． B． C． D．4．（2025八上·杭州期中）下列命题是真命题的是( )A．两个等边三角形一定全等 B．全等三角形的面积一定相等C．形状相同的两个三角形全等 D．面积相等的两个三角形全等5．（2025八上·杭州期中） 已知3a>-6b，则下列不等式一定成立的是( )A．a+1>-2b-1 B．-a6．（2025八上·杭州期中）如图所示，三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合的三角形，那么这两个三角形完全重合的依据是（ ）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA7．（2025八上·杭州期中） 如图， 在△ABC中， AB=AC，∠B=50°， P是边AB上的一个动点(不与顶点A，B重合)，则∠BPC的度数可能是 ( )A．50° B．80° C．100° D．130°8．（2025八上·杭州期中）如图，△ABC中，ACA． B．C． D．9．（2025八上·杭州期中） 在△ABC中， ∠BAC=90°， 点D在边BC上， AD=BD，以下说法正确的是( )A．若AB=AD，则3AB=2BCB．若AB=AD， 则∠C=45°C．若∠B=2∠C， 则D．若∠B=2∠C， 则BC=2AB10．（2025八上·杭州期中） 如图， 点E在△DBC边DB上， 点A在△DBC内部， ∠DAE=∠BAC=90°， AD=AE，AB=AC，给出下列结论，其中一定正确的所有序号是( )①BD=CE； ②BE=DE； ③BD⊥CE； ④∠ECB+∠ABD=45°A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③11．（2025八上·杭州期中）请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题： .12．（2025八上·杭州期中）关于x的不等式10-5x≥0的最大正整数解是 .13．（2025八上·杭州期中）如图，已知AD=BC，还需要一个条件 ，根据“SAS”可直接证明出△ABC≌△BAD.14．（2025八上·杭州期中）如图， AD是△ABC的角平分线， ∠C=90°， CD=5cm， 点P在AB上， 连接DP， 则DP 的最小值为 cm.15．（2025八上·杭州期中）已知△ABC中， AC=BC， ∠C=Rt∠. 如图， 将△ABC进行折叠， 使点A落在线段BC上(包括点B和点G)设点A 的落点为D，折痕为EF，当△DEF 是等腰三角形时，∠DEF= °.16．（2025八上·杭州期中）如图， 在四边形ABCD中， ∠BAD=132°、∠B=∠D=90°， 在BC、CD上分别取一点M、N， 使△AMN的周长最小， 则∠AMN+∠ANM= °.17．（2025八上·杭州期中） 解不等式（1）7x-2≥5x+2；（2）18．（2025八上·杭州期中）已知， 如图， 四边形ABCD， ∠A=∠B=Rt∠（1）用直尺和圆规，在线段AB上找一点E，使得EC=ED，连接EC，ED (不写作法，保留作图痕迹)：（2）在(1) 的图形中， 若∠DEC=90°， 且AD=2， BC=5， 求AB的长.19．（2025八上·杭州期中） 如图， △ABC中， AB=AC， BG， CF分别是AC， AB边上的高线. 求证：BG=CF.20．（2025八上·杭州期中）如图，∠B=∠C， AD是底边BC上的高线， DE∥AB交AC于点E. 求证：△ADE是等腰三角形.21．（2025八上·杭州期中）已知关于x的不等式 mx-3>2x+m.（1）若它的解集是 求m的取值范围.（2）若它的解集与不等式2x-1>3-x的解集相同，求m的值.22．（2025八上·杭州期中）如图，点E在边BC上，∠1=∠2，∠C=∠AED，BC=DE（1）求证：AB=AD（2）若∠C=70°，求∠BED的度数。23．（2025八上·杭州期中）如图， 在△ABC中， AB=AC， D为直线BC上一动点(不与点B，C重合)，在AD的右侧作△ACE， 使得AE=AD， ∠DAE=∠BAC， 连接CE.（1） 当D在线段BC上时，①求证： △BAD≌△CAE.②当CE∥AB时， 求∠ABC的度数.（2）当CE∥AB时， 若△ABD中最小角为26°， 求∠ADB的度数.24．（2025八上·杭州期中）（1） 如图1， 点 P 是∠AOB的内部任意一点， 垂足分别是M、N， D是OP 的中点.①若MD=5， 则 DN= ▲②求证： ∠MDN=2∠MON.（2） 如图2， 若P是∠AOB的外部任意一点，1 垂足分别是M、N，D是OP的中点.问∠MDN与∠MON 有何数量关系，并说明理由.答案解析部分1．【答案】B【知识点】轴对称图形【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故答案为：B .【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可.2．【答案】D【知识点】三角形三边关系【解析】【解答】解：A、5+5＜13，不能组成三角形，故本选项错误；B、1+2＝3，不能组成三角形，故本选项错误；C、5+7＝12，不能组成三角形，故本选项错误；D、11+12＞13，能组成三角形，故本选项正确.