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四川省成都七中育才学校2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）
1．（2025九上·成都月考）下列图形既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C，既是轴对称图形又不是中心对称图形，故此选项符合题意；
D，不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项符合题意.
故答案为：C.
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形.
2．（2025九上·成都月考）若2x=3y，则下列式子中正确的是（　　）
A． B．
C．（x+y）：x=7：2 D．（x-y）：x=3：2
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵2x=3y，
∴，故A错误，B正确；
∵2x=3y
∴，
∴，故C错误，
，故D错误，
故选：B.
【分析】根据比例的基本性质，对四个式子逐一分析，再作出判断即可.
3．（2025九上·成都月考）一元二次方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，其中，，，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
故答案为：C．
【分析】先计算b2-4ac的值，然后根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可判断求解.
4．（2025九上·成都月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，BD=3，AC=10，则AE的长为（　　）
A．3 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【知识点】比例的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE//BC，
∴
∵AD=2，BD=3，AC=10，
∴
∴AE=4.
故选：D.
【分析】根据平行线分线段成比例由DE//BC得到，然后根据比例的性质可求出AE.
5．（2025九上·成都月考）若一元二次方程x2-4x+3=0的两个根是x1，x2，则x1 x2的值是（　　）
A．3 B．-3 C．-4 D．4
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2-4x+3=0的两个根是x1，x2，
∴x1·x2=3
故选：A.
【分析】先确定一元二次方程的系数，再根据根与系数的关系求出两根之积.
6．（2025九上·成都月考）下列描述正确的是（　　）
A．对角线垂直的四边形一定是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．菱形和矩形邻边都相等
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：对角线垂直的四边形可能是筝形，不一定是菱形，故A错误，不符合题意；
对角线相等的平行四边形是矩形，故B正确，符合题意；
矩形邻边不一定相等，故C错误，不符合题意；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D错误，不符合题意；
故选：B.
【分析】根据菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定，对四个命题逐一分析，再作判断即可.
7．（2025九上·成都月考）某厂1月印科技书籍40万册，第一季度共印140万册，问2月、3月平均每月增长率是多少？设平均增长率为x，则列出下列方程正确的是（　　）
A．（1+x）2=140 B．40（1+x）2=140
C．40+40（1+x）+40（1+x）2=140 D．40+40（1+x）=140
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵1月印科技书籍40万册，且2月、3月平均每月增长率为x.
∴2月印科技书籍40(1+x)万册，3月印科技书40(1+x)2万册.
根据题意得：40+40(1+x)+40(1+x)2=140，
故选：C.
【分析】由1月份的印刷量及2月、3月平均每月增长率，可得出2月印科技书籍40(1+x)万册，3月印科技书籍40(1+x)2万册，结合第一季度共印140万册即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
8．（2025九上·成都月考）如图，在△ABC中，AB=8，D，E分别是边AC和AB上的点，且∠AED=∠C，若AD AC=26，则AE的长为（　　）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵∠AED=∠C，∠EAD=∠CAB，
∴△ADE∽△ABC
∴
∴AD·AC=AE·AB，
∵AD·AC=26，AB=8，
∴26=8AE，
∴
故答案为：C.
【分析】通过已知条件可判定两个三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例的性质来求解AE的长度.
9．（2025九上·成都月考）分解因式： =　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】根据因式分解的步骤：一提（公因式）二套（公式）三查（是否分解彻底），可知先提公因式，然后根据平方差公式分解即可，即 ．
【分析】根据因式分解的步骤：一提（公因式）二套（公式）三查（是否分解彻底），可知先提公因式，然后根据平方差公式分解即可.2 8有公因式2可提取，然后将（-4）用平方差公式分解即可。
10．（2025九上·成都月考）如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB=3，BC=4，EF=8，则DE= 　 　 .
【答案】6
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵a//b//c，
∴
即
∴DE =6.
故答案为：6.
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数据进行计算即可得到答案.
11．（2025九上·成都月考）若关于x的方程（a-1）x2+4x-3=0的一个根是1，则a的值是　 　.
【答案】0
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：关于x的方程的一个根是1，
∴(a-1)×12+4×1-3=0，
解得：a=0，
故答案为：0.
【分析】将已知的根代入方程，解关于a的方程.
12．（2025九上·成都月考）若实数x、y、z满足，则k的值为　 　.
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵x+y+z≠0
∴
故答案为：.
【分析】根据已知，由等比性质可得：，整理，得，根据x+y+z≠0，即可得出答案.
13．（2025九上·成都月考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AC=16，BD=12，则菱形的高DH=　 　.
【答案】9.6
【知识点】勾股定理；菱形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，DH⊥AB
∴OA=OC=8，OB=OD=6，AC⊥BD，
∴在Rt△AOB中，，
∴
∴，
∴DH=9.6，
故答案为：9.6.
【分析】根据菱形的性质，其对角线互相垂直且平分，然后在构成的直角三角形中利用勾股定理求出菱形的边长，再利用菱形面积的两种不同表示方法求出菱形的高.
14．（2025九上·成都月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2BC，利用圆规在CA上截取CD=CB，在AB上截取AE=AD，若AB=4，则BE的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2BC，AB=4，
∴BC=2，
∵利用圆规在CA上截取CD=CB，
∴CD=CB=2，
∴.
∵在AB上截取AE=AD，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】由题意可得BC=2，由勾股定理可得，结合题意可得CD=CB=2，从而可得，即可得解.
15．（2025九上·成都月考）已知m，n是关于x的一元二次方程x2-3x+1=0的两个根，则m2+3n=　 　.
【答案】8
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2-3x+1=0的两个实数根，
∴m+n=3，m2-3m+1=0.
