资源简介

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5.5 一次函数的简单应用
题型目录：
题型一：方案分配问题之旅行问题
题型二：方案分配问题之运输问题
题型三：方案分配问题之销售问题
题型四：方案分配问题之月租问题
题型五：一次函数的实际应用之最大利润问题
题型六：一次函数的实际应用之行程问题
题型七：一次函数的实际应用之其他问题
题型八：一次函数的实际应用之梯度收费问题
题型九：一次函数的实际应用综合
题型十：高分冲刺题型
题型一：方案分配问题之旅行问题
1．“这么近那么美，周末到河北”，河北某文旅公司推出野外宿营活动，有以下两种优惠方案．某团队有x人参加该活动，购票总花费为y元，这两种方案中y关于x的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
方案一：以团队为单位办理会员卡（会员卡花费a元），所有人都按半价优惠；
方案二：所有人都按六折优惠．
A．
B．原票价为480元/人
C．方案二中y关于x的函数解析式为
D．当时，方案一比方案二优惠
5．某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案：
方案一：每人票价打九折；
方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折．
设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元．
(1)分别写出方案一、方案二中，与之间的关系式；
(2)某单位共34人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由．
3．某游乐园票价为每人120元，为了吸引客源，该游乐园在“双11”期间推出了针对团体的优惠活动，具体内容如下：
①若团体人数不足10人，则不享受优惠；
②若团体人数在10人及以上，则有两种优惠方案可供选择；
方案一：每人都享受七五折优惠；
方案二：其中10人享受八五折优惠，其余人享受六折优惠．
期中练习后，为了让孩子们放松一下，三个家庭准备到该游乐园游玩，已知A家庭有4人，B家庭有3人，C家庭有2人．
(1)若这三个家庭直接去游乐园，则购买门票共需花费多少元？
(2)为了享受优惠，他们准备再邀请一些人组成团体一起去该游乐园，假设他们共邀请了x个人，请解决下列问题：
①若他们选择方案一，设购买门票共需花费y元．试用含x的代数式表示y；
若他们选择方案二，设购买门票共需花费w元，试用含x的代数式表示w．
②当时，选择哪种方案更合算？请通过计算说明．
4．某班级计划在这学期组织学生到某地研学，参加研学的班级人数估计为35至45人．甲、乙两家研学社的服务质量相当，且报价都是每人100元，经过协商，甲研学社表示可以给予每位学生七折优惠，乙研学社表示可先免去五位学生的研学费用，然后给予其余学生八折优惠．若班级参加研学的人数为x，向甲、乙两家研学社支付的费用分别为和．
(1)写出，与x的关系式；
(2)若班级参加研学的人数刚好为42人，选择哪家研学社更经济实惠？
(3)该班级选择哪一家研学社支付的研学费用较少
5．某学校计划租用汽车外出参加集体活动，现有甲、乙两种大客车租供选择．公司报价为：每辆甲种大客车载客量为45人，每辆乙种大客车的载客量为30人，每辆甲种大客车比乙种大客车贵120元，3辆甲种大客车和2辆乙种大客车共计 1760元．
(1)甲种大客车和乙种大客车每辆的租金分别为多少元？
(2)学校计划在总费用2300元的限额内，送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有一名教师，设共租用了汽车m辆，其中租用甲种客车x辆，租车费用为y元．
①其中m的值为 ；
②求y关于x的函数解析式及x的取值范围；
③运用上述关系，求花费最少的租车方案及最少费用，并说明理由．
6．这个夏天，江苏的顶流话题非“苏超”莫属！朋友圈、抖音全被刷屏，网友们边看球赛边玩梗．梭子蟹大闸蟹、云雾茶碧螺春、海鲜汤包……年月日，连云港主场迎战苏州，一场“舌尖上的德比”未踢先火，更因两地特色被戏称为“蟹王争霸赛”．为给赛事加码，连云港放出“宠粉大招”——广大球迷专属优惠：即日起至月日，凡持有年江苏省城市足球联赛购票凭证的球迷，凭购票记录和身份证，可享受在观赛当日及前、后天内（十一假期不含在内）连云港市域内景区、酒店优惠．
已知连云港某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．凡球迷圆团体入住一律五折优惠．一个人的团体在月日到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房．
(1)如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？
(2)一天元的住宿费是否为最低？如果不是最低，请尝试设计一个方案，使得一天的住宿费用最低，并求出最低费用．
题型二：方案分配问题之运输问题
1．甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨．设从甲地运吨木材到厂（），从甲地运往两木艺厂的总运费为元，从乙地运往两木艺厂的总运费为元．
运费表
厂 厂
甲地 30 40
乙地 10 15
(1)木材运输配送表如下，请你填空（用含的式子表示）：
甲地 乙地
厂 x ②
厂 ① ③
①______；②______；③______；
(2)请分别求出与之间的函数关系式；
(3)若要求从乙地运往两木艺厂的总运费不得超过4800元，怎样调运可使全部运输费用（即两地运往两木艺厂的总费用之和）最少，并求出全部运输费用的最小值．
2．“一方有难，八方支援”，我州为支援武汉抗击新冠肺炎，准备将A县的蔬菜200吨和B县的蔬菜300吨运往武汉的C区和D区．现确定运往C区和D区的蔬菜分别是240吨和260吨．已知从A、B两县运蔬菜到C、D两区的运费（元/吨）如下表所示，设A县运往C区的蔬菜为x吨，
A B
C 20 15
D 25 24
(1)用含x的代数式填空：A县运往D区的蔬菜吨数为________，B县运往C区的蔬菜吨数为________，B县运往D区的蔬菜吨数为________．
(2)用含x（吨）的代数式表示总运费W（元），并设计怎样调运可使总运费最少？
3．某公司要将总重量为的货物运送到距公司分别为和的A地和B地，公司拥有甲，乙两种型号车辆共辆，车辆的信息如下表：
车辆型号 装载量 每百千米油耗
甲 t 升
乙 8 t 升
(1)若每辆车都满载且刚好将货物运完，则公司拥有甲，乙两种型号的车辆各多少辆？
(2)在（1）的条件下，现公司将辆车派往A地，其中甲种车辆m辆，其余车辆派往B地，且运往A地的货物不得多于 ，公司该如何分派车辆才能使油耗最少？最少油耗多少升？
4．为了抗击新冠疫情，防疫指挥部计划将甲、乙两厂“生产的防疫物资全部运往两地，甲厂有防疫物资吨，乙厂有防疫物资吨，地需防疫物资吨，地需防疫物资吨，每吨防疫物资的运输费用（百元）见表格，设从甲厂“运往地防疫物资吨．
接收地 出发地 地 地
甲厂
乙厂
(1)直接写出的取值范围： ．
(2)请你设计一种调运总费用最低的运输方案，最低费用为多少？
(3)因路况原因，从甲厂到地的运输费用每吨增加了百元，从乙厂“到地的运输费用每吨降低了百元，其它每吨运输费用不变，且，请你探究总运费可以达到的最小值．
5．某市，两个蔬菜基地得知黄岗，两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运，两个灾区安置点，从地运往，两处的费用分别为每吨20元和25元，从地运往，两处的费用分别为每吨15元和18元．设从地运往处的蔬菜为吨．
(1)请填写表，用含的代数式填空，结果要化简：
总计/
______ ______ 200
______ 300
总计/ 240 260 500
(2)设，两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
(3)经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元，其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
6．已知甲、乙两果园预计今年苹果的产量分别为120吨和130吨，打算成熟后运到、两个仓库存放，已知仓库可储存110吨，仓库可储存140吨．设甲果园运往仓库的苹果x吨，总运费为y元．甲、乙两果园运送苹果到、两仓库的费用如下表：
甲果园 乙果园
A仓库 160元/吨 150元/吨
B仓库 200元/吨 180元/吨
(1)甲果园运往仓库的苹果为______吨，乙果园运往仓库的苹果为______吨，运往仓库的苹果为______吨（用含x的代数式表示）；
(2)求y与x之间的函数解析式和自变量x的取值范围；
(3)当甲果园运往仓库多少吨苹果时，总运费最少？总运费最少是多少元？
7．A校和B校分别有库存电脑14台和8台，现决定支援给C校12台和D校10台．已知从A校调运一台电脑到C校和D校的运费分别为40元和10元；从B校调运一台电脑到C校和D校的运费分别为30元和20元．
(1)设A校运往C校的电脑为x台，则A校运往D校的电脑为____台；B校运往C校的电脑为______台，B校运往D校的电脑为______台；
(2)求总运费W（元）关于x的函数关系式；
(3)求出总运费W最低的调运方案，最低运费是多少
题型三：方案分配问题之销售问题
1．“植树节”期间，我校组织八年级学生开展“共植一抹绿，一起上春山”活动．计划购买甲、乙两种树苗，已知购买2棵甲种树苗和3棵乙种树苗共需240元，购买3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需210元．
(1)求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元；
(2)学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？
2．“旅居云南，车旅兴滇”，露营成为休闲新风尚，为文旅消费注入新活力．某景区为提升消费体验，现需购买甲、乙两种型号的营地房车，乙型房车的单价比甲型房车的单价多10万元．用240万元购买甲型房车的数量与用360万元购买乙型房车的数量相等．
(1)求甲型房车、乙型房车的单价分别是多少万元？
(2)若该景区需要购买甲、乙两种型号的营地房车共20辆（两种型号的房车均需购买），其中购买乙型房车的数量不少于8辆．为使总费用最低，应购买甲型房车和乙型房车各多少辆？最低总费用为多少万元？
3．某中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜，若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用440元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用304元．
(1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元？
(2)该中学决定购买A型和B型放大镜共75个，其中A型放大镜的数量不少于B型放大镜数量的3倍，则如何购买费用最少？最少费用多少元？
4．某市为大力推销本市果农的水果产品，计划把甲水果大约700吨，乙水果大约1020吨，一次性运往外地销售．需要不同型号的、两种车皮共30节，种车皮每节运费2500元，种车皮每节运费3000元．
(1)设租车皮的总费用为元，租种车皮节，请写出和之间的函数关系式．
(2)如果每节车皮最多可装甲水果30吨和乙水果20吨，每节车皮最多可装甲水果25吨和乙水果40吨，装水果时按此要求安排、两种车皮，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费．
(3)计划下一次租用、两种车皮时，想用（2）中的最低费用同时租用、两种车皮，请直接写出有哪几种租车方案？
5．某学校举行表彰大会，决定购买一批笔记本和文具盒作为优秀学生的奖品，已知购买1个文具盒和2本笔记本共需16元，购买2个文具盒和3本笔记本共需28元．
(1)求购买1个文具盒和1本笔记本各需多少元？
(2)该学校决定购买文具盒和笔记本共100件，且用于购买这些奖品的总费用不能超过650元，求最多可购买文具盒多少个？
(3)在（2）的条件下，若购买文具盒的数量不低于笔记本数量的倍，请设计出费用最低的购买方案，并求出最低费用．
6．某县第一届运动会需要购买A，B两种奖品，已知B奖品比A奖品价格每件高5元，用200元买到的A种奖品与300元买到的B种奖品的数量一样．
(1)求A、B两种奖品的单价各是多少元？
(2)运动会组委会计划购买A、B两种奖品共80件，购买费用不超过925元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，请求出购买总费用最少的方案．
7．西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元．
(1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？
(2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？
题型四：方案分配问题之月租问题
1．某通讯公司推出三种上网月收费方式．这三种收费方式每月所收的费用y（元）与上网时间x（时）的函数关系如图所示，下列判断错误的是（ ）
A．每月上网不足25时，选择A方式最省钱
B．每月上网时间为30时，选择B方式最省钱
C．每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长
D．每月上网时间超过70时，选择C方式最省钱
2．随着信息技术的快速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已不再是梦，现有某教学网站策划了A，B两种上网学习的月收费方式：
收费方式 月使用费/元 包时上网时间 超时费/（元）
A 12 40 0.5
B m n 0.6
设每月上网学习时间为x小时，方案A，B的收费金额分别为
(1)如图是与x之间函数关系的图象，请根据图象填： ； ．
(2)求出与之间的函数关系式 ．
(3)如果每月上网时间60小时，选择哪种方式上网学习合算，为什么？
3．“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出关于的函数表达式；
(2)当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同．
4．谷歌人工智能AlphaGo机器人与李世石的围棋挑战赛引起人们关注，人工智能战胜李世石．某网站开设了有关人工智能的课程并策划了A，B两种网上学习的月收费方式：
收费方式 月使用费/元 包时上网时间/ 超时费/（元/）
A 6
B 8
设小明每月上网学习人工智能课程的时间为x，方案A，B的收费金额分别为yA元、yB元．
(1)当时，分别求出yA，yB与x之间的函数关系式；
(2)若小明3月份上该网站学习的时间为 ，则他选择哪种方式上网学习合算？
5．某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只拿销售提成；方案二：底薪加销售提成．设x（件）是销售商品的数量，y（元）是销售人员的月工资．如图，为方案一的函数图像，为方案二的函数图像．已知方案二中每件商品的销售提成比方案一少30元．根据图中信息解答下列问题（注：销售提成是指从销售每件商品得到的销售额中提取一定数量的费用）：
(1)求对应的函数表达式．
(2)方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元？
(3)小李是该化妆品公司的销售人员，他选择哪种方案才能使月工资更多？
题型五：一次函数的实际应用之最大利润问题
1．某水果种植基地计划租几辆货车装运苹果和橘子共60吨（苹果和橘子都有）去外地销售，要求每辆货车只能装一种水果，且必须装满．
苹果 橘子
每辆车装载量（吨） 4 6
每吨获利（元） 1200 1500
(1)设装运苹果的货车有辆，装运橘子的货车有辆，则_____（用含的代数式表示）；
(2)求总利润（元）与（辆）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，则应安排多少辆货车装运苹果才能获得最大利润，并求出最大利润．
2．某公司每月销售两种型号的教学设备共20台，每台的销售成本和售价如下表．
型号
成本/（万元/台） 3 5
售价/（万元/台） 4 8
(1)设该公司每月销售型号设备台，则每月销售型号设备______台，每月共获得利润_____万元．（用含的代数式表示，结果需化简）
(2)若每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元，则该公司如何安排购进两种型号教学设备的数量，使得每月销售完这些设备后获利最大？并求出最大利润．
3．5G时代的到来将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如下表所示：
价格 型号 进价（元/部） 售价（元/部）
A 3000 3400
B 3500 4000
某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元．手机销售完成后共获得利润4400元．
(1)营业厅购进 A、B两种型号手机各多少部？