故答案为：D.【分析】根据三角形三边关系定理“三角形任意两边之和大于第三边”，故只要找出较小两条线段的和大于第三条线段即可判断得出答案.3．【答案】A【知识点】列不等式【解析】【解答】解：由题意得，故答案为：A .【分析】根据正数大于0列不等式即可.4．【答案】B【知识点】三角形全等及其性质；全等三角形的概念【解析】【解答】解：∵全等三角形大小形状完全相同，∴全等三角形的面积一定相等，故B是真命题；A：两个等边三角形不一定全等，如边长分别为2和3的等边三角形，故为假命题；C：形状相同的三角形相似但不一定全等，故为假命题；D：面积相等的三角形不一定全等，如底和高不同的三角形，故为假命题；故答案为：B .【分析】根据全等三角形的定义和性质，判断各选项的正确性.5．【答案】A【知识点】不等式的性质【解析】【解答】解：∵3a>-6b，∴a>-2b，∴a+1>-2b+1，又-2b+1>-2b-1，∴a+1>-2b-1，故答案为：A.【分析】先将不等式两边都除以3得a>-2b，再两边都加上1知a+1>-2b+1，结合-2b+1>-2b-1利用不等式的同向传递性可得答案.6．【答案】D【知识点】三角形全等的判定-ASA【解析】【解答】解：由图可知，三角形两角及夹边还存在，∴根据可以根据三角形两角及夹边作出图形，所以，依据是ASA.故答案为：D.【分析】图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可.7．【答案】C【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=50°，∴∠B=∠ACB=50°∴∠A=180°-50°×2=80°∵∠BPC=∠A+∠ACP∴∠BPC>∠A，∴∠BPC>80°∵∠B=50°∴∠BPC<180°-50°=130°则∠BPC的值可能是100°.故答案为：C .【分析】根据等边对等角可得∠B=∠ACB=50°，再根据三角形内角和计算出∠A的度数，然后根据三角形内角与外角的关系可得∠BPC>∠A，再因为∠B=50°，所以∠BPC<180°-50°=130°，进而可得答案.8．【答案】C【知识点】线段垂直平分线的判定【解析】【解答】解：∵PB+PC=BC，而PA+PC=BC.∴PA=PB.∴点P在AB的垂直平分线上，即点P为 AB 的垂直平分线与BC 的交点故答案为：C .【分析】由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在AB的垂直平分线上，进而得出结论.9．【答案】D【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：A、∵AB=AD，AD=BD，∴AD=BD=AB∴△ABD是等边三角形∴∠B=60°∵∠BAC=90°，∴∠C=90°- 60°= 30°.∴2AB=BC，故该选项不符合题意；B、∵AB=AD， AD=BD，∴AD=BD=AB，∴△ABD是等边三角形∴∠B=60°∵∠BAC=90°∴∠C=90°-60°= 30°，故该选项不符合题意；C、∵∠BAC=90°，∠B=2∠C.∴∠B=60°，∠C=30°∴BC=2AB，∵AD=BD∴△ABD是等边三角形∴BD=AB=CD∴S△ABD=S△ACD，故该选项不符合题意；D、∵∠BAC=90°，∠B=2∠C，∴∠B=60°，∠C=30°，∴BC=2AB，故该选项符合题意；故答案为：D .【分析】根据AB=AD，证明△ABD是等边三角形，得出∠C=30°，从而可判断选项A、B；根据∠B=2∠C，得出∠C=30°，从而根据含30°角的直角三角形性质可判断选项C、D.10．【答案】C【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系【解析】【解答】解：∵∠DAE=∠BAC=90°，∴∠DAE+∠EAB=∠BAC+∠EAB，∴∠DAB=∠EAC，∵AD=AE，AB=AC，∴△DAB △EAC(SAS)∴BD=CE，故正确；∴∠ABD=∠ECA，∵∠BAC=90°，AB=AC∴∠ABC=∠ACB=45°∴∠ABD+∠ECB=∠ECA+∠ECB=∠ACB=45°，故④正确；∵∠EBC+∠ECB=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°，∴∠CEB=90°∴CE⊥BD，故③正确；无法判断BE=DE，故②错误；∴正确的是①③④，故答案为：C .【分析】利用“SAS”证明△DAB △EAC，然后根据性质即可判断①结论；利用全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质，即可判断④结论；利用全等三角形的性质进行等角替换，即可判断③结论；无法判断②结论.11．【答案】两个角相等三角形是等腰三角形【知识点】等腰三角形的判定与性质；逆定理【解析】【解答】解：∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个底角相等三角形是等腰三角形”故答案为：两个角相等三角形是等腰三角形 .【分析】先确定原命题的题设和结论，再将题设和结论互换位置，即可得到原命题的逆命题.12．