即m2=3m-1，
∴m2+3n=3m-1+3n=3(m+n)-1=3×3-1=8
故答案为：8.
【分析】先由方程的解的概念和根与系数的关系得出m+n=-3，m2=3m-1，将其代入原式计算可得.
16．（2025九上·成都月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OA=8，AB=6，连接AC，D为AC的中点，点P在y轴上，若以P，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则点P的坐标为　 　.
【答案】（0，3）或
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
【解析】【解答】解：∵四边形OABC为矩形，OA=8，AB=6
∴BC=OA=8，OC=AB=6，∠B=90°
∴.
∵D为AC的中点，
∴，
当∠CDP=90°时，如图，
此时△CDP∽△ABC，
∴
∴
解得
∴
∴点P；
当∠CPD=90°时，如图，
此时△CDP∽△ABC，
∴
∴
解得CP=3，
∴OP=OC-CP=3，
∴点P(0，3)；
当∠PCD=90°时，点P不可能在y轴上，如图，
∴这种情况不符合，
综上所述，点P的坐标为(0，3)或，
故答案为：(0，3)或.
【分析】利用相似三角形的性质，再根据直角的不同分情况讨论，分别求得点P的坐标即可.
17．（2025九上·成都月考）在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为线段AD，DC上的动点，且AE=CF，连接B，F，过E点作EH⊥BF于点H，连接C，H，则CH的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：连接AH和AC，如图所示，
∵CH≤AC-AH
∴当A、H、C三点共线时，CH最小，如图所示，在BC上取BG=CF，连接AG交BF于点N，延长EH交BC于点M，
在△ABG和△BCF中，
∴△ABG≌△BCF(SAS)
∴∠BAG=∠CBF.
∵∠ABF+∠CBF=∠ABC=90°
∴∠ABF+∠BAG=90°
∴∠ANB=90°，即AG⊥BF
∵EH⊥BF
∴EM//AG
∵AD//BC
∴四边形AGME是平行四边形
∴GM=AE
∵AE=CF
∴BG=GM
∵GN//HM
∴BN=HN
∴AG垂直平分BH
∴AH=AB=1
在Rt△ABC中，，
∴，
∴CH的最小值为
故答案为：.
【分析】连接AH和AC，当A、H、C三点共线时，CH最小，在BC上取BG=CF，连接AG交BF于点N，延长EH交BC于点M，证明△ABG≌△BCF，四边形AGME是平行四边形，进而证明AG垂直平分BH，可得AH=AB=1，再利用线段的关系求解即可.
18．（2025九上·成都月考）在平面直角坐标系xOy中，若点M（x1，y1），点N（x2，y2）满足x1 x2=y1 y2，则称点N是点M的等积点.已知点M（2，6）.
⑴点N是点M的等积点，以O，M，N，A为顶点的四边形是平行四边形，若点A在x轴上，则A的坐标为　 　；
⑵有一边长为2且各边与坐标轴平行的正方形，P（6，m）为该正方形对角线的交点，点Q是该正方形边上任意一点，已知点B的坐标是，对于线段BQ上的每一点C，在线段BM上都存在一个点D，使得C为D的等积点，则m的取值范围为　 　.
【答案】（-16，0）或（16，0）；
【知识点】一次函数图象与几何变换；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：(1)设N点坐标为(a，b)，M(2，6)
∵点N是点M的等积点
∴
∴N点在直线上
①当A点在x轴正半轴上，如图1所示，MN//OA
∵M(2，6)
在中令y=6，，解得x=18
∴N(18，6)
∴MN=18-2=16，
∴OA=MN=16
∴A(16，0)
②当A点在x轴负半轴上，如图2所示，
∵此时MN//OA
∴OA=MN=16
∴A(-16，0)
③当A点在x轴负半轴上，如图3所示，
此时对角线AO、MN互相平分且交点S在x轴上，
又∵M(2，6)，
∴点N的纵坐标是-6，
在中令y=-6，，解得x =-18，
∴N(-18，-6)
∴点A的横坐标是-18+2-0=-16，
∴A(-16，0)，
故答案为：(-16，0)或(16，0).
(2)点D在线段BM上，，M(2，6)，
如图所示，正方形EFGH边长为2，
∴BM⊥x轴，
可设D(2，d)，， C(xc，yc)
∵C为D的等积点
∴
∴
∴，
∴C点是介于和y=3x之间的某一条直线(包含边界)与线段BQ的交点
∴如图所示，当E点在直线y=3x时为上界，当G点在直线时为下界；
∵P(6，m)，正方形EFGH边长为2，
∴达到上界时E点横坐标为5，达到下界时G点横坐标为7，
在y=3x中，令x=5，y=15；
在中，令x=7，
∴达到上界时B(5，15)，达到下界时
∴达到上界时P(6，14)，达到下界时
∴，
故答案为： .
【分析】(1)由等积点的定义可得N点横坐标和纵坐标满足解析式，得出N点在直线上，再利用平行四边形的判定和性质，分类讨论，即可求解；
(2)设D(2，d)，，C(xc，yc)，由等积点的定义可得C点横坐标和纵坐标满足解析式，，得出C点是介于和y=3x之间的某一条直线(包含边界)与线段BQ的交点，即可找到P点运动的上界和下界，再根据正方形的性质即可求出m的范围.
19．（2025九上·成都月考）解下列方程：
（1）2（x-1）2=18；
（2）2x2-x-1=0；
（3）.
【答案】（1）解：(x-1)2=9
x-1=±3
∴x1=4，x2=-2
（2）解：2x2-x-1=0
(x-1)(2x+1)=0
x-1=0，2x+1=0
∴
（3）解：去分母得3(x-2)+x-1=1，
解得x=2
检验：当x=2时，x-2=0，则x=2不是原分式方程的解
∴原分式方程无解
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；去分母法解分式方程
【解析】【分析】(1)利用平方根的定义开方，即可求出x的值；
(2)分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
(3)先去分母转化为整式方程，解整式方程，然后进行检验得到方程的解.