(2)若营业厅再次购进A、B两种型号机共20部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案，营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？
4．某汽车销售公司计划购买并销售型和 型两种型号的新能源汽车．这两款汽车每辆车的进价和售价如下表所示：
类型 进价（万元辆） 售价（万元辆）
型
型
已知购进辆型车和辆型车共需万元，购进辆型车与购进辆型车所需要的费用相同．
(1)求，的值；
(2)该公司计划购买型车和型车共辆，且购买 型车的数量（单位：辆），不少于型车数量的，该公司将这辆车全部售出后，所得利润为万元，求的最大值．
5．据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象；表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某文创店准备购进、两款哪吒玩偶，两款玩偶的进价和利润如表（单位：元）
A款 B款
单个进价
单个利润 2 3
(1)已知花费400元购进款哪吒玩偶的数量和花费800元购进款哪吒玩偶的数量相等，求的值；
(2)该店准备拿出2000元全部用来购进这两种哪吒玩偶，且购进款的数量不超过款数量的4倍，若玩偶能全部售完，问该店如何进货能使利润最大？最大利润是多少元？
6．端午节为纪念屈原有吃粽子的传统习俗，现今粽子的种类非常多．口味不大相同，有鲜肉的、蛋黄的、蜜枣的、原味的等等．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多1元，用200元购进甲种粽子的个数与用300元购进乙种粽子的个数相同．
(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
(2)该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为3元/个、5元/个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元．
①求与的函数关系式，并求出的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
7．2023年6月4日，神舟十五号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．该航模店计划购买两种模型共100个，每个“神舟”模型成本为20元，每个“天宫”模型成本为16元，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型个，销售完这批模型获得的利润为元．
(1)求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）；
(2)若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售完这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
8．为迎接九月开学季，某商场计划购进甲、乙两种品牌的书包．已知每个乙品牌书包的进价比每个甲品牌书包贵30元，且用2100元购买甲品牌书包的数量恰好与用3000元购买乙品牌书包的数量相等．若甲品牌书包每个售价100元，乙品牌书包每个售价150元．
(1)甲、乙两种品牌书包每个进价分别是多少元？
(2)若商场计划购进甲、乙两种品牌书包共100个．要求用于购进甲、乙两种品牌书包的资金不超过7660元，且购进甲品牌书包不超过80个．设商场购进甲品牌书包个，商场获利为元，请求出与的函数解析式，并设计出商场获利最大的进货方案，最大利润是多少元？
9．新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店三月份共销售，两种型号的口罩只，其中型号口罩所获利润元，型号口罩获利元．已知每只型口罩的销售利润是型口罩的倍．
(1)求每只型口罩和型口罩的销售利润；
(2)该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共只，其中型口罩的进货量不超过型口罩的倍，设购进型口罩只，这只口罩的销售总利润为元．该药店如何进货，才能使销售总利润最大？
题型六：一次函数的实际应用之行程问题
1．甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示．
(1)分别求出轿车和货车的平均速度；
(2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离；
(3)货车出发多长时间后，两车相距？
2．已知，两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从，两地相向而行．如图，直线，分别表示甲、乙两人离地的距离与时间之间的函数关系图象，根据图象提供的信息，解答下列问题．
(1)分别求出甲、乙两人离地的距离（千米）与（时）之间的函数关系式；
(2)经过多长时间，两人相距40千米？
3．同一条公路连结A、B两地，甲车从A地匀速行驶去B地，乙车从B地匀速行驶去A地，甲车先出发，途中有事保留了0.5小时．甲、乙两车与B地的距离与甲车行驶时间的函数关系如图所示．
(1)求甲、乙两车各自的平均速度；
(2)求线段所在直线的函数表达式．
(3)乙车出发多少小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为多少千米？
4．某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示．
(1)求m的值，并说出m的实际意义；
(2)求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）；
(3)请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值．
5．甲、乙两车分别从相距360千米的、两地同时相向出发，甲车到达地，停留1小时后，返回地，返回时速度是原速的倍，乙车匀速从地驶往地．如图表示甲、乙两车距地的路程（千米）与两车行驶时间（小时）的函数关系．
(1)乙车的速度是______千米/时，甲车返回时的速度是______千米/时；
(2)求甲车从地返回地的过程中，与的函数解析式，写出自变量的取值范围；
(3)出发多少小时后，行驶中的甲、乙两车相距260千米？请直接写出答案．
6．成都2025年世界运动会期间，为展现智能科技与体育赛事的融合，组委会开展人形机器人模拟赛事项目竞速测试．两款人形机器人“蜀韵”和“锦风”参与测试，已知“蜀韵”和“锦风”同时从起点出发前往模拟赛事终点，与分别表示“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离与时间之间的关系，根据图象解答下列问题：
(1)分别求出“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离与时间之间的函数关系式；（不要求写的取值范围）
(2)当时，求“蜀韵”和“锦风”相距时的时间．
题型七：一次函数的实际应用之其他问题
1．初三的几位同学阅读了教材中《第十九章一次函数》的数学活动2，决定探究水龙头关闭不严造成漏水的问题．为了调查漏水量与漏水时间的关系，他们进行了以下试验与探究．试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每隔记录一次容器中的水量，由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量的水，因而得到如表中的一组数据：
时间 1 2 3 4 5 …
水量 5 8 11 17 …
(1)探究：根据上表中的数据，你用下面三个函数模型模拟水量与时间的关系：①，②），③，你认为选用函数___________（填序号）模拟最合理（不必说明理由），并写出相应的表达式______________和表中漏记的的值_________．
(2)应用：①若用量筒进行测量，请估计第30分钟时量筒是否滴满？________（填“是”或“否”）
②成年人每天大约需要饮水，请估计这个水龙头一天的漏水量可供一名成年人饮用多少天？（结果保留一位小数）
2．科学家发现，声音传播的速度随温度的变化而变化，且满足某种函数关系．某科学小组为探究声音在空气中的传播速度（）与空气温度（）之间的关系，在标准实验室进行了多次实验，图表中记录了如下数据．
温度
声音在空气中的传播速度（）
某地冬季室外温度为，小明同学看到烟花秒后听到声响．
(1)求与的函数关系式并验证；
(2)求小明离烟花燃放地的距离（光的传播时间忽略不计）
3．水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究．在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，发现容器内盛水量与滴水时间存在函数关系，并得到如表的一组数据：
时间 0 5 15 20 …
盛水量 5 20 50 65 …
(1)请根据表中信息在平面直角坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内盛水量与滴水时间，符合学习过的_____（选填“正比例”或“一次”）函数；
(2)根据以上判断，求与之间的函数关系式；
(3)推算该水龙头在这种漏水状态下一天（24小时）的漏水量．
4．项目化学习
项目主题：探究桶装水在常温下的最佳饮用时间．
项目背景：桶装水打开后空气中的微生物、尘埃等污染物便开始悄悄进入水中，随着时间的推移水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．某校综合实践小组以“探究桶装水在常温下（）的最佳饮用时间”为主题展开项目学习．
驱动任务：探究桶装水中菌落总数与时间的关系．
研究步骤：
①取一桶桶装水，打开置于空气中；
②逐天测量并记录桶装水中的菌落总数；
③数据分析，形成结论．
试验数据：
试验天数/天 0 1 2 3 4 …
菌落总数/ 15 20 25 30 35 …
问题解决：
(1)如图，建立平面直角坐标系，横轴表示试验天数（天），纵轴表示菌落总数（），将整理好的数据在平面直角坐标系中描点、连线；
(2)观察上述各点的分布规律，求出菌落总数（）与试验天数（）之间的函数关系式；
(3)根据相关部门规定：桶装水菌落总数超过时就要停止饮用，请你通过计算说明桶装水打开后的最佳饮用时间是多少天？
5．在艺术创作中，“透视”是一种利用数学原理在平面上表现三维空间的方法，“灭点”是指在透视图中，原本平行的直线看起来会汇聚到一个点上．如图1，当我们站在笔直的公路上向远方看去，公路的两边虽然在现实中是平行的，但在图片中，它们看起来像是在远处相交于一个点，这个点就是“灭点”，它帮助我们感受空间的深度和立体感．
【问题探究】在现实中，某条公路的左右边界线互相平行．如图2，将该公路的透视图放置于某平面直角坐标系内，已知公路的左侧边界线经过点和，右侧边界线的函数表达式为，和相交于点，即点为灭点．
（1）求左侧边界线的函数表达式；
（2）求灭点的坐标；
【迁移应用】为满足艺术创作的需求，艺术家要对该画作进行调整：保持的位置不变，将向上平移个单位长度，使得灭点的纵坐标不小于6，求的取值范围．
6．在数字时钟精准到毫秒的今天，鲜有人记得，千年前的华夏大地上，古人已用智慧构建起精妙的计时系统——铜壶滴漏．我国现存最完整的成组型滴漏是元代仁宗延佑三年（公元1316年）铸造，全组由4个安放在阶梯上的漏壶组成，最上层称日壶，第二层称月壶，第三层称星壶，最底下一层称受水壶．受水壶铜盖中央插一把铜尺，尺上刻有12时辰的刻度，铜尺前插一木制浮剑，木剑下端是一块木板，叫浮舟．水由日壶按次沿龙头滴下，受水壶中的水随时间的推移而逐渐增加，浮剑逐渐上升，从而读出时间．
铜壶滴漏作为我国古代重要的计时工具，为何通常由四个壶构成？为探寻其中奥秘，科学兴趣小组分别制作了单壶模型与三壶补偿模型展开深入探究．
记录了当实验时间为t（单温：分钟）时，单壶模型受水壶水位（单位：厘米）和三壶补偿模型受水壶水位（单位：厘米），部分数据如下：
t 0 10 20 30 40 50 60
0 1.5 2.8 3.9 4.8 5.5 6.0
0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0
通过分析数据发现，可以用函数刻画与t，与t的关系，回答下列问题：
(1)可以看作是关于t的正比例函数，解析式为________；
(2)在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当时，单壶模型与三壶补偿模型受水壶水位之差约为________（结果保留小数点后一位）；
②实验发现三壶补偿模型计时与标准时间基本一致，每小时受水壶水位上升．当受水壶水位为时，用单壶模型计时比标准时间________（填写“快或慢”）________分钟（结果取整数）．
题型八：一次函数的实际应用之梯度收费问题
1．西安市出租车价格是这样规定的：不超过3千米，付车费元，超过的部分按每千米2元收费．已知李老师乘出租车行驶了千米，付车费y元，则所付车费y（元）与出租车行驶的路程x（千米）之间的关系式为 ．（不要求写出自变量x的取值范围）
2．为了保护资源节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”．计费方法如表：
每户每月用水量 水价
不超过 元
超过但不超过的部分 元
超过的部分 元
设每户每月用水量为，水费为元，当时，则关于的函数关系式为 ．
3．为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法．现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示：
XX居民电费专用发票
计费期限：一个月
用电量x（度） 电价（元/度）
第一档： 0.5
第二档： 0.6
第三档： 0.8
本月实用金额：102（元） （大写）壹佰零贰圆
根据以上提供信息解答下列问题：
(1)如果月用电量用x度来表示，实付金额用y元来表示．
①当时，写出实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式；
②当时，写出实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式；
(2)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量；
(3)若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120度和400度，则实付金额分别为多少元？
4．为了鼓励市民节约用水，三明市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准：
计费档 户年用水量 单价（元）
第一档
第二档
第三档
(1)当时，写出水费（单位：元）与之间的关系式；
(2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费；
(3)某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量．
5．天然气收费标准如下表所示：
用气类型 气价
居民生活用气 阶梯气价（每年每户） 及以下部分 3.35元
部分（不包含包含） 3.93元
以上部分 4.80元
设某户每月用气量为，应交燃气费为（元）．
(1)写出用气量未超过时，与之间的函数关系式；
(2)当小明家交燃气费为1156.8元时，求小明家用气量．
6．个人工资薪金所得税征收办法规定：月收入不超过5000元的部分不收税；月收入超过5000元但不超过8000元的部分征收的所得税；月收入超过8000元但不超过17000元的部分征收的所得税；月收入超过17000元但不超过30000元的部分征收的所得税…如某人月收入15000元，他应缴个人工资、薪金所得税：（元）．
(1)当月收入超过8000元但不超过17000元时，写出应缴所得税（元）与月收入（元）之间的关系式；
(2)某人月收入9800元，求他应缴所得税多少元；
(3)某人本月缴费540元，求此人本月的工资是多少元．
7．我市电费实行阶梯式收费，标准如下：
一户居民一个月用电量的范围 电费价格/（元/千瓦时）
不超过200千瓦时的部分 0.55
超过200千瓦时，但不超过400千瓦时的部分 0.6
超过400千瓦时的部分 0.8
(1)设我市一户居民某月用电量x千瓦时，当月的电费y元，直接写出y与x的关系式；
(2)某户居民七月份用电量为260千瓦时，求该户这个月的电费；
(3)某户居民八月份交电费170元，那么该户居民八月份用电量为多少千瓦时
8．为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法．现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示：
居民电费专用发票
计费期限：一个月
用电量（度） 电价（元/度）
第一档： 0.50
第二档： 0.55
第三档： 0.80
本月实用金额：106.5（元） （大写）壹佰零陆元伍角
根据以上提供信息解答下列问题：
(1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，写出实付额元与月用电量度之间的函数关系式；
(2)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量；