【答案】2【知识点】一元一次不等式的特殊解【解析】【解答】解：解不等式10-5x≥0，移项，得：-5x≥-10，两边同时除以-5，不等号方向改变，得：x≤2，因此，不等式的解集为x≤2，最大正整数解为：2，故答案为：2 .【分析】先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到最大正整数解.13．【答案】∠DAB=∠CBA【知识点】三角形全等的判定-SAS【解析】【解答】解：需添加的条件是∠DAB=∠CBA；∵AD=BC，∠DAB=∠CBA，AB=BA，∴△ABC≌△BAD(SAS)故答案为：∠DAB=∠CBA .【分析】要使△ABC≌△BAD，已知AD=BC，AB=AB，具备了两组边对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可.14．【答案】3【知识点】角平分线的性质【解析】【解答】解：作DP⊥AB于P'，∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DP'⊥AB，∴DP'=DC=3cm，则DP'的最小值为3cm，故答案为：3 .【分析】作DP⊥AB于P'，根据角平分线的性质及垂线段最短，即可得到答案.15．【答案】67.5或90或45【知识点】等腰三角形的判定；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质；分类讨论【解析】【解答】解：∵将△ABC进行折叠，使点A落在线段BC上(包括点B和点C)，设点A的落点为D，折痕为EF，当△DEF是等腰三角形时，∴点D可能的位置分类如下：①当A点与D点(C点)重合时，∵AC=BC，∠C=90°∴∠A=∠B=45°∵将△ABC进行折叠，使点A落在线段BC上(包括点B和点C)设点A的落点为D，折痕为EF，∴AE=ED，，∠EDF=∠A=45°∴∠AFE=∠DFE=45°，∴EF=DE，此时△EDF是等腰三角形，且∠DEF=90°，②如图2，当A点与B点(D点)重合时，C点与点重合，∵AC=BC，AF=DF，∠ACB=90°∴CF=DF，∠EFD=90°，△EDF是等腰角形，∴∠DEF=45°：③如图3，当ED=FD时，△EDF是等腰三角形，∵AC=BC，∠C=90°∴∠A=∠D=45°∴综上所述，∠DEF=67.5°或90°或45°故答案为：67.5或90或45 .【分析】根据等腰三角形的判定可以得出，存在不同的边之间相等，有EF=DF，DE=FD，EF=ED，然后利用三角形内角和定理即可得出答案.16．【答案】100【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：如图，延长AB到A'使得BA'=AB，延长AD到A"使得DA"=AD，连接A'A"与BC、CD分别交于点M、N，∵A、A'关于BC对称，A、A"关于CD对称，∴AM=A'M，AN=A"N，此时△AMN的周长最小值等于AA"的长，∵BA=BA'，NA=NA"∴∠A'=∠MAB，∠A"=∠NAD∵∠AMN=∠A'+∠MAB=2 ∠A'， ∠ANM= ∠A''+ ∠NAD=2 ∠A".∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A'')∵∠BAD=130°∴∠A'+∠A"=180°-∠BAD=50°∴∠AMN+∠ANM=2×50°=100°故答案为：100.【分析】延长AB到A'使得BA'=AB，延长AD到A"使得DA"=AD，连接A'A"与BC、CD分别交于点MN，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A”)即可解决.17．【答案】（1）解：7x-2≥5x+27x-5x≥2+2，2x≥4，x≥2；（2）解：3(x+3)-(5x-1)<6，3x+9-5x+1<63x-5x<6-9-1，-2x<-4，x>2【知识点】解一元一次不等式【解析】【分析】(1)解一元一次不等式，需依次进行移项、合并同类项、系数化为1；(2)解一元一次不等式，需依次进行去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.18．【答案】（1）解：作CD的中垂线交AB于点E，（2）解：由知(1)EC=ED，又∵∠A=∠B=90°，∠DEC=90°，∴∠ADE=90°-∠AED=∠BEC∴△ADE △BEC(AAS)，∴AD=BE，AE=BC∵AD=2，BC=5∴BE=AD=2，AE=BC=5∴AB=AE+BE=5+2=7【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应边的关系【解析】【分析】(1)在线段AB上的一点E到C，D的距离相等，即EC=ED，由垂直平分线的性质可知，点E在线段CD的垂直平分线上；(2)由三角形全等可得AD=BE，AE=BC，根据AB=AE+BE，即可求解.19．【答案】证明：∵BG，CF分别是AC，AB边上的高线∴∠AGB=∠AFC=90°在△AGB和△AFC中，∴△AGB≌△AFC( AAS )，∴BG=CF.