20．（2025九上·成都月考）已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为（3，0），（2，2）.
（1）把△OAB绕点O逆时针方向旋转90°得到△ODE，请在坐标系中作出△ODE；
（2）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA1B1，使新图与原图的相似比为2：1；
（3）直接写出△OA1B1的面积.
【答案】（1）解：如图所示：△ODE即为所求；
（2）解：如图所示：△OA1B1即为所求；
（3）12
【知识点】三角形的面积；作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：(3)△OA1B1的面积，
故答案为：12.
【分析】(1)直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
(3)利用三角形面积公式，即可求得△OA1B1的面积.
21．（2025九上·成都月考）已知关于x的一元二次方程2x2+3x+a=0.
（1）若该方程总有两个实数根，求a的取值范围；
（2）如果这个方程的两个根分别为x1、x2，且，求a的值.
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程2x2+3x+a=0有两个实数根
∴Δ>0，即32-4×2a≥0
整理得：9-8a>0
解得：
（2）解：∵方程2x2+3x+a=0的两个根分别为x1、x2，
∴，
∵，
∴(x1+x2)2-2x1x2=5x1x2，
∴(x1+x2)2=7x1x2，
∴
∴
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出a的范围即可；
(2)用两根的和与两根的积表示已知等式，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出a的值.
22．（2025九上·成都月考）小明决定利用所学数学知识测量出旗杆CD的高度.如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，BE⊥AC，DC⊥AC，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高BE=1.5米，且AB=3米，CB的长度为9米.
（1）求旗杆CD的高度；
（2）小明在测量时发现通过地面BC直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离BF的长.
【答案】（1）解：∵BE⊥AC，DC⊥AC，
∴EB//CD
∴△ABE∽△ACD
∴，即，
解得CD=6.
答：旗杆CD的高度为6米.
（2）解：由题意得∠EFB=∠DFC
∵BE⊥AC， DC⊥AC，
∴∠EBF=∠DCF
∴△EBF∽△DCF，
∴，即
解得
答：小水坑F到小明的距离BF的长为米.
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】(1)证明△ABE∽△ACD，利用相似三角形的性质求解即可；
(2)证明△EBF∽△DCF，利用相似三角形的性质求解即可.
23．（2025九上·成都月考）已知：在矩形ABCD中，E为AD的中点，作CF⊥BE于点F.
（1）如图（1），求证：△ABE∽△FCB；
（2）如图（1），若BC=4，求BF BE的值；
（3）如图（2），连结BD交CF于G，若，求的值.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠AEB=∠EBC，
∵CF⊥BE于点F，
∴∠BFC=90°，
∴∠A=∠BFC，
∴△ABE∽△FCB；
（2）解：在矩形ABCD中，AD=BC=4
∵E为AD的中点，
∴，
由(1)得△ABE∽△FCB，
∴
∴BF·BE=BC·AE=4×2=8.
（3）解：过点G作GH⊥BC于点H，如图所示，
∴∠GHB=∠DCB=90°
又∵∠GBH=∠DBC，
∴△BGH∽△BDC
∴
∴，，
由(1)得△ABE∽△FCB，
∴∠ABE=∠BCF，
∵∠A=∠GHC=90°
∴△ABE∽△HCG
∴
∴AB·GH=AE·CH
在矩形ABCD中，AB=CD，，
∴，即，
∴
∴
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)证明∠AEB=∠EBC，∠A=∠BFC即可；
(2)根据相似三角形的对应边成比例，求解即可；
(3)过点G作GH⊥BC于点H，证明△BGH∽△BDC和△ABE∽△HCG，根据相似三角形对应边成比例求解即可.
24．（2025九上·成都月考）在国庆黄金周中，熊猫基地游客络绎不绝，热闹非凡，附近商店的文创产品也深受小朋友喜爱.某商店分两次购入熊猫文创产品.第一次用2400元购进A款产品，1440元购进B款产品，B款产品购进单价比A款产品购进单价高20%，B款产品的购进数量比A款产品的购进数量少40个.
（1）该商店A款产品的购进单价为多少元？
（2）第一批A款产品销售不错，售完后，该商店准备再购进一批A款产品（两次购进单价不变），为回馈顾客，决定降价销售，A款产品原售价40元，日销售量为20件，经调查发现，每降价1元，多售出2件A产品，当A款产品降价多少元时，每天可获利192元.
【答案】（1）解：设A款产品的购进单价为x元，则B款产品的购进单价为(1+20%)x元，
根据题意，可列方程：，
解得x=30，
∴A款产品的购进单价为30元.
（2）解：设A款产品降价y元，
根据题意，可列方程：
(40-y-30)(20+2y)=192
解得y1=2，y2=-2(舍去)
∴A款产品降价2元时，每天可获利192元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设商店A款产品的购进单价为x元，则商店B款产品的购进单价为(1+20%)x元，根据购进数量的关系建立分式方程，求解即可；
(2)设A款产品降价m元，则每日多售出2m件，根据每天利润为192元建立一元二次方程，求解即可.
25．（2025九上·成都月考）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，点E为AC中点，点F在BC上，CE=CF，作直线EF.
（1）如图1，过点F作FM∥AB交AC于点M，作FN⊥AC于点N，求MN的长；
（2）如图2，过点E作ED⊥AB于点D，将△ADE绕点A逆时针旋转α，得到△AD'E'，当点E'落在直线EF上时，连接BD'，求BD'的长；
（3）将（2）中的△ADE旋转角度α范围：90°＜α＜270°，在此过程中，直线BD'，CE'交于点T，当△BCT是以BT为腰的等腰三角形时，求出的值.