(3)若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120度和250度，则实付金额分别为多少元
题型九：一次函数的实际应用综合
1．一条路上有多个交通信号灯，在“绿波带”，驾驶员以“绿波速度”驾驶，往往能一路绿灯通行．“绿波带”一般设置在城市干线道路上，将所有信号灯交叉口看作一个系统，通过协调控制绿灯亮起的时间，使得车辆以某一规定车速行驶时，基本上可以处处遇到绿灯，这个车速就是“绿波速度”，设置“绿波带”，既可以大大提高交通整体通行效率，也可以优化司机的通行体验．
如图1，汽车以速度匀速行驶通过路口、、、，且．已知各路口红灯、绿灯均每隔交替一次，其余因素忽略不计．
【模块一】特定速度的通行情况
设汽车在第0秒出发，匀速行驶后路程为．图2中射线表示在某种红绿灯设置下汽车行驶的情况．
（1）求与的函数表达式；
（2）汽车以这样的速度向路口行驶，它能一路绿灯通过这四个路口吗，若能，请说明理由；若不能，请计算从路口出发到通过路口的总时长（行程总时长红灯等待时间行驶时间）；
【模块二】绿波速度的通行情况
（3）①在这种红绿灯设置下，汽车若想一路绿灯匀速通过这四个路口，需优化通行速度，则“绿波速度”的取值范围为________；
②若汽车以①中“绿波速度”的整数值匀速行驶，与（2）中相比优化后的总时长减少了多少秒（精确到）；
【模块三】交通系统优化效果对比
（4）以下是某路段“绿波控制系统”优化前后各指标的平均数据对比：
指标 优化前 优化后
行程总时长 分钟 分钟
红灯等待次数 次 次（）
单次红灯平均等待时长 秒 秒
行驶速度 米/分钟 米/分钟
求“绿波控制系统”优化前后的红灯等待次数．
2．根据以下信息，探索完成任务：
素材1 采荷中学组织七年级学生开展茶文化研学活动，准备租用、两种型号的客车，其中型车每辆租金500元，型车每辆租金400元
素材2 4辆型车和3辆型车坐满后共搭载200人，3辆型车和4辆型车坐满后共搭载185人．
素材3 该年级计划租用、两种型号的客车共20辆，且型车的数量不少于型车的数量的7倍．
问题解决：
(1)每辆、型车坐满后分别可以搭载几人？
(2)请设计一种最佳租车方案，使租车的总租金最少，并求出相应的最少租金．
(3)若该年级准备只租用型车若干辆，且要求每辆车的乘客人数相等．若每辆车搭载18名学生，则有5名学生未能上车；若安排1辆车搭载教师，则所有的学生正好能平均搭乘到其他各车上．求该年级租用多少辆型车？有多少名学生参加研学活动？
3．一条笔直公路上依次有A、B、C三地，甲车从B地匀速行驶到A地，到达A地因故停留1小时，然后按原路原速返回到C地（调头时间忽略不计）：乙车在甲车出发1小时后，从A地匀速行驶到C地，到达C地后停止行驶，在行驶的过程中．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与乙车行驶时间（小时）函数图象如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
(1)甲车行驶的速度为___________千米/时，B、C两地相距的路程是___________千米；
(2)求甲车从A地驶向B地的过程中，y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)请直接写出甲车出发多少小时，两车相距40千米．
4．甲、乙两车从佳市出发前往哈市，甲车先出发匀速驶向哈市，15分钟后乙车出发，匀速行驶一段时间后出现故障，出现故障后维修了10分钟，修好后减速慢行，速度减少了，结果与甲车同时到达哈市，甲、乙两车距佳市的路程y（）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息，完成下列问题：
(1) ，甲车的速度是 ；
(2)求甲车距佳市的路程y（）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系式；
(3)请直接写出甲车出发多长时间，甲、乙两车相距10．
5．如图①，在长方形中，，点从点出发，沿的路线运动，到点停止；点从点出发，沿的路线运动，到点停止．若点和点同时出发，点的速度为每秒，点的速度为每秒，秒时，点和点同时改变速度，点的速度变为每秒，点的速度变为每秒．图②是点出发秒后的面积与时间（秒）的函数关系图象；图③是点出发秒后三角形的面积与时间（秒）的函数关系图象．
(1)参照图②，求及图②中的值；
(2)设点离开点的路程为，点到点还需要走的路程为，请分别写出改变速度后，与出发后的运动时间（秒）的关系式，并求出点和点相遇时值．
6．综合与实践
【项目主题】
某劳动实践小组拟用一批塑料花盆种植花卉美化学校的文化长廊．
【项目准备】
（1）摆放方式：使用A，B两种规格的塑料花盆分别按图1和图2的方式靠墙进行单侧摆放（起点和终点各摆放一个，且每两个花盆之间的距离都一样）．
（2）规划探究：无论选择哪种摆放方式．设都需要个塑料花盆，学校的文化长廊长度为，用A花盆按图1的方式进行摆放，则y关于的表达式为①______；若用B花盆按图2的方式进行摆放，则y关于的表达式为②______．
【项目分析】
（1）项目条件：文化长廊总长为，每个A花盆可种植1株花卉，每个B花盆可种植2株花卉．
（2）方法确认：按图1，需要A花盆③______个；按图2，需要B花盆④______个．
【项目优化】
（1）优化方式：实践小组经过分析后决定要在文化长廊的两侧都摆放花盆，一边按图1的方式摆放A花盆，另一边按图2的方式摆放B花盆．
（2）成本预算：实践小组计划用不超过500元的价格采购一批玫瑰和蔷薇，已知一株玫瑰15元，一株蔷薇12元，且玫瑰的数量不少于蔷薇的两倍，若设玫瑰采购了m株（为正整数），采购费为w元，则w关于m的函数表达式为⑤_______，采购的费用w最少为⑥_______元
【项目实施】
根据以上分析，用最少的费用采购两种花来完成美化文化长廊实践活动（略）。
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
①________；②_______；③_______；④_____；⑤_______；⑥_____．
7．已知小华家、文具店、书店依次在同一条直线上，文具店、书店离小华家的距离分别为小华从家出发，先匀速骑行到达书店，在书店停留了，之后匀速骑行到达文具店，在文具店停留后，再匀速骑行返回家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)①填表：
小华离开家的时间/min 4 15 23 30
小华离家的距离/km 1
②填空：小华从文具店返回家的速度为______；
③当时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式；
(2)若小华的哥哥与小华同时离开书店，小华的哥哥匀速步行直接返回家，他到家的时间比小华到家的时间晚．在从书店返回家的过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为，小华的哥哥离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）．
题型十：高分冲刺题型
1．甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与行驶时间的函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两车同时出发
B．乙车的速度为
C．乙车出发时，追上了甲车
D．当乙车到达B城时，甲、乙两车相距
2．如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，下表为记录几次数据之后所列表格：若秤砣到提钮的水平距离是，此时挂重物为（ ）．
0 1 2
8
A．8 B．7 C．5 D．10
3．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．乙用6分钟追上甲 B．乙追上甲后，再走2400米才到达终点
C．甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟 D．甲乙两人之间的最远距离是960米
4．甲、乙两人从同一地点出发，沿同一方向跑步，速度分别为米/秒和米/秒，开始时甲先跑米后乙再追赶，则从乙出发开始追上甲这一过程中，甲、乙两人之间的距离（米）与甲跑步所用时间（秒）之间的函数关系式为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
5．国庆假期，芳芳与小雯两家各自驾驶甲、乙两车从宣城出发匀速行驶至上海，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开宣城的距离与两车行驶的时间之间的函数关系如图所示，下列判断错误的是（ ）
A．乙车的速度是 B．乙车比甲车晚出发，却早到
C．乙车出发后追上甲车 D．当甲、乙两车相距时，或
6．珊珊与姐姐司司相约去离家的图书馆看书，珊珊从家骑自行车去图书馆，司司从家出发，乘车沿相同路线去图书馆，珊珊和司司的行进路程（）与时间（时）的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．点时司司追上了珊珊；
B．司司坐车的平均速度是珊珊骑自行车的平均速度的倍；
C．司司到达图书馆时，珊珊离目的地还有；
D．司司在距家处与珊珊相遇；
7．西安市出租车价格是这样规定的：不超过3千米，付车费元，超过的部分按每千米2元收费．已知李老师乘出租车行驶了千米，付车费y元，则所付车费y（元）与出租车行驶的路程x（千米）之间的关系式为 ．（不要求写出自变量x的取值范围）
8．有一个一次函数的图象，甲、乙两位同学分别说出了它的一些特点：甲：随的增大而减小；乙：当时，．请你写出满足甲、乙两位同学要求的一个一次函数表达式． ．
9．有一个最多能称的弹簧秤，称重发现，弹簧的长度与物体重量满足一定的关系，如下表，那么，在弹簧秤的称重范围内，弹簧最长为 ．
重量 1 1.5 2 2.5 3 3.5
长度 4.5 5 5.5 6 6.5 7
10．电子体重秤原理：平台重物表面形变电阻形变电流变化.内部电流变化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字.简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数图象如图所示，当可变电阻为90欧时，对应被测人的质量为 千克．
11．随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出型和型两款扫地机器人，已知2台型机器人和3台型机器人每小时刚好可以清洁170平方米，3台型机器人和1台型机器人每小时刚好可以清洁150平方米．
(1)一台型机器人和一台型机器人每小时各清洁多少平方米？（列方程组解应用题）
(2)某家居店计划向机器人公司购进一批型和型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁480平方米，若设型机器人有台，型机器人有台，请用含的代数式表示．
(3)在（2）问的前提下已知型机器人的售价为万元一台，型机器人的售价为1万元一台，设购买总费用为万元，问如何购买使得总费用最少；请说明理由．
12．为了倡导绿色低碳的生活方式，鼓励居民节约用电，某地电费采取如下表所示的计费方式．已知嘉淇家7月份用电量为280千瓦时，缴纳电费164元．
第一档 月用电量180千瓦时以下（含180千瓦时），每千瓦时价格0.55元
第二档 月用电量180千瓦时至300千瓦时的部分（含300千瓦时），每千瓦时比第一档提价元
第三档 月用电量300千瓦时以上的部分，每千瓦时比第一档提价0.3元
(1)求的值．
(2)设某户每月用电量为千瓦时，应缴纳电费元，求与的函数关系式．
(3)某户8月份的电费为194元，求该户8月份的用电量．
13．某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子到菜市场售卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价见下表：
价格 黄瓜 茄子
批发价（元/千克） 2
零售价（元/千克）
该蔬菜经营户当日批发了黄瓜和茄子共千克，设批发了黄瓜x千克，当日总利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若当日的总利润为元，求当日批发了茄子多少千克．
14．为积极落实乡村振兴政策，某市鼓励农民种植人们喜欢的水果——草莓．周末，小东和小明一起去采摘园采摘草莓，小东说：“我用200元采摘的甲种草莓比你用200元采摘的乙种草莓多”小明说：“甲、乙两种草莓的单价之比为．”
(1)根据小东和小明的对话，求出甲、乙两种草莓的单价；
(2)由于草莓的成熟期较短，该草莓采摘园为吸引顾客，推出一种优惠方案：采摘甲种草莓按原价的八折销售；采摘乙种草莓超过，超出部分按原价的六折销售．某公司团建活动准备采摘两种草莓共，已知采摘的乙种草莓不少于且不多于甲种草莓的一半．设采摘乙种草莓为千克，总费用为元，
①请写出W关于m的关系式；
②如何采摘能使采摘的总费用最低？最低费用为多少元？（两种草莓的采摘量均为正整数）．
15．两架无人机、准备在米高空完成台商区“争创文明城市 共建美好家园”的拍摄任务，无人机从海拔米处以米秒的速度匀速上升，无人机从海拔米处匀速上升．设无人机海拔高度（米）与时间（秒）的关系如图所示．
(1) ；
(2)求无人机在上升过程中，海拔高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式；
(3)求当为何值时，无人机和无人机相距米．中小学教育资源及组卷应用平台
5.5 一次函数的简单应用
题型目录：
题型一：方案分配问题之旅行问题
题型二：方案分配问题之运输问题
题型三：方案分配问题之销售问题
题型四：方案分配问题之月租问题
题型五：一次函数的实际应用之最大利润问题
题型六：一次函数的实际应用之行程问题
题型七：一次函数的实际应用之其他问题
题型八：一次函数的实际应用之梯度收费问题
题型九：一次函数的实际应用综合
题型十：高分冲刺题型
题型一：方案分配问题之旅行问题
1．“这么近那么美，周末到河北”，河北某文旅公司推出野外宿营活动，有以下两种优惠方案．某团队有x人参加该活动，购票总花费为y元，这两种方案中y关于x的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
方案一：以团队为单位办理会员卡（会员卡花费a元），所有人都按半价优惠；
方案二：所有人都按六折优惠．
A．
B．原票价为480元/人
C．方案二中y关于x的函数解析式为
D．当时，方案一比方案二优惠
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中获取有效的信息，求出函数图象解析式是解题关键．本题求出两种方案的解析式，选项逐一进行判断即可．
【详解】A、由图象可知：会员卡的费用为400元，，故本选项不符合题意；
B、方案二：2人花费480元，单人票价为240元，
原票价为：元，故本选项不符合题意；
C、方案二单人票价为240元
方案二的解析式为：，故本选项不符合题意；
D、由题意得：方案一单人票价为：元
方案一的解析式为：，
当，即：时，方案一比方案二更优惠，故本选项符合题意
故选D．
2．某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案：
方案一：每人票价打九折；
方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折．
设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元．
(1)分别写出方案一、方案二中，与之间的关系式；
(2)某单位共34人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由．
【答案】(1)
(2)选择方案二更优惠，见解析
【分析】本题考查了函数的表达式，函数值的计算与比较，熟练掌握函数的表达式，求函数值是解题的关键
（1）方案一每人打九折，直接计算总费用；方案二前10人原价，超过部分打八折，分段计算后合并．
（2）代入计算两种方案的总费用，比较大小后得出结论．
【详解】（1）解：票价为150元/张，方案一：每人票价打九折，此时单价为元，
故；
方案二：10人以内（含10人）不优惠，此时费用为元，超过10人的部分的费用为，
总费用为：．
（2）解：当时，，
．
，
选择方案二更优惠．
3．某游乐园票价为每人120元，为了吸引客源，该游乐园在“双11”期间推出了针对团体的优惠活动，具体内容如下：
①若团体人数不足10人，则不享受优惠；
②若团体人数在10人及以上，则有两种优惠方案可供选择；
方案一：每人都享受七五折优惠；
方案二：其中10人享受八五折优惠，其余人享受六折优惠．
期中练习后，为了让孩子们放松一下，三个家庭准备到该游乐园游玩，已知A家庭有4人，B家庭有3人，C家庭有2人．
(1)若这三个家庭直接去游乐园，则购买门票共需花费多少元？
(2)为了享受优惠，他们准备再邀请一些人组成团体一起去该游乐园，假设他们共邀请了x个人，请解决下列问题：
①若他们选择方案一，设购买门票共需花费y元．试用含x的代数式表示y；
若他们选择方案二，设购买门票共需花费w元，试用含x的代数式表示w．
②当时，选择哪种方案更合算？请通过计算说明．
【答案】(1)购买门票共需花费元
(2)①方案一：；方案二：；②选择方案二更划算
【分析】本题考查了一次函数的应用，正确表示出不同的表达式是解题的关键．