【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；三角形的高【解析】【分析】由三角形高的定义得出∠AGB=∠AFC=90°，再根据AAS证明△AGB≌△AFC，根据全等三角形对应边相等即可得出结论.20．【答案】证明：∵△ABC是等腰三角形，∠B=∠C，∴AB=AC，又∵AD是底边BC上的高，∴∠BAD=∠DAC，∵DE//AB，∴∠ADE=∠BAD∴∠ADE=∠DAC∴AE=ED，∴△ADE是等腰三角形【知识点】等腰三角形的判定与性质；两直线平行，内错角相等；三角形的高【解析】【分析】根据△ABC是等腰三角形和AD是底边BC上的高，得到∠BAD=∠DAC，再利用两直线平行内错角相等得到∠ADE=∠BAD，从而得到∠ADE=∠DAC，所以AE=ED，即可得证.21．【答案】（1）解：mx-3>2x+mmx-2x>m+3(m-2)x>m+3∵它的解集是∴m-2<0，解得m<2；（2）解：2x-1>3-x，解得：，∵它的解集是∴，且m-2>0解得m=17【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的含参问题【解析】【分析】(1)首先移项可得mx-2x>m+3，合并同类项可得(m-2)x>m+3，再两边同时除以m-2，当m-2>0时，可得；(2)首先解不等式2x-1>3-x，可得解集，再解(m-2)x>m+3，再两边同时除以m-2，当m-2>0时，可得进而得到方程，再解方程即可.22．【答案】（1）证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB，即∠CAB=∠EAD，在△ACB和△DAE中，，∴△ACB≌△AED（AAS），∴AB=AD.（2）解：∵△ACB≌△AED，∴∠AED=∠C=70°，AE=AC，∴∠AEC=∠C=70°，∴∠BED=180°-∠AEC-∠AED=180°-70°-70°=40°.【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质【解析】【分析】（1）由∠1=∠2可得∠CAB=∠EAD，然后利用角角边定理可证△ACB和△DAE全等，则对应边AB和AD相等.（2）由全等三角形的性质可得∠AED=∠C=70°，AE=AC，于是等腰三角形的性质可得∠AEC等于70°，最后利用补角的性质即可计算∠BED的度数.23．【答案】（1）解：①∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC∴∠DAB=∠EAC，在△ABD和△ACE中，∴△BAD≌△CAE(SAS)②∵△BAD≌△CAE∴∠ABD=∠ACE.∵CE//AB，∴∠ACE=∠BAC∵AB=AC，∴∠ABD=∠ACB∴∠ACB=∠ABC=∠BAC∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，∴∠ABC=60°（2）解：由(1)知，当CE//AB时，则有∠ABC=∠ACE=∠BAC=60°∴△ABC为等边三角形，①如图1，当点D在线段BC上时，此时∠BAD=26°∠ADB=180°-∠BAD-∠B=180°-26°-60°=94°②如图2，当点D在BC的延长线上时，此时∠ADB=26°③如图3，当点D在CB的延长线上，且BD此时∠BAD=26°，∠ADB=60°-26°=34°，④如图4，当点D在CB的延长线上，且BD≥AB时，此时∠ADB=26°，综上所述，满足条件的∠ADB的度数为26°或34°或94°.【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；分类讨论【解析】【分析】(1)①根据SAS即可证明；②利用等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ACB，再根据全等三角形的性质得到∠ABD=∠ACE，进而证明∠ACB=∠ABC=∠BAC，再根据三角形内角和求出结论；(2)分点D在线段BC上、当点D在CB的延长线上、点D在BC的延长线上的情形，并根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可.24．【答案】（1）解：①5②∵PM⊥OA，∴∠OMP=90°在Rt△OMP中，D是OP的中点∴，∴∠DMO=∠DOM∴∠MDP=2∠MOP，同理可知，∠NDP=2∠NOP∴∠MDN=∠MDP+∠NDP=2∠MON（2）解：∠MDN=2∠MON，理由如下：∵PM⊥OA，∴∠OMP=90°在Rt△OMP中，D是OP的中点∴，∴∠DMO=∠DOM∴∠MDP=2∠MOP同理可知，∠NDP=2∠NOP∴∠MDN=∠NDP-∠MDP=2∠MON【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：(1)①∵D是OP的中点，∴故答案为：5.【分析】(1)①根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解；②根据等腰三角形的性质得到∠DMO=∠DOM，同理得到∠NDP=2∠NOP，结合图形计算，证明结论；(2)仿照(1)的证明方法解答即可.1 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