【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，AB=8，BC=6，
∴
∵E为AC中点，
∴
∴CF=CE=5
∵FM//AB，∠ABC=90°
∴∠ABC=∠MFC=90°
∵∠C=∠C
∴△CFM∽△CBA
∴
∵BC=6
∴
∴
在Rt△MCF中，
∴∠MNF=∠CFM=90°，∠FMN=∠CMF
∴△FMN∽△CMF
∴
∴FM2=MN·CM
∴
∴
（2）解：连接CE'，过点C作CH⊥AE'交AE'的延长线于点H，
由旋转可得：AE=AE'=CE=CF=5
∴∠1=∠2=∠3=∠AE'F
∴AE'//BC
∴∠BAE'=∠ABC=90°
∵CH⊥AE'
∴∠AHC=∠BAE'=∠ABC=90°
∴四边形ABCH是矩形
∴AH=BC=6，CH=AB=8
∴E'H=1
在Rt△CE'H中，
∵ED⊥AB
∴∠ADE=∠ABC=90°
∵∠BAC=∠DAE
∴△ADE∽△ABC
∴△AD'E'∽△ABC
∴
∵∠4=∠5
∴∠4+∠6=∠5+∠6
即∠BAD'=∠CAE'
∴△ABD'∽△ACE'
∴
∴
∴
（3）解：过点C作CH⊥BD'交BD'于点K，
①当BT=CT时，
由(2)知，△ABD'∽△ACE'
∴∠ABD'=∠ACE'
∴∠BAC=∠BTC
∴∠CHT=∠ABC=90°
∴△CHT∽△CBA
∴CH：TH：TC=BC：AB：AC=3：4：5
设CH=3a，TH=4a，TC=5a，则BH=a.
在Rt△CBH中，
∴BH2+CH2=BC2
∴a2+(3a)2=62
∴
∴
∵∠E'T'D'=∠BEC，∠E'AD'=∠BAC=∠BEC
∴∠E'T'D'=∠E'AD'
∴A，T，D'、E共圆得
∴∠ATE'=90°
∵AC=10，，
∴，
∵AE'=AE=5
∴
∴
②当BT=BC时，
∵∠BTC=∠BAC
由①知CH=3a，TH=4a，TC=5a，则BH=6-4a，
∴BH2+CH2=BC2
∴(6-4a)2+(3a)2=62
∴
∴
由①知A，T，E，D共圆，
∴∠ATE'=90°，
∴
∵AE'=5
∴
∴
综上可知，的值为或.
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据勾股定理求出AC=10，证明△CFM∽△CBA求出，在Rt△MCF中，求出，再证明△FMN∽△CMF可求解；
(2)连接CE'，过点C作CH⊥AE'交AE'的廷长线于点H，由旋转可得AE=AE'=CE=CF=5，证明四边形ABCH是矩形得AH=BC=6，CH=AB=8，在Rt△CEH中求出，证明△AD'E'∽△ABC得，然后证明△ABD'∽△ACE'即可求解；
(3)分①当BT=CT时，②当BT=BC时，两种情况求解即可.
26．（2025九上·成都月考）数学研究中从特殊到一般的化归思想，从猜想到验证的数学推理，常常让我们其乐无穷.请完善下列问题的探究过程.
已知直线l1：y=kx+b（k＜0，b＞0）分别交x轴，y轴于点A，B，交直线l2：y=x于点P.
（1）【特例探究】若k=-2，b=4时，=　 　；=　 　；
（2）【猜想验证】猜想OA，OB，OP之间的数量关系，并验证你的猜想；
（3）【类比推广】若直线l2：y=x沿y轴正半轴方向平移m个单位得到直线l3，直线l3分别交x轴，y轴于点C，D，与直线l1交于点P，当时，直线l1是否过定点？若过定点，求出定点坐标，若不过，说明理由.
【答案】（1）；
（2）解：，
理由如下：
直线l1：y=kx+b(k<0，b>0)，
当x=0时，y=b，
当y=0时，kx+b=0，解得：
∵k<0，b>0，
∴，
∵直线l1：y=kx+b(k<0，b>0)分别交x轴，y轴于点A，B，
∴，B(0，b)，
∴
∴，OB=b，
，解得
∵直线l1：y=kx+b(k<0，b>0)交直线l2：y=x于点P，
∴
∴
∴
∴
∴
（3）解：∵直线l2：y=x沿y轴正半轴方向平移m个单位得到直线l3，
∴设l3：y=x+m，
∴C(-m，0)，，
∴
由题意：，解得
∴
∴
∵
∴，
，
l1：
∴过定点，定点为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：(1)∵k=-2，b=4
∴直线l1：y=-2x+4
当x=0时，y=4，
当y=0时，0=-2x+4，
解得：x=2，
∵直线l：y=kx+b(k<0，b>0)分别交轴，y轴于点A，B，
∴A(2，0)，B(0，4)，
∴OA=2，OB=4.
∴
解得
∵交直线l2：y=x于点P，
∴
∴
∴
故答案为：，.
【分析】(1)根据题意，先分别求出A，B两点的坐标，求出OA，OB，再求，然后求出P点的坐标再求出OP，再求合即可；
(2)先分别表示出A，B两点的坐标，求出OA，OB，再求，然后求出P点的坐标再求出OP，再求即可；
(3)先设l3：y=x+m，再表示出C，A两点的坐标，然后表示出P的坐标，根据，得到关系式，再求解得到l1：，从而可求出定点坐标.