（1）依据题意可得不享受优惠，计算即可；
（2）①依据题意，分别根据购票方案一，方案二，表示出购买门票的费用；
②依据题意，将代入各个表达式对比即可．
【详解】（1）解： A家庭有4人，B家庭有3人，C家庭有2人，
则共有（人），
购买门票共需花费（元），
答：购买门票共需花费元；
（2）解：①方案一:；
方案二：
②当时，（元）；
（元），
，
故选择方案二更划算．
4．某班级计划在这学期组织学生到某地研学，参加研学的班级人数估计为35至45人．甲、乙两家研学社的服务质量相当，且报价都是每人100元，经过协商，甲研学社表示可以给予每位学生七折优惠，乙研学社表示可先免去五位学生的研学费用，然后给予其余学生八折优惠．若班级参加研学的人数为x，向甲、乙两家研学社支付的费用分别为和．
(1)写出，与x的关系式；
(2)若班级参加研学的人数刚好为42人，选择哪家研学社更经济实惠？
(3)该班级选择哪一家研学社支付的研学费用较少
【答案】(1)与x的关系式为（，且为整数），与x的关系式为（，且为整数）
(2)选择甲研学社更经济实惠，理由见解析
(3)当时，乙研学社费用较少；当时，两家费用相同；当时，甲研学社费用较少
【分析】本题考查了一次函数的应用，写出，与x的关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
（1）根据优惠情况分别写出，与x的关系式即可；
（2）当时分别计算，的值并比较大小即可得出结论；
（3）分别根据、、列一元一次不等式并求出x的取值范围即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意知，
（，且为整数）
，（，且为整数），
∴与x的关系式为（，且为整数），与x的关系式为（，且为整数）．
（2）解：当时，，，
∵，
∴选择甲研学社更经济实惠．
（3）解：当时，，
解得，
∴，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
∴，
∴当时，选择乙研学社费用较少；当时，两家费用相同，任选一家即可；当时，选择甲研学社费用较少．
5．某学校计划租用汽车外出参加集体活动，现有甲、乙两种大客车租供选择．公司报价为：每辆甲种大客车载客量为45人，每辆乙种大客车的载客量为30人，每辆甲种大客车比乙种大客车贵120元，3辆甲种大客车和2辆乙种大客车共计 1760元．
(1)甲种大客车和乙种大客车每辆的租金分别为多少元？
(2)学校计划在总费用2300元的限额内，送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有一名教师，设共租用了汽车m辆，其中租用甲种客车x辆，租车费用为y元．
①其中m的值为 ；
②求y关于x的函数解析式及x的取值范围；
③运用上述关系，求花费最少的租车方案及最少费用，并说明理由．
【答案】(1)甲种大客车每辆车的租金为400元，则乙种大客车每辆的租金为280元
(2)①6；②（或）；③租甲种客车4辆，乙种客车2辆时，最节省费用，最小费用为2160元，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元一次不等式，一次函数与一次不等式组的综合应用，由题意得出租用x辆甲种客车与总租金用y的函数关系是解决问题的关键．
（1）甲种大客车每辆车的租金为x元，则乙种大客车每辆的租金为元，根据题意，列出方程进行计算即可；
（2）①根据租用5辆车不能将学生和老师运送完，且每辆汽车上至少要一名教师，所以只能租6辆得出结果；
②根据题意可列出y与x的等式关系，再化简整理得出x，y的表达式；再根据共有师生240人，费用不超过2300元，列不等式组求解出x的取值范围；
③由②中结论计算比较即可解答．
【详解】（1）解：设甲种大客车每辆车的租金为x元，则乙种大客车每辆的租金为元，
根据题意得：，
解得：，
则，
答：甲种大客车每辆车的租金为400元，则乙种大客车每辆的租金为280元；
（2）①需要运送的总人数为（人），
，
则租用5辆车不能将学生和老师运送完，且每辆汽车上至少要一名教师，所以只能租6辆，即，
故答案为：6；
②设租甲种客车x（辆）、学校租车所需的总费用y（元），依题意，
得
整理，得．
所以y与x的函数关系式为：；
由题意得，
解得，
为整数，
的值为4或5，
（或）；
③则有两种租车方案：
甲种客车4辆，乙种客车2辆，租车需花费：（元）；
甲种客车5辆，乙种客车1辆，租车需花费：（元）．
，
∴最少租车费用是2160元，
则租甲种客车4辆，乙种客车2辆时，最节省费用，最小费用为2160元．
6．这个夏天，江苏的顶流话题非“苏超”莫属！朋友圈、抖音全被刷屏，网友们边看球赛边玩梗．梭子蟹大闸蟹、云雾茶碧螺春、海鲜汤包……年月日，连云港主场迎战苏州，一场“舌尖上的德比”未踢先火，更因两地特色被戏称为“蟹王争霸赛”．为给赛事加码，连云港放出“宠粉大招”——广大球迷专属优惠：即日起至月日，凡持有年江苏省城市足球联赛购票凭证的球迷，凭购票记录和身份证，可享受在观赛当日及前、后天内（十一假期不含在内）连云港市域内景区、酒店优惠．
已知连云港某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．凡球迷圆团体入住一律五折优惠．一个人的团体在月日到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房．
(1)如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？
(2)一天元的住宿费是否为最低？如果不是最低，请尝试设计一个方案，使得一天的住宿费用最低，并求出最低费用．
【答案】(1)租住了三人间间，双人间间
(2)一天元的住宿费不是最低，住宿费用最低的设计方案：人住三人间，人住双人间，则费用最低，为元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，（1）设租住了三人间有间，双人间有间．注意凡团体入住一律五折优惠，根据“租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元”列方程组求解即可；
（2）设三人间住了人，则双人间住了人，住宿费三人间的人数双人间的人数，再结合的取值范围及实际情况，运用函数的性质即可得解；
解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答．
【详解】（1）解：∵凡团体入住一律五折优惠，
∴三人间为每人每天（元），双人间为每人每天（元），
设租住了三人间有间，双人间有间，
依题意，得：，
解得：，
答：租住了三人间间，双人间间；
（2）设三人间住了人，则双人间住了人，
∴一天的住宿费用为，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当x满足、为整数，且最大时，即时，住宿费用最低，
此时，
∴一天元的住宿费不是最低；若人入住三人间，则费用最低，为元，
∴住宿费用最低的设计方案为：人住三人间，人住双人间，则费用最低，为元．
题型二：方案分配问题之运输问题
1．甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨．设从甲地运吨木材到厂（），从甲地运往两木艺厂的总运费为元，从乙地运往两木艺厂的总运费为元．
运费表
厂 厂
甲地 30 40
乙地 10 15
(1)木材运输配送表如下，请你填空（用含的式子表示）：
甲地 乙地
厂 x ②
厂 ① ③
①______；②______；③______；
(2)请分别求出与之间的函数关系式；
(3)若要求从乙地运往两木艺厂的总运费不得超过4800元，怎样调运可使全部运输费用（即两地运往两木艺厂的总费用之和）最少，并求出全部运输费用的最小值．
【答案】(1)①，②，③
(2)；
(3)甲地运往厂：120吨，甲地运往厂：180吨；乙地运往厂：240）吨，乙地运往厂：160吨，
【分析】本题考查了一次函数的应用，列代数式，难度较大，解题的关键是正确理解题意．
（1）设从甲地运吨木材到厂，根据“甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨”列代数式即可；
（2）根据运费等于单价乘以数量建立起函数关系式即可；
（3）根据总运费得到关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解．
【详解】（1）解：由题意得，①，②，③，
故答案为：①，②，③；
（2）解：由题意得，； ；
（3）解：因为，即，
可得，
得，
又，
得．
∵，
一次函数中，，
故随增大而减小，
∴内，取最大值120时，总最小．
故调运方案为：甲地运往厂：120吨，甲地运往厂：吨；乙地运往厂：吨，乙地运往厂：吨，
所以（元）．
2．“一方有难，八方支援”，我州为支援武汉抗击新冠肺炎，准备将A县的蔬菜200吨和B县的蔬菜300吨运往武汉的C区和D区．现确定运往C区和D区的蔬菜分别是240吨和260吨．已知从A、B两县运蔬菜到C、D两区的运费（元/吨）如下表所示，设A县运往C区的蔬菜为x吨，
A B
C 20 15
D 25 24
(1)用含x的代数式填空：A县运往D区的蔬菜吨数为________，B县运往C区的蔬菜吨数为________，B县运往D区的蔬菜吨数为________．
(2)用含x（吨）的代数式表示总运费W（元），并设计怎样调运可使总运费最少？
【答案】(1)
(2)，A县运往C区0吨，运往D区200吨；B县运往C区240吨，运往D区60吨．可使总运费最少
【分析】本题考查列代数式，一次函数的实际应用，正确的列出代数式，一次函数的解析式，是解题的关键：
（1）根据运往C区和D区的蔬菜量，列出代数式即可；
（2）根据总运费等于各部分的运费之和，列出函数解析式，利用一次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：∵确定运往C区和D区的蔬菜分别是240吨和260吨，从A县运往C区的蔬菜为x吨，
∴从县运往区的蔬菜为吨，B县运往C区的蔬菜为吨，从B县运往D区的蔬菜为吨；
（2）由题意，得：
随的增大而增大
当时，总运费W最小
A县运往C区0吨，运往D区200吨；B县运往C区240吨，运往D区60吨．可使总运费最少．
3．某公司要将总重量为的货物运送到距公司分别为和的A地和B地，公司拥有甲，乙两种型号车辆共辆，车辆的信息如下表：
车辆型号 装载量 每百千米油耗
甲 t 升
乙 8 t 升
(1)若每辆车都满载且刚好将货物运完，则公司拥有甲，乙两种型号的车辆各多少辆？
(2)在（1）的条件下，现公司将辆车派往A地，其中甲种车辆m辆，其余车辆派往B地，且运往A地的货物不得多于 ，公司该如何分派车辆才能使油耗最少？最少油耗多少升？
【答案】(1)甲辆，乙辆
(2)当派往A地甲车5辆，乙车7辆，派往B地甲车9辆，乙车3辆时，油耗最少，最少为升
【分析】本题考查二元一次方程组，一次函数的性质，一元一次不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）设甲种车辆有辆，乙种车辆有辆，根据表格找到两个等量关系，列出方程组求解即可；
（2）根据题意求出m的取值范围为，设总油耗升，然后写出关于的函数关系式，利用一次函数的性质求出的最小值即可．
【详解】（1）解：设甲种车辆有辆，乙种车辆有辆，
根据题意， ，
解得，
则甲种车辆辆，乙种车辆辆；
（2）设总油耗升，
已知派往A地的甲车m辆，则派往A地的乙车辆，
根据题意需满足∶
解得
又∵乙车总数辆，而需辆车派往A地，
，
∴m的取值范围为，
油耗计算∶
A地∶甲车每辆油耗升，乙车每辆油耗升，
B地∶甲车每辆油耗升，乙车每辆油耗升，
∴，
，
随增大而减小，
∴当最大为5时，最小，
升，
∴当派往A地甲车5辆，乙车7辆，派往B地甲车9辆，乙车3辆时，油耗最少，最少为升．
4．为了抗击新冠疫情，防疫指挥部计划将甲、乙两厂“生产的防疫物资全部运往两地，甲厂有防疫物资吨，乙厂有防疫物资吨，地需防疫物资吨，地需防疫物资吨，每吨防疫物资的运输费用（百元）见表格，设从甲厂“运往地防疫物资吨．
接收地 出发地 地 地
甲厂
乙厂
(1)直接写出的取值范围： ．
(2)请你设计一种调运总费用最低的运输方案，最低费用为多少？
(3)因路况原因，从甲厂到地的运输费用每吨增加了百元，从乙厂“到地的运输费用每吨降低了百元，其它每吨运输费用不变，且，请你探究总运费可以达到的最小值．
【答案】(1)
(2)从甲厂运往地防疫物资吨，从甲厂运往地防 疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，运输费用最低，最低费用为百元
(3)百元
【分析】（）由题意可得从甲厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，进而列出不等式组解答即可求解；
（）设总费用为百元，根据题意求出与的一次函数关系式，进而根据一次函数的性质解答即可求解；
（）设总费用为百元，根据题意求出与的一次函数关系式，再分、和三种情况，根据一次函数的性质解答即可求解；
本题考查了一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：∵从甲厂运往地防疫物资吨，
∴从甲厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往 地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物 资吨，
则，
解得，
故答案为：；
（2）解：设总费用为百元，
根据题意得，，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，的值最小，最小值为百元，
∴从甲厂运往地防疫物资吨，从甲厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，运输费用最低，最低费用为百元；
（3）解：设总费用为百元，
根据题意得，，
当，即时，随的增大而减小，
∵，
∴时，的值最小，最小值为百元；
当，即时，百元；
当，即时，随的增大而增 大，
∴当时，的值最小，最小值为，
当时，， 此时的最小值为百元；
综上所述，总运费可以达到的最小值是百元．
5．某市，两个蔬菜基地得知黄岗，两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运，两个灾区安置点，从地运往，两处的费用分别为每吨20元和25元，从地运往，两处的费用分别为每吨15元和18元．设从地运往处的蔬菜为吨．
(1)请填写表，用含的代数式填空，结果要化简：
总计/
______ ______ 200
______ 300
总计/ 240 260 500
(2)设，两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
(3)经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元，其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
【答案】(1)，，；
(2)，总运费最小的调运方案：调往地200吨，调往地0吨，调往地40吨，调往地260吨；
(3)见详解
【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，具有较强的综合性与较大的难度．
（1）根据题意，用240减可得需要从处运往处的数量；用200减去可得从处运往处的数量；300减去即为从处运往处的数量；
（2）根据调运总费用等于四种调运单价分别乘以对应的吨数，易得与的函数关系，列不等式组可解；
（3）本题根据的取值范围不同而有不同的解，分情况讨论：当时；当时；当时．
【详解】（1）解：由题意得：调往地吨，调往地吨，调往地吨，
总计/
200
300
总计/ 240 260 500
故答案为：，，；
（2）解：与之间的函数关系式为，
由题意，得，
，
在中，
，
随的增大而增大，
当时，总运费最小，
此时调运方案为：调往地200吨，调往地0吨，调往地40吨，调往地260吨；
（3）解：由题意得，
当时，（2）中调运方案总费用最小；
当时，在的前提下调运方案的总费用不变，为9200元；
当时，，随的增大而减小，所以时总费用最小，
其调运方案如下：调往地0吨，调往地200吨，调往地240吨，调往地60吨．
6．已知甲、乙两果园预计今年苹果的产量分别为120吨和130吨，打算成熟后运到、两个仓库存放，已知仓库可储存110吨，仓库可储存140吨．设甲果园运往仓库的苹果x吨，总运费为y元．甲、乙两果园运送苹果到、两仓库的费用如下表：
甲果园 乙果园
A仓库 160元/吨 150元/吨
B仓库 200元/吨 180元/吨
(1)甲果园运往仓库的苹果为______吨，乙果园运往仓库的苹果为______吨，运往仓库的苹果为______吨（用含x的代数式表示）；
(2)求y与x之间的函数解析式和自变量x的取值范围；
(3)当甲果园运往仓库多少吨苹果时，总运费最少？总运费最少是多少元？
【答案】(1)；
(2)；
(3)当甲果园运往仓库吨苹果时，总运费最少，总运费最少是元．
【分析】本题考查了列代数式，一次函数的应用等知识，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）根据甲、乙两果园今年苹果的产量以及、两个仓库存放量进行计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论和表格中的数据进行计算，即可解答；
