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山西大学附中
2025-2026学年高三第一学期期中模块诊断
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
一．单选题（本小题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知平面向量，若，则（ ）
A． B． C．3 D．
3．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．不等式的解集为（ ）
A． B．或 C． D．或
5．的展开式中，项的系数是（ ）
A．5 B． C．10 D．
6．已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A． B．6 C．3 D．2
7．已知O为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，A，B是C上位于x轴异侧的两点，且，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
二．多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）
9．在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则； B．若，则；
C．若，则； D．若，则.
10．已知数列的前项和，则（ ）
A．为中的最小项 B．
C．数列是等差数列 D．
11．若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．角一定为锐角 B． C． D．的最大值为
三、填空题（本小题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．已知一组数据为1，1，3，4，5，7，8，10，10，12，则这组数据的第75百分位数是 ．
13．定义在上的函数满足对任意的正实数、恒有，且，若对任意的、，当时都有，则不等式的取值范围是 ．
14．一正四棱锥形状的中空水晶，其侧面分别镌刻“自”“信”“自”“立”四字，内部为一个正四面体形状的水晶，表面上分别镌刻“自”“主”“自”“强”四字，当其在四棱锥外壳内转动时，好似折射出可穿越时空的永恒光芒.已知外部正四棱锥的底面边长为3，侧棱长为 ，为使内部正四面体在外部正四棱锥内(不考虑四棱锥表面厚度)可绕四面体中心任意转动，则该正四面体棱长最大为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．记的三个内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，且的外接圆半径为，求的面积.
16．已知椭圆，的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于，两点，是的中点.
(1)若，求直线的斜率；
(2)求面积的最大值.
17．如图1，分别是边长为4的正方形三边的中点，将四边形沿着线段折起，连接就得到了一个三棱柱（如图2）.
(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面；
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
18．某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球 足球 排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为．
(1)若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；
(2)若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望；
(3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由．
19．已知函数，．
(1)若是的极值点，求a的值并说明是极大值点还是极小值点；
(2)若时，，求a的取值范围；
(3)对的定义域内的任意，，证明：．
试卷第1页，共3页数学试题参考答案
一、单选题
D B B D A C C D
二、多选题
9．BCD 10．ABC 11．ACD
三、填空题
12．10 13． 14．/
四、解答题
15．【解】（1）因为，
由正弦定理可得，
又，则，
所以，
即，
化简得，又，，所以，又，所以.
（2）设外接圆的半径为，则，所以，
由余弦定理得，结合，
，即，解得，则，
所以.
16．【解】（1）由题意可得直线的斜率不为0，设的方程为.
由，消得，，
设，，则，，
则，
，
，，因为，所以，
即，所以，
即，整理得到，解得.
所以直线的斜率为.
（2）由（1）得，所以的中点的纵坐标为，
所以的面积，
当且仅当时，的面积最大值为.
17．【解】（1）
证明：取中点，连接，由题意知，，且，
因为是矩形对角线的交点，所以，且，
所以，且，所以四边形AOMG为平行四边形，
所以，
又平面平面，所以平面.
（2）在图1中，，且，在图2中，上述关系依然成立，
所以就是二面角的平面角，即，
故以为坐标原点，分别为轴，轴正方向，垂直平面向上的方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，
则，因为，，
所以，即，
又，所以，
所以，
设平面的法向量为，
则取，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．【解】（1）设“甲校友所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球相关知识的题目”，
“所选的题目为足球相关知识的题目”， “所选的题目为排球相关知识的题目”，
则，且两两互斥．
根据题意得，，，，
则，
所以甲校友在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为．
（2）的可能取值为，
，
，
，
，
则的分布列为：
-3 1 5 9
所以．
（3）当时，为甲校友答对题目的数量，
由题意可知，其中，
故当时，甲校友获得奖励的概率，
当时，甲校友获得奖励的情况可以分为如下情况：
①前8题答对题目的数量大于等于5，
②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题，
③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对，
故当时，甲校友获得奖励的概率，
所以，
因为，所以，即，
所以甲校友应选．
19．【解】（1）的定义域为，，
因为是函数的极值点，所以，解得，
当时，，
因为，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点.
（2），
当时，，，
时，；时，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以时，，不合题意.
当时，由得，
当，即时，对成立，
所以在上单调递减，所以时，合题意；
当，即时，对成立，
所以在上单调递增，
所以当时，，不合题意.
综上，a的取值范围是.
（3）因为，
所以要证成立，
只要证成立，
因为，所以只要证成立，
因为，，
所以只要证成立.
记，
则，对成立，
所以在上单调递减，
当时，，所以，
取，由知，从而，
所以成立，故原不等式成立.
试卷第1页，共3页

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