1 / 1四川省成都七中育才学校2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）
1．（2025九上·成都月考）下列图形既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·成都月考）若2x=3y，则下列式子中正确的是（　　）
A． B．
C．（x+y）：x=7：2 D．（x-y）：x=3：2
3．（2025九上·成都月考）一元二次方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
4．（2025九上·成都月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，BD=3，AC=10，则AE的长为（　　）
A．3 B．6 C．5 D．4
5．（2025九上·成都月考）若一元二次方程x2-4x+3=0的两个根是x1，x2，则x1 x2的值是（　　）
A．3 B．-3 C．-4 D．4
6．（2025九上·成都月考）下列描述正确的是（　　）
A．对角线垂直的四边形一定是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．菱形和矩形邻边都相等
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
7．（2025九上·成都月考）某厂1月印科技书籍40万册，第一季度共印140万册，问2月、3月平均每月增长率是多少？设平均增长率为x，则列出下列方程正确的是（　　）
A．（1+x）2=140 B．40（1+x）2=140
C．40+40（1+x）+40（1+x）2=140 D．40+40（1+x）=140
8．（2025九上·成都月考）如图，在△ABC中，AB=8，D，E分别是边AC和AB上的点，且∠AED=∠C，若AD AC=26，则AE的长为（　　）
A． B．3 C． D．4
9．（2025九上·成都月考）分解因式： =　 　．
10．（2025九上·成都月考）如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB=3，BC=4，EF=8，则DE= 　 　 .
11．（2025九上·成都月考）若关于x的方程（a-1）x2+4x-3=0的一个根是1，则a的值是　 　.
12．（2025九上·成都月考）若实数x、y、z满足，则k的值为　 　.
13．（2025九上·成都月考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AC=16，BD=12，则菱形的高DH=　 　.
14．（2025九上·成都月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2BC，利用圆规在CA上截取CD=CB，在AB上截取AE=AD，若AB=4，则BE的长为　 　.
15．（2025九上·成都月考）已知m，n是关于x的一元二次方程x2-3x+1=0的两个根，则m2+3n=　 　.
16．（2025九上·成都月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OA=8，AB=6，连接AC，D为AC的中点，点P在y轴上，若以P，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则点P的坐标为　 　.
17．（2025九上·成都月考）在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为线段AD，DC上的动点，且AE=CF，连接B，F，过E点作EH⊥BF于点H，连接C，H，则CH的最小值为　 　.
18．（2025九上·成都月考）在平面直角坐标系xOy中，若点M（x1，y1），点N（x2，y2）满足x1 x2=y1 y2，则称点N是点M的等积点.已知点M（2，6）.
⑴点N是点M的等积点，以O，M，N，A为顶点的四边形是平行四边形，若点A在x轴上，则A的坐标为　 　；
⑵有一边长为2且各边与坐标轴平行的正方形，P（6，m）为该正方形对角线的交点，点Q是该正方形边上任意一点，已知点B的坐标是，对于线段BQ上的每一点C，在线段BM上都存在一个点D，使得C为D的等积点，则m的取值范围为　 　.
19．（2025九上·成都月考）解下列方程：
（1）2（x-1）2=18；
（2）2x2-x-1=0；
（3）.
20．（2025九上·成都月考）已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为（3，0），（2，2）.
（1）把△OAB绕点O逆时针方向旋转90°得到△ODE，请在坐标系中作出△ODE；
（2）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA1B1，使新图与原图的相似比为2：1；
（3）直接写出△OA1B1的面积.
21．（2025九上·成都月考）已知关于x的一元二次方程2x2+3x+a=0.
（1）若该方程总有两个实数根，求a的取值范围；
（2）如果这个方程的两个根分别为x1、x2，且，求a的值.
22．（2025九上·成都月考）小明决定利用所学数学知识测量出旗杆CD的高度.如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，BE⊥AC，DC⊥AC，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高BE=1.5米，且AB=3米，CB的长度为9米.
（1）求旗杆CD的高度；
（2）小明在测量时发现通过地面BC直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离BF的长.
23．（2025九上·成都月考）已知：在矩形ABCD中，E为AD的中点，作CF⊥BE于点F.
（1）如图（1），求证：△ABE∽△FCB；
（2）如图（1），若BC=4，求BF BE的值；
（3）如图（2），连结BD交CF于G，若，求的值.
24．（2025九上·成都月考）在国庆黄金周中，熊猫基地游客络绎不绝，热闹非凡，附近商店的文创产品也深受小朋友喜爱.某商店分两次购入熊猫文创产品.第一次用2400元购进A款产品，1440元购进B款产品，B款产品购进单价比A款产品购进单价高20%，B款产品的购进数量比A款产品的购进数量少40个.
（1）该商店A款产品的购进单价为多少元？
（2）第一批A款产品销售不错，售完后，该商店准备再购进一批A款产品（两次购进单价不变），为回馈顾客，决定降价销售，A款产品原售价40元，日销售量为20件，经调查发现，每降价1元，多售出2件A产品，当A款产品降价多少元时，每天可获利192元.
25．（2025九上·成都月考）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，点E为AC中点，点F在BC上，CE=CF，作直线EF.
（1）如图1，过点F作FM∥AB交AC于点M，作FN⊥AC于点N，求MN的长；
（2）如图2，过点E作ED⊥AB于点D，将△ADE绕点A逆时针旋转α，得到△AD'E'，当点E'落在直线EF上时，连接BD'，求BD'的长；
（3）将（2）中的△ADE旋转角度α范围：90°＜α＜270°，在此过程中，直线BD'，CE'交于点T，当△BCT是以BT为腰的等腰三角形时，求出的值.
26．（2025九上·成都月考）数学研究中从特殊到一般的化归思想，从猜想到验证的数学推理，常常让我们其乐无穷.请完善下列问题的探究过程.