（3）利用一次函数的增减性进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：设甲果园运往仓库的苹果吨，则甲果园运往仓库的苹果为吨，乙果园运往仓库的苹果为吨，运往仓库的苹果为吨，
故答案为：；
（2）解：由题意得：，
由题意得：，
解得：，
∴与之间的函数解析式：；
（3）解：∵，
∴随的增大而减少，
∴当时，（元），
∴当甲果园运往仓库吨苹果时，总运费最少，总运费最少是元．
7．A校和B校分别有库存电脑14台和8台，现决定支援给C校12台和D校10台．已知从A校调运一台电脑到C校和D校的运费分别为40元和10元；从B校调运一台电脑到C校和D校的运费分别为30元和20元．
(1)设A校运往C校的电脑为x台，则A校运往D校的电脑为____台；B校运往C校的电脑为______台，B校运往D校的电脑为______台；
(2)求总运费W（元）关于x的函数关系式；
(3)求出总运费W最低的调运方案，最低运费是多少
【答案】(1)，，
(2)（，且为整数）
(3)A校运4台电脑到C校，运10台电脑到D校；B校运8台电脑到C校，运0台电脑到D校，最低费用为500元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键．
（1）根据表格即可填空；
（2）利用总费用等于A校运往学校的费用加上B校运往学校的费用即可求解函数关系式；
（3）利用一次函数的性质求解．
【详解】（1）解：设A校运往C校的电脑为x台，则A校运往D校的电脑为台；B校运往C校的电脑为台，B校运往D校的电脑为台，
故答案为：；；；
（2）解：由题意得，
（，且为整数）
（3）解：∵，，
∴随着的增大而增大，
∴当时，最小，
∴最低运费是（元），
总运费最低的调运方案为：A校运往4台电脑到C校，运往10台电脑到D校；B校运往8台电脑到C校，运往0台电脑到D校．
答：最低运费为元，总运费最低的调运方案为：A校运4台电脑到C校，运10台电脑到D校；B校运8台电脑到C校，运0台电脑到D校．
题型三：方案分配问题之销售问题
1．“植树节”期间，我校组织八年级学生开展“共植一抹绿，一起上春山”活动．计划购买甲、乙两种树苗，已知购买2棵甲种树苗和3棵乙种树苗共需240元，购买3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需210元．
(1)求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元；
(2)学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？
【答案】(1)购买一棵甲种树苗需要30元，一棵乙种树苗需要60元
(2)购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，才能使购买树苗的总费用最少
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
（1）设购买一棵甲种树苗需要元，一棵乙种树苗需要元，根据购买2棵甲种树苗和3棵乙种树苗共需240元，购买3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需210元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗棵，根据购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设总费用为w元，由题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：设购买一棵甲种树苗需要元，一棵乙种树苗需要元，
由题意：，
解得：，
答：购买一棵甲种树苗需要30元，一棵乙种树苗需要60元；
（2）解：设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，
由题意得：，
解得：，
设总费用为元，
由题意得：，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，有最小值，此时，，
答：购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，才能使购买树苗的总费用最少．
2．“旅居云南，车旅兴滇”，露营成为休闲新风尚，为文旅消费注入新活力．某景区为提升消费体验，现需购买甲、乙两种型号的营地房车，乙型房车的单价比甲型房车的单价多10万元．用240万元购买甲型房车的数量与用360万元购买乙型房车的数量相等．
(1)求甲型房车、乙型房车的单价分别是多少万元？
(2)若该景区需要购买甲、乙两种型号的营地房车共20辆（两种型号的房车均需购买），其中购买乙型房车的数量不少于8辆．为使总费用最低，应购买甲型房车和乙型房车各多少辆？最低总费用为多少万元？
【答案】(1)甲型房车的单价为20万元，乙型房车的单价为30万元
(2)应购买甲型房车12辆，乙型房车8辆时，最低总费用为480万元
【分析】本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数求最值的运用．
（1）设甲型房车的单价为x万元，则乙型房车的单价为万元，结合题意，列分式方程求解即可；
（2）设购买甲型房车a辆，则购买乙型房车辆，根据购买乙型房车的数量不少于8辆，列出一元一次不等式，得到a的取值范围，设总费用为w元，由题意列出w关于a的一次函数关系式，根据一次函数求最值的方法即可求解．
【详解】（1）解：设甲型房车的单价为x万元，则乙型房车的单价为万元，
∵用240万元购买甲型房车的数量与用360万元购买乙型房车的数量相等，
∴，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
∴甲型房车的单价为20万元，乙型房车的单价为30万元；
（2）解：设购买甲型房车a辆，则购买乙型房车辆，
∵购买乙型房车的数量不少于8辆，
∴，
解得，
设总费用为w万元，
由题意可得：，
∴w随a的增大而减小，
∴当时，w最小，此时，，
答：为使总费用最低，应购买甲型房车12辆，乙型房车8辆时，最低总费用为480万元．
3．某中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜，若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用440元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用304元．
(1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元？
(2)该中学决定购买A型和B型放大镜共75个，其中A型放大镜的数量不少于B型放大镜数量的3倍，则如何购买费用最少？最少费用多少元？
【答案】(1)每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为40元，24元
(2)当购买A型放大镜57个，B型放大镜18个，购买费用最少，最少费用2712元．
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，列出方程组、不等式是解题的关键．
（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，再根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购买A型放大镜a个，再根据题意列出不等式求得a的最小值，然后再根据题意列出购买费用w与a的函数关系，最后根据一次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，
可得，解得：，
答：每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为40元，24元．
（2）解：设购买A型放大镜a个，则购买B型放大镜个，
根据题意可得：，解得：（a为整数），即a的最小值为，
所以购买费用为：，
∵，
∴w随a的增大而增大，
∴当时，最少费用2712元．
∴当购买A型放大镜57个，B型放大镜18个，购买费用最少，最少费用2712元．
4．某市为大力推销本市果农的水果产品，计划把甲水果大约700吨，乙水果大约1020吨，一次性运往外地销售．需要不同型号的、两种车皮共30节，种车皮每节运费2500元，种车皮每节运费3000元．
(1)设租车皮的总费用为元，租种车皮节，请写出和之间的函数关系式．
(2)如果每节车皮最多可装甲水果30吨和乙水果20吨，每节车皮最多可装甲水果25吨和乙水果40吨，装水果时按此要求安排、两种车皮，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费．
(3)计划下一次租用、两种车皮时，想用（2）中的最低费用同时租用、两种车皮，请直接写出有哪几种租车方案？
【答案】(1)
(2)共10种方案，A种车皮9节，B种车皮21节，最低费用为85500元
(3)或或或或或，所以共6种租车方案．
【分析】本题考查了一次函数的应用和解不等式组、二元一次方程的解等知识点，解题关键在于正确建立函数模型并求解．
（1）根据关系，列出函数关系式，化简即可；
（2）根据题意列出不等式组，计算出x的取值范围，即可知有10种方案且计算出最低费用；
（3）列出方程式，解得其整数解即可．
【详解】（1）解：，
和x之间的函数关系式为；
（2）解：，
解得，
∵，
∴ x的可能取值为的整数，共10种方案，
费用函数中，y随x增大而减小，
当时，费用最低，
此时元，
对应方案为A种车皮9节，B 种车皮21节，
故答案为：共10种方案，最低费用为85500元；
（3）解：解方程，
化简为，满足，，
整数解有：或或或或或，所以共6种租车方案．
5．某学校举行表彰大会，决定购买一批笔记本和文具盒作为优秀学生的奖品，已知购买1个文具盒和2本笔记本共需16元，购买2个文具盒和3本笔记本共需28元．
(1)求购买1个文具盒和1本笔记本各需多少元？
(2)该学校决定购买文具盒和笔记本共100件，且用于购买这些奖品的总费用不能超过650元，求最多可购买文具盒多少个？
(3)在（2）的条件下，若购买文具盒的数量不低于笔记本数量的倍，请设计出费用最低的购买方案，并求出最低费用．
【答案】(1)每个文具盒为8元，每本笔记本为4元
(2)62
(3)购买60个文具盒，40个笔记本费用最低，最低费用为640元
【分析】本题考查了列二元一次方程组解应用题、一元一次不等式（组）的应用、一次函数的最值：
（1）设每个文具盒为元，每本笔记本为元，列出二元一次方程组并求解即可；
（2）设购买文具盒个，购买笔记本个，根据题意列出不等式并求解即可；
（3）列出不等式并求解即可得到a的取值，设学校购买奖品的总费用为元，用a表示出w，根据函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设每个文具盒为元，每本笔记本为元，
依题意得，
解得，
故每个文具盒为8元，每本笔记本为4元；
（2）解：设购买文具盒个，则购买笔记本个，
根据题意得，
解得，
为整数，
最多可购买文具盒62个；
（3）解：根据题意得，
解得，
，
为正整数，
或61或62，
设学校购买奖品的总费用为元，
则，
，
∴随着a增大w增大，
当时，最小，最小值为（元），
此时，
购买费用最低的方案为：购买60个文具盒，40个笔记本费用最低，最低费用为640元．
6．某县第一届运动会需要购买A，B两种奖品，已知B奖品比A奖品价格每件高5元，用200元买到的A种奖品与300元买到的B种奖品的数量一样．
(1)求A、B两种奖品的单价各是多少元？
(2)运动会组委会计划购买A、B两种奖品共80件，购买费用不超过925元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，请求出购买总费用最少的方案．
【答案】(1)A奖品的单价是10元/件，B奖品的单价是15元/件
(2)购买总费用最少的方案是购买A奖品60件、B奖品20件
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用．
（1）设A奖品的单价是x元/件，则B奖品的单价是元/件，根据用200元买到的A种奖品与300元买到的B种奖品的数量一样．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买A种奖品a件，购买总费用W元，则购买B种奖品件，由题意得出W与a的一次函数关系式，根据购买费用不超过925元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，列出一元一次不等式组，解得，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：设A奖品的单价是x元/件，则B奖品的单价是元/件，
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解且符合题意，
所以，
答：A奖品的单价是10元/件，B奖品的单价是15元/件．
（2）解：设购买A种奖品a件，购买总费用W元，则购买B种奖品件，
根据题意，得：，
∵购买费用不超过925元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴W随a的增大而减小，
∴当时，W取最小值，
最小值，
此时．
答：购买总费用最少的方案是购买A奖品60件、B奖品20件．
7．西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元．
(1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？
(2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？
【答案】(1)50元；80元
(2)购买紫丁香20株，白丁香25株；2850元
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确地列出方程组和一次函数关系式是解题的关键：
（1）设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元，根据买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元，列出方程组进行计算即可；
（2）设购买紫丁香m株，总费用为w元，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元．
根据题意，列方程组
解方程组得；
答：白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为80元；
（2）解：设购买紫丁香m株，则购买白丁香株，总费用为w元．
根据题意，
∵
∴w随m的增大而增大
又∵，
∴当时，．
答：购买紫丁香20株，白丁香25株时，总费用最少，最少费用为2850元．
题型四：方案分配问题之月租问题
1．某通讯公司推出三种上网月收费方式．这三种收费方式每月所收的费用y（元）与上网时间x（时）的函数关系如图所示，下列判断错误的是（ ）
A．每月上网不足25时，选择A方式最省钱
B．每月上网时间为30时，选择B方式最省钱
C．每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长
D．每月上网时间超过70时，选择C方式最省钱
【答案】B
【分析】本题主要考查一次函数的应用．ACD：根据图象可以直接判断；B：求出25小时之后A方式的函数关系式，令求出x的值与30进行比较，数形结合即可判断．
【详解】 解：A、由函数图象知，每月上网不足25小时，选择A方式最省钱．故A项正确．
B、设25小时之后A方式的函数关系式为，
由题意可得，解得，
∴函数关系式为，
令，解得，
∴当每月上网时间为30小时，选择方式最省钱．故B项错误．
C、由函数图象知，每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长．故C项正确．
D、由函数图象知，每月上网时间超过70小时，选择C方式最省钱．故D项正确．
故选：B．
2．随着信息技术的快速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已不再是梦，现有某教学网站策划了A，B两种上网学习的月收费方式：
收费方式 月使用费/元 包时上网时间 超时费/（元）
A 12 40 0.5
B m n 0.6
设每月上网学习时间为x小时，方案A，B的收费金额分别为
(1)如图是与x之间函数关系的图象，请根据图象填： ； ．
(2)求出与之间的函数关系式 ．
(3)如果每月上网时间60小时，选择哪种方式上网学习合算，为什么？
【答案】(1)10，50
(2)
(3)如果每月上网时间60小时，选择B方式上网学习合算，理由见解析
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）观察函数图象，即可作答．
（2）先求出方案B的超时费元，再结合函数图象的信息进行列式化简，即可作答．
（3）分别算出当每月上网时间60小时的时候，方案A，B的收费金额，再进行比较，即可作答．
【详解】（1）解：由函数图象可知，，，
故答案为：10，50；
（2）解：由图象知：，，超时费（元/h）；
当时，，
故答案为：；
（3）解：如果每月上网时间60小时，选择B方式上网学习合算，理由如下：
依题意，当时，，
，
∵，
∴如果每月上网时间60小时，选择B方式上网学习合算．
3．“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出关于的函数表达式；
(2)当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同．
【答案】(1)，
(2)当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同
【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）由图象可知，分别过点，然后根据待定系数法求解即可；
（2）联立（1）中函数解析式即可求解．
【详解】（1）解：设直线，由图象可把点代入得：
，解得：，
∴，
设直线，把点代入得：，
∴；
（2）解：由（1）联立函数解析式得：
，解得：，
答：当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同．
4．谷歌人工智能AlphaGo机器人与李世石的围棋挑战赛引起人们关注，人工智能战胜李世石．某网站开设了有关人工智能的课程并策划了A，B两种网上学习的月收费方式：
收费方式 月使用费/元 包时上网时间/ 超时费/（元/）
A 6
B 8
设小明每月上网学习人工智能课程的时间为x，方案A，B的收费金额分别为yA元、yB元．
(1)当时，分别求出yA，yB与x之间的函数关系式；
(2)若小明3月份上该网站学习的时间为 ，则他选择哪种方式上网学习合算？
【答案】(1)，
(2)选择方式上网学习合算
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式和函数值．
（1）根据题意和表格中的数据，可以分别求出，与之间的函数关系式；
（2）将代入（1）中的函数关系式，求出，的值，然后比较大小，即可得到选择哪种方式上网学习合算．
【详解】（1）解：由题意可得，
当时，与之间的函数关系式为：，
与之间的函数关系式为：；
（2）解：当时，
，
，
，
，
故选择方式上网学习合算．
5．某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只拿销售提成；方案二：底薪加销售提成．设x（件）是销售商品的数量，y（元）是销售人员的月工资．如图，为方案一的函数图像，为方案二的函数图像．已知方案二中每件商品的销售提成比方案一少30元．根据图中信息解答下列问题（注：销售提成是指从销售每件商品得到的销售额中提取一定数量的费用）：
(1)求对应的函数表达式．
(2)方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元？
(3)小李是该化妆品公司的销售人员，他选择哪种方案才能使月工资更多？
【答案】(1)
(2)方案二中每月付给销售人员的底薪是3600元
(3)当销售件数少于120时，选择方案二才能使月工资更多；当销售件数等于120时，选择两种方案所得到的月工资一样；当销售件数多于120时，选择方案一才能使月工资更多
【分析】（1）设对应的函数表达式为，由待定系数法就可以求出解析式；
（2）由题意得方案二中每件商品的销售提成为元，设对应的函数表达式为，利用待定系数法求得，因此方案二中每月付给销售人员的底薪为3600元；
（3）由建立方程，先求出两种工资方案所得到的工资数额相等时x的值，再观察图像即可得出销售方案．
【详解】（1）解：设对应的函数表达式为．
由题图，得，
解得，
对应的函数表达式为．
（2）（2）方案二中每件商品的销售提成比方案一少30元，
设对应的函数表达式为．
把代入，得，
解得，
方案二中每月付给销售人员的底薪是3600元．
（3）（3）由（1）知，．由（2）知，．
令，解得．
当销售数量为120件时，两种方案所得到的月工资相等．
由题图可得，当销售件数少于120时，选择方案二才能使月工资更多；当销售件数等于120时，选择两种方案所得到的月工资一样；当销售件数多于120时，选择方案一才能使月工资更多．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次方程的运用，设计方案的运用，解答时认真分析，弄清函数图像的意义是关键．
题型五：一次函数的实际应用之最大利润问题
1．某水果种植基地计划租几辆货车装运苹果和橘子共60吨（苹果和橘子都有）去外地销售，要求每辆货车只能装一种水果，且必须装满．
苹果 橘子
每辆车装载量（吨） 4 6
每吨获利（元） 1200 1500
(1)设装运苹果的货车有辆，装运橘子的货车有辆，则_____（用含的代数式表示）；
(2)求总利润（元）与（辆）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，则应安排多少辆货车装运苹果才能获得最大利润，并求出最大利润．
【答案】(1)
(2)
(3)安排6辆货车运苹果，安排6辆货车运橘子，最大利润为元
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
（1）根据货车装运苹果和橘子共60吨，列出函数关系即可求解；
（2）根据，代入（1）的解析式，即可求解；自变量的取值范围同（1）；
（3）根据装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，求得的范围，根据一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设装运苹果的货车有x辆，装运橘子的货车有y辆，
∵每辆车装载量苹果4吨或橘子6吨，
∴，
即，
∵，
解得，且为3的倍数，
∴ ，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴
；
（3）解：，
∴，
解得，
∵，且为3的倍数，
∴，且为3的倍数，
∵，
，
∴随增大而减小，
∴当，，此时最大，最大值为（元）
即安排6辆货车运苹果，安排6辆货车运橘子，最大利润为元．
2．某公司每月销售两种型号的教学设备共20台，每台的销售成本和售价如下表．
型号
成本/（万元/台） 3 5
售价/（万元/台） 4 8
(1)设该公司每月销售型号设备台，则每月销售型号设备______台，每月共获得利润_____万元．（用含的代数式表示，结果需化简）
(2)若每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元，则该公司如何安排购进两种型号教学设备的数量，使得每月销售完这些设备后获利最大？并求出最大利润．
【答案】(1)；
(2)购进型号设备10台，型号设备10台时获利最大，最大利润为40万元
【分析】此题综合考查一次函数、不等式的应用，注意题目蕴含的数量关系，正确列式解决问题．
（1）销售A种品牌设备x台，B种品牌设备台，算出每台的利润乘对应的台数，再合并在一起即可求出总利润；
（2）由“每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元”，列出不等式，再由（1）中的函数的性质得出答案即可．
【详解】（1）解：∵每月销售两种型号的教学设备共20台，该公司每月销售型号设备台，
∴每月销售型号设备为台，
∴每月共获得利润为，
即万元，
故答案为：；．
（2）解：∵每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元，
∴，
解得，
∵，
∴利润随x的增大而减小，
∴当时，获得利润最大，最大利润为（万元），
∴，
∴此时，应购进型号设备10台，型号设备10台．
3．5G时代的到来将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如下表所示：
价格 型号 进价（元/部） 售价（元/部）
A 3000 3400
B 3500 4000
某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元．手机销售完成后共获得利润4400元．
(1)营业厅购进 A、B两种型号手机各多少部？
(2)若营业厅再次购进A、B两种型号机共20部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案，营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)营业厅购进A，B两种型号手机各6部，4部
(2)再次购进A种型号机7部，B种型号机13部，获得的利润最大，最大利润是9300元
【分析】本题主要考查一元一次不等式、二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设营业厅购进A，B两种型号手机各x部、y部，由题意可得方程组为，进而求解即可；
（2）设购进A种型号机x部，则购进B种型号机部，获得的利润为w元，由题意易得，然后可得，进而根据一次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：设营业厅购进A，B两种型号手机各x部、y部，则：
，
解之，得：，
答：营业厅购进A，B两种型号手机各6部，4部．
（2）解：设购进A种型号机x部，则购进B种型号机部，获得的利润为w元，由题意得：
，
因为B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，
所以，
解得：，
因为，，
所以w随着x的增大而减小，
所以当时，w取得最大值，此时，，
所以方案为：再次购进A种型号机7部，B种型号机13部，获得的利润最大，最大利润是9300元．
4．某汽车销售公司计划购买并销售型和 型两种型号的新能源汽车．这两款汽车每辆车的进价和售价如下表所示：
类型 进价（万元辆） 售价（万元辆）
型
型
已知购进辆型车和辆型车共需万元，购进辆型车与购进辆型车所需要的费用相同．
(1)求，的值；
(2)该公司计划购买型车和型车共辆，且购买 型车的数量（单位：辆），不少于型车数量的，该公司将这辆车全部售出后，所得利润为万元，求的最大值．
【答案】(1)，；
(2)的最大值为万元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用等知识点，找准等量关系、正确列出二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的应用是解题的关键．
（）由题意得，然后解方程组即可；
（）由题意得，然后求出，再由一次函数的性质可得当时，有最大值．
【详解】（1）解：由题意得，
，
解得；
（2）解：由题意得，，
∵购买型车的数量不少于型车数量的，
∴，
解得，
∵，为正整数，
∴，
由可得：，
∴随的增大而减小，
∴当时，有最大值，最大值为（万元），
∴的最大值为万元．
5．据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象；表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某文创店准备购进、两款哪吒玩偶，两款玩偶的进价和利润如表（单位：元）
A款 B款
单个进价
单个利润 2 3
(1)已知花费400元购进款哪吒玩偶的数量和花费800元购进款哪吒玩偶的数量相等，求的值；
(2)该店准备拿出2000元全部用来购进这两种哪吒玩偶，且购进款的数量不超过款数量的4倍，若玩偶能全部售完，问该店如何进货能使利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)的值为5
(2)该文创店购进A款266个，B款67个时，能使利润最大，最大利润是733元
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用．
（1）根据表格信息可得，再进一步解方程并检验即可得到答案．
（2）设利润为元，A款购进个，则B款购进个，利用总价单价数量，可找出w关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：由题意可得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
则的值为5．
（2）解：由（1）知，A款单个进价为5元，B款单个进价为10元，
设利润为元，A款购进个，则B款购进个，
，
，
随的增大而增大，
购进A款的数量不超过B款数量的4倍，
，
解得，
为正整数，
当时，取得最大值，最大值733，
此时，B款有个，
答：该文创店购进A款266个，B款67个时，能使利润最大，最大利润是733元．
6．端午节为纪念屈原有吃粽子的传统习俗，现今粽子的种类非常多．口味不大相同，有鲜肉的、蛋黄的、蜜枣的、原味的等等．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多1元，用200元购进甲种粽子的个数与用300元购进乙种粽子的个数相同．
(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
(2)该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为3元/个、5元/个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元．
①求与的函数关系式，并求出的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】(1)甲粽子每个的进价为2元，乙粽子每个的进价为3元
(2)①W与m的函数关系式为
②购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为266元
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用．
（1）设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为元，根据“用200元购进甲种粽子的个数与用300元购进乙种粽子的个数相同”列出分式方程，解方程即可；
（2）①设购进甲粽子m个，则乙粽子个，由题意得，再由甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，得；
②由一次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲种粽子的进价为x元，则乙种粽子的进价为元，根据题意得：
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
答：甲种粽子的进价为2元，则乙种粽子的进价为3元；
（2）解：①设购进甲中粽子m个，则购进乙粽子个，根据题意得：
，
∴W与m的函数关系式为：，
∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
∴，
解得，
∴（m为正整数）．
即W与m的函数关系式为（m为正整数）；
②由①可知，，，m为正整数，
∴当时，W有最大值，最大值为，
此时．
∴购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为266元．
7．2023年6月4日，神舟十五号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．该航模店计划购买两种模型共100个，每个“神舟”模型成本为20元，每个“天宫”模型成本为16元，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型个，销售完这批模型获得的利润为元．
(1)求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）；
(2)若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售完这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)购进“神舟”模型33个时，销售完这批模型可以获得最大利润，最大利润是1098元
【分析】此题考查了一次函数和一元一次不等式的应用，准确列出函数解析式和一元一次不等式是关键．
（1）设购买“神舟”模型个，则购买“天宫”模型个，根据总利润列出函数解析式即可；
（2）根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半列出不等式，解不等式求出，再根据一次函数的性质即可求出答案．
【详解】（1）解：设购买“神舟”模型个，则购买“天宫”模型个，
则，
与的函数关系式为．
（2）购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，
，解得，
，，是正整数，
当时，最大，最大值为1098，
答：购进“神舟”模型33个时，销售完这批模型可以获得最大利润，最大利润是1098元．
8．为迎接九月开学季，某商场计划购进甲、乙两种品牌的书包．已知每个乙品牌书包的进价比每个甲品牌书包贵30元，且用2100元购买甲品牌书包的数量恰好与用3000元购买乙品牌书包的数量相等．若甲品牌书包每个售价100元，乙品牌书包每个售价150元．
(1)甲、乙两种品牌书包每个进价分别是多少元？
(2)若商场计划购进甲、乙两种品牌书包共100个．要求用于购进甲、乙两种品牌书包的资金不超过7660元，且购进甲品牌书包不超过80个．设商场购进甲品牌书包个，商场获利为元，请求出与的函数解析式，并设计出商场获利最大的进货方案，最大利润是多少元？
【答案】(1)甲种书包每个进价是70元，乙种书包每个进价是100元