已知直线l1：y=kx+b（k＜0，b＞0）分别交x轴，y轴于点A，B，交直线l2：y=x于点P.
（1）【特例探究】若k=-2，b=4时，=　 　；=　 　；
（2）【猜想验证】猜想OA，OB，OP之间的数量关系，并验证你的猜想；
（3）【类比推广】若直线l2：y=x沿y轴正半轴方向平移m个单位得到直线l3，直线l3分别交x轴，y轴于点C，D，与直线l1交于点P，当时，直线l1是否过定点？若过定点，求出定点坐标，若不过，说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C，既是轴对称图形又不是中心对称图形，故此选项符合题意；
D，不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项符合题意.
故答案为：C.
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形.
2．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵2x=3y，
∴，故A错误，B正确；
∵2x=3y
∴，
∴，故C错误，
，故D错误，
故选：B.
【分析】根据比例的基本性质，对四个式子逐一分析，再作出判断即可.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，其中，，，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
故答案为：C．
【分析】先计算b2-4ac的值，然后根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可判断求解.
4．【答案】D
【知识点】比例的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE//BC，
∴
∵AD=2，BD=3，AC=10，
∴
∴AE=4.
故选：D.
【分析】根据平行线分线段成比例由DE//BC得到，然后根据比例的性质可求出AE.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2-4x+3=0的两个根是x1，x2，
∴x1·x2=3
故选：A.
【分析】先确定一元二次方程的系数，再根据根与系数的关系求出两根之积.
6．【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：对角线垂直的四边形可能是筝形，不一定是菱形，故A错误，不符合题意；
对角线相等的平行四边形是矩形，故B正确，符合题意；
矩形邻边不一定相等，故C错误，不符合题意；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D错误，不符合题意；
故选：B.
【分析】根据菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定，对四个命题逐一分析，再作判断即可.
7．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵1月印科技书籍40万册，且2月、3月平均每月增长率为x.
∴2月印科技书籍40(1+x)万册，3月印科技书40(1+x)2万册.
根据题意得：40+40(1+x)+40(1+x)2=140，
故选：C.
【分析】由1月份的印刷量及2月、3月平均每月增长率，可得出2月印科技书籍40(1+x)万册，3月印科技书籍40(1+x)2万册，结合第一季度共印140万册即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵∠AED=∠C，∠EAD=∠CAB，
∴△ADE∽△ABC
∴
∴AD·AC=AE·AB，
∵AD·AC=26，AB=8，
∴26=8AE，
∴
故答案为：C.
【分析】通过已知条件可判定两个三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例的性质来求解AE的长度.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】根据因式分解的步骤：一提（公因式）二套（公式）三查（是否分解彻底），可知先提公因式，然后根据平方差公式分解即可，即 ．
【分析】根据因式分解的步骤：一提（公因式）二套（公式）三查（是否分解彻底），可知先提公因式，然后根据平方差公式分解即可.2 8有公因式2可提取，然后将（-4）用平方差公式分解即可。
10．【答案】6
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵a//b//c，
∴
即
∴DE =6.
故答案为：6.
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数据进行计算即可得到答案.
11．【答案】0
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：关于x的方程的一个根是1，
∴(a-1)×12+4×1-3=0，
解得：a=0，
故答案为：0.
【分析】将已知的根代入方程，解关于a的方程.
12．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵x+y+z≠0
∴
故答案为：.
【分析】根据已知，由等比性质可得：，整理，得，根据x+y+z≠0，即可得出答案.
13．【答案】9.6
【知识点】勾股定理；菱形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，DH⊥AB
∴OA=OC=8，OB=OD=6，AC⊥BD，
∴在Rt△AOB中，，
∴
∴，
∴DH=9.6，
故答案为：9.6.
【分析】根据菱形的性质，其对角线互相垂直且平分，然后在构成的直角三角形中利用勾股定理求出菱形的边长，再利用菱形面积的两种不同表示方法求出菱形的高.
14．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2BC，AB=4，
∴BC=2，
∵利用圆规在CA上截取CD=CB，
∴CD=CB=2，
∴.
∵在AB上截取AE=AD，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】由题意可得BC=2，由勾股定理可得，结合题意可得CD=CB=2，从而可得，即可得解.
15．【答案】8
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2-3x+1=0的两个实数根，
∴m+n=3，m2-3m+1=0.
即m2=3m-1，
∴m2+3n=3m-1+3n=3(m+n)-1=3×3-1=8
故答案为：8.
【分析】先由方程的解的概念和根与系数的关系得出m+n=-3，m2=3m-1，将其代入原式计算可得.
16．【答案】（0，3）或
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
【解析】【解答】解：∵四边形OABC为矩形，OA=8，AB=6
∴BC=OA=8，OC=AB=6，∠B=90°
∴.
∵D为AC的中点，
∴，
当∠CDP=90°时，如图，
此时△CDP∽△ABC，
∴
∴
解得
∴
∴点P；
当∠CPD=90°时，如图，
此时△CDP∽△ABC，
∴
∴
解得CP=3，
∴OP=OC-CP=3，
∴点P(0，3)；
当∠PCD=90°时，点P不可能在y轴上，如图，
∴这种情况不符合，
综上所述，点P的坐标为(0，3)或，
故答案为：(0，3)或.
【分析】利用相似三角形的性质，再根据直角的不同分情况讨论，分别求得点P的坐标即可.
17．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：连接AH和AC，如图所示，
∵CH≤AC-AH
∴当A、H、C三点共线时，CH最小，如图所示，在BC上取BG=CF，连接AG交BF于点N，延长EH交BC于点M，
在△ABG和△BCF中，
∴△ABG≌△BCF(SAS)
∴∠BAG=∠CBF.