(2)与的函数解析式为（）．商场购进甲品牌书包78个，乙品牌书包22个时获利最大，最大利润为3440元
【分析】本题考查分式方程解决实际问题，一次函数解决实际问题，理清数量关系，正确列出方程与函数是解题的关键．
（1）设甲种书包每个进价是x元，乙种书包每个进价是元．根据“用2100元购买甲品牌书包的数量恰好与用3000元购买乙品牌书包的数量相等”列出方程，求解并检验即可；
（2）根据“利润＝单件利润×数量”列出解析式，并根据题意求出自变量a的取值范围，再根据函数的增减性求解即可．
【详解】（1）解：设甲种书包每个进价是x元，乙种书包每个进价是元．根据题意，得
，
解得，
经检验，是该方程的解．
∴，
答：甲种书包每个进价是70元，乙种书包每个进价是100元．
（2）解：商场购进甲品牌书包个，则购进乙品牌书包个，
获利，
∵a应满足，
解得，
∴与的函数解析式为（）．
∵，
∴y随a的增大而减小，
∴当时，y有最大值，为，
此时，
∴商场购进甲品牌书包78个，乙品牌书包22个时获利最大，最大利润为3440元．
9．新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店三月份共销售，两种型号的口罩只，其中型号口罩所获利润元，型号口罩获利元．已知每只型口罩的销售利润是型口罩的倍．
(1)求每只型口罩和型口罩的销售利润；
(2)该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共只，其中型口罩的进货量不超过型口罩的倍，设购进型口罩只，这只口罩的销售总利润为元．该药店如何进货，才能使销售总利润最大？
【答案】(1)每只型口罩的销售利润是元，则每只型口罩的销售利润是元
(2)该药店购进型口罩只，则购进型口罩只，才能使销售总利润最大
【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是掌握相关知识．
（1）根据题意列出分式方程即可求解；
（2）先根据题意列出不等式求出，再得到，最后根据一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设每只型口罩的销售利润是元，则每只型口罩的销售利润是元，
根据题意可得，
解得：，
经检验，是原方程的解，
，
答：每只型口罩的销售利润是元，则每只型口罩的销售利润是元；
（2）设购进型口罩只，则购进型口罩只，
根据题意得，
解得，
，
，
随的增大而减小，
当时，最大，最大值为，
答：该药店购进型口罩只，则购进型口罩只，才能使销售总利润最大．
题型六：一次函数的实际应用之行程问题
1．甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示．
(1)分别求出轿车和货车的平均速度；
(2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离；
(3)货车出发多长时间后，两车相距？
【答案】(1)轿车的平均速度为，货车的平均速度为；
(2)轿车到达终点时，货车离终点的距离为；
(3)货车出发或后，两车相距．
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间、路程三者之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键．
（1）轿车和货车到达目的地分别用时和，分别根据“速度路程时间”计算即可；
（2）由图象可知，当轿车到达终点时，货车离终点还有的路程，根据“路程时间速度”计算即可；
（3）利用待定系数法，分别求出当和时关于的函数关系式，分别将代入关系式，求出对应的的值即可．
【详解】（1）解：根据“速度路程时间”，轿车的平均速度为，货车的平均速度为，
轿车的平均速度为，货车的平均速度为；
（2）解：根据“路程时间速度”，得，
轿车到达终点时，货车离终点的距离为；
（3）解：当时，
设与的函数关系式为、为常数，且．
将坐标和代入，
得，
解得，
，
当时，得，
解得；
由图象得：在时，无法达到；
当时，
设与的函数关系式为、为常数，且．
将坐标和代入，
得，
解得，
，
当时，，
解得．
货车出发或后，两车相距．
2．已知，两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从，两地相向而行．如图，直线，分别表示甲、乙两人离地的距离与时间之间的函数关系图象，根据图象提供的信息，解答下列问题．
(1)分别求出甲、乙两人离地的距离（千米）与（时）之间的函数关系式；
(2)经过多长时间，两人相距40千米？
【答案】(1)：，：
(2)4小时或小时
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式以及根据实际情况分情况讨论列方程是解题的关键．
（1）根据一次函数的表达式形式，结合图象上的点坐标，利用待定系数法分别求出甲、乙对应的函数关系式．
（2）分相遇前和相遇后两种情况，根据两人离A地的距离关系列出方程求解．
【详解】（1）解：设的函数关系式为：，
因为过点，即，
解得，
故，
设的函数关系式为：，
因为过点，即，
所以，
又因为过点，即，
解得，
所以的函数关系式为：；
（2）解：两人相距40千米分两种情况：
①当相遇后相距40千米时，即，
解得，
②当相遇前相距40千米时，即，
解得，
所以经过4小时或小时时，两人相距40千米．
3．同一条公路连结A、B两地，甲车从A地匀速行驶去B地，乙车从B地匀速行驶去A地，甲车先出发，途中有事保留了0.5小时．甲、乙两车与B地的距离与甲车行驶时间的函数关系如图所示．
(1)求甲、乙两车各自的平均速度；
(2)求线段所在直线的函数表达式．
(3)乙车出发多少小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为多少千米？
【答案】(1)甲车的平均速度，乙车的平均速度
(2)直线的函数表达式
(3)乙车出发小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为
【分析】本题主要考查数形结合的一次函数的性质，解题的关键是熟悉读懂图形的意义．
（1）根据题干可知A，B两地之间的距离为120，为乙车的函数关系，结合坐标点即可求得速度；点为甲车事前停留位置，结合距离即可求得速度；
（2）根据题干求得点D和点E的坐标，利用待定系数法即可求得解析式；
（3）利用待定系数法求得直线的函数表达式，联立求得交点即为相遇点，进一步求相遇时间和距离即可．
【详解】（1）解：由题意知A，B两地之间的距离为120，
为乙车的函数关系，则，
点为甲车事前停留位置，则，
故甲车的平均速度，乙车的平均速度；
（2）解：由图可知点，
∵甲车途中有事保留了0.5小时．
∴点，
设直线的函数表达式，则
，
解得，
∴直线的函数表达式；
（3）解：由图可知点，，
设直线的函数表达式，则
，解得，
∴直线的函数表达式，
联立，
解得，
则乙车出发小时后两车相遇，
相遇时乙车离A地的距离为 ．
4．某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示．
(1)求m的值，并说出m的实际意义；
(2)求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）；
(3)请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值．
【答案】(1)，表示桐桐从地步行到地所用的时间
(2)
(3)或
【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）利用路程除以时间求出的值，根据点的位置，确定m的实际意义即可；
（2）设出解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）分桐桐往景点走，以及骑车往景点两部分，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：；
由题意和图象可知：m表示桐桐从B地步行到A地所用的时间；
（2）设，
由题意，图象经过点，即，
则：，解得：，
∴；
（3）由图象可知：小兴的步行速度为：，由（2）可知：桐桐骑车速度为：，
当时，；
当时，，解得：；
综上：或．
5．甲、乙两车分别从相距360千米的、两地同时相向出发，甲车到达地，停留1小时后，返回地，返回时速度是原速的倍，乙车匀速从地驶往地．如图表示甲、乙两车距地的路程（千米）与两车行驶时间（小时）的函数关系．
(1)乙车的速度是______千米/时，甲车返回时的速度是______千米/时；
(2)求甲车从地返回地的过程中，与的函数解析式，写出自变量的取值范围；
(3)出发多少小时后，行驶中的甲、乙两车相距260千米？请直接写出答案．
【答案】(1)60，120
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了实际问题的函数图像，一次函数的应用，一元一次方程的应用，看懂函数图象是解题的关键．
（1）根据速度路程时间求解即可；
（2）用返回时行驶的速度 表示即可；
（3）根据题意分3种情况讨论，分别列出算式或方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，乙车的速度是（千米/时），
甲车从A地到B地的速度是（千米/时），
甲车返回时的速度是（千米/时）；
（2）解：根据题意得，，
（小时），
∴（小时），
∴自变量的取值范围是；
（3）解：当甲，乙相遇前，根据题意得，（小时）；
当4小时时，甲车到达B地，
当甲、乙两车甲，乙相遇后第一次相距260千米时，（小时）；
当甲返回时，，
解得（小时），
综上所述，出发或或小时后，行驶中的甲、乙两车相距260千米．
6．成都2025年世界运动会期间，为展现智能科技与体育赛事的融合，组委会开展人形机器人模拟赛事项目竞速测试．两款人形机器人“蜀韵”和“锦风”参与测试，已知“蜀韵”和“锦风”同时从起点出发前往模拟赛事终点，与分别表示“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离与时间之间的关系，根据图象解答下列问题：
(1)分别求出“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离与时间之间的函数关系式；（不要求写的取值范围）
(2)当时，求“蜀韵”和“锦风”相距时的时间．
【答案】(1)，；
(2)或．
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式以及根据函数关系式列方程求解是解题的关键．
（1）对于“蜀韵”，其函数图象是过原点的直线，故设为正比例函数，代入已知点坐标求解；对于“锦风”，其函数图象是一次函数，设为，代入已知点坐标求解．
（2）根据（1）中求出的两个函数关系式，分“锦风”在“蜀韵”前面和后面两种情况，列绝对值方程求解．
【详解】（1）解：设，
∵ 过点，
∴ ，
解得 ，
∴，
设，
∵ 过点，
∴
解得，，
∴；
（2）解：当时，分两种情况：
情况一： 即，
解得，
情况二：即，
解得，
答：“蜀韵”和“锦风”相距时的时间为或．
题型七：一次函数的实际应用之其他问题
1．初三的几位同学阅读了教材中《第十九章一次函数》的数学活动2，决定探究水龙头关闭不严造成漏水的问题．为了调查漏水量与漏水时间的关系，他们进行了以下试验与探究．试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每隔记录一次容器中的水量，由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量的水，因而得到如表中的一组数据：
时间 1 2 3 4 5 …
水量 5 8 11 17 …
(1)探究：根据上表中的数据，你用下面三个函数模型模拟水量与时间的关系：①，②），③，你认为选用函数___________（填序号）模拟最合理（不必说明理由），并写出相应的表达式______________和表中漏记的的值_________．
(2)应用：①若用量筒进行测量，请估计第30分钟时量筒是否滴满？________（填“是”或“否”）
②成年人每天大约需要饮水，请估计这个水龙头一天的漏水量可供一名成年人饮用多少天？（结果保留一位小数）
【答案】(1)②，，14
(2)①否；②这个水龙头一天的漏水量可供一位成年人饮用天
【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练用待定系数法求一次函数是解题的关键．
（1）由题意可得，应该用一次函数模拟水量与时间的关系，根据待定系数法求得解析式即可解答；
（2）①将代入函数解析式，即可解答；②计算水龙头一天的漏水量，再除以成年人每天需要的饮水量即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得，应该用一次函数模拟水量与时间的关系，故选函数②，
把代入函数解析式可得，，
解得，
水量与时间的解析式为，
故漏记的；
故答案为：②，，；
（2）解：①将代入函数解析式，可得，
在第30分钟量筒没有滴满，
故答案为：否；
②由题意知水龙头每分钟滴水为，
水龙头一天的漏水量为，
（天），
答：这个水龙头一天的漏水量可供一位成年人饮用天．
2．科学家发现，声音传播的速度随温度的变化而变化，且满足某种函数关系．某科学小组为探究声音在空气中的传播速度（）与空气温度（）之间的关系，在标准实验室进行了多次实验，图表中记录了如下数据．
温度
声音在空气中的传播速度（）
某地冬季室外温度为，小明同学看到烟花秒后听到声响．
(1)求与的函数关系式并验证；
(2)求小明离烟花燃放地的距离（光的传播时间忽略不计）
【答案】(1)，验证见解析
(2)
【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意、读懂表格、用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）根据表格所给数据特征可得声音传播速度与温度呈线性关系，设， 再利用待定系数法求解即可；依次将表格中的数据代入验证即可；
（2）根据解析式求时的速度，再求距离．
【详解】（1）解： 由表格数据，当时，；
当时，，
设，
将点，代入得：
，解得，
，
验证：当时，，与表格数据一致；
当时，，与表格数据一致；
当时，，与表格数据一致；
∴与的函数关系式：
（2）解：当时，（），
距离（）．
答：小明离烟花燃放地的距离为 ．
3．水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究．在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，发现容器内盛水量与滴水时间存在函数关系，并得到如表的一组数据：
时间 0 5 15 20 …
盛水量 5 20 50 65 …
(1)请根据表中信息在平面直角坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内盛水量与滴水时间，符合学习过的_____（选填“正比例”或“一次”）函数；
(2)根据以上判断，求与之间的函数关系式；
(3)推算该水龙头在这种漏水状态下一天（24小时）的漏水量．
【答案】(1)图见解析，一次
(2)
(3)
【分析】本题考查了一次函数解析式、一次函数的图像，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）用描点法画出图象即可；
（2）根据待定系数法进行解题；
（3）令，代入解析式计算即可．
【详解】（1）解：关于的函数图象如图所示；
故答案为：一次；
（2）解：设容器内盛水量与滴水时间之间的函数关系式为，
∵过点，即，
，
又∵过点，
即，解得：，
∴与之间的函数关系式为：；
（3）解：当时，；
答：这个水龙头在这种漏水状态下一天的漏水量为．
4．项目化学习
项目主题：探究桶装水在常温下的最佳饮用时间．
项目背景：桶装水打开后空气中的微生物、尘埃等污染物便开始悄悄进入水中，随着时间的推移水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．某校综合实践小组以“探究桶装水在常温下（）的最佳饮用时间”为主题展开项目学习．
驱动任务：探究桶装水中菌落总数与时间的关系．
研究步骤：
①取一桶桶装水，打开置于空气中；
②逐天测量并记录桶装水中的菌落总数；
③数据分析，形成结论．
试验数据：
试验天数/天 0 1 2 3 4 …
菌落总数/ 15 20 25 30 35 …
问题解决：
(1)如图，建立平面直角坐标系，横轴表示试验天数（天），纵轴表示菌落总数（），将整理好的数据在平面直角坐标系中描点、连线；
(2)观察上述各点的分布规律，求出菌落总数（）与试验天数（）之间的函数关系式；
(3)根据相关部门规定：桶装水菌落总数超过时就要停止饮用，请你通过计算说明桶装水打开后的最佳饮用时间是多少天？
【答案】(1)见解析
(2)
(3)7天
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，画一次函数图象，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据表格中的数据描点，连线画出函数图象即可；
（2）根据（1）所求可得该函数为一次函数，利用待定系数法求解即可；
（3）求出函数值为50时自变量的值即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由函数图象可知，该函数符合一次函数的特点，
设，
则，
∴，
∴；
（3）解：在中，当时，，
∵，
∴y随x增大而增大，
∵桶装水菌落总数超过时就要停止饮用，
∴，
∴，
∴，
答：桶装水打开后的最佳饮用时间是7天．
5．在艺术创作中，“透视”是一种利用数学原理在平面上表现三维空间的方法，“灭点”是指在透视图中，原本平行的直线看起来会汇聚到一个点上．如图1，当我们站在笔直的公路上向远方看去，公路的两边虽然在现实中是平行的，但在图片中，它们看起来像是在远处相交于一个点，这个点就是“灭点”，它帮助我们感受空间的深度和立体感．
【问题探究】在现实中，某条公路的左右边界线互相平行．如图2，将该公路的透视图放置于某平面直角坐标系内，已知公路的左侧边界线经过点和，右侧边界线的函数表达式为，和相交于点，即点为灭点．
（1）求左侧边界线的函数表达式；
（2）求灭点的坐标；
【迁移应用】为满足艺术创作的需求，艺术家要对该画作进行调整：保持的位置不变，将向上平移个单位长度，使得灭点的纵坐标不小于6，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；迁移应用：
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，涉及求出一次函数解析式，两直线的交点，一次函数的平移等知识．
（1）利用待定系数法求的解析式即可．
（2）联立两直线，求出点P的坐标即可．
迁移应用：由题意知平移后的函数表达式为，再联立两直线，求出点P的坐标，根据点P的纵坐标大于6列出关于C的一元一次不等式求解即可得出答案．
【详解】（1）解：设左侧边界线的函数表达式为，
把和代入得：，
解得，
左侧边界线的函数表达式为；
（2）解：联立，解得，
灭点的坐标为；
迁移应用：解：将向上平移个单位长度后得直线，
联立，
解得，
灭点的纵坐标不小于6，
，
解得，
的取值范围是．
6．在数字时钟精准到毫秒的今天，鲜有人记得，千年前的华夏大地上，古人已用智慧构建起精妙的计时系统——铜壶滴漏．我国现存最完整的成组型滴漏是元代仁宗延佑三年（公元1316年）铸造，全组由4个安放在阶梯上的漏壶组成，最上层称日壶，第二层称月壶，第三层称星壶，最底下一层称受水壶．受水壶铜盖中央插一把铜尺，尺上刻有12时辰的刻度，铜尺前插一木制浮剑，木剑下端是一块木板，叫浮舟．水由日壶按次沿龙头滴下，受水壶中的水随时间的推移而逐渐增加，浮剑逐渐上升，从而读出时间．
铜壶滴漏作为我国古代重要的计时工具，为何通常由四个壶构成？为探寻其中奥秘，科学兴趣小组分别制作了单壶模型与三壶补偿模型展开深入探究．
记录了当实验时间为t（单温：分钟）时，单壶模型受水壶水位（单位：厘米）和三壶补偿模型受水壶水位（单位：厘米），部分数据如下：
t 0 10 20 30 40 50 60
0 1.5 2.8 3.9 4.8 5.5 6.0
0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0
通过分析数据发现，可以用函数刻画与t，与t的关系，回答下列问题：
(1)可以看作是关于t的正比例函数，解析式为________；
(2)在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当时，单壶模型与三壶补偿模型受水壶水位之差约为________（结果保留小数点后一位）；
②实验发现三壶补偿模型计时与标准时间基本一致，每小时受水壶水位上升．当受水壶水位为时，用单壶模型计时比标准时间________（填写“快或慢”）________分钟（结果取整数）．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)①；②慢，7．
【分析】本题主要考查了一次函数的应用、求函数解析式、画函数图象、从函数图象获取信息等知识点，根据函数图象获取所需信息是解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）根据描点、连线的步骤画图即可；
（3）①先求得时，；再观察图象可得，然后作差并取近似数即可解答；②先求得当，三壶补偿模型（标准时间）：分钟；再根据函数图象确定分钟，然后比较作差即可解答．
【详解】（1）解：设，则，解得：，
所以．
（2）解：如图：函数，即为所求．
（3）解：①当时，；
观察函数图象，对于，当时，；当时，，
∴推测：当时，，
∴水位之差：．
故答案为：．
②当时，三壶补偿模型（标准时间）：分钟，
单壶模型：由数据可得：时，分钟，
∴单壶模型计时比标准时间慢，且慢分钟．
故答案为：慢，7．
题型八：一次函数的实际应用之梯度收费问题
1．西安市出租车价格是这样规定的：不超过3千米，付车费元，超过的部分按每千米2元收费．已知李老师乘出租车行驶了千米，付车费y元，则所付车费y（元）与出租车行驶的路程x（千米）之间的关系式为 ．（不要求写出自变量x的取值范围）
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意列出关系式，再化简即可．
【详解】解：，
所付车费y（元）与出租车行驶的路程x（千米）之间的关系式为．
故答案为：．
2．为了保护资源节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”．计费方法如表：
每户每月用水量 水价
不超过 元
超过但不超过的部分 元
超过的部分 元
设每户每月用水量为，水费为元，当时，则关于的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了列函数关系式；根据阶梯水价规则，当用水量在到立方米时，水费由前立方米的固定费用和超出部分的费用组成．
【详解】解：当时，前立方米水费为元，超出部分为立方米，按元立方米计费，
因此．
故答案为：．
3．为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法．现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示：
XX居民电费专用发票
计费期限：一个月
用电量x（度） 电价（元/度）
第一档： 0.5
第二档： 0.6
第三档： 0.8
本月实用金额：102（元） （大写）壹佰零贰圆
根据以上提供信息解答下列问题：
(1)如果月用电量用x度来表示，实付金额用y元来表示．
①当时，写出实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式；
②当时，写出实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式；
(2)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量；
(3)若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120度和400度，则实付金额分别为多少元？
【答案】(1)①；②
(2)这个家庭本月的实际用电量200度
(3)实付金额分别为60元、232元
【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）根据题意及表格可进行求解①②；
（2）由（1）可把代入代入进行求解即可；
（3）根据题意分别计算电费即可．
【详解】（1）解：①当时，由表可知：
；
即实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式；
②当时，由表可知：
；
即实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式；
（2）解：因为第一档最高电费为元，而，
所以用电量超过180度。
假设用电量在第二档，将代入得，解得。
因为，假设成立，
所以该家庭本月实际用电量为200度，
答：这个家庭本月的实际用电量200度；
（3）解：由题意得：
小强家的电费为（元）；
小华家的电费为（元）；
答：实付金额分别为60元、232元．
4．为了鼓励市民节约用水，三明市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准：
计费档 户年用水量 单价（元）
第一档
第二档
第三档
(1)当时，写出水费（单位：元）与之间的关系式；
(2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费；
(3)某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量．
【答案】(1)水费（单位：元）与之间的关系式为：
(2)元
(3)该户去年的用水量为
【分析】本题主要考查分段函数的运用，理解表格中每档的费用，正确列式求解是关键．
（1）根据题意得到第一档的费用，结合分段函数列式求解即可；
（2）根据得到某用户的用水量处于第二档，代入计算即可求解；
（3）根据题意得到该用户的用水量处于第二档，由分段函数的计算方法列式求解即可．
【详解】（1）解：第一档的水费为（元），
第二档的水费为（元），
∴水费（单位：元）与之间的关系式为：；
（2）解：当某户一年用水量是时，处于第二档，
∴（元）；
该户这一年的用水费为1147元．
（3）解：第一档的最高费用为（元），
第二档的最高费用为（元），
因为，所以该户的年用水量属于第二档，
所以，
解得：．
答：该户去年一年的用水量为．
5．天然气收费标准如下表所示：
用气类型 气价
居民生活用气 阶梯气价（每年每户） 及以下部分 3.35元
部分（不包含包含） 3.93元
以上部分 4.80元
设某户每月用气量为，应交燃气费为（元）．
(1)写出用气量未超过时，与之间的函数关系式；
(2)当小明家交燃气费为1156.8元时，求小明家用气量．
【答案】(1)
(2)小明家用气量为
【分析】本题考查一次函数，一元一次方程的应用．
（1）应交燃气费每月用气量气价；
（2）先求出x范围，再列方程即可．
【详解】（1）解：由表格可知，当时，，
当时，，
∴用气量未超过时，y与x之间的函数关系式为；
（2）解：∵（元），（元），
∴小明家用气量超过，但不超过，即，
∴，
解得；
∴小明家用气量为．
6．个人工资薪金所得税征收办法规定：月收入不超过5000元的部分不收税；月收入超过5000元但不超过8000元的部分征收的所得税；月收入超过8000元但不超过17000元的部分征收的所得税；月收入超过17000元但不超过30000元的部分征收的所得税…如某人月收入15000元，他应缴个人工资、薪金所得税：（元）．
(1)当月收入超过8000元但不超过17000元时，写出应缴所得税（元）与月收入（元）之间的关系式；
(2)某人月收入9800元，求他应缴所得税多少元；
(3)某人本月缴费540元，求此人本月的工资是多少元．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了列一次函数的应用，理解题意是解题的关键．
（1）月收入超过元但低于元的部分征收的所得税；月收入超过元但低于元的部分征收的所得税，据此即可列出函数解析式；
（2）将代入（1）中解析式，即可求解；
（3）将代入（1）中解析式，即可求解．
【详解】（1）由题意可得，
即应缴所得税（元）与月收入（元）之间的关系式为．
（2）当时，（元）
某人月收入9800元，求他应缴所得税元
（3）当时，，
解得，
此人本月的工资是元．
7．我市电费实行阶梯式收费，标准如下：
一户居民一个月用电量的范围 电费价格/（元/千瓦时）
不超过200千瓦时的部分 0.55
超过200千瓦时，但不超过400千瓦时的部分 0.6
超过400千瓦时的部分 0.8
(1)设我市一户居民某月用电量x千瓦时，当月的电费y元，直接写出y与x的关系式；
(2)某户居民七月份用电量为260千瓦时，求该户这个月的电费；
(3)某户居民八月份交电费170元，那么该户居民八月份用电量为多少千瓦时
【答案】(1)当时，；当时，；当时，
(2)146元
(3)300千瓦时
【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值和求函数值，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
（1）根据所给的收费方案列式求解即可；
（2）把代入中，求出y的值即可得到答案；
（3）可证明该户居民八月份用电量超过200千瓦时，但不超过400千瓦时，则把代入中，求出x的值即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，当时，；
当时，；
当时，；
（2）解：在中，
当时，，
答：该户这个月的电费为146元；
（3）解：∵，，
且，
∴该户居民八月份用电量超过200千瓦时，但不超过400千瓦时，
在中，当时，，
答：该户居民八月份用电量为300千瓦时．
8．为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法．现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示：
居民电费专用发票
计费期限：一个月
用电量（度） 电价（元/度）
第一档： 0.50
第二档： 0.55
第三档： 0.80
本月实用金额：106.5（元） （大写）壹佰零陆元伍角
根据以上提供信息解答下列问题：
(1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，写出实付额元与月用电量度之间的函数关系式；
(2)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量；
(3)若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120度和250度，则实付金额分别为多少元
【答案】(1)
(2)这个家庭本月的实际用电量为210度
(3)小强和小华家这一个月实付金额分别为60元和128.5元
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是要根据用电量的多少分阶梯求出实付电费与用电量之间的函数关系．
（1）当时，成一次函数关系，实付金额等于度内的用电付出金额与超出度的用电付出金额的和，然后即可得到y与x的函数关系式；
（2）先计算出元的用电量超出度，然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可得解；
（3）根据用电度数判断出适合的函数关系式，然后把用电度数代入关系式进行计算即可得解．
【详解】（1）解：当时，则
，
答：当时，与之间的函数关系式为；
（2）解：∵度电费为：，
度电费为：，
，
该家庭本月用电量属于第二档，令，则，
解的，
答：这个家庭本月的实际用电量为210度．
（3）解：当时，则；
，
把代入得元；
当时，则，
当时，则元．
答：小强和小华家这一个月实付金额分别为60元和128.5元．
题型九：一次函数的实际应用综合
1．一条路上有多个交通信号灯，在“绿波带”，驾驶员以“绿波速度”驾驶，往往能一路绿灯通行．“绿波带”一般设置在城市干线道路上，将所有信号灯交叉口看作一个系统，通过协调控制绿灯亮起的时间，使得车辆以某一规定车速行驶时，基本上可以处处遇到绿灯，这个车速就是“绿波速度”，设置“绿波带”，既可以大大提高交通整体通行效率，也可以优化司机的通行体验．
如图1，汽车以速度匀速行驶通过路口、、、，且．已知各路口红灯、绿灯均每隔交替一次，其余因素忽略不计．
【模块一】特定速度的通行情况
设汽车在第0秒出发，匀速行驶后路程为．图2中射线表示在某种红绿灯设置下汽车行驶的情况．
（1）求与的函数表达式；
（2）汽车以这样的速度向路口行驶，它能一路绿灯通过这四个路口吗，若能，请说明理由；若不能，请计算从路口出发到通过路口的总时长（行程总时长红灯等待时间行驶时间）；
【模块二】绿波速度的通行情况
（3）①在这种红绿灯设置下，汽车若想一路绿灯匀速通过这四个路口，需优化通行速度，则“绿波速度”的取值范围为________；
②若汽车以①中“绿波速度”的整数值匀速行驶，与（2）中相比优化后的总时长减少了多少秒（精确到）；
【模块三】交通系统优化效果对比
（4）以下是某路段“绿波控制系统”优化前后各指标的平均数据对比：
指标 优化前 优化后
行程总时长 分钟 分钟
红灯等待次数 次 次（）
单次红灯平均等待时长 秒 秒
行驶速度 米/分钟 米/分钟
求“绿波控制系统”优化前后的红灯等待次数．
【答案】（1）；
（2）从路口出发到通过路口的总时长为秒；
（3）① ②；
（4）优化前的红灯等待次数为，优化后的红灯等待次数为
【分析】本题考查从函数图象获取信息，求一次函数解析式，二元一次方程等，解题的关键是读懂题意与图象，获取相关信息．
（1）由图2可知，射线过点，且函数为正比例函数，设与的函数表达式为，把代入解析式求得值，再回代入解析式即可；
（2）由图可知从路口出发到通过路口，只有到路口时遇红灯，由路口绿灯亮起时间即可得出；
（3）①由图可得绿灯通过路口、、时速度取值，综合考虑即可；
②由“绿波速度”的整数值为，可得优化后总时长，与（2）中总时长求差即可；
（4）由优化前后路程相等可列方程，整理得：，由且为正整数可得，即可得．
【详解】解：（1）由图2可知，射线过点，且函数为正比例函数，
设与的函数表达式为，把代入解析式得：
，解得：，
∴与的函数表达式为；
（2）由图2可知，汽车以这样的速度向路口行驶，它不能一路绿灯通过这四个路口，第秒时，路口绿灯亮起，故从路口出发到通过路口的总时长为秒；
（3）①绿灯通过路口，则，即，
绿灯通过路口，则，即，
绿灯通过路口，则，即，
∴“绿波速度”的取值范围为；

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