∵∠ABF+∠CBF=∠ABC=90°
∴∠ABF+∠BAG=90°
∴∠ANB=90°，即AG⊥BF
∵EH⊥BF
∴EM//AG
∵AD//BC
∴四边形AGME是平行四边形
∴GM=AE
∵AE=CF
∴BG=GM
∵GN//HM
∴BN=HN
∴AG垂直平分BH
∴AH=AB=1
在Rt△ABC中，，
∴，
∴CH的最小值为
故答案为：.
【分析】连接AH和AC，当A、H、C三点共线时，CH最小，在BC上取BG=CF，连接AG交BF于点N，延长EH交BC于点M，证明△ABG≌△BCF，四边形AGME是平行四边形，进而证明AG垂直平分BH，可得AH=AB=1，再利用线段的关系求解即可.
18．【答案】（-16，0）或（16，0）；
【知识点】一次函数图象与几何变换；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：(1)设N点坐标为(a，b)，M(2，6)
∵点N是点M的等积点
∴
∴N点在直线上
①当A点在x轴正半轴上，如图1所示，MN//OA
∵M(2，6)
在中令y=6，，解得x=18
∴N(18，6)
∴MN=18-2=16，
∴OA=MN=16
∴A(16，0)
②当A点在x轴负半轴上，如图2所示，
∵此时MN//OA
∴OA=MN=16
∴A(-16，0)
③当A点在x轴负半轴上，如图3所示，
此时对角线AO、MN互相平分且交点S在x轴上，
又∵M(2，6)，
∴点N的纵坐标是-6，
在中令y=-6，，解得x =-18，
∴N(-18，-6)
∴点A的横坐标是-18+2-0=-16，
∴A(-16，0)，
故答案为：(-16，0)或(16，0).
(2)点D在线段BM上，，M(2，6)，
如图所示，正方形EFGH边长为2，
∴BM⊥x轴，
可设D(2，d)，， C(xc，yc)
∵C为D的等积点
∴
∴
∴，
∴C点是介于和y=3x之间的某一条直线(包含边界)与线段BQ的交点
∴如图所示，当E点在直线y=3x时为上界，当G点在直线时为下界；
∵P(6，m)，正方形EFGH边长为2，
∴达到上界时E点横坐标为5，达到下界时G点横坐标为7，
在y=3x中，令x=5，y=15；
在中，令x=7，
∴达到上界时B(5，15)，达到下界时
∴达到上界时P(6，14)，达到下界时
∴，
故答案为： .
【分析】(1)由等积点的定义可得N点横坐标和纵坐标满足解析式，得出N点在直线上，再利用平行四边形的判定和性质，分类讨论，即可求解；
(2)设D(2，d)，，C(xc，yc)，由等积点的定义可得C点横坐标和纵坐标满足解析式，，得出C点是介于和y=3x之间的某一条直线(包含边界)与线段BQ的交点，即可找到P点运动的上界和下界，再根据正方形的性质即可求出m的范围.
19．【答案】（1）解：(x-1)2=9
x-1=±3
∴x1=4，x2=-2
（2）解：2x2-x-1=0
(x-1)(2x+1)=0
x-1=0，2x+1=0
∴
（3）解：去分母得3(x-2)+x-1=1，
解得x=2
检验：当x=2时，x-2=0，则x=2不是原分式方程的解
∴原分式方程无解
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；去分母法解分式方程
【解析】【分析】(1)利用平方根的定义开方，即可求出x的值；
(2)分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
(3)先去分母转化为整式方程，解整式方程，然后进行检验得到方程的解.
20．【答案】（1）解：如图所示：△ODE即为所求；
（2）解：如图所示：△OA1B1即为所求；
（3）12
【知识点】三角形的面积；作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：(3)△OA1B1的面积，
故答案为：12.
【分析】(1)直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
(3)利用三角形面积公式，即可求得△OA1B1的面积.
21．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程2x2+3x+a=0有两个实数根
∴Δ>0，即32-4×2a≥0
整理得：9-8a>0
解得：
（2）解：∵方程2x2+3x+a=0的两个根分别为x1、x2，
∴，
∵，
∴(x1+x2)2-2x1x2=5x1x2，
∴(x1+x2)2=7x1x2，
∴
∴
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出a的范围即可；
(2)用两根的和与两根的积表示已知等式，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出a的值.
22．【答案】（1）解：∵BE⊥AC，DC⊥AC，
∴EB//CD
∴△ABE∽△ACD
∴，即，
解得CD=6.
答：旗杆CD的高度为6米.
（2）解：由题意得∠EFB=∠DFC
∵BE⊥AC， DC⊥AC，
∴∠EBF=∠DCF
∴△EBF∽△DCF，
∴，即
解得
答：小水坑F到小明的距离BF的长为米.
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】(1)证明△ABE∽△ACD，利用相似三角形的性质求解即可；
(2)证明△EBF∽△DCF，利用相似三角形的性质求解即可.
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠AEB=∠EBC，
∵CF⊥BE于点F，
∴∠BFC=90°，
∴∠A=∠BFC，
∴△ABE∽△FCB；
（2）解：在矩形ABCD中，AD=BC=4
∵E为AD的中点，
∴，
由(1)得△ABE∽△FCB，
∴
∴BF·BE=BC·AE=4×2=8.
（3）解：过点G作GH⊥BC于点H，如图所示，
∴∠GHB=∠DCB=90°
又∵∠GBH=∠DBC，
∴△BGH∽△BDC
∴
∴，，
由(1)得△ABE∽△FCB，
∴∠ABE=∠BCF，
∵∠A=∠GHC=90°
∴△ABE∽△HCG
∴
∴AB·GH=AE·CH
在矩形ABCD中，AB=CD，，
∴，即，
∴
∴
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)证明∠AEB=∠EBC，∠A=∠BFC即可；
(2)根据相似三角形的对应边成比例，求解即可；
(3)过点G作GH⊥BC于点H，证明△BGH∽△BDC和△ABE∽△HCG，根据相似三角形对应边成比例求解即可.
24．【答案】（1）解：设A款产品的购进单价为x元，则B款产品的购进单价为(1+20%)x元，
根据题意，可列方程：，
解得x=30，
∴A款产品的购进单价为30元.
（2）解：设A款产品降价y元，
根据题意，可列方程：
(40-y-30)(20+2y)=192
解得y1=2，y2=-2(舍去)
∴A款产品降价2元时，每天可获利192元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设商店A款产品的购进单价为x元，则商店B款产品的购进单价为(1+20%)x元，根据购进数量的关系建立分式方程，求解即可；
(2)设A款产品降价m元，则每日多售出2m件，根据每天利润为192元建立一元二次方程，求解即可.
25．【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，AB=8，BC=6，
∴
∵E为AC中点，
∴
∴CF=CE=5
∵FM//AB，∠ABC=90°
∴∠ABC=∠MFC=90°
∵∠C=∠C
∴△CFM∽△CBA
∴
∵BC=6
∴
∴
在Rt△MCF中，
∴∠MNF=∠CFM=90°，∠FMN=∠CMF
∴△FMN∽△CMF
∴
∴FM2=MN·CM
∴
∴
（2）解：连接CE'，过点C作CH⊥AE'交AE'的延长线于点H，
由旋转可得：AE=AE'=CE=CF=5
∴∠1=∠2=∠3=∠AE'F
∴AE'//BC
∴∠BAE'=∠ABC=90°
∵CH⊥AE'
∴∠AHC=∠BAE'=∠ABC=90°
∴四边形ABCH是矩形
∴AH=BC=6，CH=AB=8
∴E'H=1
在Rt△CE'H中，
∵ED⊥AB
∴∠ADE=∠ABC=90°
∵∠BAC=∠DAE
∴△ADE∽△ABC
∴△AD'E'∽△ABC
∴
∵∠4=∠5
∴∠4+∠6=∠5+∠6
即∠BAD'=∠CAE'
∴△ABD'∽△ACE'
∴
∴
∴
（3）解：过点C作CH⊥BD'交BD'于点K，
①当BT=CT时，
由(2)知，△ABD'∽△ACE'
∴∠ABD'=∠ACE'
∴∠BAC=∠BTC
∴∠CHT=∠ABC=90°
∴△CHT∽△CBA
∴CH：TH：TC=BC：AB：AC=3：4：5
设CH=3a，TH=4a，TC=5a，则BH=a.
在Rt△CBH中，
∴BH2+CH2=BC2
∴a2+(3a)2=62
∴
∴
∵∠E'T'D'=∠BEC，∠E'AD'=∠BAC=∠BEC
∴∠E'T'D'=∠E'AD'
∴A，T，D'、E共圆得
∴∠ATE'=90°
∵AC=10，，
∴，
∵AE'=AE=5
∴
∴
②当BT=BC时，
∵∠BTC=∠BAC
由①知CH=3a，TH=4a，TC=5a，则BH=6-4a，
∴BH2+CH2=BC2
∴(6-4a)2+(3a)2=62
∴
∴
由①知A，T，E，D共圆，
∴∠ATE'=90°，
∴
∵AE'=5
∴
∴
综上可知，的值为或.
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据勾股定理求出AC=10，证明△CFM∽△CBA求出，在Rt△MCF中，求出，再证明△FMN∽△CMF可求解；
(2)连接CE'，过点C作CH⊥AE'交AE'的廷长线于点H，由旋转可得AE=AE'=CE=CF=5，证明四边形ABCH是矩形得AH=BC=6，CH=AB=8，在Rt△CEH中求出，证明△AD'E'∽△ABC得，然后证明△ABD'∽△ACE'即可求解；
(3)分①当BT=CT时，②当BT=BC时，两种情况求解即可.
26．【答案】（1）；
（2）解：，
理由如下：
直线l1：y=kx+b(k<0，b>0)，
当x=0时，y=b，
当y=0时，kx+b=0，解得：
∵k<0，b>0，
∴，
∵直线l1：y=kx+b(k<0，b>0)分别交x轴，y轴于点A，B，
∴，B(0，b)，
∴
∴，OB=b，
，解得
∵直线l1：y=kx+b(k<0，b>0)交直线l2：y=x于点P，
∴
∴
∴
∴
∴
（3）解：∵直线l2：y=x沿y轴正半轴方向平移m个单位得到直线l3，
∴设l3：y=x+m，
∴C(-m，0)，，
∴
由题意：，解得
∴
∴
∵
∴，
，
l1：
∴过定点，定点为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：(1)∵k=-2，b=4
∴直线l1：y=-2x+4
当x=0时，y=4，
当y=0时，0=-2x+4，
解得：x=2，
∵直线l：y=kx+b(k<0，b>0)分别交轴，y轴于点A，B，
∴A(2，0)，B(0，4)，
∴OA=2，OB=4.
∴
解得
∵交直线l2：y=x于点P，
∴
∴
∴
故答案为：，.
【分析】(1)根据题意，先分别求出A，B两点的坐标，求出OA，OB，再求，然后求出P点的坐标再求出OP，再求合即可；
(2)先分别表示出A，B两点的坐标，求出OA，OB，再求，然后求出P点的坐标再求出OP，再求即可；
(3)先设l3：y=x+m，再表示出C，A两点的坐标，然后表示出P的坐标，根据，得到关系式，再求解得到l1：，从而可求出定点坐标.
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